BÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0 NỬA NHÓMBÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0 NỬA NHÓMBÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0 NỬA NHÓMBÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0 NỬA NHÓMBÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0 NỬA NHÓMBÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0 NỬA NHÓMBÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0 NỬA NHÓMBÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0 NỬA NHÓM
MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0 − NỬA NHÓM 1.1 C − nửa nhóm 4 1.2 Bài toán Cauchy 12 1.3 Một số ví dụ 21 Chương - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ NỬA NHÓM n − LẦN TÍCH HỢP 2.1 Nửa nhóm n − lần tích hợp 2.2 30 30 Bài toán Cauchy n,ω − đặt chỉnh ( ) 37 2.3 Nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương 40 2.4 Một số ví dụ 50 KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 58 59 MỞ ĐẦU Bài toán Cauchy trừu tượng phương trình đạo hàm riêng tuyến tính toán có lịch sử lâu đời chuyên ngành Giải tích ứng dụng Nó áp dụng nhiều lĩnh vực khoa học vật lý học, sinh học, kỹ thuật, tài Khi xét toán ta thường gặp khả khác nghiệm Theo định nghĩa Hadamard, toán Cauchy gọi đặt chỉnh tồn nghiệm, nghiệm nghiệm phụ thuộc liên tục vào kiện toán Phương pháp nửa nhóm phát triển mạnh mẽ có vai trò quan trọng việc giải toán Cauchy cho phương trình vi phân tuyến tính không gian Banach với toán tử không bị chặn Luận văn nghiên cứu toán Cauchy trừu tượng dạng u ' t = Au ( ) t , ( ) u = x, ( ) t≥ 0, (CP) A: X → X toán tử tuyến tính, đóng, không bị chặn không gian Banach X u : \ → X Mục tiêu luận văn nhằm trình bày + việc ứng dụng phương pháp C0 − nửa nhóm phương pháp nửa nhóm n −lần tích hợp không gian Banach X để nghiên cứu tính đặt chỉnh toán Cauchy Luận văn gồm hai chương: Chương - Trình bày khái niệm tính chất C0 − nửa nhóm Đây loại nửa nhóm đơn giản số lớp toán tử không bị chặn toán Cauchy tương ứng đặt chỉnh Từ đưa số ví dụ minh họa Chương - Trình bày lớp nửa nhóm mở rộng lớp nửa nhóm C0 nửa nhóm n −lần tích hợp nửa nhóm n −lần tích hợp địa phương bị chặn mũ, không suy biến Áp dụng phương pháp để nghiên cứu ( n,ω ) tính − đặt chỉnh toán Cauchy cho nhiều lớp phương trình Trong chương đưa số ví dụ minh họa dựa phương trình đạo hàm riêng với điều kiện ban đầu Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, thời gian qua thầy dành nhiều thời gian công sức, tận tình giúp đỡ em suốt trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Em xin trân trọng cảm ơn thầy phản biện, thành viên Xêmina thuộc tổ Giải tích trường ĐHKHTN đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho em để luận văn hoàn thiện Em xin trân trọng cảm ơn thầy cô khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐHKHTN, thầy Viện Toán học Việt Nam giáo sư nước tham gia giảng dạy trường Trong năm qua thầy cô tâm huyết truyền đạt kiến thức vô quý báu cho chúng em, giúp em có thêm nhiều kiến thức đặc biệt kiến thức chuyên ngành cần thiết để ứng dụng thực luận văn Cuối lời cảm ơn đến quan, gia đình, bạn bè tạo điều kiện cho tác giả học, động viên khích lệ giúp đỡ mặt để tác giả có thêm động lực học tập hoàn thiện luận văn Hà Nội, tháng năm 2011 Chương - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0 − NỬA NHÓM 1.1 C0 − nửa nhóm Cho X không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa nửa nhóm liên tục mạnh) Họ t toán tử ≥ không tuyến gian tính, bị Banach chặn { T (t), } X gọi C0 − nửa nhóm (nửa nhóm liên tục mạnh) (T1 T t ) ( +s ) =T ∀s ≥ t , t T ( ) s , ( ) (T2 T (I toán tử đồng ) nhất) ( ) = I ( limT t x ( ) T= T t x, ) t→t ∀x∈ t, t0 ≥ X, ( tử Định nghĩa 1.1.2 (Định nghĩa toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh) Toán A ( ) xác định Ax := T ' x, x := lim ρ Tập σ gọi tập ), A phổ ký ( ) toán tử hi ( = Ø \ ệu A A: D A ⊂ X → X , tử chặn X ), gọi tập giá trị quy A (tập giải toán T (h)− I ) ρ A ( ) ( ) h→0 h với miền xác định ' D A = D T := x∈ X ( ) ( ) ( ) T h − I ∃lim x , h→0 gọi toán tử sinh nửa nhóm h t≥0 } liên tục mạnh T (t), { Định nghĩa 1.1.3 (Định nghĩa tập giải, tập phổ, giải thức) A, toán tử đóng không X , tập ( gian Banach D A giá trị ( )) λ ∈Ø cho λ I − A song ánh (tức λ I − A ) −1 ( ) toán tử tuyến tính bị ( A Khi A ) ( λI−A ) −1 := R λ ( ) = R λ , với λ ∈ ρ ( A A ( gọi giải thức A ) Mệnh đề 1.1.1 Đối với toán tử sinh A nửa nhóm liên tục mạnh { t t ≥a c 0ó } , T (t), A: D toán tử tuyến tính; ( A ) t ⊂ X → X lim T ∀ ∈ X t s ∫ ( ) xds = x ; (1.1.1) Cho x D A , ( ) ∈ ta có T t x∈ D A ( ) ( ) dT t ( ) (1.1.4) n ế Cu với ∀t ≥ ; x = T (1.1.2) t Ax ( ) = AT t ) x T (t ) ( C ta x h c T s xds ∈ D A ; ( ) ( ) o ∈ ó ∫(1.1.3) X ∀ t ta t có ≥ , C h o ∀ t ≥ T nế x∈ X , su H iể ) n n hi x dên , 2.y d t o l iT A m ( to án tử tu yế n tí n h d o tí n h ch ất củ a gi ới hạ n x − h ∀ ∀ li s ∫T x t m u y = > ∈0 T r a XV ( ì (t , )x s = x t → + ) x d s , t ∀ ε ∃δ > >0 : 0< t ,< δ s uT < y r ( at ) x h x =→ − ( x ) 0+ h ε Theo định nghĩa > tồn phân hoạch tích phân, ∀ε [ 0,t ] s0 = < s1 < < sn = t cho t ≤ T s xds ∫− ( T ) α ∑ ( ) x⊗s [...]... toán tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh T (t), 0 , Mệnh đề 1.1.2 { } ta có t 1 T t T s =T s T t ( ) ( ) ) 2 với ( ) ( ∀t, s ≥ 0 ; T là toán tử bị chặn mũ, tức là: ∃K ≥1, ω ∈\, T t ≤ Keωt ; ( ∀t ≥ 0 : (1.1.7) ) 3 D( A) = X 4 Với ∀λ ∈Ø: Re λ > ω, ∃ λ I − A và A là toán tử đóng; ∞ ( λ RA λ x = e− tT t ( ( ) ∫ xdt, ) 0 ) −1 := R λ và ( ) x∈ X A (1.1.8) t≥0 Chứng minh 1 Do T (t), { là } C0 − nửa nhóm, ... mạnh µ− b A, D ( A có λ ∈ ρ là toán tử đóng xác định trù mật ( λ R λ, đồng thời ( ( A ) ( A với A, D D( A) = X và ∀λ ∈Ø ≤ 1 ) là toán tử đóng xác định trù mật ( )) Re λ 0 và ∀λ > 0 ta )) A , c D( A) = X ( ) > ta có λ ∈ ρ đồng thời ( A , ) R λ, A ( ) ≤ Re λ ( ) 1 1.2 Bài toán Cauchy Xét bài toán Cauchy u ' t = Au ( ) t , ( ) u 0 = x, ( ) t≥ 0, (CP) tro g D ng gi đó a ( A n là BA toá a ) n n tử a ⊆ tuy... ) R (λ ) = khi và chỉ khi dsdt ( )−λs −λ s− () ∫ −µt (λe − µT )st ∞ T s dsdt − e e 0 R λ −R µ ( ) ( ) T s T t = T s với ∀t, s ≥ 0 ( ) ( ) ( +t ) Định lý Hille-Yosida: (Đặc trưng của toán tử sinh của nửa nhóm co liên tục) Đối với toán tử A ( A, D ( trên không gian Banach X , các tính chất )) sau là tương đương a ( A A, D )) ( sinh ra nửa nhóm co liên tục mạnh µ− b A, D ( A có λ ∈ ρ là toán tử đóng xác... ( A) được gọi là } đ ề nghiệm của bài toán Cauchy (CP) nếu u t ( ) thỏa mãn phương trình với ∀t ≥ 0 và thỏ a mãn điều kiện ban đầu với t = 0 Định nghĩa 1.2.2 Bài toán Cauchy (CP) được gọi là đặt chỉnh đều n trên ế u E E ⊂ ( X, =X ) 1 Luôn ∀x∈ E ; tồn tại nghiệ m với > ∀t ∈ 0,Τ 0, , 3 Nghiệm ổn định đều đối với điều kiện ban đầu Giả sử ρK∀tồ h xn i ∈tại (đ và ó Ddu y An nh ế ất ( )u ng hi v... I − A −) e∫ t λ T t (xd )t ( )T là một ánh xạ từ X vào D, do vậy D ⊂ D A V= ậ y ( ) và A là toán tử sinh của t ≥ C0 − nửa nhóm T (t), 0 0 () { K k } D A =DT ( ) ! T 0 ( ) 0 ∞ ∞ = C0 − nửa (II⇒III) Giả sử A là toán tử sinh của AT λ nhóm T t≥ 0 từ (t), , { } (R e điều kiện − ) (1.1.7) và (1.1.8) 0 0 ∞ ∞ ' ω ta có = ∞ RA λ = ( ) x∫ dt ∫e−λtT ≤∫ t dt λt đón g, nên ta có thể thác triể n ≤K d ∫0 ( ) e... ta có K ≥1 ∈ Æ, 0 ≤τ ( h m\ k do vậy thỏa c ∈ ht á) ãn , mãn (T3) c h0 T i ≥ Vậy họ các d ặ, o n 0 0 toán tử T đ ề u ,( Τt x = T h ( ) x vớ i và do vậy (T2) (t), } n ửa là nhóm ta luôn có: Hơn nữa, v ớ ) với ∀x∈ i m ọ i x D A T ∀s T 0 xu (... T ' 0và T ( ) A ' ' 0 =A trên D ⊆ DD T A 0 ( () ) ( )( ) Để chứng minh D⊂ D ( A , ) xét giải thức ∞ RT '0 () (∫−λt λe T t ) ) ( dt, Re =λ > ω, 0 ta phải chứ ng min hR λ (= ) R ' λ (.A )Thật vậy, cho x∈ D T ( t a c ó : 0 ) 0 0 đẳng thức này trên toàn không gian ∞ X λ ( x) ( ( =) λ ( và toán tử R ' λ I − A −) e∫ t λ T t (xd )t ( )T là một ánh xạ từ X vào D, do vậy D ⊂ D A V= ậ y ( ) và A là toán tử... Với ∀x∈ D A và do A là ( ) toán tử đóng ta có ∫e− λt A T ( t ∞ 0 ∞ Thác triển liên tục trên toàn không gian X = D( ta được λ I −λ − t(e A T )t ( xdt )x x, = X∈ A) ∞ ∫(1.1.9) M ặ t 0 k h á c l ạ i c ó ∫ x∈ e tD ( (A ( ) − xdt = 0 Từ (1.1.9) và (1.1.10) suy ra sự tồn tại toán tử bị chặn trên X (1.1 10) ∞ R ( ∞ λ RA λ x = x ∈ X e : ∫T t xdt, ) ( 0) = ( ( ) λ ) và 0 ( )0 ( ) nT ( Cho là toán tử liên