Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)

Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán đẳng chu trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC VŨ HẢI HỒNG BÀI TỐN ĐẲNG CHU TRONG HÌNH HỌC PHẲNG CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP THÁI NGUYÊN NĂM 2016 i Mục lục Lời cảm ơn iv Mở đầu 1 Bài 1.1 1.2 1.3 3 toán đẳng chu Một số khái niệm Bài toán đẳng chu Chứng minh toán đẳng chu Một số tốn có nội dung đẳng chu 20 2.1 Bài toán đẳng chu đa giác 20 2.2 Bài toán Diana 39 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 ii Danh sách hình vẽ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Hình Lõm Đường AB chia đôi chu vi AmB = AnB, F1 ≥ F2 Đối xứng Bốn Bản Lề Chứng minh E Schmidt Đa giác Hai tam giác diện tích Thang Cân 7 13 16 18 18 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 Ba Trung tuyến Tứ giác nội tiếp Dựng đoạn thẳng Tứ giác nội tiếp Tứ giác biết đường chéo vng góc Tứ giác đẳng chu Tứ giác biết cạnh Thang cân có đáy nhỏ khác cạnh bên Thang cân có đáy nhỏ khác cạnh bên Tứ giác có cạnh kề Đa giác nội tiếp nửa đường tròn Góc đường gấp khúc Đa giác nội tiếp đường tròn sợi dây, Đoạn thẳng 21 24 26 27 28 29 32 34 34 35 35 36 37 40 iii 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 1 1 2 sợi dây, bờ biển thẳng sợi dây, góc, đầu dây cố định góc ,1 dây, đầu dây cố định góc ,1 dây, đầu dây tự đoạn thẳng sợi dây gậy,1 dây, bờ biển gậy,2 dây gậy, dây, bờ biển 41 41 42 43 44 45 46 47 iv Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn thầy TS Nguyễn Văn Minh Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người thầy, người dìu dắt tơi từ buổi hoàn thành luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn-Tin, thầy, tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Nhân xin có lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Tốn K8A (khóa 2014-2016) động viên giúp đỡ tơi nhiều q trình học tập, nghiên cứu Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè Đã động viên tinh thần giúp đỡ vật chất kể từ ôn thi đến ngày hôm Mở đầu Lý chọn đề tài Tốn học mơn khoa học có tuổi đời nhiều nghìn năm Từ thời cổ đại đến nay, Toán học để lại nhiều toán tiếng, chẳng hạn tốn Chia góc, tốn cầu phương đường tròn, Định lý lớn Fermat, toán màu Bài toán Đẳng chu tốn tiếng Bài tốn Đẳng chu biến đến từ kỷ IV trước cơng ngun, suốt 2000 năm tồn thu hút quan tâm nhiều người, nhiều nhà khoa học lao tâm khổ tứ tốn Mục đích- Nhiệm vụ đề tài Mục đích Luận văn nghiên cứu Bài tốn Đẳng chu hình học phẳng, sưu tầm cách chứng minh sưu tầm tập có nội dung đẳng chu Đối tượng phục vụ cho việc dạy học tốn phổ thơng, kiến thức lý thuyết tập tập trung chủ yếu sử dụng kiến thức tốn học chương trình tốn phổ thơng Luận văn cố gắng lựa chọn tốn sơ cấp, trường hợp Tuy nhiên việc chứng minh điều kiện đủ phải sử dụng tới phép tính tích phân Luận văn gồm chương, tương ứng với nhiệm vụ sau • Chương phần kiến thức chuẩn bị, khái niệm trình bày Các dạng phát biểu Bài toán Đẳng chu Chứng minh điều kiện cần điều kiện đủ thực chương • Chương sưu tầm tốn khó, tốn hay, tốn có nội dung thực tế Nhằm phục vụ cho việc dạy học hình học phẳng Phương pháp chứng minh chủ đạo toán phương pháp lề Steiner Có hai loại tập chương Bài toán đẳng chu đa giác Bài toán Diana Thái Nguyên, tháng năm 2016 Vũ Hải Hồng Học viên Cao học Tốn K8 Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Chương Bài toán đẳng chu 1.1 Một số khái niệm Trước hết cần nhắc lại số khái niệm cần cho luận văn Định nghĩa 1.1.1 Hình tròn tâm C , bán kính R tập hợp điểm M thuộc mặt phẳng có MC ≤ R Đường tròn tâm C , bán kính R tập hợp điểm M thuộc mặt phẳng có MC = R Hình hình học tập hợp điểm mặt phẳng, ký hiệu F Điểm M gọi điểm biên F , với hình tròn tâm M bán kính ǫ > đủ bé, chứa điểm thuộc F điểm không thuộc F Tập hợp tất điểm biên F ký hiệu ∂F Định nghĩa 1.1.2 Hình F gọi hình bị chặn, hình giới nội, tồn hình tròn chứa tồn hình F Trong luận văn ta xét hình F phần mặt phẳng giới hạn đường cong liên tục, khả vi khúc, đơn Thí dụ là: Hình tròn, hình đa giác, góc nhọn, góc vng, góc tù Định nghĩa 1.1.3 Hình F gọi lồi đoạn thẳng mà có hai đầu mút thuộc hình F tồn đoạn thẳng thuộc hình F Hình F gọi hình lõm tồn hai điểm A B thuộc hình F , đoạn thẳng AB khơng thuộc hình F Định nghĩa 1.1.4 Hình F gọi liên thông, cặp điểm thuộc hình F , tồn đường cong liên tục thuộc F nối hai điểm Định nghĩa 1.1.5 Hình F gọi đơn liên, đường biên liên thơng Ví dụ 1.1.1 Những hình hình học thường gặp i) Hình tròn, hình elip hình lồi, liên thơng, giới nội đơn liên ii) Hình tam giác, tứ giác lồi hình lồi, liên thơng, giới nội đơn liên iii) Các góc nhọn, góc vng, góc tù, nửa mặt phẳng hình lồi, liên thơng, khơng giới nội đơn liên iv) Hình vành khuyên hình giới hạn đường tròn đồng tâm hình lõm, liên thơng đa liên 1.2 Bài toán đẳng chu Các dạng phát biểu toán đẳng chu Bài toán đẳng chu biết đến từ lâu, phát biểu dạng sau đây: Cách phát biểu thứ nhất- Bài tốn A Trong tất hình có chu vi, hình có diện tích lớn hình tròn ngược lại Cách phát biểu thứ hai-Bài toán B Trong tất hình có diện tích, hình có chu vi nhỏ hình tròn ngược lại Cách phát biểu thứ ba Giả sử hình F có diện tích A, có chu vi L Khi có bất đẳng thức 4π.A ≤ L2 Dấu đẳng thức xảy F hình tròn Chứng minh tính tương đương hai toán Bài toán A suy Bài toán B Giả sử Bài toán A đúng, ta phải chứng minh Bài toán B Giả sử ngược lại, Bài toán B sai, nghĩa là: có hình tròn, diện tích S chu vi C , tồn hình khơng tròn, có diện tích S , chu vi C ′ C ′ ≤ C Nhưng theo Bài toán A, lại tồn hình tròn có chu vi C ′ với diện tích S ′ S < S ′ Tới đây, ta có hai hình tròn: hình có diện tích S , chu vi C ; hình tròn có diện tích S ′ chu vi C ′ với bất đẳng thức: S < S ′ , C ′ ≤ C , vô lý Điều có nghĩa Bài tốn B Bài toán B suy Bài toán A Ta dùng phương pháp chứng minh phản chứng, giả sử Bài toán A sai, nghĩa có hình tròn với diện tích S ′ chu vi C ′, tồn hình khơng tròn có chu vi C ′ , có diện tích S > S ′ Vì tốn B đúng, tồn hình tròn có diện tích S chu vi C , C ≤ C ′ Điều dẫn đến mâu thuẫn Chứng tỏ Bài toán A 1.3 Chứng minh toán đẳng chu Chứng minh điều kiện cần Trong mục ta phát biểu toán dạng mạnh Bài tốn A Giả thiết hình F đơn liên, có biên ∂F đường cong kín, liên tục, trơn 36 có khớp lề Ta trượt đỉnh An dọc theo đường thẳng góc A1 Aj An = π2 Bằng cách này, ta tồn đa giác có diện tích lớn Ta xét đến tất góc A1 Aj An , j = n − Góc khác vng, áp dụng phương pháp lề trên, nhận đa giác có diện tích lớn hơn, có độ dài cạnh A1 A2 = a1 , A2A3 = a2 , , An−1An = an−1 Bài toán 2.1.13 Cho góc xOy = π m, m ∈ N ∗ , m > n đoạn thẳng A1 A2 = a1 ; A2A3 = a2 ; ; An−1An = an Hãy dùng n đoạn thẳng với cạnh góc xOy giới hạn miền có diện tích lớn Giải Giả sử A1 ∈ Ox, An ∈ Oy Ta đưa toán toán đẳng x’ y’ A′2 A′1 A′n−1 An y An−1 A2 x” O Hình 2.12: Góc đường gấp khúc A′′1 A1 x chu phương pháp đối xứng qua trục nhiều lần sau: Lấy đối xứng toàn hình qua trục Oy , sau phép đối xứng này, đường gấp khúc A1 A2 An−1An biến thành A′n A′n−1 A′2A′1 , trục Ox biến thành Ox′ Ta lại lấy đối xứng đường gấp khúc A′n A′n−1 A′2A′1 qua trục Ox′ ảnh nhận qua phép đối xứng A′1 A′2 A′n−1A′n m − lần, góc xOy = π m ta có góc xOx(m) = π Bài tốn phát biểu 37 A2 O A′2 M’ M Aj A′j A1 A′j Hình 2.13: Đa giác nội tiếp đường tròn dạng tương đương sau: Cho đường thẳng d = x(m) Ox đường gấp khúc gồm m.n đoạn với độ dài đoạn biết Hãy dùng đường gấp khúc với đường thẳng d giới hạn miền có diện tích lớn Đây lại Bài toán 2.1.12 mà ta biết lời giải π Nhận xét 2.1.3 Bài toán 2.1.13 giả thiết xOy = m , m ∈ N ∗ , việc đưa thêm giả thiết nhằm mục đích sau áp dụng phép đối xứng trục (m − 1) lần, ta nhận góc xOx(m) = π , Bài tốn 2.1.13 đưa Bài toán 2.1.12 Bài toán 2.1.14 Đa giác n đỉnh biết độ dài tất cạnh A1 A2 = a1 , A2A3 = a2 , , An−1An = an−1, An A1 = an Nếu diện tích lớn nhất, phải đa giác nội tiếp Giải Cách thứ Để giải toán, trước hết ta chứng minh bổ đề sau đây: Bổ đề 2.1.3 Một đa giác có tính chất: bốn đỉnh liên tiếp đa giác tứ giác nội tiếp, đa giác đa giác nội tiếp 38 Chứng minh Xét đỉnh liên tiếp A1 , A2 , A3 , A4 , theo giả thiết tứ giác A1 A2 A3 A4 tứ giác nội tiếp đường tròn C Xét đỉnh A2 , A3 , A4 , A5 , tứ giác nội tiếp đường tròn C tứ giác có chung đỉnh Ta lại xét tứ giác A3 A4 A5 A6 , tứ giác tứ giác nội tiếp đường tròn C , có chung đỉnh A3 , A4 , A5 với đa giác trước Lặp lại lý luận, ta có kết luận bổ đề Bây ta chứng minh toán Giả sử ngược lại, đa giác khơng đa giác nội tiếp Khi đó, theo bổ đề 2.1.3 tồn đỉnh Ai, Aj , Ak , Al theo thứ tự khơng thuộc đường tròn Áp dụng phương pháp lề, ta coi đỉnh Ai , Aj , Ak , Al lề, nghĩa góc Ai, Aj , Ak , Al thay đổi độ lớn, đỉnh lại gắn cứng, viên phân với dây cung cạnh Ai Aj , Aj Ak , Ak Al , Al Ai rắn tuyệt đối Co dãn tứ giác Ai Aj Ak Al tứ giác trở thành tứ giác nội tiếp Như ta nhận đa giác có cạnh tương ứng với cạnh đa giác ban đầu, có diện tích lớn Điều trái với giả thiết diện tích đa giác đạt giá trị lớn Cách thứ hai (xem [2]) Giả sử có đa giác P = A1 A2 An P ′ = A′1 A′2 A′n có cạnh tương ứng A1A2 = A′1 A′2, A2A3 = A′2A′3 , , AnA1 = A′n A′1 Nhưng cặp góc tương ứng có cặp góc khơng nhau, tức tồn cặp góc Ak A′k cho Ak = A′k Đa giác P đa giác nội tiếp, đa giác P ′ khơng nội tiếp (xem hình 2.13) Nối đỉnh Aj với tâm O đường tròn ngoại tiếp kéo dài cho cắt đường tròn ngoại tiếp M , giả sử M thuộc cung A1 A2 Trên đa giác P ′ 39 ta dựng tam giác A′1 M ′ A′2 cho A′1M ′ A′2 = A1MA2 So sánh đa giác MA2 A3 Aj với đa giác M ′ A′2 A′3 A′j hai đa giác có cạnh tương ứng nhau, trừ cạnh Aj M cạnh A′j M ′ Suy ra: dt(MA2 A3 Aj ) > dt(M ′ A′2A′3 A′j ) Tương tự trên, ta có: dt(MAj AnA1 ) > dt(M ′ A′j A′nA′1 ) Cộng vế với vế hai bất đẳng thức dt(MA1 MA2 A3 Aj An−1An ) > dt(A′1M ′ A′2 A′3 A′j A′n−1A′n ) (2.10) Vì A′1 M ′ A′2 = A1 MA2 , vế đẳng thức chứa tam giác, trừ vế tam giác này, ta nhận dt(A1A2A3 Aj An−1An) > dt(A′1A′2 A′3 A′j A′n−1A′n ) (2.11) Bài toán 2.1.14 chứng minh 2.2 Bài tốn Diana Theo Thần Thoại Hy Lạp, Diana gái Thần Rượu nho, nàng vua cha ban cho sợi dây thừng da bò, nàng dùng sợi dây vây miếng đất ven biền Một vấn đề đặt phải vây để mành đất có diện tích lớn nhất? Trong chương ta giải Bài 40 Toán Diana tương tự Bài tốn 2.2.1 (1 sợi dây, đoạn thẳng)Cho sợi dây dài l đoạn thẳng AB = a Hãy dùng sợi dây đoạn thẳng giới hạn miền phẳng có diện tích lớn Giải Ta gọi miền phẳng giới hạn sợi dây đoạn thẳng AB F C D A B Hình 2.14: sợi dây, Đoạn thẳng Đương nhiên cần có l > a Giả sử hình dạng sợi dây xác định, ta lấy điểm C D thuộc sợi dây, đỉnh A, B, C, D coi lề (xem Hình 2.14) Coi viên phân có dây cung cạnh BC, CD ⌢ ⌢ ⌢ DA với cung BC, CD DA mảnh cứng tuyệt đối Khi hình F thay đổi hình dạng, viên phân khơng thay đổi hình dạng, dẫn đến chu vi luôn l + a Còn tứ giác ABCD thay đổi hình dạng, cạnh có độ dài khơng đổi Theo Bổ đề 2.1.2 tứ giác ABCD có diện tích lớn tứ giác nội tiếp Mà hai đỉnh C D chọn tùy ý sợi dây, từ ta nhận kết luận: Diện tích hình giới hạn sợi dây đoạn thẳng lớn sợi dây cung tròn Bài tốn 2.2.2 (1 sợi dây, bờ biển thẳng, dài vơ tận)Với sợi dây có độ dài l, chắn lấy mảnh đất ven biển có diện tích lớn tốt Giả thiết bờ biển thẳng dài vô tận Giải Giả sử sợi dây bờ biển thẳng giới hạn mảnh đất F có diện tích S , hai đầu A B sợi dây trượt bờ biển hình 41 F B A F’ Hình 2.15: sợi dây, bờ biển thẳng có chu vi diện tích thay đổi Lấy phép đối xứng qua trục AB , ta nhận hình đối xứng F ′ Ký hiệu G = F ∪ F ′ có diện tích gấp đơi, chu vi 2l khơng đổi Khi hai điểm A B trượt bờ biển, diện tích hình G thay đổi, chu vi hình G không đổi luôn 2l Theo Định lý 1.3.1, diện tích hình G lớn phải hình tròn, có nghĩa hình F phải nửa hình tròn Bài tốn 2.2.3 (1 sợi dây, góc cố định, đầu dây cố định) Cho góc xOy < π, tương ứng Ox Oy cho trước điểm M N Một sợi dây có độ dài l > MN , đầu dây buộc vào điểm M, đầu dây buộc vào điểm N Hãy tìm diện tích lớn hình F giới hạn góc xOy sợi dây Giải Hình F gồm tam giác OMN cho ba đỉnh viên phân giới hạn y M O l F N x Hình 2.16: sợi dây, góc, đầu dây cố định đoạn MN sợi dây l Theo Bài tốn 2.2.1 diện tích viên phân lớn sợi dây cung tròn với dây cung đoạn MN 42 Bài toán 2.2.4 (1 sợi dây, góc cố định, đầu dây cố định, đầu tự do) Cho góc xOy < π, Ox cho trước điểm M Một sợi dây có độ dài l, có đầu dây buộc vào điểm M, đầu dây trượt tự cạnh Oy Hãy tìm diện tích lớn hình F giới hạn góc xOy sợi dây Giải Ta đưa toán Bài toán 2.2.3 phương đối xứng trục x M O N I M’ y x’ Hình 2.17: góc ,1 dây, đầu dây cố định sau đây: Giả sử sợi dây MN giới hạn miền F có diện tích lớn S Ta lấy đối xứng tồn hình F qua trục Oy , cạnh Ox biến thành Ox′ ; điểm M biến thành M ′ Bài tốn thể phát biểu sau: Cho góc xOx′ , Ox cho trước điểm M, Ox′ cho trước điểm M ′ , OM = OM ′ Một sợi dây có độ dài 2l > MM ′ , có đầu buộc vào điểm M, đầu buộc vào điểm M ′ Tìm hình dạng sợi dây để diện tích hình phẳng giới hạn hai cạnh góc sợi dây lớn Đây Bài toán 2.2.3 mà ta giải Kết luận: Nghiệm tốn cung tròn tâm I (I thuộc đường thẳng chứa Oy ), qua diểm M, trực giao với Oy có độ dài l Bài tốn 2.2.5 (1 sợi dây, góc cố định, đầu dây tự do) Cho góc xOy sợi dây có độ dài l Hãy dùng sợi dây với hai cạnh góc, 43 giới hạn miền F có diện tích lớn Giải Miền F phải tìm hình quạt, có hai cạnh OM ON (M thuộc x M F y O N Hình 2.18: góc ,1 dây, đầu dây tự Ox, N thuộc Oy ), cung hình quạt F sợi dây (Hình 2.18) Coi viên phân gồm dây cung MN cung MN làm từ vật liệu cứng Khi M trượt Ox, N trượt Oy , diện tích viên phân khơng đổi, diện tích tam giác OMN thay đổi Vậy diện tích hình F phụ thuộc vào diện tích tam giác OMN Mà diện tích tam giác OMN lớn OM = ON Từ suy diện tích hình F lớn phải có OM = ON Phần lại tốn xác định tâm cung tròn Coi điểm M cho, theo Bài tốn 2.2.4 cung tròn phải trực giao với Oy Nếu lại coi điểm N cho, ta lại có khẳng định cung tròn trực giao với Ox Như cung MN phải đồng thời trực giao với Ox Oy , nói cách khác, tâm cung tròn điểm O Kết luận:cung tròn phải tìm có tâm đỉnh O góc, cắt hai cạnh góc M N cho độ dài cung MN = l Bài toán 2.2.6 ( gậy, 1sợi dây) Cho hai đoạn thẳng có độ dài a, b sợi dây dài l Hãy dùng sợi dây hai đoạn thẳng giới hạn miền có diện tích lớn Giải Bài toán khác Bài toán 2.2.3 chỗ: Bài tốn 2.2.3 có góc AOB cho trước, khơng đổi Trong góc AOB đại lượng biến thiên mà ta lựa chọn 44 D A B O Hình 2.19: đoạn thẳng sợi dây Giả sử ta có hình F tạo OA = a, OB = b, sợi dây l có đầu buộc vào A B , muốn cho tốn tồn tại, phải có điều kiện l > |a − b| Giả sử góc AOB = t biết Khi tam giác AOB hồn tồn xác ⌢ định Theo Bài tốn 2.2.1, diện tích hình quạt F lớn cung AB cung tròn Phần lại tốn là: "Góc AOB phải để diện tích hình quạt AOB có diện tích lớn nhất?" ⌢ Bây cung AB cung tròn Lấy điểm D tùy ý cung ⌢ AB Nối DA, DB Lại gắn bốn lề bốn đỉnh A, O, B, D, coi hình viên phân có dây cung AD DB cứng tuyệt đối Khi hình F thay đổi hình dạng, hai viên phân khơng thay đổi hình dạng, tứ giác AOBD có bốn cạnh khơng đổi, diện tích tứ giác AOBD lớn tứ giác nội tiếp Nói cách khác đường tròn phải qua đỉnh O Kết luận:Hình giới hạn hai đoạn thẳng sợi dây có diện tích lớn sợi dây cung tròn đường tròn qua ba điểm A, O, B Bài toán 2.2.7 Cho đoạn thẳng có độ dài a, sợi dây dài l bờ biển Hãy dùng sợi dây đoạn thẳng giới hạn miền ven biển có diện tích lớn 45 Giải Ta đưa toán Bài toán 2.2.6 phép đối xứng qua bờ M O x M’ Hình 2.20: gậy,1 dây, bờ biển biển Sau phép đối xứng này, OM biến thành OM ′ Bài toán trở thành: Cho hai đoạn OM = OM ′ = a sợi dây dài 2l Hãy giới hạn miền có diện tích lớn Theo tốn 2.2.6, lời giải toán miền giới hạn cung ⌢ MM ′ , đường tròn chứa cung qua điểm O Bài toán 2.2.8 (2 gậy, dây)Cho hai đoạn thẳng AB , CD hai sợi dây dài l1 , l2 Một sợi dây nối vào đầu B C , sợi dây nối vào A D Tìm diện tích lớn hình F giới hạn hai đoạn thẳng hai sợi dây Giải Nếu vị trí AB CD xác định, hai sợi dây phải có dạng cung tròn với bán kính R1 , R2 Ta lại coi bốn đỉnh A, B, C, D bốn lề Coi hai viên phân có dây cung AD BC miếng cứng Với giả thiết vậy, hình F biến dạng, chu vi F khơng thay đổi, hai viên phân khơng đổi diện tích, tứ giác ABCD có bốn cạnh khơng đổi Theo Bổ đề 2.1.2 diện tích lớn tứ giác nội tiếp Vấn đề lại bán kính R1 , R2 phải cho diện tích hình F lớn nhất? Ta lại coi tam giác ACB cứng tuyệt đối, viên phân F2 sợi dây l2 tạo thành cứng tuyệt đối Hình F có diện tích phụ 46 A D O B C Hình 2.21: gậy,2 dây ⌢ thuộc vào hình quạt giới hạn hai cạnh AB, AC cung BC Bài toán ⌢ đưa Bài toán 2.2.6, là: Đường tròn có cung BC phải qua ⌢ đỉnh A Tương tự vậy, ta có kết luận đường tròn có cung BC đồng thời qua đỉnh D Vì vai trò hai sợi dây nhau, ta có kết luận: Diện tích hình phẳng giới hạn hai sợi dây hai đoạn thẳng lớn hai sợi dây hai cung tròn thuộc đường tròn, đường tròn qua bốn điểm A, B, C, D Bài toán 2.2.9 (2 gậy, dây, bờ biển) Cho hai gậy có độ dài a b, sợi dây dài l bờ biển Hãy dùng hai gậy sợi dây giới hạn mảnh vườn có diện tích lớn trường hợp sau: Trường hợp Hai đầu sợi dây buộc tương ứng hai đầu gậy, hai gậy vng góc với bờ biển Trường hợp Hai đầu sợi dây buộc tương ứng hai đầu gậy, hai gậy không thiết vng góc với bờ biển Trường hợp Hai đầu gậy gắn lề với nhau, đầu gậy buộc vào sợi dây Giải Trường hợp Giả sử gậy thứ AA′ = a, có đầu A′ buộc vào dây; gậy thứ hai BB ′ = b, có đầu A′ buộc vào dây; bờ biển xx′ 47 B’ A’ B’ A’ F x A O B x’ B A B F’ B’ A” B” A Hình 2.22: gậy, dây, bờ biển C Ký hiệu hình phải tìm F Ta đưa toán toán cách lấy đối xứng qua trục xx′ (xem Hình 2.22), sau phép đối xứng này: điểm A′ biến thành A′′, điểm B ′ biến thành B ′′ , ký hiệu hình đối xứng với F qua trục xx′ F ′ , ta nhận tốn có hai gậy A′ A′′ B ′ B ′′ với hai dây l l′ Bài toán xét toán 2.2 Theo Bài toán 2.2 hình tứ giác A′A′′ B ′′ B ′ phải nội tiếp hình tròn, hai dây l l′ phải hai cung đường tròn này, hình F ∪ F ′ có trục đối xứng xx′, từ suy tâm đường tròn thuộc xx′ Trường hợp Ở điều kiện AA′ BB ′ vng góc với xx′ khơng Để diện tích hình F lớn phải có góc AA′B = π2 , AB ′ B = π2 dây l cung tròn nhận AB đường kính Trường hợp Giả sử AA′ khớp lề với BB ′ B, B ′ nối với sợi dây Các góc ABC = AB ′C = π2 , dây l cung tròn có đường kính AC Bài toán Diana tổng quát Từ Bài toán Diana nguyên gốc đến Bài toán Diana suy rộng, phần giả thiết ln có số đoạn thẳng (gọi gậy) số đoạn dây mềm Dùng sợi dây nối gậy, đường khép kín Phần kết luận đường khép kín nói phải có hình dạng để giới hạn miền phẳng có diện tích lớn Từ nhận xét trên, ta xét Bài toán Diana tổng quát, với vài quy ước sau: 48 • Hai sợi dây mềm nối với ta sợi dây mềm Do đường khép kín khơng có hai dây nối với Hay là, sợi dây nối đầu vào gậy này, đầu nối vào gậy khác • Hai gậy khớp lề với nhau, ta quy ước hai gậy buộc vào hai đầu sợi dây có độ dài khơng Từ quy ước đó, ta có Bài tốn Diana mở rộng sau đây: Cho n đoạn thẳng n đoạn dây mềm với độ dài biết Hãy nối sợi dây vào đoạn thẳng cho đường khép kín nhận giới hạn miền phẳng có diện tích lớn Lời giải toán là, tất đầu mút đoạn thẳng thuộc đường tròn Các dây mềm cung đường tròn 49 Kết luận Luận văn thực nhiệm vụ đặt ra, Phát biểu Bài tốn Đẳng chu dạng khác chứng minh dạng tương đương tính giải Trình bày chứng minh Steiner điều kiện cần trình bày chứng minh điều kiện đủ lời giải Bài toán Đẳng chu Sưu tầm số toán có nội dung đẳng chu Các tốn có lời giải, có có nhiều cách giải khác Vẫn số vấn đề lý thú mà luận văn chưa thể đề cập tới, chẳng hạn như: Mối liên hệ Bài toán Đẳng chu Bài tốn Cực trị có điều kiện Liên hệ Bài tốn Đẳng chu Bài tốn Tối ưu có ngân sách hạn chế kinh tế học Luận văn đề cập tới Bài toán mặt phẳng; bên cạnh Bài tốn Đẳng chu khơng gian Tất vấn đề nêu vấn đề lý thú hữu ích Chúng tơi mong có dịp đến với đề tài 50 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Hữu Điển (2001), Phương pháp giải toán cực trị hình học, NXB Khoa Học Kỹ Thuật, Hà Nội [2] G Polia (1970), Toán học suy luận có lý, Tập 2, NXB Giáo dục, (dịch từ tiếng Anh, người dịch Hoàng Chúng) Tiếng Anh [3] H Andreas (2013), The Isoperimetric Inequality, Handout www.math.uni-tuebingen.de/ab/ /IsoperimetricInequality.pdf [4] T Andrejs (2002), Inequalities that Imply the Isoperimetric Inequality www.math.utah.edu/ treiberg/isoperim/isop.pdf [5] W Blaschke (1967), Kreig und kugel, Velt & Comp, Berlin [6] O Dunkel (1957), Memorial Problem Book, New York ... 1 Bài 1.1 1.2 1.3 3 toán đẳng chu Một số khái niệm Bài toán đẳng chu Chứng minh toán đẳng chu Một số tốn có nội dung đẳng chu 20 2.1 Bài. .. đương hai toán Bài toán A suy Bài toán B Giả sử Bài toán A đúng, ta phải chứng minh Bài toán B Giả sử ngược lại, Bài toán B sai, nghĩa là: có hình tròn, diện tích S chu vi C , tồn hình khơng... học Toán K8 Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Chương Bài toán đẳng chu 1.1 Một số khái niệm Trước hết cần nhắc lại số khái niệm cần cho luận văn