Tọa độ tỷ cự và một số ứng dụng hình học phẳng (LV thạc sĩ)Tọa độ tỷ cự và một số ứng dụng hình học phẳng (LV thạc sĩ)Tọa độ tỷ cự và một số ứng dụng hình học phẳng (LV thạc sĩ)Tọa độ tỷ cự và một số ứng dụng hình học phẳng (LV thạc sĩ)Tọa độ tỷ cự và một số ứng dụng hình học phẳng (LV thạc sĩ)Tọa độ tỷ cự và một số ứng dụng hình học phẳng (LV thạc sĩ)Tọa độ tỷ cự và một số ứng dụng hình học phẳng (LV thạc sĩ)Tọa độ tỷ cự và một số ứng dụng hình học phẳng (LV thạc sĩ)Tọa độ tỷ cự và một số ứng dụng hình học phẳng (LV thạc sĩ)Tọa độ tỷ cự và một số ứng dụng hình học phẳng (LV thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ TRANG TỌA ĐỘ TỶ CỰ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG HÌNH HỌC PHẲNG THÁI NGUYÊN, 10/2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ TRANG TỌA ĐỘ TỶ CỰ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG HÌNH HỌC PHẲNG CHUN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS NGUYỄN VĂN NGỌC THÁI NGUYÊN, 10/2017 i Mục lục Danh sách hình vẽ ii Mở đầu Chương Các khái niệm 1.1 Khái niệm tâm tỷ cự 1.1.1 Tọa độ tâm tỷ cự hệ hai điểm 1.1.2 Tọa độ tâm tỷ cự hệ ba điểm 1.1.3 Tọa độ tâm tỷ cự hệ nhiều điểm 1.2 Ví dụ tâm tỷ cự 3 Chương Một số ứng dụng tọa độ tỷ cự hình học phẳng 2.1 Chứng minh hệ thức hình học 2.2 Cực trị độ dài vectơ 2.3 Cực trị độ dài bình phương vơ hướng 2.4 Phương tích 2.4.1 Khái niệm 2.4.2 Một số tập vận dụng 2.5 Bất đẳng thức Klamkin tọa độ tỷ tâm tỷ cự 2.5.1 Bất đẳng thức Klamkin 2.5.2 Các hệ bất đẳng thức Klamkin 2.6 Bất đẳng thức Klamkin mở rộng 2.6.1 Khái niệm 2.6.2 Kết 2.6.3 Một vài ứng dụng 14 14 25 30 34 34 35 49 49 49 51 51 52 52 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 ii Danh sách hình vẽ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 I tâm tỷ cự AB với số (x, y) (x , y ) Điểm I nằm tam giác ABC O(sin 2A, sin 2B, sin 2C) tâm tỷ cự ABC 12 13 2.1 2.2 2.3 2.4 Điểm M cần tìm thỏa mãn AP M Q hình bình hành Điểm M cần tìm trung trực GI I đỉnh thứ tư hình bình hành ABEI AB Quỹ tích điểm M đường tròn tâm I bán kính 15 16 17 19 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 Quỹ tích M đường trung trực đoạn thẳng GF Quỹ tích điểm M đường trung trục P Q I(1, 3, −2) tâm tỷ cự ABC , D(3, −2) tâm tỷ cự BC BCEI hình bình hành A, I, D thẳng hàng Quỹ tích điểm M đường tròn tâm I bán kính AJ Phương tích P với (O; R) PP/(O) = OP − R2 Phương tích P với (O) PP/(O) = P T Đường tròn chín điểm Euler (E) ABC 19 20 21 21 22 23 34 35 47 I tâm tỷ cự ABC ứng với số (a, b, c) H tâm tỷ cự ABC ứng với số (tan A, tan B, tan C) Mở đầu Các tốn hình học nói chung hình học phẳng nói riêng chun mục khó lĩnh vực tốn phổ thơng, lại có sức hấp dẫn kì lạ, tốn khơng trực giác hình học mà đòi hỏi nhiều tư sáng tạo Tọa độ tỷ cự hình học phẳng đề tài lý thú, hấp dẫn nhiều chuyên gia tốn học, thầy dạy tốn trường cấp trung học phổ thơng học sinh u tốn Tọa độ tâm tỷ cự thể tọa độ điểm xác định nhờ hình sở thơng qua đại lượng vectơ Nó cầu nối, thể mối quan hệ mật thiết hình học đại số Nhờ có cơng thức, kết xây dựng từ trước mà tính tốn biến đổi hình học thơng thường mơ hình hóa thành lớp đại lượng quan hệ ràng buộc mang chất hình học chúng Ngồi số dạng tốn nêu tìm tọa độ tâm tỷ cự thỏa mãn số cho trước điều kiện đó, tập tâm tỷ cự liên quan đến nhiều dạng tốn hình học dựa vào tâm tỷ cự chứng minh hệ thức vectơ hình học, tìm cực trị độ dài vectơ, cực trị độ dài bình phương vơ hướng, tính phương tích với đường tròn Bài tốn ứng dụng tâm tỷ cự xuất nhiều toán khó đề thi học sinh giỏi, đề thi Olympic Các tài liệu tọa độ tâm tỷ cự xuất nhiều tài liệu tổng hợp từ chuyên gia quốc tế, Z Abel [5], M Schindler and E Chan [7], V, Prasolov [6] Ở nước, tạp trí Tốn học Tuổi trẻ dành số để đăng vấn đề toán học liên quan tâm tỷ cự hình học phẳng [1] Qua đó, thấy thú vị quan trọng chủ đề toán học giáo viên dạy phổ thông học sinh phổ thơng u thích hình học Tìm hiểu học tập tâm tỷ cự cần thiết cho việc nâng cao kiến thức giáo viên công việc giảng dạy bồi dưỡng cho học sinh trường THPT Với mong muốn cung cấp thêm tài liệu tổng hợp kiến thức tâm tỷ cự, giúp cung cấp thêm phương pháp hay bổ ích để rèn luyện hình học phẳng, chúng tơi chọn chủ đề “Tọa độ tỷ cự số ứng dụng hình học phẳng” để làm đề tài luận văn cao học Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương: Chương Các khái niệm Trong chương này, chúng tơi trình bày mệnh đề tồn nhất, khái niệm, ví dụ tọa độ tâm tỷ cự hệ hai điểm, hệ ba điểm, hệ nhiều điểm Sau chúng tơi trình bày số ví dụ chi tiết tìm tâm tỷ cự hệ điểm toán liên quan tâm tỷ cự để hiểu rõ vận dụng khái niệm tâm tỷ cự cho vấn đề Chương Chương Một số ứng dụng tọa độ tỷ cự hình học phẳng Chương trình bày nhiều tốn ứng dụng tọa độ tỷ cự hình học phẳng hình khơng gian bao gồm tốn tìm tọa độ tâm tỷ cự thỏa mãn số cho trước điều kiện đó, dựa vào tâm tỷ cự chứng minh hệ thức vectơ hình học, tìm cực trị độ dài vectơ, tính phương tích với đường tròn, cuối số toán liên quan bất đẳng thức Klamkin Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Lời tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Văn Ngọc Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn tồn thể thầy Khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian theo học, thực hoàn thành luận văn Cảm ơn giúp đỡ bạn bè, người thân đồng nghiệp thời gian làm luận văn Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017 Người viết luận văn Nguyễn Thị Trang Chương Các khái niệm Trong chương này, trình bày mệnh đề tồn nhất, khái niệm, ví dụ tọa độ tâm tỷ cự hệ hai điểm, hệ ba điểm, hệ nhiều điểm Sau chúng tơi trình bày nhiều ví dụ chi tiết tìm tâm tỷ cự hệ điểm toán liên quan tâm tỷ cự Nội dung Chương tham khảo từ tài liệu [1, 2, 3] 1.1 1.1.1 Khái niệm tâm tỷ cự Tọa độ tâm tỷ cự hệ hai điểm Mệnh đề 1.1.1 ([3]) Cho hai điểm A, B hai số thực x, y không đồng thời Khi đó, tồn điểm I cho − → −→ → − xIA + y IB = − → −→ − → (1.1) −→ Chứng minh Vì xIA + y IB = (x + y)IA + y AB, nên: − → −→ −→ → − Nếu x + y = xIA + y IB = y AB = y = −x = Vậy không tồn − → −→ → − I cho xIA + y IB = Nếu x + y = − → −→ → − → −y −→ −y −→ − → − xIA + y IB = ⇔ IA = IB = (AB + IA) x x Khi đó, ta có − → −y −→ y − → − → −y −→ AB − IA hay IA = AB IA = x x x+y (1.2) Vế phải (1.2) vectơ hoàn toàn xác định, nên từ (1.2) suy tồn điểm I thỏa mãn (1.1) Mệnh đề chứng minh Định nghĩa 1.1.2 ([3]) Các số x, y (x + y = 0) gọi tọa độ tỷ cự điểm I viết I(x, y) hệ hai điểm A, B (đối với đoạn thẳng AB ), có hệ thức (1.1) − → −→ → − − → Nhận xét 1.1.3 Khi x = y = hệ thức xIA + y IB = trở thành IA+ −→ → − IB = hay I trung điểm đoạn thẳng AB Khi x = y = hệ − → −→ → − → → − − thức xIA + y IB = trở thành xIA = ⇔ I ≡ A Nhận xét 1.1.4 Nếu I(x, y) tâm tỷ cự đoạn thẳng AB với điểm M , ta có −−→ −−→ −−→ xM A + y M B = (x + y)M I (1.3) Thật vậy, − → −→ → −−→ −−→ −−→ −−→ − → − xIA + y IB = ⇔ x(IM + M A) + y(IM + M B) = Từ dễ dàng suy hệ thức (1.3) Nhận xét 1.1.5 Khái niệm tâm tỷ cự I(x, y) coi mở rộng khái niệm trung điểm đoạn thẳng AB I(1, 1) trung điểm đoạn thẳng AB Trong trường hợp công thức (1.3) trở thành −−→ −−→ −−→ M A + M B = 2M I (1.4) cơng thức trung điểm quen thuộc hình học Mệnh đề 1.1.6 ([3]) Giả sử (x, y) (x , y ) tọa độ tỷ cự điểm I đoạn thẳng AB Khi đó, x y = x y B A I Hình 1.1: I tâm tỷ cự AB với số (x, y) (x , y ) Chứng minh Ta có − → −→ → − xIA + y IB = − → −→ − → → − ⇔ −xAI + y(AB − AI) = − → y −→ AB ⇔ AI = x+y − → −→ → − Như I xác định theo x, y Giả sử x IA + y IB = Tương tự, ta − → có AI = y −→ AB Từ suy ra, x +y y x+y = y x +y Từ x y + yy = xy + yy hay x y = x y 1.1.2 Tọa độ tâm tỷ cự hệ ba điểm Mệnh đề 1.1.7 ([3]) Cho ba điểm A, B, C ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Khi đó, tồn điểm I = I(x, y, z) cho − → −→ −→ → − xIA + y IB + z IC = (1.5) Chứng minh Thật vậy, − → −→ −→ → − → −→ − → −→ − → − → − xIA + y IB + z IC = ⇔ xIA + y(AB + IA) + z(AC + IA) = Suy ra, − → IA = − −→ −→ z y AB − AC x+y+z x+y+z (1.6) Vế phải (1.6) vectơ hoàn toàn xác định, nên từ (1.6) suy tồn điểm I = I(x, y, z) thỏa mãn (1.6), tức thỏa mãn yêu cầu mệnh đề Định nghĩa 1.1.8 ([3]) Các số x, y, z (x + y + z = 0) gọi tọa độ tỷ cự điểm I viết I(x, y, z) hệ ba điểm A, B, C (đối với tam giác ABC A, B, C không thẳng hàng), có hệ thức (1.5) Nhận xét 1.1.9 Nếu I(x, y, z) tâm tỷ cự hệ điểm A, B, C với điểm M , ta có −−→ −−→ −−→ −−→ xM A + y M B + z M C = (x + y + z)M I (1.7) Thật vậy, − → −→ −→ → −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ − → − xIA + y IB + z IC = ⇔ x(IM + M A) + y(IM + M B) + z(IM + M C) = Từ dễ dàng suy hệ thức (1.8) Nhận xét 1.1.10 Khái niệm tâm tỷ cự I(x, y, z) coi mở rộng khái niệm trọng tâm tam giác ABC I(1, 1, 1) trọng tâm G tam giác ABC Trong trường hợp công thức (1.4) trở thành −−→ −−→ −−→ −−→ M A + M B + M C = 3M G (1.8) công thức trọng tâm quen thuộc tam giác Mệnh đề 1.1.11 ([3]) Giả sử (x, y, z) (x , y , z ) tọa độ tỷ cự điểm I hệ ba điểm A, B, C Khi đó, y z x = = x y z Chứng minh mệnh đề tiến hành tương tự chứng minh Mệnh đề 1.1.6 dựa hệ thức (1.6) 1.1.3 Tọa độ tâm tỷ cự hệ nhiều điểm Mệnh đề 1.1.12 ([3]) Cho n điểm A1 , A2 , , An n số thực k1 , k2 , , kn thỏa mãn điều kiện k1 + k2 + + kn = Khi đó, tồn điểm I(k1 , k2 , , kn ), cho −−→ −−→ −−→ → − k1 IA1 + k2 IA2 + + kn IAn = (1.9) Chứng minh Thật vậy, −−→ −−→ −−→ → − k1 IA1 + k2 IA2 + + kn IAn = −−→ −−→ −−−→ −−→ −−−→ → − ⇔ k1 IA1 + k2 (IA1 + A1 A2 ) + + kn (IA1 + A1 An ) = Từ suy −−→ IA1 = − n i=2 −−−→ ki A1 Ai k1 + k2 + + kn Hệ thức cho thấy điểm I xác định cách (1.10) ... Chương Chương Một số ứng dụng tọa độ tỷ cự hình học phẳng Chương trình bày nhiều tốn ứng dụng tọa độ tỷ cự hình học phẳng hình khơng gian bao gồm tốn tìm tọa độ tâm tỷ cự thỏa mãn số cho trước... 1.1.2 Tọa độ tâm tỷ cự hệ ba điểm 1.1.3 Tọa độ tâm tỷ cự hệ nhiều điểm 1.2 Ví dụ tâm tỷ cự 3 Chương Một số ứng dụng tọa độ tỷ cự hình học phẳng 2.1 Chứng minh hệ thức hình. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ TRANG TỌA ĐỘ TỶ CỰ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG HÌNH HỌC PHẲNG CHUN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC