Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh trung học cơ sở thông qua các bài toán chứng minh trong hình học phẳng

Như vậy, năng lực toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân trước hết làcác đặc điểm hoạt động trí tuệ đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giải toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức,

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài khóa luận

Hiến pháp nước Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam năm 1992 đãghi ở điều 35: "Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu" Báo cáo chính trịcủa Ban chấp hành Trung ương khoá VII tại Đại hội Đại biểu Toàn quốc lầnthứ VIII của Đảng lại khẳng định "Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầunhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài"

Trong cách mạng khoa học và kỹ thuật, toán học giữ một vị trí nổi bật.Đây là môn HS tư duy toán học cùng những phẩm chất của con người laođộng mới để các em vững vàng trở thành những chủ nhân tương lai củađất nước

Ở trường phổ thông, dạy học Toán là dạy hoạt động toán học

Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả vàkhông thể thay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tưduy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào cuộc sống Dạy họcgiải toán mang trong mình các chức năng: giáo dưỡng, giáo dục, phát triển vàkiểm tra Vì vậy hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đíchdạy học toán Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải toán có vai tròquan trọng đối với chất lượng dạy học toán

Trong chương trình toán phổ thông, hình học là một mảng kiến thứclớn và quan trọng Ngay từ tiểu học, HS đã làm quen với hình học dưới hìnhthức đơn giản Các khái niệm về điểm, đường thẳng, mặt phẳng đã được địnhnghĩa tường minh trong chương trình Toán ở THCS

Nhưng có một thực tế là trong các kì thi như khảo sát chất lượng, thicuối học kì, thi chọn HS giỏi thì nếu chỉ dừng lại ở việc học thuộc và làm cácbài tập ở SGK và SBT thôi thì vẫn có những câu, những ý không làm được

Sở dĩ như vậy là vì trong các kì thi đó, các đề toán luôn đòi hỏi sự vận dụng

linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, sự uyển chuyển trong các phươngpháp giải, sự kết hợp giữa các bài toán tương tự.

Thực tế cho thấy có nhiều em học thuộc lòng lí thuyết (định nghĩa, định

lý, tính chất, quy tắc) nhưng vẫn không giải được bài tập, đặc biệt là phầnchứng minh trong hình học các em thường không tìm được hướng giải quyết

Trong toán học bao gồm nhiều nội dung, dạng toán khác nhau Các dạngtoán có thể không liên quan, ít liên quan, cũng có thể liên quan mật thiết vớinhau Song HS rất khó nhận ra điều này Đặc biệt là các bài toán hình học

Để góp phần giải quyết vấn đề này, tôi chọn đề tài: Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh trung học cơ sở thông qua các bài toán chứng minh trong hình học phẳng.

2 Mục tiêu khóa luận

Nghiên cứu việc rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THCS thôngqua các bài toán chứng minh trong hình học phẳng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Làm rõ cơ sở lý luận và thực tiễn về rèn luyện năng lực giải toánphổ thông

Đề xuất một số biện pháp để rèn luyện năng lực giải toán cho họcsinh THCS

Thử nghiệm tính khả thi của việc rèn luyện năng lực giải toán cho họcsinh THCS

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận

Phương pháp điều tra

Phương pháp thử nghiệm sư phạm

5 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng: Quá trình dạy học các bài toán chứng minh hình học chohọc sinh THCS

Phạm vi: Chương trình hình học phẳng ở THCS

6 Ý nghĩa khóa luận

- Góp phần làm rõ cơ sở lý luận của năng lực, năng lực toán học, năng lực giảitoán và thực trạng của việc rèn luyện năng lực giải toán của học sinh THCS

- Đưa ra một số định hướng để rèn luyện năng lực giải toán cho họcsinh THCS

- Đề xuất một số biện pháp để rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THCS

7 Bố cục khóa luận

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, khóa luận gồm

3 chương

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện năng lực giải toán cho học sinhtrung học sơ sở

Chương 3: Thử nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Cơ sở lý luận

1.1.1 Năng lực

1.1.1.1 Khái niệm năng lực

Theo nhà tâm lý học người Nga nổi tiếng V.A.Kơ-ru-tec-xki thì năng lực

được hiểu như là: “một phức hợp của đặc điểm tâm lí cá nhân của con người,đáp ứng được yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cầnthiết để hoàn thành tốt hoạt động đó” [18, tr.15]

Thông thường, một người được coi là có năng lực nếu người đó nắmvững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kếtquả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cũngtiến hành hoạt động đó trong những điều kiện hoàn cảnh tương đương

Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhấtđịnh của con người Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt độnggiải quyết những yêu cầu đặt ra

1.1.1.3 Phân loại năng lực

Năng lực có thể chia thành hai loại: năng lực chung và năng lực chuyênbiệt Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều lĩnh vực hoạt động khác

nhau, chẳng hạn những thuộc tính về thể lực, về trí tuệ (quan sát, trí nhớ, tưduy, tưởng tượng, ngôn ngữ,…) là những điều kiện cần thiết để giúp chonhiều lĩnh vực hoạt động có kết quả.

Năng lực riêng biệt (năng lực chuyên biệt, chuyên môn) là sự thể hiệnđộc đáo các phẩm chất riêng biệt, có tính chuyên môn, nhằm đáp ứng yêu cầucủa một lĩnh vực hoạt động chuyên biệt với kết quả cao, chẳng hạn: năng lựctoán học, năng lực thơ văn, năng lực thể dục, thể thao,…

Hai loại năng lực chung và riêng luôn bổ sung, hỗ trợ nhau

1.1.2 Năng lực toán học

Theo V.A.Kơ-ru-tec-xki thì khái niệm năng lực toán học sẽ được giải

thích trên hai bình diện:

- Như là các năng lực sáng tạo (khoa học) - các năng lực hoạt độngtoán học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới, khách quan và quý giá

- Như là các năng lực học tập giáo trình toán phổ thông, lĩnh hội nhanhchúng và có kết quả cao các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng

Như vậy, năng lực toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết làcác đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giải toán

và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán họctương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như nhau [18]

1.1.3 Năng lực giải toán

1.1.3.1 Khái niệm năng lực giải toán

Năng lực giải toán là một thể hiện của năng lực toán học, nó là đặcđiểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giảitoán và là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt hoạt động giải toán đó

Từ góc độ phát hiện và giải quyết vấn đề, ta có thể hiểu năng lực giảitoán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giải quyết một vấn đề cótính hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duy tích cực và sáng tạo,nhằm đạt được kết quả sau một số bước thực hiện [20]

Như vậy, một người được coi là có năng lực giải toán nếu người đónắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của hoạt động giải toán và đạt được kếtquả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cũngtiến hành hoạt động giải toán trong những điều kiện hoàn cảnh tương đương.

1.1.3.2 Một số đặc điểm và cấu trúc của năng lực giải toán

Từ các khái niệm về năng lực, năng lực toán học, năng lực giải toán

chúng ta có thể rút ra một số đặc điểm và cấu trúc của năng lực giải toánnhư sau:

 Khả năng lĩnh hội nhanh chóng quy trình giải một bài toán và cácyêu cầu của một lời giải, biết trình bày rõ ràng, đẹp đẽ

 Sự phát triển mạnh của tư duy lôgic, tư duy sáng tạo thể hiện ở khảnăng lập luận chính xác, về quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán

 Có năng lực phân tích, tổng hợp trong lĩnh vực thao tác với các kíhiệu, ngôn ngữ toán học, khả năng chuyển đổi điều kiện của bài toán sangngôn ngữ, kí hiệu, quan hệ, phép toán giữa các đại lượng đã biết, chưa biết vàngược lại

 Có tính độc lập và độc đáo cao trong khi giải toán và sự phát triểncủa năng lực giải quyết vấn đề

 Có tính tích cực, kiên trì về mặt ý chí và khả năng huy động nhiềukiến thức cùng lúc vào việc giải bài tập, từ đó lựa chọn được lời giải tối ưu

 Có khả năng kiểm tra các kết quả đã đạt được và hình thành đượcmột số kiến thức mới thông qua hoạt động giải toán, tránh được những nhầmlẫn trong quá trình giải toán

 Có khả năng nêu ra được một số bài tập tương tự cùng cách giải (cóthể là định hướng giải, hoặc quy trình có tính thuật giải, hoặc thuật toán đểgiải bài toán đó)

 Có khả năng khái quát hoá từ bài toán cụ thể đến bài toán tổng quát,

từ bài toán có yếu tố tổng quát đến bài toán có nhiều yếu tố tổng quát

1.1.3.3 Một số biểu hiện của học sinh THCS có năng lực giải toán

Năng lực giải toán của HS THCS được biểu hiện ở những khả năng sau:

 Vận dụng thành thục những kiến thức, kĩ năng đã biết vào hoàn cảnh mới.

Khả năng này thường được biểu hiện nhiều nhất trong quá trình dạyhọc, GV cần quan tâm phát hiện và bồi dưỡng khả năng này Việc vận dụngtrực tiếp các kiến thức đã có trong một bài toán tương tự hoặc đã biết là khảnăng mà tất cả HS đều phải cố gắng đạt được trong học toán Biểu hiện nănglực giải toán của HS ở khả năng này được thể hiện là: với nội dung kiến thức

và kĩ năng đã được học, HS biết biến đổi những bài toán trong một tìnhhuống cụ thể hoàn toàn mới nào đó về những cái quen thuộc, những cái đãbiết để áp dụng vào giải một cách dễ dàng, từ đó HS thể hiện được năng lựcgiải toán của bản thân khi giải những bài toán đó

Ví dụ 1.1 Cho ABC, trung tuyến AM, đường phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D Đường phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E

Trong ABC có DE định ra 2 cạnh AB, AC những đoạn thẳng tỉ lệ nên

theo Talet đảo ta có DE // BC

 Nhìn nhận đối tượng dưới những khía cạnh khác nhau.

Mỗi khi HS cố gắng làm những bài toán mà lại thất bại, thông thường

HS sẽ có cảm giác chán nản chứ không chuyển sang làm theo một hướng suynghĩ hay cách nhìn khác Tuy nhiên, một thất bại mà HS đã nếm trải sẽ chỉ có

ý nghĩa nếu như HS không quá coi trọng phần kém hiệu quả của nó Thay vào

đó nếu HS biết phân tích lại toàn bộ quá trình cũng như các yếu tố liên quan,

và cân nhắc xem liệu sẽ thay đổi những yếu tố đó như thế nào để đạt đượchiệu quả mới Đừng đặt câu hỏi cho bản thân “Tại sao mình lại thất bại?” màhãy nói “Mình đã làm được những gì rồi?” Nhìn nhận và đánh giá vấn đề từcác khía cạnh khác nhau, từ đó phát hiện được những tầm nhìn, cách nhận

định mới phù hợp với bài toán

Việc nhìn nhận đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau được thểhiện thông qua việc phát hiện, đề xuất được cái mới từ một vấn đề quenthuộc hoặc tìm được nhiều cách giải khác nhau đối với bài toán đã cho trong

đó có những cách giải độc đáo

Ví dụ 1.2 Trong hình vuông ABCD và nửa đường tròn đường kính AD và

vẽ cung AC mà tâm là D Nối D với điểm P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nửađường tròn đường kính AD ở K

ADP cân tại D có DF là đường cao nên DF

cũng là phân giác suy ra:  

- Với chú ý AB là tiếp tuyến của đường tròn tâm D ta có cách giải sau:

Ta có IAK  ADK (có số đo bằng 1

2sđAK)Mặt khác IAP là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AP của đường

tròn tâm D nên IAP bằng 1

2 số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung là

Ví dụ 1.3 CMR: Nếu một tam giác có đường trung tuyến đồng thời là đường

phân giác thì tam giác đó cân

Cách giải 1: (Hình 1.4)

Trên tia đối của tia AM lấy điểm O: MA = OM

Khi đó ABOC là hình bình hành

Mặt khác, AO là đường phân giác của BAC

Nên ABOC là hình thoi Suy ra AB AC

Do đó từ (3) suy ra AB = AC hay ABC cân

 Biết phối hợp nhiều công cụ, phương pháp khác nhau để giải quyết một vấn đề.

Đứng trước một bài toán mang tính sáng tạo cao, đòi hỏi HS phải vậndụng rất nhiều kiến thức khác nhau và nhiều phương pháp giải, cách giải khácnhau Đồng thời HS cũng phải biết cách phối hợp các kiến thức và phươngpháp đó, huy động những kĩ năng, kinh nghiệm của bản thân cộng với sự nỗlực của cá nhân để tìm tòi, giải quyết vấn đề

Ví dụ 1.4 Từ một điểm trên đường tròn ngoại tiếp của một tam giác bất kì hạ

các đường vuông góc xuống ba cạnh của tam giác ABC nội tiếp đường tròn CMR: chân của ba đường vuông góc đó thẳng hàng

(Đường thẳng này gọi là đường thẳng Simson)

Lời giải: (Hình 1.6)

Gọi D, E, F theo thứ tự là chân đường

vuông góc hạ từ P (điểm trên đường tròn ngoại

tiếp của một tam giác) xuống AB, BC, CA Hình 1.6

   EPDB là tứ giác nội tiếp  DBP = DEP (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:   0

PEF + DEP = 180

Suy ra ba điểm D ; E ; F thẳng hàng

* Nhận xét: Đối với bài toán trên là một bài toán khó yêu cầu HS phải huy

động nhiều kiến thức có liên quan như:

- Để chứng minh ba điểm thẳng hàng có thể chứng minh hai góc kề có tổng số đo bằng 1800

- Tứ giác nội tiếp đường tròn

- Góc nội tiếp trong đường tròn

Nên rất hiệu quả trong việc rèn luyện năng lực giải toán cho HS

1.1.3.4 Rèn luyện năng lực giải toán

Do tính đặc thù của môn toán nên hoạt động giải toán là hoạt độngkhông thể thiếu của người học toán, dạy toán, nghiên cứu về toán Trong

cuốn “Sáng tạo toán học” G.polya đã viết: “ quá trình giải toán là đi tìm

kiếm một lối thoát ra khỏi khó khăn hoặc một con đường vượt qua trở ngại,

đó chính là quá trình đạt tới một mục đích mà thoạt nhìn dường như khôngthể đạt được ngay Giải toán là khả năng riêng biệt của trí tuệ, còn trí tuệ chỉ

có ở con người Vì vậy giải toán có thể xem như một trong những biểu hiệnđặc trưng nhất trong hoạt động của con người ” [21, tr.25]

Vì vậy trong quá trình dạy học người GV phải chú trọng rèn luyệnnăng lực giải toán cho HS Năng lực giải toán là khả năng thực hiện bốnbước trong phương pháp tìm lời giải bài toán của G.polya

Rèn luyện năng lực giải toán cho HS chính là rèn luyện cho họ khả

năng thực hiện bốn bước theo phương pháp tìm lời giải bài toán của G.polya.

Điều này cũng phù hợp với phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn

đề theo xu hướng đổi mới PPDH của nền GD nước ta hiện nay

Từ đặc điểm và cấu trúc của năng lực giải toán cùng với các bướctrong phương pháp tìm lời giải bài toán của G.polya, ta thấy:

- Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài sẽ rèn cho HS:

 Có năng lực phân tích, tổng hợp trong lĩnh vực thao tác với các kíhiệu, ngôn ngữ toán học, khả năng chuyển đổi điều kiện của bài toán sangngôn ngữ, kí hiệu, quan hệ, phép toán giữa các đại lượng đã biết, chưa biết vàngược lại.

- Bước 2: Tìm tòi lời giải bài toán sẽ rèn cho HS:

 Sự phát triển mạnh của tư duy lôgic, tư duy sáng tạo thể hiện ở khảnăng lập luận chính xác, về quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán

 Có tính độc lập và độc đáo cao trong khi giải toán và sự phát triểncủa năng lực giải quyết vấn đề

- Bước 3: Trình bày lời giải sẽ rèn cho HS:

 Khả năng lĩnh hội nhanh chóng quy trình giải một bài toán và cácyêu cầu của một lời giải, biết trình bày rõ ràng, đẹp đẽ

- Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải sẽ rèn cho HS:

 Có tính tích cực, kiên trì về mặt ý chí và khả năng huy động nhiềukiến thức cùng lúc vào việc giải bài tập, từ đó lựa chọn được lời giải tối ưu

 Có khả năng kiểm tra các kết quả đã đạt được và hình thành đượcmột số kiến thức mới thông qua hoạt động giải toán, tránh được những nhầmlẫn trong quá trình giải toán

 Có khả năng nêu ra được một số bài tập tương tự cùng cách giải (cóthể là định hướng giải, hoặc quy trình có tính thuật giải, hoặc thuật toán đểgiải bài toán đó)

 Có khả năng khái quát hoá từ bài toán cụ thể đến bài toán tổng quát,

từ bài toán có yếu tố tổng quát đến bài toán có nhiều yếu tố tổng quát

Một điểm đáng chú ý nữa là: "Trong quá trình giải bài tập toán, cầnkhuyến khích HS tìm nhiều cách giải cho một bài toán Mọi cách giải đềudựa vào một số đặc điểm nào đó của dữ kiện, cho nên tìm được nhiều cáchgiải là luyện tập cho HS biết cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khíacạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực giải toán

Mặt khác, tìm được nhiều cách giải thì sẽ tìm được cách giải hay nhất,đẹp nhất ” [21, tr.214]

1.1.4 Vị trí, vai trò, mục đích, chức năng của bài tập toán

G.polya cho rằng: “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng

hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ mộtcuốn sách tra cứu thích hợp Vì vậy, trong các trường phổ thông cũng như cáctrường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho HS những kiến thức nhấtđịnh, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức nào đó đểnắm vững môn học Vậy thế nào là nắm vững môn học? Đó là biết giảitoán!” [21, tr.82]

Trên cơ sở đó ta có thể thấy rõ hơn vị trí, vai trò, mục đích và chứcnăng của bài tập toán trong trường THCS như sau:

1.1.4.1 Vị trí và vai trò của bài tập toán

Trong dạy học toán ở trường THCS, bài tập toán có vai trò vô cùng

quan trọng vì theo Nguyễn Bá Kim: “Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt

động toán học Đối với HS có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạtđộng toán học Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất cóhiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp HS nắm vững những trithức, phát triển tư duy, hình thành những kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng toán họcvào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt cácnhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việcdạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy họctoán” [16, tr.201]

Cũng theo Nguyễn Bá Kim: “Bài tập toán học có vai trò quan trọng

trong môn toán Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt độngnhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hayphương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ

phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt độngngôn ngữ” [16, tr.388]

Như vậy bài tập toán có vị trí, vai trò quan trọng trong hoạt động dạy,học toán ở trường THCS Vì thế cần có những biện pháp thích hợp để nângcao hiệu quả của việc giải bài tập toán qua đó rèn luyện được năng lực giảitoán của HS

1.1.4.2 Mục đích của bài tập toán

Để đào tạo được con người đáp ứng được yêu cầu của xã hội ngày nay,những con người năng động, sáng tạo, có tinh thần trách nhiệm, có trí tuệ, cókhả năng lao động kĩ thuật cao, trong các nhà trường THCS đã đặt ra nhiềumục đích, mục tiêu cụ thể cho việc đào tạo

Toán học có vai trò to lớn trong đời sống, trong khoa học và công nghệhiện đại, kiến thức toán học là công cụ để HS học tập tốt các môn học khác,giúp HS hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực Vì vậy trong dạy toán nóichung và trong giải bài tập toán nói riêng cần xây dựng những mục đích cụ thể,sát thực Có thể thấy rõ một số mục đích của bài tập toán ở trường THCS là:

 Phát triển ở HS những năng lực, phẩm chất trí tuệ, giúp HS biếtnhững tri thức khoa học của nhân loại để tiếp thu thành kiến thức của bảnthân, thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vựchoạt động cũng như trong học tập hiện nay và mai sau

 Làm cho HS từng bước nắm được một cách chính xác, vững chắc và

có hệ thống những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản, hiện đại, phù hợpvới thực tiễn và bước đầu có năng lực vận dụng những tri thức đó vào nhữngtình huống cụ thể

 Thông qua giải bài toán, HS khắc sâu các kiến thức đã học, biết xâuchuỗi các kiến thức với nhau kích thích sự tìm tòi, sáng tạo kiến thức mới đốivới HS

1.1.4.3 Chức năng của bài tập toán

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với HS cóthể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Trongthực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khác nhau.Một bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việcvới nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra Tất nhiên việc dạy giải một bàitập cụ thể thường không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó mà thườngbao hàm những ý đồ nhiều mặt như đã nêu

Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trìnhdạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năngkhác nhau Những chức năng này đều hướng đến việc thực hiện các mục đíchdạy học Trong môn Toán, các bài tập mang chức năng sau:

 Chức năng dạy học: bài tập hình thành củng cố cho HS những trithức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

 Chức năng giáo dục: bài tập hình thành cho HS thế giới quan duyvật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức người laođộng mới

 Chức năng phát triển: bài tập phát triển năng lực tư duy của HS, đặcbiệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tưduy khoa học

 Chức năng kiểm tra: bài tập sẽ đánh giá mức độ, kết quả dạy và học,đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của HS

Trên thực tế, các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rờinhau Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể,tức là hàm ý nói việc thực hiện chức năng ấy được tiến hành một cách tườngminh và công khai Hiệu quả của việc dạy học toán ở trường phổ thông phầnlớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng

có thể có của một bài tập mà người viết SGK đã có dụng ý chuẩn bị Người

GV chỉ có thể khám phá và thực hiện được những dụng ý đó bằng năng lực sưphạm và trình độ nghệ thuật dạy học của mình.

1.1.5 Ý nghĩa, yêu cầu của việc giải toán

1.1.5.1 Ý nghĩa của việc giải toán

Ở trường phổ thông dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với HS cóthể coi giải toán là hoạt động chủ yếu của hoạt động toán học Việc giải toán

có nhiều ý nghĩa:

 Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức

và rèn luyện kĩ năng Trong nhiều trường hợp, giải toán là một hình thức rấttốt để dẫn dắt HS tự mình đi tìm kiếm kiến thức mới

 Đó là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào nhữngvấn đề cụ thể, vào vấn đề mới

 Đó là hình thức tốt nhất để GV kiểm tra HS và HS tự kiểm tra vềnăng lực, về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học

 Việc giải toán có tác dụng lớn trong việc gây hứng thú học tập cho

HS, phát triển trí tuệ và giáo dục, rèn luyện HS về rất nhiều mặt

1.1.5.2 Yêu cầu lời giải một bài toán

Một bài toán được gọi là giải tốt khi và chỉ khi thoả mãn các yêu cầu sau:

 Lời giải không sai lầm.

Lời giải của bài toán không một sai lầm, thiếu sót, nghĩa là lời giảikhông có sai sót về mặt kiến thức (kiến thức khoa học cơ bản, kiến thứcphương pháp suy luận, kĩ năng tính toán và vẽ hình); không có sai sót về mặtvăn phạm (các quy tắc ngữ pháp, cách ghi ký hiệu toán học)

Lời giải của HS phạm sai lầm thiếu sót, không cho kết quả đúng là do HS:

- Không nắm vững kiến thức, không nhớ đúng quy tắc, công thức, mơ

hồ về định lý, sử dụng định lý, quy tắc một cách máy móc mà không chú ýđến bản chất của nó, không chú ý đến điều kiện hạn chế của quy tắc, côngthức, không xác định được yếu tố có mặt trong công thức

- Hấp tấp, chủ quan, sơ suất, cẩu thả, có trường hợp chép đề sai, nhầmdấu hiệu, ngộ nhận hoặc lao vào một cách giải phức tạp do quá hấp tấp, cẩuthả, tính toán nhầm lẫn.

- Không nắm vững suy luận lôgic, trật tự các vấn đề dẫn đến lộn xộnhoặc luẩn quẩn

 Lập luận có căn cứ chính xác.

Có được bài giải đúng chưa đủ mà HS cần:

- Phải chứng tỏ rằng từng bước, từng chi tiết trong bài giải là có căn

cứ, phải nêu ra cơ sở lý luận chính xác (theo định nghĩa, định lý hoặc tínhchất ), tránh suy luận trực giác, gò ép để đi đến kết quả

- Có bài giải nhất quán, các yếu tố trong bài phải mang tên gọi, bảnchất như nhau trong cả lời giải Trường hợp có sự chuyển hoá phải giải thích,thông báo

 Lời giải phải cặn kẽ, đầy đủ.

Cặn kẽ, đầy đủ ở đây có nghĩa là không bỏ sót một trường hợp, mộtchi tiết nào dù là nhỏ Nó cũng có nghĩa là không thừa, không thiếu, khôngdài dòng quá nhưng cũng không tắt quá Đặc biệt xét được hết các trườnghợp có thể có

 Cách giải đơn giản nhất, hay nhất.

Một phương pháp giải toán coi là tốt nếu như ngay từ đầu ta có thểthấy trước và sau đó có thể khẳng định được rằng theo phương pháp đó sẽ đạttới đích Còn lời giải đơn giản nhất, hay nhất nói chung là lời giải ngắn gọn,giải quyết bằng những phương tiện đơn giản, những kiến thức dễ hiểu, quenthuộc nhất mà vẫn đạt tới đích

Tuy nhiên lời giải hay còn phụ thuộc vào mục đích luyện tập cho HS.Tìm được lời giải hay của một bài tập tức là đã khai thác được sâu đặc điểmriêng của bài tập đó, giúp HS thích thú khi làm toán, động viên các em suynghĩ kĩ để tìm lời giải hay Đây là một yêu cầu cao đối với HS

1.1.6 Dạy học giải bài tập toán theo phương pháp tìm lời giải của G.polya

Trong toán học không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất cảcác bài toán, chúng ta chỉ có thể qua việc dạy học giải một số bài toán cụthể mà dần dần truyền thụ cho HS cách thức, kinh nghiệm trong việc suynghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán Dạy học giải bài tập toán không cónghĩa là GV cung cấp cho HS lời giải bài toán Biết lời giải bài toán khôngquan trọng bằng làm thế nào để giải được bài toán, vì vậy cần trang bịnhững hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bàitoán là cần thiết

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của

G.polya về cách thức giải toán, phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài

toán thường được tiến hành theo bốn bước sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

 Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Có thể thỏa mãn được điều kiện haykhông? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không, hay chưa đủ, haythừa, hay có mâu thuẫn?

 Hình vẽ, sử dụng kí hiệu một cách thích hợp

 Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện Có thể diễn tảcác điều kiện đó thành công thức không?

Việc đánh giá được dữ kiện có thỏa mãn hay không, thừa hay thiếu,

đã bước đầu thể hiện tư duy sáng tạo Nếu làm tốt khâu này thì việc giải bàitoán đã có thể rất thuận lợi để tìm được lời giải đúng

Bước 2: Tìm tòi lời giải bài toán

Việc tìm tòi lời giải là một bước quan trọng bậc nhất trong hoạt độnggiải toán Điều cơ bản của bước này là biết định hướng đúng để tìm ra đượcnhanh chóng hướng giải bài toán

 Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ởmột dạng hơi khác?

 Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lý có thểdùng được không?

 Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộcchứa đựng ẩn hay ẩn tương tự

 Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi Có thể sửdụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hay sử dụng phươngpháp? Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không?

 Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? Một cách khác nữa?

 Nếu bạn chưa giải được bài toán đề ra, thì hãy thử giải một bài toán

có liên quan Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan và dễ hơn không?Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự?Bạn có thể giải được một phần bài toán không? Hãy giữ lại một phần điềukiện, bỏ qua điều kia Khi đó ẩn được xác định đến một chừng mực nào đó,

nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một yếu tố có íchkhông? Có thể thay đổi ẩn hay khác dữ kiện, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho

ẩn và các dữ kiện mới được gần nhau hơn không?

 Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Đã sử dụng toàn bộ điềukiện hay chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?Qua các bước dẫn dắt ở bước 2, ta thấy rằng tư duy sáng tạo đã được thểhiện ở mức độ cao hơn Chẳng hạn việc giải thử một bài toán có liên quan,hay tổng quát hơn chính là sự thể hiện tư duy sáng tạo

Bước 3: Trình bày lời giải

Hãy kiểm tra lại từng bước Bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúngchưa? Bạn có thể CM là nó đúng không?

Qua bước này ta thấy việc thực hiện được chương trình giải và CMđược là đúng, tức là đã hoàn thành bài toán, các yếu tố của tư duy sáng tạo đãđược thể hiện đầy đủ

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

 Bạn có kiểm tra lại kết quả không? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộquá trình giải bài toán không?

 Có tìm ra được kết quả bằng một cách khác không? Có thể thấyngay trực tiếp kết quả không?

 Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài toánnào khác không?

Như vậy, có thể nói: “Quá trình HS học phương pháp chung để giảitoán là một quá trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinhnghiệm giải toán của bản thân thông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể

Từ phương pháp chung để giải toán đi tới cách giải một bài toán cụ thể còn là

cả một chặng đường dài đòi hỏi lao động tích cực của người HS, trong đó cónhiều yếu tố sáng tạo” [22, tr.423]

1.2 Thực trạng rèn luyện năng lực giải toán của học sinh trung học cơ sở

Để tìm hiểu thực trạng rèn luyện năng lực giải toán của HS THCSchúng tôi đã tiến hành điều tra tại trường THCS Vân Phú – thành phố ViệtTrì – tỉnh Phú Thọ

1.2.1 Điều tra giáo viên

- Mục đích điều tra: bước đầu tìm hiểu thực trạng việc rèn luyện nănglực giải toán của HS

- Đối tượng điều tra: GV đang trực tiếp giảng dạy môn toán tại trường THCS Vân Phú

- Nội dung điều tra:

+ Đề nghị GV trả lời các câu hỏi trong phiếu điều tra

+ Nội dung của phiếu (phụ lục 1)

- Ý định sư phạm của 5 câu hỏi trong phiếu điều tra

Câu 1: Điều tra về quan điểm của GV về năng lực giải toán

Câu 2: Điều tra về sự đánh giá của GV về những biểu hiện của HS cónăng lực giải toán

Câu 3: Điều tra về năng lực giải toán của HS thông qua các biểu hiện

cụ thể

Câu 4: Điều tra mức độ quan tâm của GV trong việc rèn luyện năng lựcgiải toán cho HS

Câu 5: Điều tra mức độ yêu thích môn toán của HS

- Kết quả điều tra:

+ Đa số GV đã hiểu đúng về năng lực giải toán Tuy nhiên vẫn còn một

bộ phận GV còn chưa hiểu đúng về vấn đề này

+ Vẫn còn một số GV chưa phát hiện đúng những biểu hiện của HS cónăng lực giải toán

+ Đa số GV đều đánh giá năng lực giải toán của HS là còn yếu

+ Đa số các GV đều rất quan tâm đến việc rèn luyện năng lực giải toáncho HS Tuy nhiên, sự quan tâm đó chưa cao và chưa được quan tâm đúng mức.

+ Mức độ yêu thích môn toán của HS chưa cao

1.2.2 Điều tra học sinh

- Mục đích điều tra: bước đầu tìm hiểu thực trạng việc rèn luyện nănglực giải toán của HS

- Đối tượng điều tra: HS lớp 8A, 8B, trường THCS Vân Phú

- Nội dung điều tra: Thông qua bài kiểm tra

Câu 3 (4 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A, gọi H là trung điểm của

BC và E là hình chiếu của H trên AC Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng

HE

CMR: AO vuông góc với BE

- Ý định sư phạm của 3 câu trong đề kiểm tra:

Câu 1: Đây là một bài toán đơn giản nhằm kiểm tra mức độ nắm kiếnthức của HS

Câu 2: Đây là bài toán có thể giải bằng nhiều cách khác nhau Qua bàinày có thể kiểm tra được mức độ linh hoạt của HS trong giải toán Qua đó đánhgiá được năng lực giải toán của HS

Câu 3: Đây là bài toán có nội dung kẻ đường phụ Qua bài này có thể

kiểm tra được khả năng phân tích tìm lời giải bài toán của HS Qua đó đánhgiá được năng lực giải toán của HS

- Bảng thống kê kết quả điều tra:

Điêm

Lớp

số8A

8B

00

00

00

45

78

34

86

43

33

22

00

3131

- Phân tích kết quả điều tra:

Lớp 8A: + Điểm giỏi: 2 HS chiếm 6.45%

+ Điểm trung bình trở lên: 18 HS chiếm 58.06 %

+ Điểm dưới trung bình: 11 HS chiếm 35.49 %

Lớp 8B: + Điểm giỏi: 2 HS chiếm 6.45%

+ Điểm trung bình trở lên: 16 HS chiếm 51.61%

+ Điểm dưới trung bình: 13 HS chiếm 41.94%

tìm được hướng giải quyết thì trở nên chán nản và dần mất đi hứng thú vớimôn học.

Kết luận chương 1

Trong chương 1, chúng tôi đã làm sáng tỏ một số vấn đề:

- Lý luận về năng lực, năng lực toán học, năng lực giải toán

- Bước đầu tìm hiểu thực trạng rèn luyện năng lực giải toán của HSTHCS Qua việc tìm hiểu chúng tôi nhận thấy năng lực giải toán của HS cònyếu Điều này xuất phát từ việc GV và HS trong khi giải một bài toán cònchưa quan tâm tới việc rèn luyện năng lực giải toán cũng chính là chưa thựchiện giải theo bốn bước trong phương pháp giải toán của Polya

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI

TOÁN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ

2.1 Các định hướng cơ bản của việc rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh trug học cơ sở

Trước hết, trong khóa luận chúng tôi chọn việc rèn luyện năng lực giảitoán cho HS THCS thông qua các bài toán CM trong hình học phẳng Bởi vìhình học phẳng là một mẳng khó trong chương trình toán THCS, đặc biệt làcác bài toán CM Từ nhận định đó chúng tôi đã cụ thể hóa bằng các địnhhướng như sau:

Định hướng 1: Rèn luyện năng lực giải một bài toán theo bốn bước trong phương pháp giải toán của Polya

- Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài Trong bước này chúng tôi đã cụthể hóa bằng các nhiệm vụ cơ bản sau:

+ Xác định cái mà đề bài cho (gt), cái đề bài yêu cầu chứng minh (kl).+ Vẽ hình cho bài toán

+ Chuyển từ ngôn ngữ tự nhiên sang ngôn ngữ toán học và ngược lại

- Bước 2: Tìm tòi lời giải bài toán Trong bước này chúng tôi sẽ địnhhướng cho HS tìm tòi lời giải bài toán bằng các phương pháp sau:

+ Nghĩ đến những bài toán liên quan

+ Kẻ thêm đường phụ

+ Xét một số trường hợp đặc biệt hay tương tự

+ Sử dụng sơ đồ phân tích đi lên, sơ đồ phân tích đi xuống

- Bước 3: Trình bày lời giải bài toán Trong bước này chúng tôi sẽhướng dẫn cho HS trình bày theo cách mà chúng tôi đã định hướng cho HStìm tòi lời giải

- Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải Trong bước này chúng tôi sẽ địnhhướng cho HS nghiên cứu sâu lời giải bằng cách:

+ Tìm ra nhiều lời giải mới

+ Xây dựng bài toán mới từ bài toán ban đầu

Định hướng 2: Rèn luyện năng lực giải toán theo đặc điểm và cấu trúc của năng lực giải toán.

Việc đưa ra định hướng này xuất phát từ việc phân tích đặc điểm và cấutrúc của năng lực giải toán

Định hướng 3: Rèn luyện năng lực giải toán cho HS tại mọi tình huống dạy học.

- Trong các bài CM định lý

- Trong các tiết luyện tập

- Trong các buổi ngoại khóa, hoạt động ngoài giờ lên lớp

2.2 Một số biện pháp rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh trung học

2.2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh tìm hiểu nội dung đề bài

Với bất kì bài toán nào thì bước tìm hiểu đề toán cũng vô cùng quantrọng Có những bài toán mà các yếu tố trong bài xuất hiện dưới dạng tườngminh thì bước tìm hiểu đề toán là khá đơn giản, nhưng có những bài toán mà cácyếu tố trong nó xuất hiện dưới dạng ẩn làm cho bước tìm hiểu đề toán là kháphức tạp Để rèn luyện cho HS tìm hiểu tốt bước này ta quan tâm tới các bài toán

có có các yếu tố xuất hiện dưới dạng ẩn Sau đây là một số ví dụ minh họa

Ví dụ 2.1 CMR trong một hình bình hành, đường phân giác của 2 góc kề nhau

cắt 2 đường chéo tại 2 điểm thì đường thẳng nối 2 điểm đó song song với đáycủa hình bình hành

Các bước để tìm hiểu đề toán được tiến hành theo các yêu cầu sau:

GV: Hãy vẽ hình cho bài toán

HS: Vẽ hình (Hình 2.1)

Hình 2.1 GV: Từ hình vẽ hãy mô tả lại bài toán bằng kí hiệu toán học

Ví dụ 2.2 CMR trong một hình bình hành, tứ giác tạo bởi 2 đỉnh đối diện

cùng với hình chiếu của chúng trên đường chéo nối 2 đỉnh còn lại tạo thànhmột hình bình hành

Các bước để tìm hiểu đề toán được tiến hành theo các yêu cầu sau:

GV: Hãy vẽ hình cho bài toán

HS: Vẽ hình (Hình 2.2)

Hình 2.2GV: Nhìn vào hình vẽ hãy phát biểu lại bài toán bằng ngôn ngữ toán học

HS:

Hình bình hành ABCD

AH  DB (H  DB); CK  DB (K  DB)

KL AKCH là hình bình hành

Ví dụ 2.3 CMR: Tổng các khoảng cách từ một điểm M nằm trong tam giác

đều ABC đến các cạnh của tam giác đó không phụ thuộc vào vị trí của điểm M Các bước để tìm hiểu đề toán được tiến hành

theo các yêu cầu sau:

GV: Hãy vẽ hình cho bài toán

HS: Vẽ hình (Hình 2.3)

Hình 2.3GV: Quan sát hình vẽ hãy phát biểu bài toán bằng ngôn ngữ toán học

KL MN MP MQ  không phụ thuộc vào vị trí M

Ví dụ 2.4 Trong một tam giác cân, hai đường phân giác của hai đáy cắt hai

cạnh bên tại hai điểm CMR đường thẳng đi qua hai điểm đó song song vớiđáy của tam giác cân

Các bước để tìm hiểu đề toán được tiến hành theo các yêu cầu sau:

GV: Hãy vẽ hình cho bài toán

 

BAM MAC (M  BC); BCN NCA (N AB)

2.2.2 Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh tìm tòi lời giải bài toán

2.2.2.1 Nghĩ đến những bài toán liên quan

Ví dụ 2.5 Cho hình thang ABCD với hai cạnh AB và CD song song Hai

đường chéo AC và BD cắt nhau tại O CMR:

* Gợi ý: Để CM bài toán này GV cần cho HS xét bài tập sau:

Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm M tuỳ ý Đường thẳng qua

M và song song với AB cắt AC ở P Đường thẳng qua M và song song với AC

a M là trung điểm của BC: khi đó P,

Q lần lượt là trung điểm của AC và AB

Ta có: S AMP S AMQ S BMQ S PMC

Hình 2.6 Suy ra: S ABC 2.S APMQ hay 1

2

c Khi M không là trung điểm của BC Giả sử MB < MC, khi đó

AP < PC Trên AC lấy điểm K sao cho AK = 2AP Từ K kẻ đường thẳng songsong với AB cắt BC tại H và cắt QM kéo dài tại G

Khi đó, MQ = MG

G H

K Q

P

A

M

Suy ra: QBM GHM (g.c.g).

Từ đó, ta có: 2S APMQ S AKGQ S ABHK S ABC

Xét tương tự cho trường hợp MB > MC

- Từ bài toán trên và với giả thiết đã cho ta suy ra rằng diện tích hình

bình hành APMQ đạt giá trị lớn nhất khi M là trung điểm của của BC và

AC ở P Đường thẳng qua M và song song với AC cắt AB tại Q Tìm vị trí của

M để S APMQ đạt giá trị lớn nhất Tính S APMQ theo SABC

- Trở lại giải quyết ví dụ trên, ta

giải quyết như sau:

O

Mặt khác, vì AODF là hình bình hành nên 1

2

S  S và ABDE là

hình bình hành nên S ABD S ADE Từ đó suy ra: S AOB S EFD (2)

Ta lại có: S AOD S BOC S ADF Suy ra: S ABCD S ADCS ADE S AEC (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

12

AOB COD EFD COD ABCD

Ví dụ 2.6 Cho tam giác ABC có AB = 10cm; BC = 12cm, D là trung điểm

của cạnh AB Vẽ DH vuông góc với BC (H BC) thì DH = 4cm

CMR: ABC cân tại A

Hệ thống câu hỏi Trả lời

- Gọi K là trung điểm của BC, ta có

điều gì?

- HBD có: BHD = 900 vậy theo

pytago ta có điều gì?

- Vậy BD = DA; BH = HK Mà

đường nối trung điểm 2 cạnh của

tam giác thì quan hệ như thế nào

- AK  BC

- ABK = ACK

- AB = AC   ABC cân tại A

Ví dụ 2.7 Cho tam giác ABC có B ˆ  Cˆ

Câu trả lời mong đợi là: tia phân giác của BAC

Việc hướng dần HS giải bài toán này ta có thể thực hiện như sau:

- Gọi AI là phân giác của BAC (I BC)

- AI là phân giác của BAC thì ta có điều gì?

- Mà ˆB C ˆ vậy 

1

I , 

2

I quan hệ với nhau như thế nào?

- ABI và ACI quan hệ với nhau như thế nào?

2.2.2.3 Xét các bài toán đặc biệt hay tương tự

Quay lại ví dụ 2.3: CMR: Tổng các khoảng cách từ một điểm M nằm trong

tam giác đều ABC đến các cạnh của tam giác đó không phụ thuộc vào vị trí củađiểm M

* Nhận xét: Để giải quyết bài toán này ta cần xét trường hợp đặc biệt sau:

Cho tam giác nhọn ABC, ba đường cao AA, BB, CC cắt nhau tại điểm H CMR: + + = 1