S AMB M N AB
2.2.4.Biện phỏp 4: Rốn luyện cho học sinh nghiờn cứu sõu lời giả
2.2.4.1. Tỡm nhiều lời giải cho một bài toỏn
Quay lại vớ dụ 2.10: Cho hỡnh thang vuụng ABCD (àA = àD = 900) cú
CD = 2AB. Gọi H là chõn đường vuụng gúc hạ từ D xuống AC và M là trung điểm của HC.
CMR: đường thẳng qua DM vuụng gúc với đường thẳng qua BM. GV cú thể hướng dẫn HS khai thỏc bài toỏn như sau:
* Hướng dẫn: - Nếu ta tỡm cỏch tạo một đường thẳng song song với một trong hai đường thẳng cần CM và CM đường thẳng này vuụng gúc với đường thẳng cũn lại thỡ ta cú cỏch làm thư hai của bài toỏn này. Cỏch làm thứ 2 được trỡnh bày như sau:
Cỏch giải 2: Dựa vào tớnh chất đường thẳng vuụng gúc với một trong hai đường thẳng song song. (Hỡnh 2.14)
Kẻ MI // AB (1) ⇒ MI ⊥ AD (vỡ AB ⊥AD) (2) Lại cú DH ⊥ AC (gt) ⇒ DI ⊥ AM (3) Từ (2) và (3) ⇒ I là trực tõm của ∆ADM Hỡnh 2.14 ⇒ AI ⊥ DM (*) Mặt khỏc : Trong ∆DHC cú: MIMH MC/ /DC (vỡ cựng // AB)(gt) =
⇒ MI là đường trung bỡnh ⇒ 1 2
MI= CD hay MI = AB (4) Từ (1) và (4) suy ra ABMI là hỡnh bỡnh hành. Vậy BM // AI (**) Từ (*) , (**) suy ra BM ⊥ DM (đpcm ).
* Hướng dẫn: - Trong một bài toỏn ta cú thể linh hoạt vẽ thờm cỏc đường phụ để thuận lợi ỏp dụng cỏc cỏch CM dễ dàng. Ngoài ra ta cũn cú thể ỏp dụng tớnh chất đường trung tuyến trong tam giỏc vuụng để giải quyết bài toỏn này. Cỏch làm này như sau:
Cỏch giải 3: Vận dụng tớnh chất đường trung tuyến trong tam giỏc vuụng. (Hỡnh 2.15)
Kẻ BE ⊥ DC tại E
Dễ dàng chứng minh được ABED là hỡnh chữ nhật ⇒ AB = DE = EC . Hỡnh 2.15 Trong ∆DHC cú: ED ECMH= MC = ⇒ EM là đường trung bỡnh ⇒EM ⊥ HC ⇒ ∆AME là tam giỏc vuụng tại M
Gọi O là trung điểm của AE ⇒ O cũng là trung điểm của BD
⇒ MO là đường trung tuyến trong tam giỏc BDM (1) Trong tam giỏc vuụng AEM cú MO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền. ⇒ 1 2 MO= AE Mà AE = BD (tớnh chất đường chộo hỡnh chữ nhật) Nờn 1 2 MO= BD (2)
Quay lại vớ dụ 2.4: Trong một tam giỏc cõn, hai đường phõn giỏc của hai đỏy cắt hai cạnh bờn tại hai điểm. CMR đường thẳng đi qua hai điểm đú song song với đỏy của tam giỏc cõn.
Cỏch giải 1: ( Hỡnh 2.16)
Vỡ CN là tia phõn giỏc của Cà nờn NB CB
NA =CA
Vỡ AM là tia phõn giỏc của àA nờn MB AB
MC = AC Mặt khỏc, ∆ABC cõn tại B ⇒ BA = BC Mặt khỏc, ∆ABC cõn tại B ⇒ BA = BC Hỡnh 2.16 Suy ra MB NB MC = NA
Do đú MN // AC (theo định lớ Talet đảo).
* Hướng dẫn:- Gọi O là giao điểm của AM và CN thỡ khi đú ta cúBO⊥AC. Như vậy ta cú cỏch 2 để chứng minh MN // AC đú là sử dụng cỏch CM chỳng cựng vuụng gúc với đường thẳng thứ 3.
Cỏch giải 2: (Hỡnh 2.17)
Gọi O là giao điểm của CN và AM =>BO⊥AC (vỡ VABC cõn) (1) Mà AB = BC (gt); àA1=Cà1, Bà là gúc chung Nờn ∆AMB= ∆CNB (g.c.g) ⇒ BM = BN ⇒∆BMN cõn ⇒ BO⊥MN (vỡ BO là tia phõn giỏc) (2) Từ (1) và (2) ⇒ MN // AC. Hỡnh 2.17
* Hướng dẫn: - Ngoài ra ta cú thể sử dụng kiến thức về đường trũn để chứng
minh cặp gúc đồng vị bằng nhau từ đú ta chứng minh MN // AC.
1 1 O M N B C A M N B C A
Cỏch giải 3: ( Hỡnh 2.16)
Từ àA1=Cà1 nờn tứ giỏc MNAC nội tiếp đường trũn => C BNMà =ã (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Mặt khỏc àA C=à (vỡ ∆ABC cõn)
=> àA BNM=ã => MN // AC (tớnh chất hai đường thẳng song song).
2.2.4.2. Xõy dựng bài toỏn mới từ bài toỏn ban đầu
- Cỏc bài toỏn chứng minh hỡnh học rất nhiều và đa dạng người học khụng thể giải hết được, nhưng với việc xõy dựng bài toỏn mới từ bài toỏn ban đấu sẽ giỳp cho người học biết nhỡn nhận một bài toỏn dưới nhiều gúc độ và thấy được sự tương tự giữa nhiều bài toỏn và hiểu được bản chất của một bài toỏn. Từ đú người học sẽ giải được những bài toỏn cú nội dung tương tự với cỏc bài đó được làm quen.
- Để xõy dựng bài toỏn mới từ bài toỏn ban đầu ta cú thể tiến hành theo sơ đồ sau:
Bài toỏn ban đầu
Lập bài toỏn tương tự
Bài toỏn mới Lập bài toỏn đảo
Thờm một số yếu tố (đặc biệt húa) Bớt một số yếu tố (khỏi quỏt húa) Thay đổi một số yếu tố
Vớ dụ 2.11. Cho tam giỏc ABC (ba gúc nhọn), ba đường cao AA, BB, CC cắt
nhau tại điểm H. CMR: + + = 1
* Nhận xột: Từ bài toỏn này GV cú thể hướng dẫn HS khai thỏc bài toỏn bằng cỏch xột cỏc bài toỏn tương tự như sau:
(1*) Ba đường trung trực của một tam giỏc (cú ba gúc nhọn) cắt nhau tại điểm T. Cỏc tia AT, BT, CT kộo dài cắt lần lượt BC, AC, AB tại A, B, C CMR: + + = 1.
(2*) Ba đường phõn giỏc trong AA, BB, CC của VABC cắt nhau tại P. CMR: + + = 1.
* Nhận xột: Cỏc bài toỏn trờn ta chỉ xột với cỏc điểm đặc biệt trong tam giỏc. Tuy nhiờn, ở đõy ta mở rộng bài toỏn đến việc xột một điểm O bất kỳ nằm trong tam giỏc và ta CM tớnh chất tương tự như ở cỏc bài toỏn trờn. Ta xột bài toỏn sau:
(3*) Cho ∆ABC cú ba gúc nhọn và O là một điểm bất kỡ nằm trong tam giỏc đú. Cỏc tia AO, BO, CO kộo dài cắt BC, AC và AB lần lượt tại A, B, C CMR: + + = 1.
Vớ dụ 2.12. Cho tam giỏc ABC (àA<90ο ), ở phớa ngoài tam giỏc ABC vẽ cỏc tam giỏc vuụng cõn tại A là ABD và ACE. CMR:
a) BE = DC. b) DC⊥BE.
Ta cú thể xõy dựng bài toỏn mới như sau:
Hỡnh 2.18
(1*) Cho tam giỏc ABC (àA< 900), ở phớa ngoài tam giỏc ABC vẽ cỏc tam giỏc vuụng cõn tại A là ABD và ACE, DC và BE giao nhau tại O. Tỡm điều kiện của tam giỏc ABC để tam giỏc BOC vuụng cõn.
* Phân tích: Tam giác BOC luôn là tam giác vuông vì BOD DABã =ã =90ο(vớ dụ 2.12), chỉ cần tìm
điều kiện để tam giác BOC cân tại O. Chỉ cần chứng minh OB = OC hoặc OBC OCBã =ã .
Hỡnh 2.19
*Gợi ý: Khi nào thì ∆OBC đều? Đú là nội dung của bài toán sau.
(2*) Cho tam giác ABC (àA nhọn), vẽ ở phía ngoài tam giác ABC các tam giác cân tại A là ABD và ACE, O là giao điểm của DC và EB. Tìm điều kiện để tam giác OBC đều?
Hỡnh 2.20
Lời giải Sơ đồ phõn tớch
OBC (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
∆ đều nếu bổ sung thêm điều kiện: ∆ABC cân tại A và hai tam giác ADB, ACE có DAB EACã =ã =1200. Thật
vậy:
Ở trờn ta đã CM: nếu tam giác ABC cân tại A thì tam giác OBC sẽ cân tại O (1)
Trong vớ dụ 2.9 đã CM: BOD DABã =ã
OBC∆ đều ∆ đều ⇑ { OBC ∆ cõn BOCã =60ο ⇑ ⇑ ABC ∆ cõn (gt) DOBã =120ο
Mà DABã =120οnên DOBã =120ο
ã ã 180
BOD BOC+ = ο(hai góc kề bù)
Suy ra BOCã = 1800-1200 = 600 (2)
Từ (1) và (2) suy ra ∆ABC đều.
⇑ DABã =120ο ⇑ ã ã DAB EAC= * Nhận xột:
- Ở 2 bài toỏn trờn, đó khai thỏc vớ dụ 2.12 bằng cỏch: thay đổi kết luận, tỡm thờm điều kiện cho giả thiết.
- Trong quỏ trỡnh khai thỏc và giải toỏn đó giỳp HS nắm chắc vớ dụ 2.12 và rốn kĩ năng CM tam giỏc cõn, tam giỏc đều.
- Nếu trờng hợp đặc biệt hai tam giác dựng ở phía ngoài tam giác ABC là hai tam giác đều thì ta có kết luận mới nh thế nào? Đú là nội dung của bài toỏn sau:
(3*) Cho tam giác ABC có àA< 1200, vẽ ở phía ngoài tam giác này các tam giác đều ABD và ACE, gọi O là giao điểm của DC và BE. CMR:
a)ãBOC=120ο ?
b) ãAOB=120ο?
Phần a) tơng tự bài toán (2*).
Hỡnh 2.21 b. ãAOB=120ο ⇑ { ã ã AOB DFB= OFã B=60ο ⇑ ⇑ AOB DFB ∆ = ∆ ∆BOFđều
⇑
ã ã
ABO DBF= ; ãABO B+à3 =DBF Bã +à3 =60ο
⇑
ãABO DBF=ã (do ∆ABDvà ∆BFO đều)
Lời giải:
a. Xét ∆ADC và ∆ABE có:
AD AB= (do ∆ADB đều); DAB BAEã =ã (=60ο+ãBAC)
AC= AE (do ∆AEC đều)
ADC ABE
⇒ ∆ = ∆ (c.g.c) ⇒Dả1=àB1 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});