S +S ≥ S
b. Tổng diện tớch tam giỏc AOB và COD nhỏ nhất khi ABCD là hỡnh bỡnh hành.
Hỡnh 2.5
* Gợi ý: Để CM bài toỏn này GV cần cho HS xột bài tập sau:
Cho tam giỏc ABC, trờn cạnh BC lấy điểm M tuỳ ý. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt AC ở P. Đường thẳng qua M và song song với AC cắt AB tại Q. CMR: 1
2
APMQ ABC
S ≤ S , và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M là trung
điểm của đoạn thẳng BC.
Lời giải:
Ta xột hai trường hợp:
a. M là trung điểm của BC: khi đú P, Q lần lượt là trung điểm của AC và AB. Ta cú: SAMP = SAMQ = SBMQ =SPMC
Hỡnh 2.6 Suy ra: SABC =2.SAPMQ hay 1
2
APMQ ABC
S = S
c. Khi M khụng là trung điểm của BC. Giả sử MB < MC, khi đú
AP < PC. Trờn AC lấy điểm K sao cho AK = 2AP. Từ K kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại H và cắt QM kộo dài tại G.
Suy ra: ∆QBM = ∆GHM (g.c.g).
Từ đú, ta cú: 2SAPMQ =SAKGQ =SABHK <SABC
Xột tương tự cho trường hợp MB > MC.
Vậy 1
2
APMQ ABC
S ≤ S và dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi M là trung điểm
của BC.
* Nhận xột :
- Từ bài toỏn trờn và với giả thiết đó cho ta suy ra rằng diện tớch hỡnh bỡnh hành APMQ đạt giỏ trị lớn nhất khi M là trung điểm của của BC và
1 2
APMQ ABC
S = S . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Ta cú thể phỏt biểu bài toỏn trờn theo dạng sau: Cho tam giỏc ABC, trờn cạnh BC lấy điểm M tuỳ ý. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt AC ở P. Đường thẳng qua M và song song với AC cắt AB tại Q. Tỡm vị trớ của M để SAPMQ đạt giỏ trị lớn nhất. Tớnh SAPMQ theo SABC
- Trở lại giải quyết vớ dụ trờn, ta giải quyết như sau:
a. Từ A kẻ AE // BD (E nằm trờn CD kộo dài).
Hỡnh 2.7 Từ D kẻ DF // AC (F nằm trờn AE).
Xột tam giỏc AEC, cú AODF là hỡnh bỡnh hành nội tiếp, nờn theo vớ dụ trờn ta cú: 1 2 AODF AEC S ≤ S (1) Suy ra: 1 2
DOC EDD AEC
Mặt khỏc, vỡ AODF là hỡnh bỡnh hành nờn 1
2
AOD ADF
S = S và ABDE là
hỡnh bỡnh hành nờn SABD =SADE. Từ đú suy ra: SAOB =SEFD (2) Ta lại cú: SAOD = SBOC =SADF. Suy ra: SABCD =SADC+SADE = SAEC (3) Từ (1), (2) và (3) ta cú:
1 2
AOB COD EFD COD ABCD
S +S =S +S ≥ S (đpcm).
b. Theo kết quả vớ dụ xột trờn, thỡ tổng diện tớch hai tam giỏc OAB và OCD nhỏ nhất khi O, D lần lượt là trung điểm của AC và CE, nghĩa là
AB = ED = CD tức là ABCD là hỡnh bỡnh hành.
2.2.2.2. Vẽ thờm đường phụ.
Vớ dụ 2.6. Cho tam giỏc ABC cú AB = 10cm; BC = 12cm, D là trung điểm
của cạnh AB. Vẽ DH vuụng gúc với BC (H∈ BC) thỡ DH = 4cm. CMR: ∆ABC cõn tại A
* Hướng suy nghĩ:
- Với giả thiết mà bài ra ta khụng thể giải quyết bài toỏn ngay được. Để giải quyết bài toỏn này ta phải vẽ thờm đường phụ.
- Để ∆ABC cõn tại A mà bài toỏn cú liờn quan tới độ dài cỏc cạnh thỡ ta phải CM được điều gỡ?
Cõu trả lời mong đợi là: AB = AC. - Vậy yếu tố phụ cần vẽ là gỡ? Cõu trả lời mong đợi là: trung điểm của BC.
Hỡnh 2.8
Hệ thống cõu hỏi Trả lời - Gọi K là trung điểm của BC, ta cú
điều gỡ?
- ∆HBD cú: BHDã = 900 vậy theo pytago ta cú điều gỡ?
- Vậy BD = DA; BH = HK. Mà đường nối trung điểm 2 cạnh của tam giỏc thỡ quan hệ như thế nào với cạch thứ ba?
- DH ⊥ BC, DH // AK vậy ta cú điều gỡ?
- Vậy ∆ABK và ∆ACK quan hệ với nhau thế nào? - Vậy ta cú điều gỡ? - BK = KC = BC 6 2 1 = cm - BH = 3 (cm) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Đường nối trung điểm 2 cạnh của tam giỏc thỡ song song với cạch thứ ba tức DH // AK
- AK ⊥ BC.
- ∆ABK = ∆ACK
- AB = AC ⇒∆ ABC cõn tại A.
Vớ dụ 2.7. Cho tam giỏc ABC cú Bˆ=Cˆ. CMR: AB = AC.
* Hướng suy nghĩ: Hỡnh 2.9
- Với giả thiết mà bài ra ta khụng thể CM bài toỏn ngay được. Để giải quyết bài toỏn này ta phải vẽ thờm đường phụ.
- Muốn CM hai đoạn thẳng bằng nhau ta cú thể quy về CM hai tam giỏc chứa hai cạnh đú bằng nhau. Vậy ta nối A với điểm trờn BC. Nhưng
Cˆ
Cõu trả lời mong đợi là: tia phõn giỏc của ãBAC
Việc hướng dần HS giải bài toỏn này ta cú thể thực hiện như sau:
Hệ thống cõu hỏi Trả lời
- Gọi AI là phõn giỏc của BACã (I∈ BC) - AI là phõn giỏc của BACã thỡ ta cú điều gỡ?
- Mà Bˆ =Cˆ vậy àI1, Ià2 quan hệ với nhau như thế nào? - ∆ABI và ∆ACI quan hệ với nhau như thế nào?
- 1 2 ã 1 ˆ ˆ 2 A =A = BAC - ˆI1=Iˆ2 - ∆ABI = ∆ACI
2.2.2.3. Xột cỏc bài toỏn đặc biệt hay tương tự
Quay lại vớ dụ 2.3: CMR: Tổng cỏc khoảng cỏch từ một điểm M nằm trong tam giỏc đều ABC đến cỏc cạnh của tam giỏc đú khụng phụ thuộc vào vị trớ của điểm M.
* Nhận xột: Để giải quyết bài toỏn này ta cần xột trường hợp đặc biệt sau: Cho tam giỏc nhọn ABC, ba đường cao AA, BB, CC cắt nhau tại điểm H. CMR: + + = 1. Lời giải:( Hỡnh 2.10) Ta cú: S = S = Suy ra: = = Hỡnh 2.10 Chứng minh tương tự ta cũng cú: = ; = Vậy: + + = = = 1.
Áp dụng kết quả trờn ta quay lại giải quyết vớ dụ 2.3 như sau: (Hỡnh 2.3) Gọi N, P, Q lần lượt là chõn đường vuụng gúc hạ từ M xuống cỏc cạnh AB, BC, AC.