Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh thông qua dạy học phương trình mũ và phương trình lôgarit lớp 12 trung học phổ thông

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ NHỮNG KẾT LUẬN SƯ PHẠM VỀ VIỆC RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 19 2.1.. Hiệu quả thực tế

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Nhuỵ

HÀ NỘI – 2010

LỜI CẢM ƠN Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình giảng dạy và hết lòng giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Giáo dục dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Nguyễn Nhuỵ Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết

ơn sâu sắc tới thầy

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô trường Trung học Phổ thông Xuân Trường B, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Nam Định đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình hoàn thành bản luận văn này

Sự quan tâm giúp đỡ của gia đình, bạn bè và đặc biệt là lớp Cao học Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán khoá 4 trường Đại học Giáo dục là nguồn động viên cổ vũ và tiếp thêm sức mạnh cho tác giả trong suốt những năm học tập và thực hiện đề tài

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong được lượng thứ và rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn

Hà Nội, tháng 11 năm 2010 Tác giả

Bùi Đức Quang

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

MỤC LỤC

Trang MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Phương pháp nghiên cứu 2

4 Giả thuyết khoa học 3

5 Cấu trúc luận văn 3

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIẾN 5

1.1 Xung quanh khái niệm về năng lực giải toán 5

1.1.1 Nguồn gốc của năng lực 5

1.1.2 Năng lực 5

1.1.3 Năng lực toán học 6

1.1.4 Năng lực giải toán 7

1.2 Ý nghĩa, vai trò và chức năng của hệ thống bài tập 8

1.2.1 Ý nghĩa, vai trò của hệ thống bài tập 8

1.2.2 Chức năng của hệ thống bài tập 9

1.3 Nội dung của chương trình phương trình mũ và phương trình lôgarit trong môn Toán ở trường Trung học Phổ thông 10

1.3.1 Nội dung cụ thể của phương trình mũ và phương trình lôgarit trong chương trình giải tích THPT 10

1.3.2 Mục đích yêu cầu của dạy học chủ đề phương trình mũ và phương trình lôgarit ở trường THPT 11

1.3.3 Những chú ý khi giảng dạy chủ đề phương trình mũ và phương trình lôgarit ở trường THPT 11

1.4 Những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải các bài toán

xung quanh chủ đề phương trình mũ và phương trình lôgarit 12

Chương 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ NHỮNG KẾT LUẬN SƯ PHẠM VỀ VIỆC RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 19

2.1 Phương trình mũ, phương trình lôgarit cơ bản 19

2.1.1 Phương trình mũ cơ bản 19

2.1.2 Phương trình lôgarit cơ bản 19

2.1.3 Các ví dụ 19

2.2 Phương trình mũ, phương trình lôgarit đưa về phương trình mũ và phương trình lôgarit cơ bản 21

2.2.1 Phương pháp đưa về cùng một cơ số 21

2.2.2 Phương pháp mũ hoá và lôgarit hoá 28

2.2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 32

2.3 Phương trình mũ, phương trình lôgarit có thể giải bằng cách áp dụng tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit 52

2.4 Phương trình mũ, phương trình lôgarit giải bằng phương pháp đồ thị 63

2.5 Phương trình mũ, phương trình lôgarit với một số phương pháp giải đặc biệt khác 71

2.5.1 Ứng dụng của định lý Lagrange 71

2.5.2 Phương pháp điều kiện cần và đủ 74

2.5.3 Phương pháp đánh giá 79

2.5.4 Ứng dụng của định lý Roll 81

2.5.5 Sử dụng phương pháp hằng số biến thiên 83

2.6 Những kết luận sư phạm về việc rèn luyện năng lực giải toán cho học

sinh qua giải bài tập về phương trình mũ và phương trình lôgarit 85

2.6.1 Cách lựa chọn sử dụng các bài tập của hệ thống trong quá trình dạy học 85

2.6.2 Vai trò của giáo viên 87

2.6.3 Vai trò của người học 93

Chương 3 TỔNG KẾT KINH NGHIỆM VÀ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 98

3.1 Tổng kết kinh nghiệm 98

3.1.1 Quá trình tích luỹ để xây dựng hệ thống bài tập 98

3.1.2 Quá trình chấn chỉnh và hoàn thiện hệ thống bài tập 101

3.1.3 Hiệu quả thực tế của việc rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh thông qua các hệ thống bài tập giải phương trình mũ và phương trình lôgarit 103

3.2 Thực nghiệm sư phạm 105

3.2.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm 105

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 105

3.2.3 Tổ chức thực nghiệm 105

3.2.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm 105

3.2.5 Kết quả kiểm tra 106

KẾT LUẬN 109

TÀI LIỆU THAM KHẢO 110

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Kiến thức về phương trình mũ và phương trình lôgarit là một trong những nhóm kiến thức cơ bản nhất được trình bày ở trong chương trình toán THPT Hệ thống bài tập về phương trình mũ và phương trình lôgarit không những phong phú và đa dạng mà còn rất quan trọng đối với học sinh, điều đó đã và đang được thể hiện qua các kỳ thi tốt nghiệp và tuyển sinh vào Đại học - Cao đẳng…

Khi dạy học toán nói chung và dạy học chủ đề phương trình mũ, phương trình lôgarit nói riêng cho học sinh THPT thì việc bồi dưỡng các năng lực tư duy cho học sinh là một trong các nhiệm vụ cơ bản của quá trình dạy học, đồng thời

là một yêu cầu thường xuyên và cần thiết nhằm thực hiện mục đích giáo dục toán học Trong đó việc phát triển năng lực giải toán cho học sinh là một nhiệm vụ rất quan trọng của nhà trường phổ thông nước ta hiện nay Vì vậy, người thầy không chỉ cung cấp cho học sinh phương pháp giải, những dạng toán cụ thể mà còn cần phải thông qua nó rèn luyện cho học sinh năng lực phân tích tổng hợp; năng lực khái quát hóa; năng lực suy luận lôgic; năng lực rút gọn quá trình suy luận; năng lực tư duy linh hoạt; năng lực tìm ra lời giải hay; năng lực tư duy thuận nghịch; trí nhớ toán học,…

Hiện nay trên quan điểm cải cách giáo dục, người ta nghiên cứu và cải tiến nội dung chương trình toán học bằng những nội dung cụ thể thiết thực Mục tiêu cuối cùng cần đạt tới là làm thế nào cho học sinh nắm được mối quan hệ biện chứng giữa các khái niệm, đồng thời hiểu và vận dụng được các kiến thức cơ bản của môn học để tính toán, suy luận, tự xây dựng cho mình một cách học sáng tạo Trên tinh thần đó, để phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh chúng ta cần tăng cường cho học sinh vận dụng kiến thức vào nhiều tình huống khác nhau thông qua hệ thống bài tập đa dạng, phong phú để giúp rèn

luyện năng lực giải toán và phát triển tư duy cho học sinh Khi đó học sinh biết nhìn nhận mọi vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau Không những vậy mà thông qua việc giải các bài tập toán còn giúp học sinh hình thành thế giới quan duy vật biện chứng, gây hứng thú học tập, say mê tìm tòi sáng tạo Sự say mê khoa học luôn được bắt nguồn từ sự hiểu biết Giúp học sinh hiểu biết hơn về lĩnh vực phương trình mũ và phương trình lôgarit là góp phần làm cho các em say mê môn toán nói riêng và các môn khoa học khác nói chung

Để nâng cao hiệu quả giáo dục và góp phần đáp ứng nhu cầu đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở nhà trường phổ thông chúng tôi chọn đề tài:

"Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh thông qua dạy học phương trình mũ và phương trình lôgarit lớp 12 Trung học Phổ thông"

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Phân tích sự triển khai dạy học phương trình mũ và phương trình lôgarit

3 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận:

Nghiên cứu sách giáo khoa, các giáo trình phương pháp giảng dạy toán, tạp chí nghiên cứu giáo dục, các sách tham khảo và luận án có liên quan đến chủ

đề phương trình mũ và phương trình lôgarit

- Nghiên cứu thực tiễn:

Tổng kết kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy ở các lớp chọn toán, qua kinh nghiệm luyện thi học sinh giỏi, dạy ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh yếu kém từ năm 2004 đến nay

Tổng kết kinh nghiệm qua thao diễn giảng dạy, qua việc dự giờ, thăm lớp đồng thời trao đổi với giáo viên và học sinh để tìm ra những khó khăn, vướng mắc của họ khi dạy học chủ đề phương trình mũ và phương trình lôgarit trong nhà trường phổ thông hiện nay

4 Giả thuyết khoa học

Trong quá trình dạy học phương trình mũ và phương trình lôgarit ở lớp 12, nếu thực hiện được việc rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh sẽ giúp học sinh khắc sâu hơn những kiến thức đã học được, có kinh nghiệm và nhạy bén hơn trong việc giải bài tập về phương trình mũ và phương trình lôgarit, phát huy được tính tích cực, sáng tạo từ đó học sinh sẽ được nâng cao chất lượng kiến thức, phát triển được các năng lực tư duy toán học giúp học sinh vững vàng hơn khi tiếp thu các kiến thức mới tiếp sau này

5 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và thư mục sách tham khảo, phần chính của luận văn bao gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập và những kết luận sư phạm về việc rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh thông qua dạy học phương trình mũ và phương trình lôgarit

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Xung quanh khái niệm về năng lực giải toán

1.1.1 Nguồn gốc của năng lực

Cuộc tranh luận gay gắt và kéo dài từ cuối thế kỷ 19 đến nay về bản chất và nguồn gốc của năng lực, tài năng vẫn chưa kết thúc Hiện nay đã có xu hướng thống nhất trên một số quan điểm cơ bản, quan trọng về lý luận cũng như về thực tiễn: Thứ nhất: Năng lực con người có nguồn gốc xã hội, lịch sử Muốn một

người của thế hệ sau được phát triển trong thế giới tự nhiên, xã hội đã được các thế hệ trước cải tạo, xây dựng và để lại các dấu ấn đó trong môi trường văn hóa

xã hội Con người khi lọt lòng mẹ đã có sẵn các tố chất nhất định cho sự phát triển các năng lực tương ứng, nhưng nếu không có môi trường xã hội thì cũng không phát triển được…

Thứ hai: Năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của hoạt

động Sống trong môi trường xã hội tự nhiên do các thế hệ trước tạo ra và chịu

sự tác động của nó, trẻ em và người lớn ở thế hệ sau không chỉ đơn giản sử dụng hay thích ứng với các thành tựu của các thế hệ trước để lại, mà còn chiếm lĩnh chúng và quan trọng hơn là cải tạo chúng để không chỉ đạt được các kết quả "vật chất" mà còn tạo ra tiền đề mới cho hoạt động tiếp theo

Tóm lại, ngày nay khoa học cho rằng năng lực, tài năng là hiện tượng có bản chất phức tạp Xã hội, các tố chất và hoạt động của con người tương tác qua lại với nhau để tạo ra các năng lực, tài năng Vậy đào tạo có hiệu quả nhất là đưa học sinh vào các dạng hoạt động thích hợp

1.1.2 Năng lực

Năng lực là những đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đáp ứng được yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt loại hoạt động đó

Thông thường, một người được coi là có năng lực nếu người đó nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cũng tiến hành hoạt động đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tương đương

Người ta thường phân biệt ba trình độ của năng lực:

a) Năng lực là tổng hòa các kỹ năng kỹ xảo

b) Tài năng là một tổ hợp các năng lực tạo nên tiền đề thuận lợi cho hoạt động có kết quả cao, những thành tích đạt được này vẫn nằm trong khuôn khổ của những thành tựu đạt được của xã hội loài người

c) Thiên tài là một tổ hợp đặc biệt các năng lực, nó cho phép đạt được những thành tựu sáng tạo mà có ý nghĩa lịch sử vô song

Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất định của con người Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu đặt ra

1.1.3 Năng lực toán học

Theo V.A.Krutetxki thì khái niệm năng lực toán học sẽ được giải thích trên hai khía cạnh:

- Các năng lực sáng tạo (khoa học) - các năng lực hoạt động toán học tạo

ra được các kết quả, thành tựu mới, khách quan và quý giá

- Các năng lực học tập giáo trình toán phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và

có kết quả cao các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng

Như vậy, năng lực toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng được các yêu cầu của hoạt động học toán

và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như nhau

Cũng theo V.A.Krutetxki thì cấu trúc năng lực toán học của học sinh có thể tóm tắt thành 9 yếu tố chủ yếu là:

1 Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán

2 Năng lực tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và không gian, hệ thống ký hiệu số và dấu, năng lực tư duy bằng các ký hiệu toán học

3 Năng lực khái quát hóa nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng quan hệ toán học và các phép toán

4 Năng lực rút gọn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép toán tương ứng, năng lực tư duy bằng các cấu trúc được rút gọn

5 Tính linh hoạt của các quá trình tư duy trong hoạt động toán học

6 Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm hợp lý của lời giải

7 Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quá trình

tư duy, năng lực chuyển từ tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy đảo - trong suy luận toán học

8 Trí nhớ toán học, tức là trí nhớ khái quát về các quan hệ toán học, đặc điểm về loại, các sơ đồ suy luận và chứng minh, về các phương pháp giải toán và các nguyên tắc, đường lối giải toán

9 Khuynh hướng toán học của trí tuệ

1.1.4 Năng lực giải toán

Năng lực giải toán là đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giải toán và là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt hoạt động giải toán đó

Thông thường một người được coi là có năng lực giải toán nếu người đó nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của hoạt động giải toán và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cũng tiến hành

hoạt động giải toán đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tương đương

Các thành phần của hoạt động giải toán gồm: Năng lực phân tích tổng hợp, năng lực khái quát hóa, năng lực suy luận lôgic, năng lực rút gọn quá trình suy luận, năng lực tư duy linh hoạt, năng lực tìm ra lời giải hay, năng lực tư duy thuận nghịch, trí nhớ toán học…

Để nghiên cứu năng lực giải toán của học sinh qua việc giải các bài toán thực nghiệm, không những chỉ cần nghiên cứu kết quả giải toán mà còn phải nghiên cứu cả quá trình suy luận để giải ra bài toán

Để rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh thì phương pháp tốt nhất là đưa ra một hệ thống bài tập nhằm giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn Trong phạm vi luận văn thì việc xây dựng hệ thống bài tập về phương trình mũ và phương trình lôgarit theo các phương pháp giải khác nhau nhằm bồi dưỡng và rèn luyện cho học sinh những năng lực giải toán trên

1.2 Ý nghĩa, vai trò và chức năng của hệ thống bài tập

1.2.1 Ý nghĩa, vai trò của hệ thống bài tập

Ở trường phổ thông, dạy toán là hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem xét việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Việc giải toán có những ý nghĩa sau:

Thứ nhất: Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến

thức và rèn luyện kỹ năng Đôi khi giải bài toán còn là hình thức rất tốt để dẫn dắt học sinh tự mình đi đến kiến thức mới

Thứ hai: Đó là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào

những vấn đề cụ thể, vào các vấn đề mới và vào thực tế…

Thứ ba: Đó là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra học sinh và học

sinh tự kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học

Thứ tư: Việc giải toán có tác dụng rất lớn trong việc gây hứng thú học tập

cho học sinh, phát triển trí tuệ và giáo dục, rèn luyện con người học sinh về rất nhiều mặt

Việc giải bài toán cụ thể không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó

mà thường bao hàm những ý nghĩa đã nêu

1.2.2 Chức năng của hệ thống bài tập

Chức năng dạy học: Giúp học sinh củng cố những tri thức, kỹ năng, kỹ

xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học, làm sáng tỏ và khắc sâu những vấn đề lý thuyết Thu gọn, mở rộng bổ sung cho lý thuyết trên cơ sở thường xuyên hệ thống hóa kiến thức mà nhấn mạnh phần trọng tâm của lý thuyết Đặc biệt hệ thống bài tập còn mang tác dụng giáo dục kỹ thuật tổng hợp thể hiện qua việc giúp học sinh: Thói quen đặt vấn đề một cách hợp lý, ngắn gọn, tiết kiệm thời gian và phương pháp tư duy; Rèn luyện kỹ năng tính toán, sử dụng

đồ thị, bảng biến thiên và cuối cùng là rèn luyện kỹ năng thực hành toán học Chức năng giáo dục: Giúp học sinh hình thành thế giới quan duy vật biện

chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới, rèn luyện cho học sinh đức tính kiên nhẫn, chính xác, chu đáo trong học tập, từng bước nâng cao hứng thú học tập môn toán, phát triển trí thông minh sáng tạo

Chức năng phát triển: Giúp học sinh ngày càng nâng cao khả năng độc

lập suy nghĩ, rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, suy diễn, quy nạp, tương tự…Thông thạo một số phương pháp suy luận toán học, biết phát hiện và giải quyết vấn đề một cách thông minh sáng tạo

Chức năng kiểm tra: Thông qua hệ thống bài tập, giáo viên có thể kiểm

tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh trong quá trình dạy học Kiểm tra, đánh giá nhằm cung cấp cho giáo viên và học sinh những thông tin về kết quả dạy học của giáo viên và học sinh những thông tin về kết quả dạy học: Về tri

thức, kỹ năng, năng lực giải toán…và về hiệu quả dạy học của giáo viên

1.3 Nội dung của chương trình phương trình mũ và phương trình lôgarit trong môn Toán ở trường Trung học Phổ thông

1.3.1 Nội dung cụ thể của phương trình mũ và phương trình lôgarit trong chương trình giải tích THPT

Chủ đề phương trình mũ và phương trình lôgarit được trình bày trong 2 tiết của chương 2 - Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Có thể nói rằng chủ đề có yêu cầu nhẹ nhàng hơn rất nhiều so với trước đây, mặc dù nội dung cơ bản có vẻ như không khác mấy Điều đó được thể hiện cụ thể như sau:

- SGK không xét các phương trình có chứa tham số Điều này sẽ làm cho yêu cầu về kỹ năng giải bài tập của học sinh được giảm nhẹ nhiều Bởi vì khi giải các phương trình mũ, phương trình lôgarit có chứa tham số thì học sinh thường phải xét các điều kiện cho cơ số dẫn đến sự biện luận khá phức tạp

- SGK không xét các phương trình mũ có chứa ẩn đồng thời ở cả cơ số lẫn

số mũ Điều này nhằm tránh các trường hợp còn có các ý kiến chưa thống nhất

về nghiệm của phương trình Chẳng hạn, đối với phương trình 2 1

1

x

x   , có người chấp nhận x 1 là một nghiệm, trong khi theo quan điểm của các tác giả thì ĐKXĐ của phương trình là x0, do đó giá trị x 1 không phải là nghiệm

- SGK cũng không xét phương trình lôgarit mà ẩn có mặt đồng thời ở cả

cơ số lẫn trong biểu thức lấy lôgarit Trong một số ví dụ và bài tập, các tác giả có đưa vào một số bài toán về phương trình, trong đó có chứa ẩn nằm trong cơ số của lôgarit, chẳng hạn như log 2x Tuy nhiên đó chỉ là cách viết khác đi của

2

- SGK chỉ yêu cầu học sinh nắm được các phương pháp và giải được các phương trình có các dạng nêu trong bài học Không xét các phương trình đòi hỏi

biến đổi các biểu thức lũy thừa và lôgarit qúa phức tạp

1.3.2 Mục đích yêu cầu của dạy học chủ đề phương trình mũ và phương trình lôgarit ở trường THPT

Về kiến thức: Học sinh cần

- Nắm vững cách giải các phương trình mũ và phương trình lôgarit cơ bản

- Hiểu rõ được các phương pháp thường dùng để giải phương trình mũ và phương trình lôgarit

Về kỹ năng: Giúp học sinh

- Vận dụng thành thạo các phương pháp giải phương trình mũ và phương trình lôgarit vào bài tập

- Biết sử dụng các phép biến đổi đơn giản về lũy thừa và lôgarit vào việc giải phương trình

1.3.3 Những chú ý khi giảng dạy chủ đề phương trình mũ và phương trình lôgarit ở trường THPT

Đây là lần đầu tiên học sinh được làm quen với phương trình mũ và

phương trình lôgarit Khi giải các phương trình này giáo viên cần lưu ý học sinh một số điểm sau:

- Luôn luôn chú ý đến ĐKXĐ của phương trình, nhất là phương trình lôgarit Đôi khi có thể sử dụng ngay các điều kiện ấy trong biến đổi phương trình

- Muốn có kỹ năng giải phương trình mũ và phương trình lôgarit, học sinh phải có kỹ năng biến đổi các biểu thức mũ và lôgarit

Phần lớn các sai lầm mà học sinh thường hay mắc phải trong chương này

là do chưa chú ý đúng mức đến ĐKXĐ của phương trình hoặc do biến đổi phương trình sai

Trong SGK Đại số và Giải tích 11, khi nói về phương trình lượng giác, các

tác giả đã đi vào cách giải các dạng phương trình thường gặp Nhưng đối với phương trình mũ và phương trình lôgarit ở SGK Giải tích 12, các tác giả đã không làm như vậy mà chỉ nêu các phương pháp giải thường dùng (Tất nhiên có thể phân loại theo các dạng phương trình, chẳng hạn như phương trình bậc nhất

và bậc hai đối với một hàm số mũ hay lôgarit; phương trình thuần nhất bậc hai đối với hai hàm số mũ;…Song cách phân loại như vậy không thật sự thích hợp đối với các phương trình mũ và lôgarit)

Cuối cùng, yêu cầu chủ yếu của bài này là yêu cầu về kỹ năng Do đó, khi dạy học thì giáo viên cần dành nhiều thời gian cho học sinh làm bài tập luyện tập

sự kiện (lời văn, ký hiệu hay hình ảnh) lấn át hẳn nội dung, bản chất của sự kiện

đó [21]

Những sai lầm làm hạn chế năng lực học toán của học sinh Qua việc phân tích những sai lầm, người giáo viên cần làm cho học sinh nhận diện được các sai lầm, thấy được nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm Từ đó học sinh sẽ tránh được những sai lầm, nắm nội dung kiến thức một cách chắc chắn hơn

Trong phạm vi luận văn chúng tôi chỉ phân tích những sai lầm có tính chất

điển hình, nhiều học sinh thường mắc

Như đã nói ở trên thì học sinh thường mắc các sai lầm do không chú đến điều kiện xác định của phương trình và do biến đổi sai các biểu thức mũ và lôgarit Sau đây là một vài ví dụ minh họa:

Như vậy, học sinh đã mắc phải sai lầm là quên tìm ĐKXĐ của phương trình Ta có thể thấy ngay là lg(x3) không xác định tại x2

Lời giải đúng như sau:

ĐKXĐ: 2

x  x  và x 3 0 Do đó, ta có thể viết:

2 2

2 2

Một số học sinh giải như sau:

ĐKXĐ: x0 Với điều kiện đó, ta có

3

3 3

Sai lầm của học sinh trong lời giải trên là biến đổi lôgarit log32x3 3log23 x.

Thực ra, ta phải có 2 3  32  2 2

log x  log x  3log x 9log x

Lời giải đúng như sau:

Trong phương trình cuối, đặt ylog3x ta có phương trình 9y2 10y 3 0

Dễ thấy phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm

Tuy x2 là đáp số đúng song sai lầm ở đây là học sinh đã hiểu 22x 2 22 x

Lời giải đúng như sau:

Do đó x 2 không là nghiệm của phương trình

Sai lầm của học sinh trong lời giải trên là biến đổi log2 x2 2log2 x, phải luôn nhắc nhở học sinh là 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 1

Ví dụ 5: Giải phương trình log 2

Cả 2 bước biến đổi trên đều làm co hẹp miền xác định của phương trình, dẫn đến

hiện tượng làm mất nghiệm Cần chú cho học sinh rằng: logc a logc b logc a

Ví dụ 7: Tìm nghiệm của phương trình

2 2 3

x x



 thuộc miền xác định của

Thử lại, có x2 thuộc miền xác định của hàm số ylg(x2 10 )x

Sai lầm của học sinh thường gặp ở bài này là từ phương trình (2) các em giải ra phương trình có hai nghiệm là:

Phương trình (*) có nghiệm 1

4

x 

Phương trình (**) có vế trái là hàm số đồng biến, vế phải là hàm số nghịch biến nên phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất Mà x2 là một nghiệm của phương trình (**) nên x2 là nghiệm duy nhất

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 1

4

x và x2 Trong bài này học sinh thường mắc sai lầm là: Lúng túng không biết cách đặt ẩn phụ tlog2x để đưa về phương trình bậc hai ẩn số t, có thể học sinh nhận xét ylog22x(x1)log2x là hàm số đồng biến, y 6 2x là hàm số nghịch

biến Điều này chưa chính xác và dễ làm mất nghiệm 1

  =   không thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình chỉ có nghiệm 5 2 ,

12 x=   n víi n

 Sai lầm ở bài này là khi sử dụng tính chất của lôgarit rút từ phương trình

đã cho về phương trình lượng giác thì vô tình chúng ta đã làm mở rộng tập xác định Do đó, phải hướng dẫn học sinh đặt điều kiện xong không nên giải điều kiện, làm mất thời gian, mà nên giải phương trình xong rồi so sánh với điều kiện Học sinh không nắm vững tính chất của lôgarit nên cảm giác bài toán khó, dẫn

kỹ năng không ngừng nâng cao Trên đây chỉ là một số khó khăn, sai lầm cơ bản, điển hình mà học sinh THPT thường mắc phải Trên cơ sở phân tích và đưa ra các biện pháp khắc phục ta có thể nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề, hơn nữa học sinh sẽ có thêm hứng thú, phát triển tư duy và đồng thời phát triển năng lực giải toán cho bản thân

Chương 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ NHỮNG KẾT LUẬN

SƯ PHẠM VỀ VIỆC RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

Với b0, phương trình vô nghiệm

2.1.2 Phương trình lôgarit cơ bản

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: loga xb a ( 0, a1)

Phương pháp giải:

Theo định nghĩa lôgarit ta có: loga x  b x a b Như vậy, phương trình

loga xb a ( 0, a1) luôn có nghiệm duy nhất xa b với mọi b

Ví dụ 3: Giải phương trình  3

3 2 2 x  3 2 2Hướng dẫn gải:



   Hướng dẫn giải:

Ví dụ 5: Giải phương trình 1

7x 2xHướng dẫn giải:

Phương trình đã cho tương đương với 7 7

2 3

x x

x x

Vậy x2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất xlog 52

2.2 Phương trình mũ, phương trình lôgarit đưa về phương trình mũ và phương trình lôgarit cơ bản

2.2.1 Phương pháp đưa về cùng một cơ số

Thường áp dụng các phép tính về lũy thừa hay phép tính lôgarit để biến đổi Để hóa đồng cơ số hoặc để khử biểu thức mũ và biểu thức lôgarit chứa ẩn số

ta thường lấy mũ hoặc lôgarit các vế

b b

g) log (a bc)loga b loga c, 0  a 1, bc0

h) loga b loga b loga c, 0 a 1, bc 0

Vậy nghiệm của phương trình là x2

Nhận xét: Trong lời giải trên ta thấy ngay số 625 có thể biểu diễn thành 4

Ví dụ 3: Giải phương trình log ( 8 2 6 9) 2log 1

 





Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x48

Ví dụ 5: Giải phương trình log a 2 log1 0

a

a x

x a

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất xa

Ví dụ 7: Giải phương trình log2xlog4xlog8x11

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: x0

Sử dụng công thức c) của tính chất lôgarit, phương trình được viết thành:

1

6sin

2 6

Với    

26

Suy ra với l 2 , n n thì (3) thoả mãn

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

Khi 1

63

Phương trình tương đương với 24x3m 23x 4x33xm

Ta sẽ chứng minh phương trình trên có nghiệm duy nhất và chỉ ra nghiệm đó Thật vậy, ta xét hàm số y4x33xm có miền xác định là D và

y  x    x D nên hàm số luôn đồng biến Vậy nếu phương trình trên

có nghiệm x0 thì nghiệm đó là duy nhất

là nghiệm của phương trình

Vậy với m 1 phương trình có nghiệm duy nhất

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x1.

Ví dụ 12: Giải và biện luận phương trình

Để giải phương trình bằng phương pháp mũ hoá hoặc lôgarit hoá thì ta phải nắm vững các tính chất đã nêu ở trên Tuy nhiên, trước khi mũ hoá hoặc lôgarit hoá cần phải biến đổi để rút gọn cả hai vế của phương trình về dạng đơn giản nhất, đặc biệt cần chú ý đến công thức đổi cơ số để đưa về cùng một cơ số Phương pháp lôgarit hoá tỏ ra càng hiệu lực khi hai vế của phương trình có dạng tích các luỹ thừa

Chúng ta chú ý các phép biến đổi cơ bản sau:

hoặc logb a f x( ) logb b g x( )  f x( ).logb ag x( )

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 2, lg12

lg 3

x  x

Chú ý: Khi gặp các phương trình có hai vế đều dương và là tích của nhiều luỹ

thừa có cơ số và số mũ khác nhau (không thể đưa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ được), nếu lấy lôgarit với cơ số thích hợp ta có thể đưa phương trình đã cho thành phương trình đơn giản hơn đã biết cách giải

Có thể lôgarit theo cơ số bất kỳ cả hai vế Trong ví dụ trên ta chọn lôgarit thập phân cho tiện

Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm là x3

Chú ý: Nếu chúng ta quên đặt điều kiện thì có thể chúng ta sẽ lấy thêm nghiệm

So sánh với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm x2, x 1 33

Chú ý: Nếu biến đổi 1 2 1

Do đó, chúng ta phải nhớ rằng: loga b2 2loga b

Khi sử dụng công thức đổi cơ số lôgarit, ta biến đổi phương trình về dạng

ta , t0 hoặc t loga( )x , ta sẽ được một phương trình đại số f t( )0,

giải phương trình này nếu có nghiệm t khi đó giải phương trình a( )x t hoặc

Chia hai vế của phương trình cho

1

7

, 05

log

x x

5

x 

Chú ý: Ta thường chia hai vế của phương trình cho một luỹ thừa nào đó chứa

trong phương trình để giảm bớt số các luỹ thừa có cơ số khác nhau

Với phương trình dạng 1.a x2.b x 3 0 với ab1 Khi đó đặt ,

Ta sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp t 0 cho trường hợp đặt ta f x( ) vì lý do sau:

- Nếu đặt t a x thì điều kiện t0 là điều kiện đúng

- Nếu đặt t2x21 thì t 0 chỉ là điều kiện hẹp, bởi thực chất điều kiện cho t phải là t2 Điều kiện này đặc biệt quan trọng cho lớp các bài toán có chứa tham số

ĐKXĐ: x 

Vậy phương trình có hai nghiệm là x0, x2

Chú ý: Nếu đưa được phương trình đã về dạng a( )x  p a ( )x  q 0thì dùng ẩn phụ ta( )x để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai

Ví dụ 3: Giải phương trình 2 4 2( 2 1) 2( 2 2) 2 3

2x  2 x   2 x  2x  1Hướng dẫn giải: