Rèn luyện khả năng giải bài toán bằng cách lập phương trình cho học sinh lớp 8 và lớp 9 ở trường trung học cơ sở (Khóa luận tốt nghiệp)

Là sinh viên sư phạm toán và sẽ là người dạy học môn Toán THCS sau này, việc tìm hiểu cách thức rèn luyện, nâng cao cho HS khả năng giải bài toán bằng lập PT, chuẩn bị cho công tác tương

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Mục tiêu giáo dục nước ta trong giai đoạn hiện nay là đào tạo ra conngười có trí tuệ, giàu tính sáng tạo, biết đem lí luận vận dụng vào thực tiễn

đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa Điều 28, mục 2, chương II,

Luật Giáo dục (2005) đã quy định:“Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm

vui, hứng thú học tập cho HS” Nghị quyết TW 2 khóa 8 tiếp tục khẳng định

“Phải đổi mới giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nề nếp tư duy, sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, giành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho HS”.

Trong chương trình môn Toán THCS HS được tiếp cận chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” (gọi chung là giải bài toán bằng cách lập PT).

Các bài toán trong chủ đề chủ yếu thuộc dạng toán có lời văn Giải các bàitoán loại này yêu cầu HS phải có kiến thức, khả năng phân tích, tổng hợp, liênkết các đại lượng, thành lập PT, HPT để giải Do đặc thù riêng của dạng toánnày là hầu hết các bài toán đều gắn với nội dung thực tiễn Vì vậy đòi hỏi ở

HS vốn kinh nghiệm, trải nghiệm thực tiễn Tuy nhiên vốn trải nghiệm thựctiễn của HS THCS còn ít nên khi giải bài toán HS thường mắc sai lầm là thoát

ly khỏi thực tiễn, quên điều kiện của ẩn số, không khai thác hết mối liên hệràng buộc của các yếu tố bài toán, dẫn đến lời giải thường sai sót hoặc thiếuchính xác, chặt chẽ Vì vậy nhiều HS ngại giải dạng toán này

Khảo sát và phỏng vấn một số GV dạy học môn Toán ở một số trường

THCS trên địa bàn tỉnh Phú Thọ, hầu hết GV đều khẳng định rằng: “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” là một chủ đề toán khó đối với HS Đặc biệt, khó

khăn nhất đối với họ chủ yếu là khâu thiết lập mô hình TH cho bài toán, khaithác sâu nội dung bài toán hoặc khái quát hóa lớp bài toán Bởi lẽ đó việc lôicuốn, tạo hứng thú, tâm thế để HS tích cực tham gia vào quá trình học tập chủ đề

“Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” gặp nhiều khó khăn gây nên những hạn

chế nhất định trong hiệu quả dạy học chủ đề

Là sinh viên sư phạm toán và sẽ là người dạy học môn Toán THCS sau

này, việc tìm hiểu cách thức rèn luyện, nâng cao cho HS khả năng giải bài toán bằng lập PT, chuẩn bị cho công tác tương lai là một trong những vấn đề

quan trọng và có ý nghĩa cả về lý luận và thực tiễn

Vì những lí do trên chúng tôi chọn: “Rèn luyện khả năng giải bài toán bằng cách lập phương trình cho học sinh lớp 8 và lớp 9 ở trường trung học

cơ sở” làm khóa luận tốt nghiệp đại học của mình.

2 Mục tiêu khóa luận

Xác định các thành tố trong khả năng giải bài toán bằng cách lập PT Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển khả năng giải bài toán bằng cách lập PT cho HS lớp 8, lớp 9 ở trường THCS trong dạy học chủ đề“Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT”.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa về mục tiêu, nội dung dạy

học chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” trong chương trình môn

3.4 Xác định các thành tố trong khả năng giải bài toán bằng cách lập

PT của HS.

3.5 Tìm hiểu thực trạng rèn luyện khả năng thông qua dạy học chủ đề

“Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” ở một số trường THCS trên địa bàn

tỉnh Phú Thọ

3.6 Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển khả năng giải bài toán bằng cách lập PT cho HS lớp 8, lớp 9 ở trường THCS trong dạy học chủ đề“Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT”.

3.7 Thử nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của cácbiện pháp sư phạm đã đề xuất

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

* Đối tượng nghiên cứu: Quá trình dạy học chủ đề “Giải bài toán bằng

cách lập PT, HPT”.

* Phạm vi nghiên cứu: Nội dung chương trình đại số lớp 8, lớp 9 THCS

5 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau:

5.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

* Tập hợp, đọc, nghiên cứu, phân tích, tổng hợp, hệ thống các nguồn tàiliệu, các đề tài nghiên cứu, các giáo trình tham khảo có liên quan tới đề tài

* Nghiên cứu các vấn đề định hướng đổi mới phương pháp dạy học ởtrường THCS

* Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa về mục tiêu, nội dung dạy học chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” trong chương trình môn Toán THCS.

* Nghiên cứu trình tự thực hiện các bước “Giải bài toán bằng cách lập

PT, HPT” Hệ thống một số lớp bài tập, một số phương pháp giải các dạng

toán điển hình liên quan đến chủ đề

* Tìm hiểu các thành tố trong khả năng giải bài toán bằng cách lập PT

của HS

5.2 Phương pháp điều tra, quan sát

* Dự giờ, điều tra, phỏng vấn, trao đổi với một số GV giỏi, có kinh

nghiệm dạy học môn Toán ở trường THCS về chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” với hình thức phỏng vấn, lấy ý kiến đóng góp qua phiếu

thăm dò

* Điều tra thực trạng khả năng giải bài toán bằng cách lập PT của HS

thông qua phiếu điều tra và bài kiểm tra

5.3 Tổng kết kinh nghiệm

Tổng kết kinh nghiệm của các GV giỏi, có kinh nghiệm dạy học môn Toán

ở trường THCS về dạy chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT”.

5.4 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia

Xin ý kiến giảng viên hướng dẫn, các giảng viên giảng dạy môn Toán ởtrường Đại Học Hùng Vương và một số GV dạy giỏi môn Toán ở trường phổthông nhằm hoàn thiện đề tài

5.5 Phương pháp thử nghiệm sư phạm

Tổ chức thử nghiệm sư phạm để khẳng định tính khả thi của các biệnpháp đã đề xuất

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

6.1 Đề tài đã xác định được các thành tố trong khả năng giải bài toán bằng cách lập PT của HS.

6.2 Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện khả năng giải bài toán bằng cách lập PT cho HS lớp 8, lớp 9 ở trường THCS trong dạy học chủ

đề “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT”.

6.3 Khóa luận là tài liệu tham khảo cho GV Toán THCS và sinh viên sư phạm

Toán quan tâm tới vấn đề rèn luyện khả năng giải bài toán bằng cách lập PT.

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, phụ lục, khóa luận

được cấu trúc thành 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.

Chương 2: Các biện pháp rèn luyện khả năng giải bài toán bằng cách lập

phương trình cho học sinh lớp 8, lớp 9 trường trung học cơ sở

Chương 3: Thử nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Về vai trò và các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông

1.1.1 Vai trò của việc dạy học giải bài toán bằng cách lập PT trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông

* Giải bài toán bằng cách lập PT góp phần thực hiện mục tiêu giáo dục toán học ở trường phổ thông.

Giải bài toán bằng cách lập PT là một trong những nội dung quan trọng

của chương trình môn Toán THCS Đặc biệt, trong giai đoạn hiện nay, mônToán có vai trò và ý nghĩa trong việc cung cấp vốn văn hoá trung học phổthông một cách có hệ thống bao gồm các kiến thức, kỹ năng, phương pháp tưduy TH Những kiến thức, kỹ năng thực hành cùng với phương pháp làm việctrong môn Toán trở thành công cụ để người học học tập những môn học khác,bước đầu tiếp cận các lĩnh vực khoa học khác nhau, là công cụ để HS bước vào

thực tiễn cuộc sống Giải bài toán bằng cách lập PT là một phần kiến thức

quan trọng giúp thực hiện vai trò công cụ này

Ngoài ra, “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” có điều kiện góp

phần thực hiện mục tiêu rèn luyện và phát triển năng lực trí tuệ cho HS Quaviệc giải toán của chủ đề này, HS được rèn luyện các thao tác trí tuệ cơ bảnnhư phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, các phẩm chất tư duy linhhoạt, độc lập, sáng tạo, khả năng tư duy logic và sử dụng ngôn ngữ chính xác;rèn luyện khả năng, thói quen làm việc theo quy trình và tuân thủ những ràngbuộc bắt buộc, nghiêm ngặt trong quy trình…

* Góp phần củng cố các kỹ năng thực hành, kỹ năng vận dụng TH, rèn luyện, phát triển văn hoá TH cho HS

“Văn hoá TH là một chỉnh thể gồm tư duy TH và nhiều phẩm chất cho phép người làm toán lao động đầy sáng tạo, có hiệu quả, đầy hứng thú; những phẩm chất đó vẫn còn tác dụng ngay khi chủ thể đã quên kiến thức TH hoặc đi ra ngoài phạm vi hoạt động có ứng dụng kiến thức TH” [15, tr 56].

“Giải bài toán bằng lập PT, HPT” thường được thực hiện đối với các bài toán

có lời văn mang nội dung thực tiễn Do đó, nó góp phần rèn luyện cho HS khảnăng vận dụng TH vào thực tiễn Qua một thử nghiệm nhỏ về khả năng tínhtoán của HS cấp II (một số HS khi làm một phép tính trên các số tự nhiên gặpkhó khăn và tính toán chậm, nhưng khi gắn các con số vào các tình huốngthực của đời sống để thực hiện phép tính thì hiệu quả và tốc độ tính toán thậtbất ngờ!) chúng tôi thấy nhiều kỹ năng TH như kỹ năng tính nhanh, tínhnhẩm của HS, kỹ năng dựng và đọc biểu đồ, được rèn luyện tốt hơn qua

hoạt động giải bài toán thực tiễn có lời văn Ngoài ra, “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” cũng giúp cho người học rèn luyện các phẩm chất, tính

cách, thái độ làm việc khoa học: Tính cẩn thận, chính xác, thái độ phê phán,thói quen làm việc có tính kiểm tra, thói quen làm việc theo quy trình, ý thứctối ưu hoá trong lao động,

* Góp phần giúp HS thấy được mối liên hệ gần gũi giữa toán học và thực tiễn, giữa toán học với các môn học khác.

Đặc trưng của dạng toán giải bài toán bằng cách lập PT là bài toán cho

dưới dạng toán có lời văn và có sự đan xen của nhiều ngôn ngữ khác nhaunhư ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ TH, ngôn ngữ của các lĩnh vực khoahọc khác như vật lí, hóa học…Do đó tự thân bài toán đặt ra yêu cầu cho ngườihọc phải có vốn hiểu biết ít nhiều về ngôn ngữ, kiến thức các lĩnh vực khoahọc khác nhau Ngoài ra, trong quá trình đi sâu giải bài toán, HS dần dần thấyđược phạm vi, mối quan hệ giữa các lĩnh vực khoa học, làm tăng lượng thôngtin về mối liên hệ giữa TH và thực tiễn, một trong những điều kiện để pháttriển ở người học năng lực vận dụng TH vào thực tiễn Rõ ràng, thực hiện giải

dạng toán này giúp HS thấy được mối liên hệ gần gũi giữa TH và thực tiễn,

giữa TH với các môn học khác.

* Góp phần tạo hứng thú học tập môn Toán cho HS.

Hứng thú là hoạt động tâm lí có ý nghĩa đặc biệt đối với cuộc sống vàhoạt động con người Hứng thú làm nảy sinh khát vọng khiến người học họctập, làm việc bằng phương pháp tốt nhất để hoàn thành công việc Nhờ đó mà

HS say mê lĩnh hội tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, tích cực tự giác, chủ động trong

công việc học tập Qua việc giải bài toán bằng cách lập PT ngoài sự phấn khởi

khi tìm thấy kết quả, đáp ứng yêu cầu của bài toán, HS còn nảy sinh hứng thú,khát vọng về việc vận dụng các kiến thức TH để giải quyết nhiều vấn đề thựctiễn hơn nữa Ngoài ra, qua việc giải các bài toán thực tiễn, người học thấyđược giá trị, cái hay, cái đẹp của TH trong các lĩnh vực thực tiễn (vật lý, sinhhọc, kinh tế, …), từ đó mong muốn đem hiểu biết về TH của bản thân để tìmhiểu sâu các vấn đề trong lĩnh vực đó Điều này tác động tích cực đến hiệu quảhọc tập môn Toán của HS

1.1.2 Các bước thực hiện giải bài toán bằng cách lập PT

1.1.2.1 Phương pháp chung để giải bài toán

Theo quan niệm của L.N Lanđa, A N Lêonchiep thì: Bài toán là mục đích

đã cho trong những điều kiện nhất định, đòi hỏi chủ thể (người giải toán) cần phải hành động, tìm kiếm cái chưa biết trên cơ sở mối liên quan với cái đã biết Theo cách quan niệm của Pôlya:“Bài toán đặt ra là sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay Giải bài toán là tìm ra phương tiện đó” [19, tr 61]

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Pôlya

về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học

[8] đã nêu phương pháp chung để giải bài toán như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài.

- Phát biểu đề bài dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán

- Phân biệt cái đã cho, cái phải tìm.

- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

Bước 2: Tìm cách giải.

- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìmvới những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương

tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó

có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán nhưchứng minh phản chứng, quy nạp TH,

- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệthoá kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan

- Tìm tòi các cách giải khác, so sánh chúng để được cách giải hợp lý nhất

Bước 3: Trình bày lời giải.

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành mộtchương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Bước 4: Phân tích, biện luận cách giải

Ở bước này sau khi thực hiện xong lời giải cần phát huy tính sáng tạo,bồi dưỡng HS thông qua việc:

- Tổng quát hoá bài toán

- Có thể giải bài toán bằng cách khác tốt hơn không?

Bước 5: Nghiên cứu sâu lời giải.

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.Bước này thường để mở rộng cho HS khá, giỏi Sau khi giải xong có thể gợi ý

HS biến đổi bài toán đã cho thành bài toán tương tự bằng cách :

- Thay đổi kết luận thành giả thiết và ngược lại

- Thay đổi lời văn giữ nguyên số liệu

- Giải bài toán bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất

Từ đó GV nên hướng dẫn HS nhiều cách giải khác nhau Lựa chọn cáchgiải hay nhất, ngắn nhất

1.1.2.2 Các bước giải bài toán bằng cách lập PT

Một trong các loại hình của giải toán là “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” Việc “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” được thực hiện đối với

lớp bài toán có lời văn mà trong giả thiết hoặc kết luận có chứa nội dungmang yếu tố thực tiễn Giải các bài toán loại này thực chất là thực hiện việcvận dụng kiến thức về PT, HPT trong TH để giải quyết một bài toán nảy sinh

từ một tình huống nào đó của thực tiễn Nói một cách khái quát thì đó chính làviệc vận dụng TH vào thực tiễn

Theo [17], khi nghiên cứu việc vận dụng TH vào giải các bài toán đặt ratrong thực tiễn cuộc sống thường quy ước phân ra các giai đoạn chính sau đây: 1) Xây dựng mô hình TH cho bài toán

2) Chọn phương pháp nghiên cứu bài toán TH đã thu nhận được

3) Tiến hành giải bài toán TH

4) Phân tích và biểu thị thực tế kết quả TH đã nhận được.” [17, tr 130] Trong [8] đã xác định việc vận dụng kiến thức TH vào thực tiễn được tiếpcận và giải quyết theo ba bước chính sau:(1) Toán hoá tình huống thực tiễn;(2) Dùng công cụ TH để giải quyết bài toán trong mô hình TH; (3) Chuyểnkết quả trong mô hình TH sang lời giải của bài toán thực tiễn [8, tr 168]

Như vậy, tuy hình thức trình bày không tuyệt đối giống nhau, nhưng cáctài liệu đều có quan điểm thống nhất: Quá trình vận dụng TH vào thực tiễnthông qua giải một bài toán TH cần được chia thành bốn bước:

Bước 1: Từ tình huống thực tiễn, xây dựng bài toán thực tiễn.

Bước 2: Chuyển bài toán thực tiễn đã xây dựng sang mô hình TH.

Bước 3: Dùng công cụ TH để giải bài toán trong mô hình TH.

Bước 4: Chuyển kết quả lời giải bài toán trong mô hình TH sang lời giải của

bài toán thực tiễn

Trong việc “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” thì người giải toán đã

có sẵn bài toán (được xây dựng từ một tình huống nào đó của thực tiễn) đểgiải Do đó, người giải toán không cần thực hiện bước 1; quá trình thực hiệnbước 2 đòi hỏi xây dựng mô hình TH của bài toán cần giải dưới dạng PT,HPT; quá trình thực hiện các bước tiếp theo là việc bắt buộc

Từ những phân tích trên đây và theo [8], việc “Giải bài toán bằng cách lập

PT, HPT ” phải được thực hiện tuần tự qua các bước:

Bước 1: Lập PT.

- Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn (thường đề bài hỏi gì chúng ta chọn đạilượng đó làm ẩn Tuy nhiên có một số bài toán không chọn trực tiếp được ẩnbởi nếu vậy thì lời giải rườm rà hơn, nên ta phải chọn ẩn gián tiếp)

- Phân tích, xác định yếu tố trung tâm trong bài toán, sắp xếp (theo thứtự) bắt đầu từ yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất theo yêu cầu của đầu bài

- Phát hiện các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng: Xác định các đại lượng

đã cho (đại lượng cố định, đại lượng biến đổi), các đại lượng cần tìm, phântích mối liên hệ giữa chúng (mối liên hệ theo giả thiết của bài toán hoặcnhững mối liên hệ tổng quát có tính quy luật)

- Biểu thị những đại lượng chưa biết bằng các biến số; sử dụng các biểuthức, kí hiệu TH thích hợp nhằm thiết lập mối quan hệ TH giữa các biến số vàcác hệ số điều khiển hiện tượng dưới dạng những PT, HPT,…)

Bước 2: Giải PT

- Để giải PT đã lập được ở bước 2 ta cần áp dụng các quy tắc đã học nhưquy đồng, khử mẫu, chuyển vế, thu gọn, đưa về dạng cơ bản: ax b  0,

2 0

ax  bx  c  , rồi áp dụng quy tắc chung để tìm ra giá trị của ẩn x.

- Tùy từng PT (bậc nhất, bậc hai) hay hệ PT mà chọn cách giải ngắn gọn

và phù hợp

- Ý thức sự diễn biến của tập hợp khi biến đổi PT.

Bước 3: Kết luận

- Kiểm tra xem trong các nghiệm của PT, nghiệm nào thỏa mãn điều kiệncủa ẩn, nghiệm nào không thoả mãn điều kiện của ẩn số

- Trả kết quả nghiệm tìm được từ việc giải PT, HPT cho bài toán ban đầu

và đưa ra kết luận, đáp số của bài toán

Theo [1], việc hướng dẫn HS thực hiện giải bài toán bằng lập PT cũng

được tiến hành theo 3 bước như trên

1.1.2.3 Yêu cầu về giải một bài toán bằng cách lập PT

Từ các bước giải bài toán bằng cách lập PT yêu cầu giải một bài toán được trình bày trong [8], ta thấy việc giải bài toán bằng lập PT cần đảm bảo

các yêu cầu sau:

Yêu cầu 1: Kết quả đúng trong tất cả các bước giải bài toán.

Yêu cầu 2: Phải có lập luận, căn cứ chính xác Từng lập luận của lời giải

trong thiết lập PT, giải PT, trả kết quả bài toán phải logic chặt chẽ với nhau,thỏa mãn điều kiện nêu trong giả thiết

Yêu cầu 3: Lời giải tuân thủ đầy đủ theo quy trình các bước đã xây dựng Yêu cầu 4: Ngôn ngữ chính xác Đặc biệt, với ngôn ngữ lập luận để đi

đến PT không gây cách hiểu theo nhiều nghĩa khác nhau

Yêu cầu 5: Trình bày rõ ràng, đảm bảo mĩ thuật.

Yêu cầu 6: Cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất

1.2 Một số yếu tố đặc trưng của khả năng giải bài toán bằng cách lập PT

Xuất phát từ mục đích chính của luận văn là góp phần phát triển khả

năng giải bài toán bằng cách lập PT nên việc xác định các thành tố cho khả

năng này là một vấn đề quan trọng Để xác định các thành tố của khả năng nói

trên, chúng tôi căn cứ vào: (1) Vai trò của việc dạy học giải bài toán bằng cách lập PT trong môn Toán ở trường THCS, mục tiêu của việc giáo dục HS

qua môn Toán; (2) các hoạt động của từng bước giải bài toán bằng cách lập

PT, HPT; (3) yêu cầu của việc giải một bài toán.

Ngoài ra, việc xác định các thành tố của khả năng giải bài toán bằng cách lập PT còn dựa trên đặc điểm tâm, sinh lý lứa tuổi; kinh nghiệm trải

nghiệm cuộc sống, khả năng phát hiện ra các mối quan hệ định tính của hiệnthực khách quan của HS lứa tuổi THCS Từ đó, chúng tôi xác định một số yếu

tố đặc trưng của khả năng giải bài toán bằng cách lập PT như sau:

1 Khả năng liên tưởng; kết nối các ý tưởng TH với các yếu tố thực tiễn.

Biểu hiện của khả năng này là HS có khả năng, thói quen thu, nhậnthông tin TH từ tình huống thực tiễn, phát hiện ra kiến thức TH cần và có thể

sử dụng để giải; có khả năng đặt ra bài toán thực tiễn từ tình huống và giải bàitoán Khả năng này đòi hỏi người học phải kết hợp một cách sáng tạo các kiếnthức đã học với kinh nghiệm trải nghiệm thực tế của bản thân

2 Khả năng thiết lập PT, HPT theo yêu cầu bài toán

Khả năng này bao gồm các khả năng thành phần sau:

 Khả năng xác lập, đánh giá mối quan hệ, mức độ phụ thuộc giữa các yếu tố trong bài toán.

Trong bài toán các dữ kiện ràng buộc lẫn nhau, ẩn ý dưới dạng lời văn.Biểu hiện của khả năng này HS có khả năng suy luận, đánh giá để tìm đượcmối liên hệ giữa các đại lượng phục vụ cho việc thiết lập PT Các mối quan

hệ giữa các yếu tố trong bài toán bao gồm hai loại: Mối quan hệ theo giả thiếtcủa bài toán những mối liên hệ tổng quát có tính quy luật Chẳng hạn, quan hệgiữa quãng đường, vận tốc và thời gian của cùng một chuyển động là quan hệ

lập mối quan hệ giữa các ẩn số với các dữ kiện đầu bài không rơi vào tìnhtrạng phi thực tiễn Chẳng hạn: Giải bài toán tính chiều cao của một người vàtìm được kết quả là 2,5m Rõ ràng kết quả này phi thực tiễn.

 Khả năng xác định yếu tố trung tâm của bài toán, loại bỏ những yếu tố không bản chất.

Biểu hiện ở khả năng này là HS đọc bài toán có thể xác định ngay đượcyếu tố nào là trung tâm trong bài toán nhằm thiết lập các mối quan hệ của cácyếu tố bài toán quanh các yếu tố trung tâm này; xác định được các yếu tốkhông bản chất của bài toán (chẳng hạn: Đơn vị đo của yếu tố trong bài toán);khả năng loại bỏ những yếu tố không cần thiết trong bài toán

 Khả năng lựa chọn kí hiệu, ẩn số xây dựng thành lập PT, HPT cho bài toán.

Sau khi xác lập, đánh giá mối quan hệ, mức độ phụ thuộc giữa các yếu

tố trong bài toán; xác định yếu tố trung tâm của bài toán loại bỏ những yếu tốkhông bản chất, HS tiến hành bước lập PT TH cho bài toán Khả năng chuyểnđổi thông tin giữa bài toán có lời văn và bài toán TH, được biểu hiện qua việc

HS sử dụng các biến, các biểu thức, kí hiệu TH, sơ đồ,… để chuyển đổi nhữngthông tin trong bài toán thành các dữ kiện TH và tổ chức lại các dữ kiện TH đóđảm bảo diễn tả một cách chính xác, cụ thể mối quan hệ giữa các yếu tố trongbài toán thực tiễn nhằm phát biểu bài toán dưới dạng bài toán thuần túy TH

3 Khả năng giải nhanh chính xác các PT, HPT cơ bản.

Đây là một trong những vấn đề trọng tâm trong khả năng giải bài toán bằng cách lập PT Để có được khả năng này, người học cần rèn luyện bền bỉ

trong làm toán giải PT, HPT, trong đó đặc biệt lưu ý vấn đề xác định điềukiện, loại nghiệm, căn cứ diễn biến tập hợp nghiệm qua các phép biến đổilogic (PT chứa ẩn ở mẫu, )

4 Khả năng điều chỉnh mô hình TH, kiểm tra, đối chiếu kết quả.

Sau khi đã lập mô hình TH cho bài toán, HS phải kiểm tra được tínhđúng đắn, phù hợp của các kí hiệu, ẩn số, biểu thức, phép toán giữa các biểuthức với các dữ kiện đã cho trong bài toán và có thể điều chỉnh một số phéptoán, cách kí hiệu ẩn số,…trong mô hình TH nếu cần thiết Ở mức độ phứctạp hơn, HS khá còn có thể có khả năng khái quát hóa các yêu cầu của bàitoán hoặc điều chỉnh giả thiết, kết luận của bài toán để có được hệ thống bàitoán phong phú và có tính khái quát Ngoài ra, HS cần có được phản xạ tựnhiên là đối chiếu điền kiện, yêu cầu đầu bài để chính xác hóa kết quả sau khigiải PT đã thiết lập

1.3 Về chủ đề giải bài toán bằng cách lập PT trong chương trình môn Toán các lớp 8, 9 ở trường THCS

* Về tư duy, thái độ:

- Rèn luyện tư duy logic, ngôn ngữ chính xác; phát triển khả năng suyđoán; rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản (phân tích, tổng hợp, trừu tượnghoá, khái quát hoá); hình thành những phẩm chất trí tuệ: Tính linh hoạt, độclập, sáng tạo,…hình thành, phát triển tác phong làm việc khoa học, thói quen

tự kiểm tra

- Giáo dục cho HS tinh thần, thái độ học tập nghiêm túc, chủ động, độc

lập, sáng tạo trong học tập môn Toán nói chung, học tập chủ đề:“Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” nói riêng.

1.3.2 Nội dung chủ đề

Trong phạm vi đề tài này chúng tôi tìm hiểu chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” trong chương trình SGK Toán THCS ở các lớp 8, 9 cụ thể:

Lớp 8: Chủ đề được phân bố gồm 5 tiết:

Giải bài toán bằng cách lập PT (2 tiết)

Luyện tập (2 tiết)

Ôn tập chương (1 tiết)

Lớp 9: Chủ đề được phân bố gồm 7 tiết, trong đó:

Giải bài toán bằng cách lập PT (2 tiết)

Giải bài toán bằng cách lập hệ PT (2 tiết)

Luyện tập (2 tiết)

Ôn tập chương (1 tiết)

Sách giáo khoa lớp 8 và lớp 9 có đưa một vài ví dụ mẫu về “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” Ngoài ra, hệ thống bài tập thuộc các dạng khác

nhau (toán chuyển động, toán năng suất,…) về chủ đề được trình bày đan xennhau trong chương hoặc phần ôn tập Việc thực hiện chuyển hóa mục tiêu dạyhọc giải bài toán bằng lập PT, hướng dẫn giải, phân loại dạng bài tập cho HShoàn toàn phụ thuộc vào GV

1.4 Thực trạng việc rèn luyện khả năng giải bài toán bằng cách lập PT cho HS lớp 8, lớp 9 ở một số trường THCS trên địa bàn Tỉnh Phú Thọ.

Để điều tra thực trạng rèn luyện khả năng giải bài toán bằng lập PT qua dạy học chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT”, chúng tôi đã tiến

hành điều tra trên quy mô nhỏ với 15 GV dạy toán THCS ở một số trườngTHCS trên địa bàn tỉnh Phú Thọ: THCS Hùng Lô, THCS Hạ Hòa Các GVnày đều có thời gian công tác trên 10 năm, 60% có trình độ ĐHSP, 40% có

trình độ CĐSP Ngoài ra, chúng tôi điều tra về khả năng giải bài toán bằng lập cách

PT của 80 HS lớp 9 một số trường trên Việc tìm hiểu thực trạng được tiến hành với chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” trong chương trình sách giáo khoa

lớp 8, lớp 9 và tập trung chủ yếu vào các vấn đề sau:

1) Thực trạng rèn luyện khả năng giải bài toán bằng lập PT của HS

2) Nhận thức của GV về vai trò của việc rèn luyện khả năng giải bài toán bằng cách lập PT và thực tế thực hiện việc rèn luyện khả năng này cho HS; những khó khăn của GV khi tiến hành dạy học chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT”

1.4.1 Thực trạng khả năng giải bài toán bằng lập PT của HS.

Chúng tôi đã cho HS lớp 9 làm bài kiểm tra gồm 2 câu:

Câu 1: (4 điểm)

Khoảng cách giữa 2 bến sông A và B là 76,5 km Một canô xuôi dòng

từ bến sông A đến bến sông B Sau khi đi được 2 giờ canô bị chết máy, 30phút sau canô sửa được máy và tiếp tục đi thêm 1h nữa thì đến B Tính vậntốc canô trong nước yên lặng biết vận tốc dòng nước chảy là 3km/h?

Câu 2: (6 điểm)

Người ta muốn dùng hai loại xe ô tô to và ô tô nhỏ để chở hàng Biếtrằng tổng số ô tô cần sử dụng là 15 chiếc, tổng số hàng cần vận chuyển là 69tấn Một xe ô tô to chở được tối đa 5 tấn hàng, một xe ô tô nhỏ chở được tối

đa 3 tấn hàng

a) Tính số xe mỗi loại? Biết số xe to là một số tự nhiên gồm 2 chữ số

b) Hãy phát biểu một bài toán mà khi giải ta xây dựng được hệ phương trình như phần a)

 Đáp án của đề kiểm tra:

Câu 1: (4 điểm)

Gọi vận tốc của canô trong nước yên lặng là x km/h

(điều kiện: x 3)

0,5

Vận tốc xuôi dòng của canô là: x+3 (km/h) 0,5

Canô đi 2h được quãng đường là: 2(x+3) (km) 0,5Sau đó bị chết máy 30 phút nhưng canô vẫn chuyển động với vận

tốc đúng bằng vận tốc dòng nước nên đi được quãng đường là:

3.0,5=1,5 (km)

0,5

Canô đi tiếp 1h nữa được quãng đường là: x+3 (km) thì đến B 0,5

Do quãng đường AB dài 76,5 (km) nên ta có PT:

b) Xây dựng để dẫn về hệ phương trình như phần a) được 2 điểm (HS tự xây

dựng bài toán không hạn chế về nội dung Chẳng hạn: Một thửa ruộng hình

chữ nhật có chu vi bằng 30 m Nếu gấp chiều rộng lên 3 lần, chiều dài lên 5 lần thì chu vi thửa ruộng tăng lên 108 m Tính kích thước của thửa ruộng đó)

 Ý định sư phạm kiểm tra:

Câu 1: Kiểm tra tất cả các khả năng nêu trong luận văn Đặc biệt khả năng

liên tưởng; kết nối các ý tưởng toán học với các yếu tố thực tiễn; khả năng thiết lập PT, HPT

Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc thực + Vận tốc dòng nước

Vận tốc ngược dòng = Vận tốc thực – Vận tốc dòng nước

Kiểm tra kiến thức thực tế của HS đó là: Khi chết máy canô không đứng im mà chuyển động xuôi dòng đúng bằng vận tốc dòng nước

Câu 2: Kiểm tra khả năng 1, 2, 3, 5 đã nêu trong luận văn

Bảng thống kê kết quả kiểm tra

Nhóm

học sinh

Số học sinh

Mức độ thực hiện bài kiểm tra

trở lên

Dưới trung bình

Qua bảng thống kê kết quả kiểm tra bài làm của HS thấy rằng: Mỗi lớp

chỉ có 3 em làm hết hai câu (9A, 9B: 12%), còn đa phần HS không biết trình bàybài toán Điểm dưới trung bình của lớp 9A là 16%, của lớp 9B là 20 %

Câu 1 (50%) HS làm được tuy nhiên về trình bày chưa được chặt chẽ,khoa học, một số em thiếu điều kiện của ẩn, 50% còn lại đa phần các em

không hiểu hết ý nghĩa thực tế của bài toán Chẳng hạn: Khi chết máy canô không đứng im mà chuyển động xuôi dòng đúng bằng vận tốc dòng nước

dẫn đến không thiết lập được mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán.Câu 2: Ý a có (55% HS không làm được) các em thường tập trung vào

yếu tố “Biết số xe to là một số tự nhiên gồm 2 chữ số” Đây là yếu tố thừa

trong bài toán không cần nó ta vẫn giải được bài toán nhưng nhiều em sa đà

vào đặt số xe ôtô to là ab dẫn đến không thiết lập được PT, 45% còn lại lập

được PT nhưng lại thiếu điều kiện của ẩn, và thiếu bước biểu diễn mối liên

hệ số hàng ôtô to chở được và số hàng ôtô nhỏ chở được

Qua kết quả trên chúng tôi nhận thấy đa phần các em còn yếu ở khâuthiết lập mô hình bài toán vì không biết tìm mối liên hệ giữa các đại lượng;chưa biết điều chỉnh mô hình bài toán (câu 2 ý b - (80%) HS không làmđược), không loại được yếu tố thừa trong bài toán (Câu 2: 55% không làmđược) Bên cạnh đó chúng tôi còn nhận thấy trong bước lập PT các emthường thiếu lập luận, có 1 số em lập được PT nhưng không hề đưa ra lậpluận (10%) và một số ít làm ra kết quả nhưng không đối chiếu và kết luậnnghiệm cho bài toán (8%)

Qua bài kiểm tra trên và qua tìm hiểu, trò chuyện với HS chúng tôi được

biết một trong những nguyên nhân làm cho khả năng giải bài toán bằng lập

PT của HS chưa tốt:

- Trong sách giáo khoa Toán 8, Toán 9 mặc dù đã có một số bài tập giảimẫu các bài toán và một vài chỉ dẫn lập PT nhưng chưa có sự phân dạng vàphương pháp giải từng dạng toán cụ thể Do đó chưa cung cấp cho HS đầy đủnhững cơ sở vững chắc để nắm vững cách giải các dạng toán này

- Do việc học tập chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” đòi

hỏi HS kiến thức của các môn học khác và kiến thức về các vấn đề của thựctiễn mà vốn trải nghiệm thực tiễn của HS nhìn chung còn hạn chế

- HS còn yếu về kỹ xảo ghi tóm tắt giả thiết bằng ký hiệu, khó khăn trong việc thiết lập mối liên hệ phụ thuộc giữa các đại lượng trong bài toán, không biết diễn tả mối phụ thuộc này bằng ký hiệu cho nên khó chuyển bằng lời sang ngôn ngữ TH

- Một số HS không nắm rõ quy trình giải một bài toán bằng cách lập

PT Vì thế khi giải không tuân thủ đầy đủ các bước Do đó, việc kết luận

nghiệm cho bài toán ban đầu sai do không loại nghiệm

- GV thực sự chưa quan tâm, dẫn dắt HS thực hiện việc giải bài toán mộtcách thật quy củ, thiếu những sự lưu ý khi giải từng dạng toán của chủ đề.Những chỉ dẫn của GV nặng về lí thuyết, thông thường HS không nhớ và hệthống hóa được

1.4.2 Nhận thức của GV về vai trò của việc rèn luyện khả năng giải bài toán bằng cách lập PT và thực tế thực hiện việc rèn luyện khả năng này cho HS.

Để điều tra nhận thức của GV về vai trò của việc rèn luyện khả năng

giải bài toán bằng cách lập PT và thực tế thực hiện việc rèn luyện khả năng

này cho HS, chúng tôi đã tiến hành điều tra GV thông qua phiếu điều tra(trong phần phụ lục của đề tài)

Ngoài ra, qua phỏng vấn trực tiếp đối với GV, chúng tôi thấy hầu hết

GV được phỏng vấn đều cho là việc rèn luyện cho HS khả năng giải bài toán bằng cách lập PT là hết sức cần thiết Tuy nhiên, do nhiều nguyên nhân, việc

này chưa thực sự được chú trọng đúng mức

Qua tìm hiểu GV về những khó khăn họ gặp phải khi rèn luyện cho HS

khả năng giải bài toán bằng lập PT qua dạy học chủ đề này, chúng tôi thấy

thực trạng trên có thể bởi một số nguyên nhân:

- Do các môn Toán nói chung là môn khoa học suy diễn, các GV chủyếu quan tâm việc dạy học cho HS kỹ năng giải toán trên các PT, biểu thứcchứa biến, ít quan tâm tới việc thiết lập các PT từ điều kiện bài toán ban đầu

- Do thời lượng chương trình hạn chế nên GV chỉ tập trung dạy đúng,dạy hết nội dung SGK ít có điều kiện luyện tập và khắc sâu các hoạt độngnhằm rèn luyện khả năng này cho HS

- Ngại việc tìm hiểu, phân dạng các bài toán của chủ đề, ngại tìm kiếmthông tin để nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề

- Thiếu kinh nghiệm thiết kế và khai thác sâu các bài toán có lời vănmang nội dung thực tiễn, hạn chế trong việc tìm kiếm các biện pháp khắcphục sai lầm của HS khi học tập chủ đề, thiếu các tài liệu định hướng việc rèn

luyện khả năng giải bài toán bằng cách lập PT cho HS.

Tóm lại: Việc rèn luyện khả năng giải bài toán bằng lập PT cho HS

trong dạy học chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” lớp 8, 9 trong

các trường THCS trên địa bàn tỉnh Phú Thọ chưa thực sự được chú trọng Đa

số GV đều cho rằng rèn luyện khả năng trên là cần thiết nhưng để bắt tay vào

làm việc đó thì còn gặp khó khăn Một trong các khó khăn đó là họ thiếu tài liệu để tìm hiểu và định hướng về việc thiết kế các biện pháp sư phạm trong việc rèn luyện khả năng giải bài toán bằng cách lập PT cho HS, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Rèn luyện cho HS khả năng giải bài toán bằng lập PT là một trong

những việc làm quan trọng góp phần thực hiện mục tiêu giáo dục toán học ở

trường phổ thông Khả năng giải bài toán bằng lập PT được cấu thành bởi

các khả năng thành phần: Liên tưởng, kết nối toán học với tình huống thựctiễn; khả năng thiết lập PT, HPT theo yêu cầu bài toán; khả năng giải nhanh,chính xác các PT, khả năng kiểm tra đáp số, Việc rèn luyện, phát triển các

thành tố của khả năng này được thực hiện chủ yếu qua việc dạy học chủ để

“Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT”

Hiện nay, việc rèn luyện khả năng giải toán bằng cách lập PT cho HS

lớp 8, lớp 9 trong các trường THCS đối với GV dạy Toán còn gặp khó khăn.Một trong các khó khăn là GV còn thiếu các tài liệu định hướng việc rèn

luyện khả năng giải bài toán bằng cách lập PT cho HS góp phần nâng cao

hiệu quả dạy học chủ đề

Chương 2 CÁC BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 8, LỚP 9

TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ.

2.1 Nguyên tắc đề xuất biện pháp

2.1.1 Đảm bảo mục tiêu dạy học chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” trong chương trình SGK các lớp 8, lớp 9 hiện hành

SGK và phân phối chương trình hiện hành của Bộ Giáo dục và Đào tạo

là pháp lệnh nhà nước về giáo dục Chương trình và SGK môn Toán được xâydựng trên cơ sở kế thừa những kinh nghiệm tiên tiến trong và ngoài nước theomột hệ thống nhất quán về phương diện toán học và phương diện sư phạm.Chương trình, SGK môn Toán đã được thực hiện thống nhất trong phạm vi cả

nước Vì vậy việc rèn luyện cho HS khả năng giải bài toán bằng lập PT trong

dạy học chương trình Đại số lớp 8, lớp 9 phải được thực hiện trên cơ sở nộidung SGK và phân phối chương trình hiện hành đảm bảo hướng vào thựchiện mục tiêu, nhiệm vụ giáo dục môn Toán ở trường phổ thông nói chung, ởtrường THCS nói riêng

2.1.2 Phù hợp trình độ nhận thức của HS khối 8, 9

Nội dung chính trong chương trình toán lớp 8, lớp 9 chủ yếu đề cập đến

PT bậc nhất một ẩn, PT bậc hai, hệ PT bậc nhất một ẩn Do đó các bài toán

“Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” phải xoay quanh các dạng PT, HPT

nêu trên để các em có thể giải được và rèn luyện kĩ năng giải PT, HPT Nhưvậy, các ví dụ trong các biện pháp đề xuất cần đảm bảo đưa về lập các PT,HPT được trình bày trong chương trình, sách giáo khoa lớp 8, lớp 9 Mặtkhác, việc mở rộng các bài toán theo hướng mở cũng cần tính đến độ gần gũitrong kiến thức liên môn ở cấp THPT để đảm bảo độ phù hợp tối ưu cho HSkhi tiếp cận phương pháp theo hướng dẫn của GV

2.1.3 Đảm bảo hướng vào các thành tố khả năng thành phần trong khả năng giải bài toán bằng cách lập PT cho HS.

Các biện pháp được xây dựng nhằm phục vụ việc rèn luyện khả năng

giải bài toán bằng cách lập PT cho HS, do đó việc đảm bảo logic các bước trong “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” đã xây dựng là không thể thiếu.

Hơn nữa, mọi tiểu tiết trong mỗi biện pháp phải đảm bảo làm rõ tư tưởng

xuyên suốt các biện pháp là rèn luyện các thành tố trong khả năng giải bài toán bằng lập PT ở những mức độ có thể khác nhau

2.1.4 Đảm bảo tính khả thi trong điều kiện dạy học hiện nay ở các trường THCS trên địa bàn Tỉnh Phú Thọ.

Tính khả thi của biện pháp là khả năng thực hiện được, áp dụng đượcvào thực tế dạy học Tính khả thi này phụ thuộc nhiều vào trình độ nhận thứcchung và thái độ học tập tích cực của HS Để đảm bảo tính khả thi, việc xâydựng và hướng dẫn thực hiện biện pháp cần đảm bảo độ linh hoạt, mềm dẻo,uyển chuyển để có thể tạo điều kiện cho GV sử dụng một cách linh hoạt, phùhợp với điều kiện nhận thức, điều kiện thời gian học tập,…của HS Ngoài ra,các bài toán thực tiễn dùng để hướng dẫn cho HS các hoạt động phát triểncác thành tố đã nêu phải phù hợp trình độ nhận thức, vốn kinh nghiệm trảinghiệm thực tiễn của HS và sát với vốn kinh nghiệm vốn có của HS Đặc biệt,quan tâm tới hướng mở trong mỗi bài toán tùy mức độ nhằm tạo điều kiện tối

đa cho HS tiếp cận tùy khả năng, tạo điều kiện tối đa cho việc truyền tải tưtưởng trong phương pháp tới HS của GV phụ thuộc vào khả năng chuyển hóa

sư phạm của họ

2.2 Đề xuất các biện pháp.

2.2.1 Rèn luyện cho HS ý thức thực hiện tuần tự các bước khi giải bài toán bằng cách lập PT

2.2.1.1 Vai trò của biện pháp 1

Thực hiện tuần tự và đầy đủ các bước giải bài toán bằng cách lập PT là

điều kiện quan trọng dẫn đến thành công trong việc giải bài toán và hạn chếđược sai lầm trong quá trình giải toán Hơn nữa, rèn luyện thói quen giải toántheo đúng quy trình cũng góp phần rèn luyện cho HS ý thức và năng lực làmviệc theo quy trình, ý thức tôn trọng các bước của quy trình Đây là một trongcác vấn đề mấu chốt trong giáo dục con người thông qua việc dạy học môn

Toán Biện pháp 1 tác động tới tất cả các thành tố trong khả năng giải bài toán bằng cách lập PT đã xây dựng.

2.2.1.2 Nội dung và hướng dẫn thực hiện biện pháp

a) Gợi cho HS thấy tầm quan trọng của việc thực hiện tuần tự các bước trong quá trình giải toán

Các bước giải bài toán bằng cách lập PT: (1) Lập PT; (2) Giải PT; (3)Trả lời, kiểm tra kết quả bài toán ban đầu

Trong các bước trên thì bước 1 là quan trọng vì có lập được PT, HPTcho bài toán thì mới có “vật liệu” để để tác động vào bằng công cụ toán học.Tuy nhiên, bước 2 và bước 3 cũng quan trọng bởi nó giúp hoàn chỉnh, hỗ trợmột cách toàn diện cho bước đầu tiên Song trong thực tế, có nhiều HS khôngchú trọng việc thực hiện tuần tự các bước, đặc biệt là hay bỏ qua bước 3 hoặc

mò kết quả bài toán mà không lập PT Điều này dẫn đến nhiều hạn chế trongviệc rèn luyện khả năng giải các bài toán có lời văn của HS

Để làm điều này, GV cần chỉ ra cho HS thấy có những bài toán dẫn tới lờigiải sai bởi không tuân thủ đầy đủ thứ tự các bước của quy trình

Ví dụ 1: Lúc 7h sáng một người đi xe máy từ A đến B dài 45 km Tới B

người đó giải quyết xong công việc trong 1h30 phút rồi quay về A tới A lúc

11 giờ Đoạn đường AB gồm một đoạn đường bằng và một đoạn đường lêndốc Vận tốc lúc lên dốc là 24 km/h, lúc xuống dốc là 45 km/h, và trên đườngbằng là 40 km/h Hỏi đoạn đường bằng dài bao nhiêu km?

Một HS giải bài toán trên như sau:

Gọi độ dài đoạn đường bằng là x km ( ) điều kiện: 0 x 45

Độ dài đoạn đường dốc là: 45 – x km  

Thời gian cả đi và về hết: 11 – 7 – 1,5 2,5 h   Nên ta có PT:

5,245

4524

Như vậy để có lời giải đúng HS cần biểu thị đầy đủ các đại lượng chưa biếtqua ẩn và các đại lượng đã biết Sau đây là lời giải đúng:

Gọi độ dài đoạn đường bằng là: x km ( ) điều kiện: 0 x 45

Độ dài đoạn đường dốc là: 45 – x km  

Vì người đó đi từ A đến B rồi từ B về A nên người đó đã đi quãng đườngbằng là: 2 x km , lên dốc là:   45 – x km , xuống dốc là:   45 – x km Do 

đó thời gian đi đường bằng là:

40

x 2

4540

Giải PT thu được x  27(thỏa mãn điều kiện)

Vậy độ dài đường bằng là 27km

Ví dụ 2: Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài

30 km, khởi hành cùng một lúc Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe

của cô Liên là 3 km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ Tính vận tốc xe của mỗi người ?

Giải

Giả sử gọi vận tốc xe của Cô Liên là: x(km/h) (điều kiện: x 0)

HS thường bỏ quyên đơn vị của x và quyên không đặt điều kiện của ẩn.

Vận tốc xe Bác Hiệp đi là: x 3

Thời gian xe Bác Hiệp đi là:

303

3030







x x

Giải PT ta được: x12, x15

Vậy vận tốc của cô Liên là 12 km/h

Vì bỏ qua bước đặt ĐK cho ẩn nên khi giải đến đây các em thường bỏ quên bước 3 không kiểm tra điều kiện của ẩn do đó lấy cả giá trị vận tốc:

ý HS tất cả các tiểu tiết đó vẫn thuộc bước 1 Bước 1 chỉ kết thúc khi PT (hệPT) hoàn chỉnh cuối cùng bao quát cả bài toán được thiết lập.

Ví dụ 3: Một người đi bộ từ A đến B với vận tốc dự định 4 km/h Sau khi đi

được nửa quãng đường AB với vận tốc đó, người ấy đi bằng ô tô với vận tốc

30 km/h, do đó đã đến B sớm hơn dự định 2 giờ 10 phút Tính chiều dàiquãng đường AB [14, tr 114]

Giải

Đổi: 2 giờ 10 phút =

6

13 giờ

Gọi chiều dài quãng đường AB là x (km), (x > 0)

Thời gian người đó đi nửa quãng đường AB với vận tốc 4 (km/h) là

84:2

x x

 (giờ)

Thời gian người đó đi quãng đường còn lại với vận tốc 30 (km/h) là

6030:2

x x

 (giờ) Đến đây HS thường nhầm lẫn đây là PT mà kết thúc bước 1

GV cần lưu ý HS đây mới chỉ biểu diễn mối liên hệ giữa quãng đường, vậntốc, thời gian chưa phải là PT cần lập

Đề bài cho biết, người đó đến B trước 2 giờ 10 phút (

6

13 giờ) nên ta có PT :

6

1360

8 

x

x (1) Đây mới là PT tổng quát cần lập.

Bước 2: Chỉ đơn thuần sử dụng các quy tắc biến đổi PT, HPT để giải các PT,HPT đã học không còn liên quan gì đến lập luận nữa

Chẳng hạn: Giải PT (1) chỉ đơn thuần:

(1) 15 2 20.13 20

x

Ngoài ra, trong quá trình thực hiện bước 2 khi giải các bài toán Cónhững PT phải xét đến các khả năng (các trường hợp) khác nhau của biến số,

GV cần nhấn mạnh đó vẫn là các bước tiến hành logic giải PT chứ khôngđược lồng ghép việc phân chia trường hợp của yếu tố thực tiễn trong bài toánBước 3: Chỉ việc trả lại kết quả của bài toán không còn liên quan gì đến lậpluận hay giải PT

Đối với ví dụ trên x 20 thỏa mãn điều kiện x 0 nên trả lời: Quãng

đường AB dài 20 km

2.2.2 Phát triển ở HS khả năng thành lập các PT, HPT để giải bài toán

2.2.2.1 Vai trò của biện pháp 2

Theo P.X.Alêkxanđơrôp: “Lập PT đối với một bài toán cho trước là biện pháp cơ bản để áp dụng TH vào khoa học tự nhiên và kỹ thuật Không

có PT thì không có TH, nó như phương tiện nhận thức tự nhiên”, Niu–tơn lại cho rằng: Lập PT chính là “Phiên dịch từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số”[19, tr 89] Muốn vậy, trước tiên phải biến mối quan hệ trong bài

toán bằng lời thành PT thể hiện mối quan hệ đó Sau đó phải nắm vững “ngônngữ đại số” biết phiên dịch từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số

và ngược lại rồi từ đó thiết lập PT Biện pháp 2 giúp rèn luyện cho HS các

thành tố 1, 2 trong khả năng giải bài toán bằng cách lập PT.

2.2.2.2 Nội dung và hướng dẫn thực hiện biện pháp

a) GV chú ý hướng dẫn HS cách đặt ẩn số

Đây là hoạt động đầu tiên thể hiện việc chuyển từ ngôn ngữ thực tiễn

sang ngôn ngữ TH Cần lưu ý với HS chọn ẩn sao cho những đại lượng nào

mà việc biểu diễn các đại lượng khác thông qua nó được dễ dàng; nhiều khi

ẩn được đặt cho các đại lượng trung gian, không được tường minh rõ ràngtrong bài toán Mặt khác, cũng phải cân nhắc việc dùng các ký hiệu cho các

biến; đây là một vấn đề thuộc về phạm trù ngôn ngữ Theo Polya G thì:"Thời gian mà ta dành để chọn ký hiệu sẽ trả công rất hậu về sau; bởi thời gian tiết

kiệm được nhờ tránh khỏi mọi sự do dự và lẫn lộn." ([19, tr 88]) Các ký hiệu

thường nhất quán và người ta thường dùng các chữ cái đầu tiên của tên đốitượng để ký hiệu nó; chẳng hạn ký hiệu t cho thời gian (xuất phát từ time), kýhiệu d cho khoảng cách xuất phát từ một vị trí nào đó

Thông thường bài toán yêu cầu tìm cái gì thì ta đặt cái đó làm ẩn Tuynhiên, cũng có những bài toán ta có thể chọn cái khác làm ẩn hay đặt thêm ẩnthì vấn đề sẽ đơn giản hơn

Chú ý xác định đơn vị đo và điều kiện của ẩn phải phù hợp với ý nghĩa thựctiễn (dựa vào nội dung thực tiễn mà đặt điều kiện cho ẩn)

Chẳng hạn:

+ Nếu chọn ẩn x biểu thị số tuổi, số sản phẩm, số con vật, số người, sốmáy … thì điều kiện phải là : x  *

+ Nếu chọn ẩn x biểu thị tử số của một phân số thì điều kiện là x  

Nếu chọn ẩn x biểu thị mẫu số của một phân số thì điều kiện là: (x,x0) + Nếu chọn ẩn x biểu thị quãng đường (độ dài đoạn thẳng), vận tốc, thời gian … thì điều kiện là: x  0

+ Nếu là ca nô chạy ngược dòng thì vận tốc thực tế của ca nô phải lớn hơn vận tốc của dòng chảy

…

Ví dụ 4: Vừa gà vừa chó, bó lại cho tròn, ba mươi sáu con, một trăm

chân chẵn Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó ? [1, tr 24]

Hướng dẫn

Ở đây ta có thể chọn ẩn trực tiếp x là số con gà hoặc số con chó

Do x là số con gà (hoặc số con chó) và tổng số gà và số chó bằng 36 con nênđiều kiện của ẩn: x,0 x 36

Ví dụ 5: Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị Nếu

tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì được phân số mới bằng

3

1 Tìm phân

số ban đầu [1, tr 25]

Hướng dẫnKhác với bài toán trên ta không thể chọn ẩn x biểu thị cho phân số banđầu vì không thiết lập được các mối quan hệ Do đó ta chọn ẩn gián tiếp x biểuthị cho tử số (điều kiện:x ), hoặc mẫu số của phân số (điều kiện:

0

,

xx ) Chú ý HS do x là mẫu số nên x 0

b) Hướng dẫn HS cách biểu thị các đại lượng theo ẩn

Dựa vào các dữ kiện, điều kiện đã cho và ẩn thành lập các biểu thứcliên hệ giữa các yếu tố Chẳng hạn bài toán [2, tr 24]

Nếu gọi x là số gà (x,0 x 36) thì ta có thể biểu diễn số chóthông qua số gà là: 36 x con 

Ngoài ra cũng cần chú ý rằng có một số mối liên hệ có tính quy luậttrong thực tế hay các nội dung khác của môn lý, hóa học, toán hình học, …Chẳng hạn:

+ Số chân các con vật (gà có 2 chân, chó có 4 chân)

+ Quãng đường = vận tốc x thời gian

+ Diện tích hình chữ nhật = chiều dài x chiều rộng

+ Diện tích tam giác =

2

1(cạnh đáy x chiều cao),…

c) Tập luyện cho HS diễn đạt những tình huống, bài toán theo cách hiểu riêng của mình, dưới nhiều hình thức khác nhau

Hoạt động này một mặt giúp GV kiểm tra mức độ nhận thức của ngườihọc Mặt khác, thông qua đó để rèn luyện cho HS cả về ngôn ngữ đời thường

và ngôn ngữ TH Không những thế, sự diễn đạt các tình huống theo nhiều cách khác nhau còn là cơ sở cho việc đa dạng hóa mô hình mô tả các sự kiện, hiện tượng [19] Bởi vậy, cần phải chú ý tổ chức hoạt động này trong quá

trình dạy học chủ đề này

Ví dụ 6: Một số tự nhiên có hai chữ số Tổng các chữ số của nó bằng 16.

Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn

Trước hết, cần dẫn dắt HS dựa vào vốn kiến thức của mình để phát hiện

ra các mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán GV lưu ý: Một mặt yêu cầu

HS tóm tắt lại tình huống, khắc sâu các mối quan hệ đã cho; mặt khác tạo điều

kiện cho họ liên tưởng tới những gì liên quan đến tình huống đó Tùy tìnhhuống HS đã trải nghiệm nhưng không phải vì thế mà họ nắm được đầy đủ vềmặt định tính của nó GV phải yêu cầu họ phát biểu lại các quy luật diễn ratrong tình huống (tốt nhất là những quy luật đó được mô tả bởi công thức, biểu

thức); đồng thời cho biết ngữ nghĩa và cú pháp của các biểu thức, các công

thức đưa ra Phát triển từ cách biểu thị các đại lượng theo ẩn theo phần sẽ lậpđược PT

Với bài toán trên:

Nếu gọi x là số con gà (x,0 x 36)

2

36

y x y x

e) Khai thác nội dung bài toán theo hướng mở

Bài toán mở là bài toán có ba tính chất sau:

+ Bài toán phát biểu ngắn, dễ hiểu vì thuộc về một lĩnh vực nhận thứcquen thuộc đối với HS

+ Bài toán không quy về việc áp dụng trực tiếp những thuật toán haythủ thuật giải đã biết Bài toán cũng không có những hướng dẫn về phươngpháp giải hoặc về nội dung lời giải do đó bài toán không có câu hỏi vềchứng minh

+ Phải vận hành các thao tác: Mò mẫm, dự đoán và thử nghiệm Trong đó tính mở có thể là về phía giả thiết hay kết luận Bài toán mà

HS có tham gia vào việc xây dựng giả thiết hay phải lựa chọn, điều chỉnh

thêm về giả thiết sẽ là bài toán mở về phía giả thiết Bài toán khi giải phải

mò mẫm, dự đoán, biện luận nhiều trường hợp sẽ thuộc về các bài toán

mở về phía kết luận.

Có thể khai thác bài toán mở về phía giả thiết hay mở về phía kết luận

để rèn luyện khả năng thiết lập PT từ bài toán cho trước hoặc xây dựng bàitoán từ PT cho trước

Thứ nhất: Đưa ra những tình huống thực tế mà HS phải cùng kết hợp

với GV trong xây dựng nên bài toán thực tế, thông qua hoạt động tìm kiếm

để đưa ra giả thiết cho bài toán cần xây dựng

Ví dụ 7: Tình huống: Đầu năm học các em được bố mẹ mua sắm dụng

cụ học tập mới Hãy kể tên các loại dụng cụ, số dụng cụ mỗi loại đã mua vàhãy nêu giá tiền của dụng cụ trong mỗi loại Từ đó tính tổng số tiền đã dùng

để mua trong đợt đó

Thứ hai: Đưa ra những bài toán thực tế mà giả thiết thừa điều kiện, có

thể bỏ bớt hay không sử dụng tới

Ví dụ 8: “Bây giờ là mấy giờ, biết rằng từ giờ cho đến nửa đêm còn

Thứ ba: Đưa ra những bài tập thường được gọi là ‘‘Bài toán ngược’’.

Đó là bài tập cho trước mô hình TH, yêu cầu đặt bài toán phù hợp với mô hình

đó (Ở tiểu học HS đã được làm quen với một số bài toán thuộc dạng này)

Ví dụ 9: Cho PT

2

150

40 

x x

Hãy lập một bài toán thực tế mà khigiải bằng cách lập PT thì có PT lập được chính là PT đã cho

Thứ tư: Đưa ra một bài tập xuất phát từ một bài toán đã cho, yêu cầu diễn

đạt bài toán theo cách khác sao cho vẫn giữ nguyên mô hình TH như bài toánban đầu (trong yêu cầu, có thể nêu thêm điều kiện về bài toán cần lập để gợi ýcho HS)

Ví dụ 10: Cho bài toán: Một ôtô đi từ A đến B Cùng một lúc, ôtô thứ

hai đi từ B đến A với vận tốc bằng

3

2 vận tốc của ôtô thứ nhất Sau 5 giờchúng gặp nhau Hỏi mỗi ôtô đi cả quãng đường AB hết bao lâu?

a) Giải bài toán đã cho

b) Hãy xây dựng một bài toán về hai vòi nước cùng chảy vào bể, saocho sau khi giải bằng cách lập PT thì có PT lập được cũng là PT lập được từbài toán trên

(ý b) giới hạn bài toán cần lập chỉ ở dạng “hai vòi nước” để thu hẹp phạm viđối tượng xét)

Bài toán cần xây dựng có thể được phát biểu như sau:

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể Mỗi giờ lượng nước chảy được

của vòi thứ nhất bằng

3

2 lượng nước chảy của vòi thứ hai Sau 5 giờ thì bểđầy nước Hỏi nếu chỉ chảy riêng mỗi vòi chảy thì trong bao lâu sẽ đầy bể?

Có thể khai thác một số bài toán mở về phía kết luận Đó là các bài

toán khi giải phải xét nhiều trường hợp Việc phải biện luận nhiều trườnghợp mới có được lời giải đầy đủ để hoàn thành việc nhận định kết quả củamột bài toán

Ví dụ 11: Hai xe ô tô chạy trên đường 1A từ phía Bắc vào Vinh Lúc 7

giờ sáng xe A ở Ninh Bình còn xe B cách Ninh Bình 40 km về phía Nam.Biết Ninh Bình cách Vinh 200 km

a) Hỏi khi nào hai xe gặp nhau khi đang chạy, nếu vận tốc xe A là 60km/h, vận tốc xe B là 40 km/h

b) Hỏi khi nào hai xe sẽ gặp nhau khi đang chạy, nếu vận tốc xe A là

40 km/h, vận tốc xe B là 60 km/h

Tóm tắt lời giải: Gọi thời gian từ 7 giờ khi hai xe gặp nhau là x, với ý

b) (trong ý này, xe đang chạy phía trước lại có vận tốc lớn hơn) được x = - 2.Kết luận sẽ là: “Nếu hai xe đều đã chạy được hơn 2 giờ thì chúng gặp nhaulúc 5 giờ sáng, nếu một trong hai xe chạy chưa được 2 giờ thì hai xe đó khônggặp nhau”

Trong lời giải trên đã phải chia thành hai trường hợp khi kết luận.Cùng với việc xét hai trường hợp như vậy, người giải phải bổ sung thêm vàogiả thiết: hai xe cùng đã chạy được hơn 2 giờ hay một trong hai xe mới chạy

chưa được 2 giờ Điều bổ sung này thể hiện tính mở của bài toán được đưa

ra Nếu thay cả hai câu hỏi trên chỉ bằng một câu hỏi:“Hỏi khi nào hai xegặp nhau nếu một xe có vận tốc 60 km/h, xe còn lại có vận tốc 40 km/h” sẽ

phải tự chia thành hai trường hợp như trên và khi đó, yếu tố mở của bài toán

càng rõ thêm

Việc khai thác các bài toán mở có tác dụng góp phần rèn luyện phẩm chấtlinh hoạt, sáng tạo của tư duy, góp phần rèn luyện khả năng thích ứng với nhữngthay đổi trong thực tế của HS Tuy nhiên trong quá trình khai thác bài toán mởcần chú ý phân bậc theo mức độ khó của bài toán và kết hợp với phân hóa HS:tùy từng đối tượng HS mà khai thác ở những mức độ khác nhau Dạng như ở ví

dụ 7 phù hợp với tất cả các đối tượng HS, nhưng những dạng ở ví dụ 8, 9, 10,11 là những bài toán khó Đối với bài này, chỉ nên khai thác khi HS đã thực

hành tương đối thành thạo với dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” thông thường và có thể áp dụng cho HS khá giỏi.

2.2.3 Phân loại các dạng toán, dự kiến và sửa chữa sai lầm cho HS.

2.2.3.1 Vai trò của biện pháp 3

Mỗi dạng toán khác nhau có một đặc trưng riêng trong cách xác lập mốiquan hệ giữa các ẩn số Biện pháp 3 giúp hỗ trợ cho các biện pháp 1, 2 và

cùng tác động tới các thành tố của khả năng giải bài toán bằng cách lập PT

đã xây dựng

2.2.3.2 Nội dung và hướng dẫn thực hiện biện pháp 3

a) Phân dạng các bài toán

Trong chương trình lớp 8, lớp 9, có thể phân dạng các bài toán của chủ

đề “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” như sau:

Dạng 1: Dạng toán chuyển động

Trong chương trình lớp 8, lớp 9 chúng ta thường gặp các bài toán vềchuyển động ở dạng đơn giản như: Chuyển động cùng chiều, ngược chiềutrên cùng quãng đường hoặc chuyển động trên dòng nước Với dạng toán này,trước tiên GV phải giúp HS nắm vững các kiến thức, công thức liên quan, đơn

vị các đại lượng quãng đường, vận tốc, thời gian và mối quan hệ của chúngqua công thức: S .v t

Trong đó: S - Quãng đường (km, m, )

+ Nếu chuyển động trên một đoạn đường không đổi từ A đến B rồi từ B

về A thì thời gian cả đi lẫn về bằng thời gian thực tế chuyển động

+ Nếu hai chuyển động ngược chiều nhau, sau một thời gian hai chuyểnđộng gặp nhau thì có thể lập PT: S1 + S2 = S

+ Đối với chuyển động trên dòng nước thì:

Vận tốc xuôi = vận tốc thực + vận tốc dòng nước

Vận tốc ngược = vận tốc thực – vận tốc dòng nước

Ví dụ 12: Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Nam Định với vận tốc 35

km/h Sau đó 24 phút, trên cùng tuyến đường đó, một ô tô xuất phát từ Nam Định

đi Hà Nội với vận tốc 45 km/h Biết quãng đường Nam Định - Hà Nội dài 90 km.Hỏi sau bao lâu, kể từ khi xe máy khởi hành, hai xe gặp nhau? [1, tr 27]

Hướng dẫn giải

Hai đối tượng tham gia vào bài toán là: Ô tô và xe máy

Các đại lượng liên quan là vận tốc (đã biết), thời gian và quãng đường

đi (chưa biết) và chúng quan hệ với nhau theo công thức: S .v t.

Nếu chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn, chẳng hạn, gọi thời gian từlúc xe máy khởi hành đến lúc hai xe gặp nhau là x giờ, ta có thể lập bảng đểbiểu diễn các đại lượng trong bài toán như sau: (Đổi 24 phút = 52 giờ)

Vận tốc (km/h) Thời gian đi (h) Quãng đường đi (km)