2.2.2.1. Vai trò của biện pháp 2
Theo P.X.Alêkxanđơrôp: “Lập PT đối với một bài toán cho trước là
biện pháp cơ bản để áp dụng TH vào khoa học tự nhiên và kỹ thuật. Không có PT thì không có TH, nó như phương tiện nhận thức tự nhiên”, Niu–tơn lại cho rằng: Lập PT chính là “Phiên dịch từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn
ngữ đại số”[19, tr 89]. Muốn vậy, trước tiên phải biến mối quan hệ trong bài
toán bằng lời thành PT thể hiện mối quan hệ đó. Sau đó phải nắm vững “ngôn ngữ đại số” biết phiên dịch từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số và ngược lại rồi từ đó thiết lập PT. Biện pháp 2 giúp rèn luyện cho HS các thành tố 1, 2 trong khả năng giải bài toán bằng cách lập PT.
2.2.2.2. Nội dung và hướng dẫn thực hiện biện pháp a) GV chú ý hướng dẫn HS cách đặt ẩn số
Đây là hoạt động đầu tiên thể hiện việc chuyển từ ngôn ngữ thực tiễn sang ngôn ngữ TH. Cần lưu ý với HS chọn ẩn sao cho những đại lượng nào
mà việc biểu diễn các đại lượng khác thông qua nó được dễ dàng; nhiều khi
ẩn được đặt cho các đại lượng trung gian, không được tường minh rõ ràng trong bài toán. Mặt khác, cũng phải cân nhắc việc dùng các ký hiệu cho các biến; đây là một vấn đề thuộc về phạm trù ngôn ngữ. Theo Polya. G thì:"Thời
gian mà ta dành để chọn ký hiệu sẽ trả công rất hậu về sau; bởi thời gian tiết kiệm được nhờ tránh khỏi mọi sự do dự và lẫn lộn." ([19, tr 88]). Các ký hiệu
tượng để ký hiệu nó; chẳng hạn ký hiệu t cho thời gian (xuất phát từ time), ký hiệu d cho khoảng cách xuất phát từ một vị trí nào đó...
Thông thường bài toán yêu cầu tìm cái gì thì ta đặt cái đó làm ẩn. Tuy nhiên, cũng có những bài toán ta có thể chọn cái khác làm ẩn hay đặt thêm ẩn thì vấn đề sẽ đơn giản hơn.
Chú ý xác định đơn vị đo và điều kiện của ẩn phải phù hợp với ý nghĩa thực tiễn (dựa vào nội dung thực tiễn mà đặt điều kiện cho ẩn).
Chẳng hạn:
+ Nếu chọn ẩn x biểu thị số tuổi, số sản phẩm, số con vật, số người, số máy … thì điều kiện phải là : x∈¥*
+ Nếu chọn ẩn x biểu thị tử số của một phân số thì điều kiện là ( x∈¢ ) . Nếu chọn ẩn x biểu thị mẫu số của một phân số thì điều kiện là: (x∈¢,x≠0). + Nếu chọn ẩn x biểu thị quãng đường (độ dài đoạn thẳng), vận tốc, thời gian … thì điều kiện là: 0x >
+ Nếu là ca nô chạy ngược dòng thì vận tốc thực tế của ca nô phải lớn hơn vận tốc của dòng chảy.
….
Ví dụ 4: Vừa gà vừa chó, bó lại cho tròn, ba mươi sáu con, một trăm
chân chẵn. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó ? [1, tr 24] Hướng dẫn
Ở đây ta có thể chọn ẩn trực tiếp x là số con gà hoặc số con chó.
Do x là số con gà (hoặc số con chó) và tổng số gà và số chó bằng 36 con nên điều kiện của ẩn: x∈¢,0< <x 36 .
Ví dụ 5: Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu
tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì được phân số mới bằng 3 1
. Tìm phân số ban đầu. [1, tr 25]
Hướng dẫn
Khác với bài toán trên ta không thể chọn ẩn x biểu thị cho phân số ban đầu vì không thiết lập được các mối quan hệ. Do đó ta chọn ẩn gián tiếp x biểu thị cho tử số (điều kiện:x∈¢ ), hoặc mẫu số của phân số (điều kiện:
0 ,
x∈¢ x≠ ). Chú ý HS do x là mẫu số nên x≠0
b) Hướng dẫn HS cách biểu thị các đại lượng theo ẩn
Dựa vào các dữ kiện, điều kiện đã cho và ẩn thành lập các biểu thức liên hệ giữa các yếu tố. Chẳng hạn bài toán [2, tr 24] (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
“Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu con Một trăm chân chẵn” Tìm số con gà, số con chó?
Với bài toán này ta có thể thành lập bảng phụ sau để giúp HS dễ dàng hình thành các biểu thức TH thông qua điền vào chỗ trống:
Tên con vật Số lượng con vật Số lượng chân
Gà x con( )
Chó
Cả gà và chó 36 (con) 100 (chân)
Hoặc chúng ta cũng có thể biểu diễn mối liên hệ thông qua một đại lượng rồi biểu diễn các đại lượng còn lại thông qua đại lượng đó chẳng hạn:
Nếu gọi x là số gà (x∈¢,0< <x 36) thì ta có thể biểu diễn số chó thông qua số gà là: 36−x con( )
Ngoài ra cũng cần chú ý rằng có một số mối liên hệ có tính quy luật trong thực tế hay các nội dung khác của môn lý, hóa học, toán hình học, … Chẳng hạn:
+ Số chân các con vật (gà có 2 chân, chó có 4 chân) + Quãng đường = vận tốc x thời gian
+ Diện tích hình chữ nhật = chiều dài x chiều rộng + Diện tích tam giác =
2 1
(cạnh đáy x chiều cao),…
c) Tập luyện cho HS diễn đạt những tình huống, bài toán theo cách hiểu riêng của mình, dưới nhiều hình thức khác nhau.
Hoạt động này một mặt giúp GV kiểm tra mức độ nhận thức của người học. Mặt khác, thông qua đó để rèn luyện cho HS cả về ngôn ngữ đời thường và ngôn ngữ TH. Không những thế, sự diễn đạt các tình huống theo nhiều cách khác nhau còn là cơ sở cho việc đa dạng hóa mô hình mô tả các sự kiện, hiện tượng [19]. Bởi vậy, cần phải chú ý tổ chức hoạt động này trong quá
trình dạy học chủ đề này.
Ví dụ 6: Một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng các chữ số của nó bằng 16.
Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị. Tìm số đã cho.
GV có thể hướng dẫn cho HS diễn đạt: Có thể thay đổi dữ kiện bài toán thành biết tổng các chữ số của nó bằng hiệu hoặc tỉ số giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị.
d) Hướng dẫn HS lập PT, lập hệ PT
Trước hết, cần dẫn dắt HS dựa vào vốn kiến thức của mình để phát hiện ra các mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán. GV lưu ý: Một mặt yêu cầu HS tóm tắt lại tình huống, khắc sâu các mối quan hệ đã cho; mặt khác tạo điều kiện cho họ liên tưởng tới những gì liên quan đến tình huống đó. Tùy tình huống HS đã trải nghiệm nhưng không phải vì thế mà họ nắm được đầy đủ về mặt định tính của nó. GV phải yêu cầu họ phát biểu lại các quy luật diễn ra trong tình huống (tốt nhất là những quy luật đó được mô tả bởi công thức, biểu thức); đồng thời cho biết ngữ nghĩa và cú pháp của các biểu thức, các công
thức đưa ra. Phát triển từ cách biểu thị các đại lượng theo ẩn theo phần sẽ lập được PT.
Với bài toán trên:
Nếu gọi x là số con gà (x∈¢,0< <x 36)
Vì số gà và số chó là 36 con nên ta có số chó là: 36−x
Vì số chân 1 con gà là 2, số chân 1 con chó là 4 nên : Số chân gà là : 2x
Số chân chó là : 4. 36( −x)
Vì tổng số chân gà và chó bằng 100 nên ta có PT : 2x+4. 36( − =x) 100
Đối với lập hệ PT: Tương tự như lập PT chỉ khác ở chỗ : Trong các mối liên hệ mà bài toán có hai đối tượng tham gia sẽ có hai ẩn, khi biểu diễn các đại lượng qua ẩn sẽ hình thành được hai PT. Khi đó ta lập hệ PT. Chẳng hạn, với bài toán trên thì có hai đối tượng tham gia trong bài toán là số con gà và số con chó.
Do đó, nếu gọi x là số con gà (x∈¢,0< <x 36); số con chó là y ( (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
,0 36
y∈¢ < <y )
Vì số gà và số chó là 36 con nên ta có PT: 36x + y =
Và số chân gà là 2x, số chân chó là 4y, nên tổng số chân gà và chó là: 2 4 100x + y = Từ đó ta có hệ PT: = + = + 100 4 2 36 y x y x
e) Khai thác nội dung bài toán theo hướng mở
Bài toán mở là bài toán có ba tính chất sau:
+ Bài toán phát biểu ngắn, dễ hiểu vì thuộc về một lĩnh vực nhận thức quen thuộc đối với HS.
+ Bài toán không quy về việc áp dụng trực tiếp những thuật toán hay thủ thuật giải đã biết. Bài toán cũng không có những hướng dẫn về phương pháp giải hoặc về nội dung lời giải do đó bài toán không có câu hỏi về chứng minh.
+ Phải vận hành các thao tác: Mò mẫm, dự đoán và thử nghiệm .
Trong đó tính mở có thể là về phía giả thiết hay kết luận. Bài toán mà HS có tham gia vào việc xây dựng giả thiết hay phải lựa chọn, điều chỉnh thêm về giả thiết sẽ là bài toán mở về phía giả thiết. Bài toán khi giải phải mò mẫm, dự đoán, biện luận nhiều trường hợp... sẽ thuộc về các bài toán
mở về phía kết luận.
Có thể khai thác bài toán mở về phía giả thiết hay mở về phía kết luận để rèn luyện khả năng thiết lập PT từ bài toán cho trước hoặc xây dựng bài toán từ PT cho trước.
Thứ nhất: Đưa ra những tình huống thực tế mà HS phải cùng kết hợp
với GV trong xây dựng nên bài toán thực tế, thông qua hoạt động tìm kiếm để đưa ra giả thiết cho bài toán cần xây dựng.
Ví dụ 7: Tình huống: Đầu năm học các em được bố mẹ mua sắm dụng
cụ học tập mới. Hãy kể tên các loại dụng cụ, số dụng cụ mỗi loại đã mua và hãy nêu giá tiền của dụng cụ trong mỗi loại. Từ đó tính tổng số tiền đã dùng để mua trong đợt đó.
Thứ hai: Đưa ra những bài toán thực tế mà giả thiết thừa điều kiện, có
thể bỏ bớt hay không sử dụng tới.
Ví dụ 8: “Bây giờ là mấy giờ, biết rằng từ giờ cho đến nửa đêm còn
4
5 của thời gian từ đầu ngày cho đến bây giờ, và biết rằng từ đầu ngày cho đến bây giờ đã quá nửa ngày” [18, tr 60].
Chi tiết từ đầu ngày cho đến bây giờ đã quá nửa ngày là thừa. Bỏ đi những điều đó, bài toán chỉ là: “Bây giờ là mấy giờ, biết rằng từ giờ cho đến nửa đêm còn 54 của thời gian từ đầu ngày cho đến bây giờ.
Thứ ba: Đưa ra những bài tập thường được gọi là ‘‘Bài toán ngược’’.
Đó là bài tập cho trước mô hình TH, yêu cầu đặt bài toán phù hợp với mô hình đó. (Ở tiểu học HS đã được làm quen với một số bài toán thuộc dạng này).
Ví dụ 9: Cho PT
2 1 50
40x − x = . Hãy lập một bài toán thực tế mà khi giải bằng cách lập PT thì có PT lập được chính là PT đã cho.
Thứ tư: Đưa ra một bài tập xuất phát từ một bài toán đã cho, yêu cầu diễn
đạt bài toán theo cách khác sao cho vẫn giữ nguyên mô hình TH như bài toán ban đầu (trong yêu cầu, có thể nêu thêm điều kiện về bài toán cần lập để gợi ý cho HS).
Ví dụ 10: Cho bài toán: Một ôtô đi từ A đến B. Cùng một lúc, ôtô thứ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
hai đi từ B đến A với vận tốc bằng 32 vận tốc của ôtô thứ nhất. Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ôtô đi cả quãng đường AB hết bao lâu?
a) Giải bài toán đã cho.
b) Hãy xây dựng một bài toán về hai vòi nước cùng chảy vào bể, sao cho sau khi giải bằng cách lập PT thì có PT lập được cũng là PT lập được từ bài toán trên.
(ý b) giới hạn bài toán cần lập chỉ ở dạng “hai vòi nước” để thu hẹp phạm vi đối tượng xét)
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể. Mỗi giờ lượng nước chảy được của vòi thứ nhất bằng
3
2 lượng nước chảy của vòi thứ hai. Sau 5 giờ thì bể đầy nước. Hỏi nếu chỉ chảy riêng mỗi vòi chảy thì trong bao lâu sẽ đầy bể?
Có thể khai thác một số bài toán mở về phía kết luận. Đó là các bài toán khi giải phải xét nhiều trường hợp. Việc phải biện luận nhiều trường hợp mới có được lời giải đầy đủ để hoàn thành việc nhận định kết quả của một bài toán.
Ví dụ 11: Hai xe ô tô chạy trên đường 1A từ phía Bắc vào Vinh. Lúc 7
giờ sáng xe A ở Ninh Bình còn xe B cách Ninh Bình 40 km về phía Nam. Biết Ninh Bình cách Vinh 200 km.
a) Hỏi khi nào hai xe gặp nhau khi đang chạy, nếu vận tốc xe A là 60 km/h, vận tốc xe B là 40 km/h.
b) Hỏi khi nào hai xe sẽ gặp nhau khi đang chạy, nếu vận tốc xe A là 40 km/h, vận tốc xe B là 60 km/h.
Tóm tắt lời giải: Gọi thời gian từ 7 giờ khi hai xe gặp nhau là x, với ý
b) (trong ý này, xe đang chạy phía trước lại có vận tốc lớn hơn) được x = - 2. Kết luận sẽ là: “Nếu hai xe đều đã chạy được hơn 2 giờ thì chúng gặp nhau lúc 5 giờ sáng, nếu một trong hai xe chạy chưa được 2 giờ thì hai xe đó không gặp nhau”.
Trong lời giải trên đã phải chia thành hai trường hợp khi kết luận. Cùng với việc xét hai trường hợp như vậy, người giải phải bổ sung thêm vào giả thiết: hai xe cùng đã chạy được hơn 2 giờ hay một trong hai xe mới chạy chưa được 2 giờ. Điều bổ sung này thể hiện tính mở của bài toán được đưa ra. Nếu thay cả hai câu hỏi trên chỉ bằng một câu hỏi:“Hỏi khi nào hai xe gặp nhau nếu một xe có vận tốc 60 km/h, xe còn lại có vận tốc 40 km/h” sẽ phải tự chia thành hai trường hợp như trên và khi đó, yếu tố mở của bài toán càng rõ thêm.
Việc khai thác các bài toán mở có tác dụng góp phần rèn luyện phẩm chất linh hoạt, sáng tạo của tư duy, góp phần rèn luyện khả năng thích ứng với những thay đổi trong thực tế của HS. Tuy nhiên trong quá trình khai thác bài toán mở cần chú ý phân bậc theo mức độ khó của bài toán và kết hợp với phân hóa HS: tùy từng đối tượng HS mà khai thác ở những mức độ khác nhau. Dạng như ở ví dụ 7 phù hợp với tất cả các đối tượng HS, nhưng những dạng ở ví dụ 8, 9, 10, 11... là những bài toán khó. Đối với bài này, chỉ nên khai thác khi HS đã thực hành tương đối thành thạo với dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập PT,
HPT” thông thường và có thể áp dụng cho HS khá giỏi.