2.2.3.1. Vai trò của biện pháp 3
Mỗi dạng toán khác nhau có một đặc trưng riêng trong cách xác lập mối quan hệ giữa các ẩn số. Biện pháp 3 giúp hỗ trợ cho các biện pháp 1, 2 và cùng tác động tới các thành tố của khả năng giải bài toán bằng cách lập PT đã xây dựng.
2.2.3.2. Nội dung và hướng dẫn thực hiện biện pháp 3 a) Phân dạng các bài toán
Trong chương trình lớp 8, lớp 9, có thể phân dạng các bài toán của chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” như sau:
Dạng 1: Dạng toán chuyển động
Trong chương trình lớp 8, lớp 9 chúng ta thường gặp các bài toán về chuyển động ở dạng đơn giản như: Chuyển động cùng chiều, ngược chiều trên cùng quãng đường hoặc chuyển động trên dòng nước. Với dạng toán này, trước tiên GV phải giúp HS nắm vững các kiến thức, công thức liên quan, đơn vị các đại lượng quãng đường, vận tốc, thời gian và mối quan hệ của chúng qua công thức: .S = v t
Trong đó: S - Quãng đường (km, m,...) v - Vận tốc (km/h, m/s...)
t - Thời gian (giờ, phút, giây) Từ đó suy ra: v= St và t= Sv
*GV lưu ý cho HS:
+ Nếu chuyển động trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau
+ Nếu chuyển động trên một đoạn đường không đổi từ A đến B rồi từ B về A thì thời gian cả đi lẫn về bằng thời gian thực tế chuyển động.
+ Nếu hai chuyển động ngược chiều nhau, sau một thời gian hai chuyển động gặp nhau thì có thể lập PT: S1 + S2 = S.
+ Đối với chuyển động trên dòng nước thì:
Vận tốc xuôi = vận tốc thực + vận tốc dòng nước Vận tốc ngược = vận tốc thực – vận tốc dòng nước
Ví dụ 12: Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Nam Định với vận tốc 35
km/h. Sau đó 24 phút, trên cùng tuyến đường đó, một ô tô xuất phát từ Nam Định đi Hà Nội với vận tốc 45 km/h. Biết quãng đường Nam Định - Hà Nội dài 90 km. Hỏi sau bao lâu, kể từ khi xe máy khởi hành, hai xe gặp nhau? [1, tr 27]
Hướng dẫn giải
Hai đối tượng tham gia vào bài toán là: Ô tô và xe máy
Các đại lượng liên quan là vận tốc (đã biết), thời gian và quãng đường đi (chưa biết) và chúng quan hệ với nhau theo công thức: S .= v t.
Nếu chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn, chẳng hạn, gọi thời gian từ lúc xe máy khởi hành đến lúc hai xe gặp nhau là x giờ, ta có thể lập bảng để biểu diễn các đại lượng trong bài toán như sau: (Đổi 24 phút =
52 2
giờ)
Vận tốc (km/h) Thời gian đi (h) Quãng đường đi (km) Xe máy 35 x 35x Ô tô 45 2 5 x− 45.( 2) 5 x−
Hai xe (đi ngược chiều) gặp nhau nghĩa là đến lúc đó tổng quãng đường hai xe đi được đúng bằng quãng đường Nam Định - Hà Nội. Do đó PT lập được là: 35 45 ( 2) 90
5
Lời giải
Gọi thời gian từ lúc xe máy khởi hành đến lúc hai xe gặp nhau là x (h). (Điều kiện: 2
5
x> )
Trong thời gian đó, xe máy đi được quãng đường là: 35 x km( )
Vì ô tô xuất phát sau xe máy 24 phút (tức là 52giờ) nên ô tô đi trong
thời gian là: x− 25( )h và đi được quãng đường là: 45 2 ( ) 5
(x − ) km Đến lúc hai xe gặp nhau, tổng quãng đường chúng đi được đúng bằng quãng đường Nam Định - Hà Nội (dài 90 km) nên ta có PT
2 35 45 ( ) 90 5 x + x − = ⇔ 35 45 18 90x + x − = ⇔ 80 108x = ⇔ 108 27 80 20 x = =
- Giá trị này phù hợp với điều kiện của ẩn. Vậy thời gian để hai xe gặp nhau là
20 27
giờ, tức là 1 giờ 21 phút, kể từ lúc xe máy khởi hành.
Trong ví dụ trên, ta có thể chọn ẩn số theo cách khác: Gọi x (km) là quãng đường từ Hà Nội đến điểm gặp nhau của hai xe
Vận tốc (km/h) Quãng đường đi (km) Thời gian đi (h) Xe máy 35 x 35x Ô tô 45 90 x− 45 90−x Khi đó PT lập được là: 5 2 45 90 35x − −x =
Dạng 2: Dạng toán về năng suất lao động
GV: Chú ý năng suất lao động là kết quả làm được
Do đó: Năng suất lao động trội = mức quy định + tăng năng suất
Ví dụ 13: Trong tháng đầu hai tổ công nhân của một xí nghiệp dệt được
800 tấm thảm len. Tháng thứ hai tổ 1 vượt mức 15%, tổ 2 vượt mức 20% nên cả hai tổ dệt được 945 tấm thảm len. Tính xem trong tháng hai mỗi tổ đã dệt được bao nhiêu tấm thảm len.
Hướng dẫn giải
Trong bài toán:
Các đại lượng đã biết: Số tấm thảm len cả hai tổ dệt được trong tháng đầu và tháng thứ 2.
Các đại lượng chưa biết: Số tấm thảm len mỗi tổ dệt được trong tháng đầu và tháng thứ 2.
Mối liên hệ là: Tổng số tấm thảm len cả hai tổ dệt được trong tháng thứ hai là 945 (tấm).
Ta có thể chọn x là số tấm thảm len mà tổ I dệt được trong tháng đầu. Theo mối quan hệ giữa các đại lượng trong đề bài ta có bảng sau:
Số thảm len Tổ I Tổ II Cả hai tổ Tháng đầu x 800−x 800 Tháng thứ hai 100 115x ( ) 100 800 120 −x 945
Giải
Gọi số tấm thảm len tổ I dệt được trong tháng đầu là x
*, 8 0 (x∈¢ x < 0 )
Trong tháng đầu cả hai tổ dệt được 800 tấm thảm len nên số tấm thảm len tổ II dệt được trong tháng đầu là: (800 x− )
Tháng thứ hai tổ I dệt được 100 115 100 15 x x x+ = (tấm thảm) Tháng thứ hai tổ II dệt được 100 ) 800 ( 120 ) 800 ( 100 20 ) 800 ( −x + −x = −x (tấm thảm) Theo đề bài trong tháng hai cả hai tổ dệt được 945 tấm thảm nên ta có PT :
945 100 ) 800 ( 120 100 115x + −x =
Giải PT, tìm được x = 300 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy: Trong tháng thứ hai tổ I dệt được 345 100 300 . 115 = (tấm thảm len), tổ II dệt được 600 100 ) 300 800 .( 120 − = (tấm thảm len)
Dạng 3: Dạng toán công việc làm chung, làm riêng
Đối với dạng bài toán “làm chung – làm riêng một công việc” GV cần cung cấp cho HS một kiến thức liên quan như :
- Khi công việc không được đo bằng số lượng cụ thể, ta coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị công việc biểu thị bởi số 1.
- Năng suất làm việc là phần việc làm được trong 1 đơn vị thời gian. A : Khối lượng công việc Ta có công thức A = nt ; Trong đó n : Năng suất làm việc
- Tổng năng suất riêng bằng năng suất chung khi cùng làm.
- Biết tìm năng suất làm việc như thế nào? Thời gian hoàn thành, khối lượng công việc để vận dụng vào từng bài toán cụ thể.
Khi ta nắm được các vấn đề trên rồi thì các em sẽ dễ dàng giải quyết bài toán.
Ví dụ 14: Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn
thành trong 12 ngày. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn một mình đội II làm việc, nhưng do cải tiến cách làm, năng suất của đội II tăng gấp đôi, nên họ đã làm xong phần công việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên ? [4, tr 27]
Giải
Gọi x là số ngày đội I làm xong công việc một mình, và y là số ngày đội II làm xong công việc một mình (Điều kiện: , 0x y > ).
Trong một ngày đội I làm 1x công việc; trong một ngày đội II làm 1y công việc.
Trong một ngày cả hai đội làm được : 1+ 1 =121
y
x (công việc) (1)
Trong 8 ngày mỗi đội sẽ làm:
x
8
công việc và 8y công việc
Do đội I được điều đi nơi khác nên đội II làm tiếp phần công việc với năng suất tăng gấp đôi và làm trong 3,5 ngày. Như vậy, trong 3,5 ngày đội II làm bằng 7 ngày cũ, và đội II làm được 7y công việc. Ta có PT: 8+8 +7 =1
y y x (2) Từ (1) và (2) ta có hệ PT : = + = + 1 15 8 12 1 1 1 y x y x
Giải hệ PT ta được: x=28, y =21.
Vậy mỗi đội làm một mình thì đội I phải làm trong 28 ngày, đội II làm trong 21 ngày mới xong công việc trên
Dạng 4: Dạng toán liên quan đến số học
Ở chương trình đại số lớp 8, các em cũng thường gặp loại bài tìm một số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu cho trước, đây cũng là loại toán tương đối khó đối với các em; để giúp HS đỡ lúng túng khi giải loại bài này thì trước hết phải cho các em nắm được một số kiến thức liên quan như :
- Cách viết số trong hệ thập phân.
- Mối quan hệ giữa các chữ số, vị trí giữa các chữ số trong số cần tìm…; điều kiện của các chữ số.
+ Đối với số có 2 chữ số có dạng: ab= 10a b+
+ Đối với số có 3 chữ số có dạng: abc= 100a+10b c+
+ Mối liên hệ giữa số bị chia a, số chia b, thương q, số dư r: a=bq+r ( 0≤ <r b)
...
Ví dụ 15: Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó là 16,
nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau được một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị. Tìm số đã cho. [4, tr 31].
Hướng dẫn giải
HS cần trả lời các câu hỏi:
- Số cần tìm có mấy chữ số ? (2 chữ số).
- Quan hệ giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị như thế nào? - Vị trí các chữ số thay đổi thế nào?
- Số mới so với ban đầu thay đổi ra sao?
- Muốn biết số cần tìm, ta phải biết điều gì? (Chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị).
- Đến đây ta dễ dàng giải bài toán, thay vì tìm số tự nhiên có hai chữ số ta đi tìm chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị; ở đây tùy ý lựa chọn ẩn là chữ số hàng chục (hoặc chữ số hàng đơn vị).
Giải
Gọi chữ số hàng chục là x (x∈¥,0< <x 10) Chữ số hàng đơn vị là: 16 – x
Số đã cho được viết dưới dạng: 10x+ − =16 x 9 16 x + Đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì số mới được viết :
( )
10. 16 – x + 160 – 9x = x
Số mới lớn hơn số đã cho là 18 nên ta có PT : (160 – 9x) (– 9 16x + ) = 18
- Giải PT ta được: x = 7 (thỏa mãn điều kiện). Vậy chữ số hàng chục là: 7.
Chữ số hàng đơn vị là: 16 – 7 = 9. Số cần tìm là: 79.
Ngoài ra HS có thể giải bài toán trên bằng cách lập HPT
Dạng 5: Dạng toán về tỉ lệ chia phần
Ví dụ 16: Hai đội công nhân cùng tham gia lao động trên một công trường
xây dựng. Số người của đội I gấp hai lần số người của đội II. Nếu chuyển 10 người từ đội I sang đội II thì số người ở đội II bằng
5
4 số người còn lại ở đội I. Hỏi lúc đầu mỗi đội có bao nhiêu người?
Giải
Gọi số người của đội II lúc đầu là x. Điều kiện: x nguyên dương Số người của đội I lúc đầu là: 2 .x
Sau khi chuyển 10 người từ đội I sang đội II thì số người còn lại của đội I là: 2 10x − (người), số người của đội II là: 10x + (người).
Theo đề bài khi đó số người ở đội II bằng 54 số người của đội I nên ta có PT :
( )
4
10 . 2 105 5
Giải PT, tìm được: 30x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy lúc đầu đội I có: 60 người, đội II có: 30 người.
Dạng 6: Dạng toán liên quan đến hình học
Đối với dạng toán này cần gợi ý cho HS nhớ những kiến thức của hình học như: độ dài, diện tích, chu vi,..ví dụ:
- Diện tích hình chữ nhật: .S = x y (x là chiều rộng; y là chiều dài)
- Diện tích tam giác: S x.y
2 1
= (x là chiều cao, y là cạnh đáy tương ứng) - Độ dài cạnh huyền: c2 = a2 + b2 (c là cạnh huyền; a, b là các cạnh góc vuông)
Ví dụ 17: Tính cạnh của một hình vuông biết rằng nếu chu vi tăng thêm 12
(m) thí diện tích tăng thêm 135 (m2)
Giải
Gọi cạnh của hình vuông là x m( ), x 0> . Thì diện của hình vuông là 2x (m )2 Chu vi của hình vuông là 4x (m). Khi chu vi tăng thêm 12 (m) thì cạnh tăng thêm 3 (m).
Vậy diện tích của hình vuông sau khi chu vi tăng là: (x+3)2 Theo bài ra ta có PT:
(x+3)2−x2 =135⇔ x2+6x+9−x2 =135⇔6x=135−9 ⇔ x= 21 (thoả mãn)
Vậy cạnh hình vuông là 21 (m).
Dạng 7: Dạng toán liên quan đến vật lí, hóa học.
Các kiến thức cần nhớ: * V m
D
= với: V là thể tích dung dịch, m : khối lượng; D: khối lượng riêng * Khối lượng nồng độ dung dịch = khối lượng chất tan : khối lượng dung môi
đồng. Hỏi phải thêm vào đó bao nhiêu thiếc nguyên chất để được một hợp kim mới có chứa 40% đồng.
Hướng dẫn giải:
- GV làm cần cho HS hiểu rõ hợp kim gồm đồng và thiếc, trong 12kg hợp kim có 45% đồng khi đó khối lượng đồng là bao nhiêu?
+ Gọi khối lượng thiếc nguyên chất cần thêm vào là: x kg (x 0> ) Ta có bảng biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng
Các đại lượng Các trường hợp Khối lượng đồng Khối lượng hỗn hợp
Mối liên hệ giữa các đại lượng Ban đầu 45%.12 5,4= 12 .100% 45% 12 4 , 5 = Về sau 5,4 x 12+ .100% 40% 12 4 , 5+ = x PT lập được .100% 40% 12 4 , 5+ = x Giải:
45% khối lượng đồng có trong 12 kg hợp kim là: 12.45% 5,4 = ( )kg
Gọi khối lượng thiếc nguyên chất cần thêm vào là: x kg (x 0> ) Sau khi thêm vào khối lượng của miếng hợp kim là: 12+x (kg)
Khối lượng đồng không đổi nên tỷ lệ đồng trong hợp kim lúc sau là:
12 4 , 5 + x
Theo đề bài tỷ lệ đồng lúc sau là 40% nên ta có PT:
100 40 12 4 , 5+ = x
Giải PT ta có: x = 1,5 kg. (Thỏa mãn điều kiện)
Vậy phải thêm vào 1,5 kg thiếc nguyên chất để được một hợp kim mới có chứa 40% đồng.
Sau đây luận văn sẽ trình bày một số sai lầm HS thường gặp khi học chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT”.
*Trong bước lập PT:
- HS thường lúng túng trong bước chọn ẩn, dẫn đến chọn ẩn sai không thiết lập được PT. Đa phần HS sai lầm bài toán hỏi gì chọn đó làm ẩn.
Ví dụ 19: Hai cạnh của một khu đất hình chữ nhật hơn kém nhau 4m. Tính
chu vi của khu đất đó nếu biết S = 1200m2
Bài toán hỏi chu vi hình chữ nhật. HS thường suy nghĩ bài toán hỏi gì thì gọi là ẩn. Nếu ở bài toán này gọi chu vi hình chữ nhật là ẩn thì bài toán khó có lời giải. GV cần hướng dẫn cho HS phát triển sâu trong khả năng suy diễn: Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta cần biết cạnh của hình chữ nhật. Do đó chọn ẩn là chiều dài (hoặc chiều rộng) bài toán giải thuận tiện hơn.
Sửa chữa: GV hướng dẫn HS chọn ẩn theo phần a mục 2.2.2.2 trong
khóa luận và chú ý thông thường bài toán hỏi gì chọn cái đó làm ẩn tuy nhiên không phải trường hợp nào ta cũng chọn ẩn như vậy (Ví dụ 19). Phải linh hoạt tùy vào điều kiện bài toán mà có cách chọn ẩn thích hợp.
- Khi lập PT HS thường không có lập luận dẫn đến PT cuối cùng
Sửa chữa: Cần cho HS hiểu để lập được PT phải biểu diễn mối liên hệ
giữa các đại lượng. Từ đó mới lập được PT. Để HS có kĩ năng lập PT GV cần tập cho HS tập diễn tả mối liên hệ giữa các đại lượng trong thực tế, trong kiến thức liên môn giữa các môn học.
*Trong bước giải PT:
HS thường không giải cụ thể PT, HPT vào bài làm, chỉ ghi nguyên kết quả.