1185 một số bài toán biên và bài toán cauchy cho các phương trình elliptic và parabolic luận văn tốt nghiệp

BË GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯÍNG ĐẠI HOC SƯ PHẠM TP HO CHÍ MINH TRAN THANH BÌNH MËT SO BÀI TOÁN BIÊN VÀ BÀI TOÁN CAUCHY CHO CÁC PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PARABOLIC LUŠN ÁN TIEN SĨ TỐN HOC TP HO CHÍ MINH - NĂM 2017 B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯÍNG ĐẠI HOC SƯ PHẠM THÀNH PHO HO CHÍ MINH TRAN THANH BÌNH MËT SO BÀI TỐN BIÊN VÀ BÀI TỐN CAUCHY CHO CÁC PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PARABOLIC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã so chun ngành: 62 46 01 02 NGƯÍI HƯỴNG DAN KHOA HOC: PGS.TS Nguyen Bích Huy PGS.TS Nguyen Huy Tuan TP HO CHÍ MINH - THÁNG NĂM 2017 LÍI CAM ĐOAN Luªn án hồn thành hướng dan PGS.TS Nguyen Bích Huy PGS.TS Nguyen Huy Tuan Tơi xin cam đoan rang ket trình bày luªn án chưa tàng cơng bo trước Tác giả MỤC LỤC Líi cam đoan Mnc lnc Mët so ký hi»u dùng luªn án Líi nói đau Chương Kien thfíc chuan bị 11 1.1 M®t so không gian hàm 11 1.2 Tốn tả tuyen tính chuoi Fourier .11 1.3 Bài toán chỉnh lý thuyet chỉnh hóa Tikhonov 13 Chương Bài toán xác định hàm nguon cho phương trình parabolic 15 2.1 Bài tốn xác định hàm nguon với h» so phụ thu®c thời gian khơng bị nhieu .15 2.1.1 Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov 15 2.1.2 Chỉnh hóa Tikhonov cách chon tham so chỉnh hóa tiên nghi»m 23 2.2 Phương trình parabolic với h» so phụ thu®c thời gian bị nhieu .29 2.3 Ket luªn Chương 33 Chương Bài tốn parabolic ngưđc thíi gian vỵi nguon Lipschitz địa phương 3.1 34 Ket thá nhat 35 3.1.1 Cháng minh Định lí 3.1.1 37 3.1.2 Cháng minh Định lí 3.1.2 43 3.2 Ket thá hai 54 3.3 Ket luªn Chương 62 Chương Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic dạng phi tuyen 63 4.1 Giới thi»u toán 63 4.2 Các ket .63 4.3 4.2.1 Cháng minh Định lí 4.2.1 66 4.2.2 Cháng minh Định lí 4.2.2 72 Ket luªn Chương 83 Ket luªn chung kien nghị 84 Danh mnc cơng trình nghiên cfíu sinh có liên quan đen luªn án 85 Tài li»u tham khảo 86 MËT SO KÝ HI›U DÙNG TRONG LUŠN ÁN R : Tªp hợp so thực C [0, 1], R : Tªp hợp hàm liên tục [0, 1] nhªn giá trị R C [0, T ] : Tªp hợp hàm liên tục [0, T ] nhªn giá trị R C [0, 1], H : Tªp hợp hàm liên tục [0, 1] nhªn giá trị khơng gian Hilbert H C1 [0, 1], H : Tªp hợp hàm khả vi liên tục [0, 1] nhªn giá trị khơng gian Hilbert H ⟨· , ·⟩ : Tích vơ hướng không gian Hilbert ǁ · ǁH : Chuȁn không gian Hilbert uJ : Đạo hàm hàm u ∈ C [0, 1], H LÍI NĨI ĐAU Bài tốn Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng m®t nhǎng hướng nghiên cáu quan tốn hoc có nhieu ý nghĩa khoa hoc ky thuªt Hi»n nay, loại tốn nhieu nhà toán hoc quan tâm nghiên cáu Theo chúng tơi tìm kiem Mathscinet, có khoảng 10.000 cơng trình ve chủ đe So lượng tạp chí cơng bo ve chủ đe rat lớn, có nhieu tạp chí có uy tín nhà xuat lớn như: Springer, Elsevier, Taylor Francis Trong luªn án này, chúng tơi sě tªp trung trình bày ba chủ đe ve tốn Cauchy cho phương trình parabolic elliptic Chủ đe 1: Bài tốn Cauchy cho phương trình parabolic Chủ đe 2: Bài tốn ngược thời gian cho phương trình parabolic phi tuyen Chủ đe 3: Bài tốn Cauchy cho phương trình elliptic phi tuyen Đoi với chủ đe 1, chủ đe chủ đe 3, tốn Cauchy cho phương trình parabolic elliptic có rat nhieu dạng nghiên cáu khác nhau, chúng tơi tªp trung nghiên cáu ve tính khơng chỉnh loại tốn Bài tốn khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard tốn khơng thỏa nhat m®t ba tính chat: ton tại, nhat őn định nghi»m Chúng ta có the li»t kê m®t so tốn khơng chỉnh hi»n nhieu nhà tốn hoc ngồi nước quan tâm sau • Bài tốn xác định hàm nguon cho phương trình parabolic • Bài tốn ngược thời gian cho phương trình parabolic • Bài tốn giá trị ban đau cho phương trình elliptic Do chủ đe ve loại tốn khơng chỉnh cho phương trình parabolic elliptic nhieu nên chon vài chủ đe đe nghiên cáu luªn án Chúng ta sơ lược qua lịch sả chủ đe luªn án CHỦ ĐE Bài toán xác định hàm nguon cho phương trình parabolic lơi cuon nhieu nhà tốn hoc quan tâm, nghiên cáu Luªn án khảo sát toán sau  ∂u  − ∂ a (t) ∂u = F (x, t), (x, t) ∈ (0, π) × (0, T ) , ∂ u (0, t) = u (π, t) = 0,  ∂ ∂ (0.1) u (x, 0) = 0, u (x, T ) = g (x) , x ∈ (0, π) , a(t) > 0, a ∈ C ([0, T ]) , g ∈ L2(0, π) nhǎng hàm cho trước Bài tốn xác định hàm nguon tốn tìm hàm F biet trước dǎ li»u a(t) g(x) Bài tốn khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard M®t sai so nhỏ dǎ li»u (a, g) có the dan đen sai so lớn F Hi»n nay, đa so ket khảo sát cho trường hợp F phụ thu®c vào m®t bien không gian (bien x) Các ket F phụ thu®c hai bien có dạng F (x, t) = ϕ(t)f (x) hạn che Ta lược sơ qua ket khảo sát ve toán xác định hàm nguon F (x, t) = F (x) • Năm 2010, Chu Li Fu Fan Yang [43] dùng phương pháp Tikhonov đe chỉnh hóa tốn trường hợp F (x, t) = F (x) • Năm 2014, Chu Li Fu Fan Yang [42] dùng phương pháp làm nhuyen (molification) đe chỉnh hóa tốn trường hợp ϕ = • Năm 2014, Chu Li Fu Fan Yang [45] sả dụng phương pháp tựa biên (quasi-boundary value method) đe chỉnh hóa tốn CHỦ ĐE Chúng tơi xét tốn ngược thời gian cho phương trình parabolic phi tuyen, nham tìm hàm u : [0, 1] → H thỏa mãn   ut + A(t)u = f (t, u(t)), t ∈ (0, 1) ,  u (1) = ϕ, (0.2) đó, A(t) tốn tả tuyen tính, xác định dương cho A−1 compact không gian Hilbert H Hàm f : [0, 1] × H → H hàm nguon ϕ ∈ H giá trị cuoi xác định trước • Với tốn tả A(t) = −Δ, toán (0.2) trở thành toán ngược cho phương trình truyen nhi»t với h» so hang so sau   u (x, t) − u (x, t) = f (x, t, u), t xx t∈ (0.3) [0, 1),  u(x, 1) = ϕ(x) Bài toán (0.3) khảo sát nhieu gan nhieu tác giả Đ°ng Đác Trong, Nguyen Huy Tuan, Phạm Hoàng Quân, Đinh Nho Hào, Nguyen Văn Đác, Phan Thành Nam, Rashidinia, Wang, Qian, • Gan nhat, với trường hợp tốn tả A tốn (0.2) khơng phụ thu®c thời gian, nghĩa A(t) ≡ A f hàm so thỏa mãn đieu ki»n Lipschitz địa phương, toán (0.2) trở thành   u + Au = f t, u(t) , t ∈ (0, t (0.4) 1),  u(1) = ϕ Bài toán (0.4) tác giả Đ°ng Đác Trong Nguyen Huy Tuan nghiên cáu báo [35] Trong đó, tác giả dùng phương pháp Quasi-reversibility có đieu đe chỉnh hóa tốn (0.4) • Tà nhǎng li»t kê trên, tốn liên quan đen phương trình parabolic khảo sát rat nhieu tà trước đen nhiên so lượng cơng trình nghiên cáu trường hợp hàm thỏa đieu ki»n Lipschitz địa phương rat hạn che nên van đe mà chúng tơi khảo sát có tính mẻ Hơn nǎa, thực te truyen nhiằt ca mđt vêt ph thuđc vo nhieu yeu to có yeu to quan nhat vªt li»u Ngồi ra, moi vªt li»u có h» so dan nhi»t khác vªt li»u có bien đői theo thời gian yeu to khác hao mịn, oxy hóa, nên h» so sě phụ thu®c vào mơi trường (khơng gian) thời gian Mục đích chúng tơi khảo sát toán nghiên cáu chỉnh