Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 201 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯÍNG ĐẠI HOC SƯ PHẠM HÀ NËI ——————– * ——————— DƯƠNG TRONG LUY›N VE MËT SO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ HYPERBOLIC PHI TUYEN SUY BIEN LUŠN ÁN TIEN SĨ TOÁN HOC HÀ NËI - 2017 B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯÍNG ĐẠI HOC SƯ PHẠM HÀ NËI ——————– * ——————— DƯƠNG TRONG LUY›N VE MËT SO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ HYPERBOLIC PHI TUYEN SUY BIEN Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã so: 62.46.01.03 LUŠN ÁN TIEN SĨ TOÁN HOC Ngưíi hưỵng dȁn khoa hoc: GS.TSKH Nguyen Minh Trí HÀ NËI - 2017 LÍI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cáu tơi Các ket làm hướng dan GS TSKH Nguyen Minh Trí Các ket luªn án viet chung với thay hướng dan đeu nhat trí thay hướng dan đưa vào luªn án Các ket luªn án trung thực chưa tàng cơng bo cơng trình tác giả khác Nghiên cúu sinh: Dương Trong Luy»n LÍI CẢM ƠN Luªn án thực hi»n hồn thành B® mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại hoc Sư phạm Hà N®i, hướng dan GS TSKH Nguyen Minh Trí Thay dan dat tác giả làm quen với nghiên cáu khoa hoc tác giả hoc viên cao hoc Ngoài nhǎng dan ve m°t khoa hoc đ®ng viên lịng tin tưởng thay dành cho tác giả ln đ®ng lực giúp tác giả tin tưởng say mê nghiên cáu khoa hoc Với tam lòng tri ân sâu sac, tác giả xin bày tỏ lòng biet ơn chân thành sâu sac nhat đoi vời thay Tác giả xin trân gải lời cảm ơn đen Ban Giám hi»u, Phòng sau Đại hoc, Ban Chủ nhi»m Khoa Toán - Tin, Trường Đại hoc Sư phạm Hà N®i, đ°c bi»t thay giáo, giáo B® mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại hoc Sư phạm Hà N®i, thay giáo, giáo Phịng Phương trình vi phân, Vi»n Tốn hoc, ln giúp đơ, đ®ng vi»n, tạo mơi trường hoc tªp nghiên cáu thuªn lợi cho tác giả Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hi»u, anh chị em Khoa Tự nhiên, Trường Đại hoc Hoa Lư tạo moi đieu ki»n thuªn lợi giúp tác giả q trình hoc tªp nghiên cáu hồn thành luªn án Tác giả xin trân cảm ơn quy NAFOSTED tài trợ cho tác giả suot trình hoc nghiên cáu sinh Lời cảm ơn sau cùng, xin dành cho gia đình tác giả, nhǎng người dành cho tác giả tình yêu thương tron ven, tàng ngày chia sẻ, đ®ng viên tác giả vượt qua moi khó khăn đe hồn thành luªn án Mnc lnc Trang Líi cam đoan Líi cảm ơn Mnc lnc Mët so quy ưỵc kí hi»u Mð đau Tong quan 10 Chương1 MËT SO KIEN THỨC CHUAN B± 17 1.1 1.2 Toán tả ∆γ m®t so khơng gian hàm 17 1.1.1 Toán tả ∆γ 17 1.1.2 M®t so khơng gian hàm 19 1.1.3 M®t so tính chat 20 Tªp hút tồn cục tính chat 23 1.2.1 M®t so định nghĩa 23 1.2.2 M®t so tính chat 26 Chương2 SỰ TON TẠI NGHI›M VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHI›M CỦA BÀI TỐN BIÊN ĐOI VỴI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC SUY BIEN 2.1 28 M®t so định lí ve ton nghi»m yeu 28 2.1.1 Định lí ve ton nghi»m yeu 29 2.1.2 Định lí ve ton nghi»m yeu khơng âm .41 2.2 Tính quy nghi»m toán biên elliptic suy bien 44 Chương3 TŠP HÚT TỒN CỤC ĐOI VỴI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC TAT DAN CHỨA TOÁN TỬ ELLIPTIC SUY BIEN MẠNH TRONG MIEN B± CHN 52 3.1 3.2 3.3 Sự ton nhat nghi»m tích phân 53 3.1.1 Đ°t toán 53 3.1.2 Sự ton nhat nghi»m tích phân 54 Sự ton tªp hút tồn cục S2 (k ,k (Ω) × L2(Ω) 61 Đánh giá so chieu fractal tªp hút tồn cục 69 Chương4 TŠP HÚT TỒN CỤC ĐOI VỴI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC TAT DAN CHỨA TỐN TỬ GRUSHIN TRÊN TỒN KHƠNG GIAN 4.1 4.2 82 Sự ton nhat nghi»m tích phân 83 4.1.1 Đ°t toán 83 4.1.2 Sự ton nhat nghi»m tích phân 84 Sự ton ti têp hỳt ton cc S2(RN ) ì L2(RN ) .86 k Ket luªn kien nghị 111 Các ket đạt 111 Kien nghị m®t so van đe nghiên cáu tiep theo 111 Danh mnc công trình khoa hoc tác giả liên quan đen luªn án 113 Tài li»u tham khảo 113 MËT SO QUY ẻC V K HIU Trong ton bđ luên ỏn, ta thong nhat m®t so kí hi»u sau: RN khơng gian vectơ thực N chieu R+ tªp so thực khơng âm R ∗+ tªp so thực dương |x| chuȁn Euclid phan tả x không gian RN Ck(Ω) không gian hàm khả vi liên tục đen cap k mien Ω C0∞(Ω) không gian hàm khả vi vơ hạn có giá compact Ω Lp(Ω) khơng gian hàm lũy thàa bªc p khả tích Lebesgue mien Ω H′ khơng gian đoi ngau không gian Banach H ⟨·, ·⟩ đoi ngau giǎa H H ′ (·, ·)H tích vơ hướng không gian H Id ánh xạ đong nhat ~ h®i tụ yeu ‹→ phép nhúng liên tục ‹→‹→ phộp nhỳng compact Vol() đ o Lebesgue ca têp khơng gian RN ∆x RN Tốn tả Laplace theo bien x ∆y RN Toán tả Laplace theo bien y : ∆x = : ∆y = N1 Σ ∂2 ∂i i = Σ N2 j = ∂2 ∂j ∆z RN Toán tả Laplace theo bien z : ∆z = N3 Σ∂2 l = ∂l MÐ ĐAU Lí chon đe tài Lí thuyet phương trình vi phân đạo hàm riêng nghiên cáu đau tiên cơng trình J D’Alembert (1717-1783), L Euler (17071783), D Bernoulli (1700-1782), J Lagrange (1736-1813), P Laplace (1749-1827), S Poisson (1781-1840) J Fourier (1768-1830), m®t cơng cụ đe mơ tả hoc mơ hình giải tích Vªt lí Vào giǎa the k XIX với xuat hi»n cơng trình Riemann, lí thuyet phương trình vi phân đạo hàm riêng cháng tỏ m®t cơng cụ thiet yeu nhieu ngành toán hoc Cuoi the k XIX, H Poincaré moi quan h» bi»n cháng giǎa lí thuyet phương trình vi phân đạo hàm riêng ngành tốn hoc khác Sang the k XX, lí thuyet phương trình vi phân đạo hàm riêng phát trien vơ mạnh mě nhờ có cơng cụ giải tích hàm, đ°c bi»t tà xuat hi»n lí thuyet hàm suy r®ng S L Sobolev L Schwartz xây dựng Nghiên cáu phương trình, h» phương trình elliptic tőng qt phương trình hyperbolic đóng vai trị rat quan trong lí thuyet phương trình vi phân Hi»n ket theo hướng tương đoi hồn chỉnh Cùng với phát trien khơng ngàng tốn hoc khoa hoc cơng ngh» nhieu tốn liên quan tới đ® trơn nghi»m phương trình, h» phương trình khơng elliptic phương trình hyperbolic tat dan suy bien xuat hi»n Có m®t so lớp phương trình, có lớp phương trình elliptic suy bien phương trình hyperbolic tat dan suy bien, m®t khía cạnh có m®t so tính chat giong với phương trình elliptic phương trình hyperbolic tat dan cháa tốn tả ∆ Tuy nhiên ket đạt cho phương trình elliptic hyperbolic tat dan suy bien van cịn ít, chưa đay đủ Với lí nêu chon đe tài nghiên cáu cho luªn án “Ve mët so phương trình elliptic hyperbolic phi tuyen suy bien” Mnc đích nghiờn cfớu ã Nđi dung : Nghiờn cỏu bi toán biên elliptic suy bien cháa toán tả ∆γ với n®i dung sau: - Nghiên cáu ton nghi»m yeu tốn; - Tính quy nghiằm yeu ã Nđi dung : Nghiờn cỏu phng trình hyperbolic tat dan cháa tốn tả elliptic suy bien mạnh mien bị ch°n với n®i dung sau: - Nghiên cáu ton nhat nghi»m tích phân; - Nghiên cáu ton tªp hút tồn cục; - Đánh giá so chieu fractal tªp hỳt ton cc ã Nđi dung : Nghiờn cỏu phương trình hyperbolic tat dan cháa tốn tả Grushin tồn khơng gian với n®i dung sau: - Nghiên cáu ton nhat nghi»m tích phân; - Nghiên cáu ton tªp hút tồn cục Đoi tưđng phạm vi nghiên cfíu Đoi tượng nghiên cáu luªn án xét tốn biên tốn biên giá trị ban đau có cháa toán tả elliptic suy bien ∂ ∆γ := Σ N ∂xj j=1 γ2 j ∂ ∂xj Phương pháp nghiên cfíu • Đe nghiên cáu ton nghi»m yeu tốn chúng tơi sả dụng phương pháp bien phân