1167 một số lớp phương trình trong không gian banach có thứ tự luận văn tốt nghiệp

BỘGIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯỜNGĐẠI HỌCSƯPHẠMTHÀNHPHỐHỒCHÍ MINH VÕVIẾTTRÍ MỘTSỐLỚP PHƯƠNGTRÌNH TRONG KHƠNG GIAN BANACH CĨTHỨTỰ LUẬNÁNTIẾNSĨTỐNHỌC THÀNHPHỐHỒCHÍ MINH-2016 TRƯỜNGĐẠIHỌCSƯPHẠMTHÀNHPHỐHỒCHÍMINH VÕVIẾTTRÍ MỘTSỐLỚP PHƯƠNGTRÌNH TRONG KHƠNG GIAN BANACH CĨTHỨTỰ Chun ngành:Tốn Giải Tích Mãsố: 624601 02 LUẬNÁNTIẾNSĨTỐNHỌC NGƯỜIHƯỚNGDẪNKHOAHỌC PGS.TSNGUYỄNBÍCHHUY THÀNHPHỐHỒCHÍ MINH-2016 Mncl n c PHƯƠNGT R Ì N H T RONGK H Ơ N GG I A N V ỴIK - C H U AN 10 1.1 Khơnggianvớithátựsinhbởinón,khơnggianvớiK-chuȁn 11 1.2 nhlýiembat đngkieuK rasnos elskiitrong khụnggianvi K-chun nhêngiỏ tr không gianBanach 13 1.3 nhlýiembat đngkieuK rasnos elskiitrong khụnggianvi K-chun nhêngiỏtrtrongkhụnggianloiaphng .18 1.3.1 Trườnghợpkhơnggianloiđịaphươngxácđịnhbởihonảachuȁn.1 1.3.2 Trườnghợpkhơnggianloiđịaphươngxácđịnhbởicơsởlâncªn goc 24 1.4 ÚngdụngvàobàitốnCauchytrongthangkhơnggianBanach 31 1.4.1 Trườnghợpbàitốnkhơngnhieu 32 1.4.2 Trườnghợpbàitốncónhieu .35 ÁNHXẠCÔĐ CC THEOậOPHICOMPACTVẻIGITRTRON GNểN 2.1 2.2 44 đ o p h i c o m p a c t , n h x c ô đ ° c v đ ị n h l ý đ i e m b a t đ ® n g 44 2.1.1 đophicompactnhêngiỏtrtrongnún 44 2.1.2 nhxcụctheomđtđovnhlýiembatđng 47 ngdngvophngtrỡnhviphõncúchêmtrongkhụnggianBanach PHNGTRèNHVẻINHXATRCHATHAMSOTRONG 49 KHƠNGGIANCĨTHỨTỰ 3.1 53 Bªctơpơtươngđoicủa lớpánhxạđatrịcơđ°c 54 3.1.1 Tínhnảa li ê n tụcvàc om pactc nh xạđa trị .54 3.1.2 Bªct p t n g đ o i 57 3.1.3 Tớnhbêctụpụtngoichomđtsolpỏnhxvỏngdngvo bitoỏniembatđng 59 3.2 3.3 Phươngtrìnhvớiánhxạđatrịcháathamsocóch°ndướiđơnđi»u .67 3.2.1 Tínhliêntụccủatªpnghi»mdươngcủaphươngtrình .67 3.2.2 Khoảnggiátrịthamsođephươngtrìnhcónghi»m 71 3.2.3 Úngdụngvàom®tdạngbàitốnđieukhien 73 Bàitoángiátrịriêng,véctơriêngdương .79 3.3.1 Sựtontạivéctơriêngvàgiátrịriêngdương 81 3.3.2 M®tsotínhchatKrein-Rutmancủagiátrị riêng dương, véc tơriêng 88 MÐĐ AU Líthuyet ve cáckhơnggia nB anachvớ it hátựsinhbở inónvàc ác ph ươ ngtrình trongchúngđượchìnhthànhtànhǎngnăm1940vàđượctőngketbướcđautrongbàibáo[ 35] c ủ a M G K r e i n v M A R u t m a n N ó đ ợ c p h t t r i e n m n h m ě v đ t đ ợ c nhǎng ketquảsâusaccảvem°t líthuyetlanm°tángdụngtronggiaiđoạn1950– 1980trongcáccơngtrìnhcủaM.A.Krasnoselskiivàcáchoctrịcủng[30,31],củaE.N.Dan cer,P.Rabinowitz,R.Nussbaum,W.V.Petryshyn, [1,12,13,44].Lýthuyetnytieptchonthiằnchoentênhụmnayvinhngỏngdngrđngróitr ongcỏclnhvct r u y e n t h o n g ( L í t h u y e t p h n g t r ì n h v i p h â n , t í c h p h â n ; c c p h n g t r ì n h x u a t pháttàVªtlí,Hốhoc,Sinhhoc)vàcáclĩnhvựcmới(Líthuyetđieuk hien,Toiưuhố,Yhoc,Kinhtehoc,Ngơnngǎhoc, ) [2,3,9,10,18,22,23,24,25,47,48,49,50].HướngnghiêncáutieptheocủaLíthuyetphươngtrìn htrongkhơnggiancóthátựcũnggiongcáclĩnhvựcTốnhockhác,cólěsěđitheohaihướ ng.M®tm°ttieptụcphátt ri e n l í th uy et c h o c c l p p h n g t r ì n h mớ i t r o n g k h ô ng g i a n t h t ự, m ° t k h c ángdụngl h uye t o gi ả i q uy etc c bà i t oá nc c c lĩ nh v ựck h ác m ba nđ a u c ó thekhơngliênquanđencácphươngtrìnhtrongkhơnggianthátự Trong luªn án này, chúng tơi sě trình bày ket nghiên cáu theo haihướng nêu trên, nghiên cáu m®t so lớp phương trình với ánh xạ đa trị tőng quátcháat m so tr on gk h ô n g gi a n c ó t há t ự sả dụ ng c h u ȁ n n, đ ® đo ph i c o m p a c t vớigiátrịtrongnónđenghiêncáuphươngtrìnhtrongkhơnggiancóthekhơngcóthátự Dưới chúng tơi sě nêu ket luªn án, moi liên quan chúngvớicácketquảcủacáctácgiảkhác I Sfid n n g c h u a n n ó n v đ ë đ o p h i c o m p a c t v ỵ i g i t r ị t r o n g n ó nđe nghiêncfíucácphươngtrình Quanh»thátựđượcsảdụngm®tcáchtựnhiêntrongnghiêncáuphươngtrìnhviphân,t íchphân(nhờNgunlíMaximum,bőđeGronwal, ), trongLíthuyetđiemb atđ®ng(sảdụngtínhđơnđi»ucủấnhxạđegiảmnheho°cbỏđieuki»nliêntục, compact ho°c xây dựng dãy l°p đơn đi»u h®i tụ ve nghi»m, ) Ngay vanđe tưởng chàng không liên quan đen thá tự vi»c đưa vào m®t thá tự thích hợp sělàm cho vi»c giải quyet tốn sáng rõ hơn, ngan gon Ta có the thayđieu qua cháng minh định lý Hahn-Banach, định lý Tychonoff ve tích khơnggian compact (sả dụng Bő đe Zorn), định lý điem bat đ®ng Caristi, Ngun lí bienphânEkeland(vớivi»cxâydựngthátựthíchhợp) Khơng gian với metric nón ho°c chuȁn nón (cũng cịn goi khơng gian Kmetric,khơng gian K-chuȁn) m®t mở r®ng tự nhiên không gian metric, định chuȁnthông thường metric ho°c chuȁn nhªn giá trị nón dương m®t khơng giancó thá tự Chúng đưa vào nghiên cáu tà nhǎng năm 1950 dụng trongGiảit í c h s o , P h n g t r ì n h v i p h â n , L í t h u y e t đ i e m b a t đ ® n g , t r o n g c c c ô n g t r ì n h Kantorovich [32,33,34], Collatz [11], P.Zabreiko hoc trò với ket quảđượctőngkettrong[55] Tac ó t h e t y s ựh ǎ u í c hc v i » c sả d ụ ng kh ôn g g i a n v i c h uȁ nn ón q u a v í d ụ sa u Giả sả ta có khơng gian định chuȁn thơng thường(X, q)và ta muon tìm điem batđ®ng ánh xạT:X→X Trong m®t so trường hợp ta có the tìm khơng gianBanach(E,ǁ.ǁ)với thá tự sinh nónchuȁnKcE,ánh xạ tuyen tính dương liêntụcQ:E→Evàchuȁnnónp:X→Ksa o choq(x)=ǁp(x)ǁvà p(T(x)—T(y))≤Q[p(x—y)],x , y∈X (1) Tà(1)tacóNhư ǁp(T(x)—T(y))ǁ≤N.ǁQǁ.ǁp(x—y)ǁ vªy,Ih>0đe q(T(x)—T(y))≤hq(x—y),x , y∈X (2) Neu làmvi»c trong(X, q)với tính chat (2) ta có thơng tin khilàmvi»cvới(1)vìtà(1)tacóthesảdụngcáctínhchatcủấnhxạtuyentínhdươngđãđ ượctìmratrongLíthuyetphươngtrìnhtrongkhơnggiancóthátự Ganđ â y , c c n g h i ê n c u v e đ i e m b a t đ ® n g t r o n g k h ô n g g i a n v i n ó n m e t r i c s i đ®ngtrởlạisaubàibáo[20](tacóthethamkhảobàibáotőngquan[27]vecácnghiêncáuganđâyvớili»t kêhơn100bàibáo,tuychưađayđủ).Tuynhiên,cáctácgiảcủabài báo [20] phan lớn tiep theo không biet nghiên cáu ve đe tàinày giai đoạn trước; ket ho không tőng quát chỉmangt í n h l í t h u y e t C c n g h i ê n c u v e đ i e m b a t đ ® n g t r o n g k h ô n g g i a n v i m e t r i c nón giai đoạn trước v gan õy cng chtêptrung vo Nguyờn lớ CacciopoliBanachvcỏcmrđngcanú.Choenthiiemchỳngtụigingbibỏo[TG1]chỳngtụichat hayketqunovemrđngnhlýKrasnoslskiiveiembatđngcatngỏnhxcovỏnhxco mpactchokhơnggianvớichuȁnnón Trong chương luªn án, chúng tơi trình bày ket ve định lý điem batđ®ng kieu Krasnoselskii cho ánh xạT+Strong khơng gian với chuȁn nón cho haitrườnghợp.TrongtrườnghợpchuȁnnhªngiátrịtrongkhơnggianBanachchúng tơiđ°tđ i e u k i » n ( 1)l ê n n h x T T r n g h ợ p c h u ȁ n n h ª n g i t r ị t r o n g k h ô n g g i a n l o i địaphươngEthìánhxạTt h o ả mãnđieuki»ndạng x n p(Tn(x)—T (y))≤Q np(x—y),6 x,y,xX, nặ ì x viQ n:EEl d ó y ánh xạ d n g , l i ê n t ụ c v T x(x)=T(x)+x CácketquảtràutượngđượcchúngtơiápdụngvàokhảosátbàitốnCauchy xJ(t)=ƒ[t,x(t)]+g[t,x(t)] (3)trongthangcác khơnggianBanach(5s,ǁ.ǁs),s∈(0,1] Sựtontạinghi»mcủa(3)(cũngcịngoilàđịnhlýCauchy-Kovalevkayatràutượng) vớiƒ t h o ả đ i e u k i » n L i p s c h i t z d n g O v c j a n n i k o v :ǁƒ(t,u)— ƒ(t,v)ǁs ≤ Cku—vkr (r—s) ,0 < s < r≤1vàg(t, u) = 0, nghiên cáu F.Treves, L.Ovcjannikov, L.Nirenber,T.Nishida, [38,39,40,45], trường hợpglà ánh xạ compact, toán đượcH.Begehr [7], M.Ghisi [16], nghiên cáu Các tác giả xây dựng dãy l°p chángminh ton nghi»m địa phương M.Safonov [45] rang khig= 0sự ton tạinghi»m có the cháng minh bang định lý ánh xạ co với vi»c xây dựng chuȁn thích hợp,P.Zabreiko[55]chothay,nócịncótheđượcnghiêncáunhờđịnhlýánhxạcotrong khơnggianvớichuȁnnón Trong trường hợpg= 0chúng tơi xây dựng khơng gian(E,ǁ.ǁ)mà chuȁnnón nhªn giá trị, có chuȁnǁ.ǁđược định nghĩa tương tự chuȁn sả dụngc định nghĩa tương tự chuȁn sả dụngnh nghĩa tương tự chuȁn sả dụngng tự chuȁn sả dụng chu ȁn sả dụngn định nghĩa tương tự chuȁn sả dụngc sả dụng dụngng bởiiSafonovv t y đ ői c c h đ ị n h n gh ĩ a c ủ a Z a b r e i k o v e n h x Q t r o n g đ i e u k i» n ( 1).TàđóchúngtơicũngnhªnlạiđượcđịnhlýNishidatheophươngphápsảdụngkhơnggian với chuȁn nón Ngồi ra, chúng tơi cháng minh tính liên tục ánh xạ(I—T)— ,trongđ ó T l n h x t í c h p h â n t n g n g c ủ a p h n g t r ì n h T r o n g t r n g hợp ánh xạglà compact vàƒthoả đieu ki»n ng°t đieu ki»n Ovcjannikov códạngǁƒ(t, u)— ƒ(t, v)ǁs≤hsǁu—vǁs,chúng sả dụng định lý kieu Krasnoselskiicho khơng gian với chuȁn nón nhªn giá trị khơng gian loi địa phương đe chángminh ton nghi»m tốn Cauchy trên[0,∞) Chúng tơi chưa biet ket quảnào ve ton nghi»m trên[0,∞)của toán Cauchy thang khơng gianBanach Đ® đo phi compact với giá trị nón định nghĩa có tính chat tươngtự đ® đo phi compact với giá trị trongR[6] Đ® đo cịn sả dụng trongchángminhsựtontạinghi»mcủacácphươngtrình.Trong[6]đãgiớithi»um®táng dụngc ủađ®đoph i c ompa ct với gi trịt ro ng n ón đech ángm inh to nt ại n gh i» m c ủabàitốnCauchycóchªm xJ(t)=ƒ[t,x(k(t))]v i ≤k(t)≤t 1/p (4) Trong chương luªn án chúng tơi cháng minh m®t định lý ve đieu ki»n đe cóm®tánhxạƒtácđ®ngtrongkhơnggianBanachXlàcơđ°cđoivớiđ®đophicompactęvới giá trị nón dươngKcủa khơng làę[ƒ(Y)]≤A[ę(Y)],YcXtrong gian thá đóA:K→Klà tựE Đieu ki»n chúng tơi m®t ánh xạ tăng Khi neutªpYc Xthoảmãnđieuki»nę[ƒ(Y)]≥ę(Y)thìtacóę(Y)≤A[ę(Y)].Nhưvªyphant ả ę ( Y)∈ K l m ® t n g h i » m d i c ủ a p h n g t r ì n h u = A (u)v t a c ó t h e s ả dụngc c k e t q u ả v e đ i e m b a t đ ® n g c ủ a n h x t ă n g A đ e c h n g m i n h (Y)=0.L luêntrờncho tathayliớchcaviằcsdngđophicompactvigiỏtrtrongnún Ket qu tru tng sả dụng đe cháng minh ton nghi»m chom®tmởr®ngcủa(4)dạng xJ(t)=ƒ[t,x(t),x(k(t))] II Phươngtrìnhđatrị chfí a tham s otrongkh ơn ggia n cóthfítfi Nghiêncáuvephươngtrìnhvớiánhxạđơntrịcháathamsodạng x=A(λ,x) (5) khơng gian có thá tự thu ket sâu sac, bat đau tà định lý KreinRutman ve giá trị riêng vectơ riêng dương ánh xạ tuyen tính dương mạnh, tieptheol c c n g h i ê n c u v e c a u t r ú c t o n c ụ c t ª p n g h i » m c ủ a p h n g t r ì n h t r o n g c c bàib oc Kr a s n o se ls ki i, Da n ce r ,Ra bi no wi tz , Nu ss b a u m , Am an n, [ 1,1 ,13 ,21 , 30,31,44] Nghi»m (5) thường khơng ton đơn lẻ ta muon tìm hieu xem cỏc têpnghiằm S1 =( x|I :x=A(,x)}, S2 =((,x):x/=,x=A(,x)} cúdyctheomđtnghanoúkhụng?Krasnoselskiisdngbêctụpụ,kethpvi giả thiet ve ch°n đơn đi»u cháng minh rang tªp nghi»mS1của (5) liêntục theo nghĩa biên moi tªp mở, bị ch°n cháaθđeu có điem củaS1 Dancer,Rabinowitz, Nussbaum, Amann sả dụng bªc tơpơ ket hợp vi mđt nh lý ve tỏchcỏc têp compact liờn thụng đe cháng minh ton thành phan liên thông khơng bịch°ntrongtªpS Dạngđ a t r ị c ủ a ( 5)l x ∈A (λ,x)vàt a c ũ n g m u o n t h i e t l ª p c c k e t q u ả v e c a u trúctª pnghi»mcủabaohàmthácnày.Bªctơpơchốnhxạđatrịdương,compactđãđượcxâydựngtrongc ácbàibáocủaW.PetryshynvàM.Fitzpatrick[15]vàđãđượcsảdụngđemởr®ngsangtrườnghợp đatrịcácđịnhlýKrasnoselskiiveđiembatđ®ngcủa ánh xạ nén-giãn nón định lý Leggett-Williams (Xem [26,41,42] li»uthamkhảotrongđó).Tuynhiên,theohieubietcủachúngtơithìchođennaychưacó tài mở r®ng định lý Krasnoselskii ve tính liên tục tªp nghi»m sang trường hợp đatrị.Khókhăng°pphảicólěliênquanđenvi»cchonđịnhnghĩakháini»mánhxạđatrịt ăngthíchhợp Trong phan đau chương luên ỏn chỳng tụi trỡnh by cỏc m rđng sang trườnghợpđatrịchođịnhlýKrasnoselskiivetínhliêntụccủatªpnghi»mvàđịnhlýKras-noselskii ve khoảng giá trị tham so đe cho phương trình có nghi»m Các ket quảnàyđượcchúngtơiápdụngđenghiêncáubàitốnbiênvớihàmđieukhiendạng xJJ(t)+λ(t)ƒ(x(t))=0,x (0)=x(1)=0, λ(t)∈5(t,x(t)) (6) Bàitốn(6)đượcđưavebàitốndạng x∈A(x) (7) trongđóx∈[0,1],Alàtốntảtíchphânđatrị.Đenghiêncáubàitốn(7)chúngtơi xét tốn cháa tham sox∈λA(x) Với m®t so giả thiet đ°t lên hàmƒ,5chúng tơi cháng minh tính liên tục tªp nghi»m toán cháa tham so vàchỉrakh oả ng cụth ecácgiá trịtham sođebàitốn có nghi»m.Các cªnc khoản gnày tính qua dǎ ki»n ve hàmƒ,5 Đ°t đieu ki»n đe khoảng cháa ta thuđượcsựtontạinghi»mcủa(7), (6).Phươngphápnghiêncáubàitốn(6)củachúngtơikhácvớicácnghiêncáuvecácphươ ngtrìnhtươngtựcủa[26,41,42],ởđósảdụngcác địnhlýKrasnoselskii venén-giãn nónho°c địnhlý Leggett-William chốnhxạđatrị Tiep theo chúng tơi áp dụng định lý ve tính liên tục củatªpnghi»m phươngtrìnhc ó c h ° n d i đ n đ i » u v o b i t o n g i t r ị r i ê n g c ủ a n h x đ a t r ị t ă n g , t h u a n nhat dương bªc Trong báo [35], Krein Rutman cháng minh ket quantrongsau ĐịnhljKrein-Rutman ChoElà khônggian Banach có thú tự sinh bới nónKvàT:E→Elà m®t tốntủt u y e n t í n h d n g v c o m p a c t v i b n k í n h p h ő r (T)>0.K h i đ ó r (T)là m ® t g i tràriêngcủaTúngvớivectơriêngd ơngxO GiảsủthêmintK/=øva`Tlàdương