1158 một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian banach luận văn tốt nghiệp

B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HOC THÁI NGUYÊN TRƯƠNG MINH TUYÊN MËT SO PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIEM BAT ĐËNG CHUNG CỦA MËT HO HữU HẠN CÁC ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn Giải tích Mã so: 62 46 01 02 LUŠN ÁN TIEN SĨ TỐN HOC NGƯÍI HƯỴNG DAN KHOA HOC GS TS Nguyen Bường GS TS Jong Kyu Kim THÁI NGUN-NĂM 2013 ii LÍI CAM ĐOAN Các ket trình bày luªn án cơng trình nghiên cáu tơi, hồn thành hướng dan GS TS Nguyen Bường GS TS Jong Kyu Kim Các ket trình bày luªn án chưa tàng cơng bo cơng trình người khác Tôi xin chịu trách nhi»m ve nhǎng lời cam đoan Tác giả Trương Minh Tuyên iii LÍI CẢM ƠN Luªn án hồn thành Trường Đại hoc Sư phạm, Đại hoc Thái Nguyên hướng dan tªn tình GS TS Nguyen Bường GS TS Jong Kyu Kim Tác giả xin bày tỏ lòng biet ơn sâu sac tới Thay Trong q trình hoc tªp nghiên cáu, thơng qua giảng seminar tác giả ln nhªn quan tâm giúp nhǎng ý kien đóng góp quý báu GS TSKH Phạm Kỳ Anh, PGS TS Phạm Ngoc Anh, PGS TS Phạm Hien Bang, PGS TS Phạm Vi»t Đác, TS Đào Thị Liên, GS TSKH Nguyen Văn Mªu, TS Hà Tran Phương, TS Vũ Vinh Quang, PGS TS Nguyen Năng Tâm, GS TSKH Nguyen Xuân Tan, GS TSKH Đo Đác Thái, GS TS Tran Vũ Thi»u, TS Nguyen Thị Thu Thủy, TS Vũ Mạnh Xuân Tà đáy lịng tác giả xin bày tỏ lịng biet ơn sâu sac đen Thay Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhi»m Khoa Toán, Khoa sau đại hoc Ban giám hi»u trường Đại hoc Sư phạm, Đại hoc Thái Nguyên tạo moi đieu ki»n tot nhat đe tác giả có the hồn thành luªn án Tác giả xin chân thành cảm ơn Thay Khoa Tốn, trường Đại hoc Sư phạm Thay Khoa Tốn-Tin, trường Đại hoc Khoa hoc, Đại hoc Thái Nguyên, toàn the anh chị em nghiên cáu sinh chuyên ngành Toán Giải tích, bạn bè đong nghi»p ln quan tâm, đ®ng viên, trao đői đóng góp nhǎng ý kien quý báu cho tác giả suot trình hoc tªp, seminar, nghiên cáu hồn thành luªn án Tác giả xin kính t°ng nhǎng người thân yêu gia đình niem vinh hạnh to lớn Tác giả Mnc lnc Trang bìa phn i Líi cam đoan ii Líi cảm ơn iii Mnc lnc iv Mët so kj hi»u viet tat vi Mð đau Chương Mët so kien thfíc chuan bị 1.1 M®t so van đe ve hình hoc khơng gian Banach, tốn tả đơn đi»u ánh xạ khơng giãn 1.2 Bài toán đ°t không chỉnh phương pháp hi»u chỉnh 17 1.2.1 Khái ni»m tốn đ°t khơng chỉnh 18 1.2.2 Phương pháp hi»u chỉnh Tikhonov .18 1.3 Phương pháp điem gan ke quán tính 22 1.4 Phương pháp điem gan ke quán tính hi»u chỉnh 25 1.5 Bài tốn tìm điem bat đ®ng chung m®t ho hǎu hạn ánh xạ không giãn .26 1.5.1 Phát bieu toán 26 1.5.2 M®t so phương pháp xap xỉ điem bat đ®ng ánh xạ không giãn 28 1.6 M®t so bő đe bő trợ 37 Chương Phương pháp điem gan ke 40 2.1 Phương pháp điem gan ke cho tốn tìm điem bat đ®ng chung m®t ho hǎu hạn ánh xạ khơng giãn 40 v 2.2 Tính őn định phương pháp 50 2.3 Phương pháp điem gan ke tốn xác định khơng điem toán tả m-j-đơn đi»u .54 2.4 Úng dụng 62 2.4.1 Bài tốn tìm điem bat đ®ng chung m®t ho hǎu hạn ánh xạ giả co ch°t 62 2.4.2 Bài tốn chap nhªn loi 65 Chương Phương pháp hi»u chỉnh Tikhonov phương pháp điem gan ke quán tính hi»u chỉnh 75 3.1 Phương pháp hi»u chỉnh Tikhonov phương pháp điem gan ke quán tính hi»u chỉnh cho tốn tìm điem bat đ®ng chung m®t ho hǎu hạn ánh xạ khơng giãn 75 3.2 Tính őn định phương pháp hi»u chỉnh 82 3.3 Úng dụng 88 3.3.1 Bài tốn tìm điem bat đ®ng chung m®t ho hǎu hạn ánh xạ giả co ch°t 88 3.3.2 Bài tốn chap nhªn loi 89 Ket luªn chung 95 Kien nghị hưỵng nghiên cfíu tiep theo 96 Danh mnc cơng trình cơng bo liên quan đen luªn án 97 Tài li»u tham khảo 98 Mët so kj hi»u viet tat E không gian Banach E∗ không gian đoi ngau E θ phan tả không không gian Banach E dim(E) so chieu không gian Banach E R tªp hợp so thực R+ tªp so thực khơng âm ∩ phép giao inf M cªn tªp hợp so M sup M cªn tªp hợp so M max M so lớn nhat tªp hợp so M M so nhỏ nhat tªp hợp so M argminx∈X F (x) tªp điem cực tieu hàm F X ∅ tªp rong ∀x với moi x D(A) mien xác định toán tả A R(A) mien ảnh toán tả A A−1 toán tả ngược toán tả A I tốn tả đong nhat Lp(Ω) khơng gian hàm khả tích bªc p Ω lp khơng gian dãy so khả tőng bªc p d(x, M ) khoảng cách tà phan tả x đen tªp hợp M H(C1, C2) khoảng cách Hausdorff giǎa hai tªp hợp C1 C2 lim sup xn giới hạn dãy so {xn } lim inf x n→∞ n giới hạn dãy so {xn} n→∞ vii αn \ α0 dãy so thực {αn} h®i tụ giảm ve α0 xn −→ x0 dãy {xn} h®i tụ mạnh ve x0 xn ~ x0 dãy {xn} h®i tụ yeu ve x0 J ánh xạ đoi ngau chuȁn tac j ánh xạ đoi ngau chuȁn tac đơn trị δE(ε) mô đun loi không gian Banach E ρE(τ ) mô đun trơn không gian Banach E Fix(T ) ho°c F (T ) tªp điem bat đ®ng ánh xạ T ∂f vi phân hàm loi f M d(a, M ) bao đóng tªp hợp M khoảng cách tả phan tả a đen tªp hợp M W m(Ω) khơng gian Sobolev o(t) vơ bé bªc cao t n[a,b] so điem chia cách đeu đoạn [a, b] nmax so bước l°p tg thời gian tính tốn err sai so nghi»m xap xỉ so với nghi»m xác int(C) phan tªp hợp C p Mð đau Bài tốn tìm điem bat đ®ng chung m®t ho hǎu hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert hay khơng gian Banach m®t trường hợp riêng toỏn chap nhên loi: "Tỡm mđt phan t thuđc giao khác rong m®t ho hǎu hạn hay vơ hạn tªp loi đóng {Ci}i∈I khơng gian Hilbert H hay khơng gian Banach E" Bài tốn có nhieu dụng quan trong lĩnh vực khoa hoc khác như: Xả lí ảnh, khơi phục tín hi»u, vªt lý, y hoc (xem [27], [28], [29], [43], [58], [59], [71], [72], [81] ) Khi Ci = Fix(Ti), vi Fix(Ti) l têp iem bat đng ca ỏnh xạ không giãn Ti, i = 1, 2, , N , có nhieu phương pháp đe xuat dựa phương pháp l°p cő đien női tieng Đó phương pháp l°p Kranoselskii [56], Mann [62], Ishikawa [45] Halpern [42], phương pháp xap xỉ mem [65] Chȁng hạn, tương tự phương pháp chieu xoay vịng đe giải tốn chap nhªn loi khơng gian Hilbert, năm 1996 Bauschke H H [16] đe xuat phương pháp l°p xoay vòng dựa phương pháp l°p Halpern cho tốn tìm điem bat đ®ng chung m®t ho hǎu hạn ánh xạ khơng giãn không gian Hilbert Các ket nghiên cáu theo nhǎng hướng có the tra khảo tài li»u [16], [30], [46], [69], [70] sě trình bày cụ the Chương luªn án Ta biet rang, neu T m®t ánh xạ khơng giãn khơng gian Banach E, tốn tả A = I − T m®t tốn tả j-đơn đi»u, với I toán tả đong nhat E Nh vêy, bi toỏn tỡm iem bat đng chung ca m®t ho hǎu hạn ánh xạ khơng giãn Ti khơng gian Banach E có the đưa ve tốn tìm khơng điem chung m®t ho hǎu hạn toán tả j-đơn đi»u Ai = I − Ti với i = 1, 2, , N Khi A : H −→ 2H m®t tốn tả đơn đi»u cực đại không gian Hilbert H (trong không gian Hilbert khái ni»m j-đơn đi»u đơn đi»u trùng nhau), Rockafellar R T [77] đe xuat phương pháp điem gan ke đe xác định dãy {xn} sau: cnAxn+1 + xn+1 s xn, x0 ∈ H, (0.1) cn > c0 > Tuy nhiên, vi»c áp dụng phương pháp l°p (0.1) thu h®i tụ yeu dãy {xn} ve m®t khơng điem A Năm 2001, Attouch H Alvarez F [14] xét m®t mở r®ng phương pháp điem gan ke (0.1) dạng cnA(xn+1) + xn+1 − xn s γn(xn − xn−1), x0, x1 ∈ H (0.2) goi phương pháp điem gan ke quán tính, {cn} {γn} hai dãy so không âm Đoi vi thuêt toỏn m rđng ny thỡ ngi ta cng thu h®i tụ yeu dãy l°p {xn} ve m®t khơng điem tốn tả đơn đi»u cực đại A không gian Hilbert Khi A : E −→ E m®t tốn tả m−j−đơn đi»u tà khơng gian Banach E vào nó, năm 2002 Ryazantseva I P [78] ket hợp phương pháp điem gan ke với hi»u chỉnh goi phương pháp điem gan ke hi»u chỉnh dạng cn(A(xn+1) + αnxn+1) + xn+1 = xn, x0 ∈ E (0.3) Ryazantseva I P sự h®i tụ mạnh dãy l°p {xn} xác định (0.3) ve m®t khơng điem A không gian Banach E dãy so dương {cn} {αn} thỏa mãn đieu ki»n thích hợp Năm 2006 tác giả Xu H K [88] năm 2009 tác giả Song Y., Yang C [80] đe xuat nghiên cáu m®t cải biên phương pháp điem gan ke cho toán xác định khơng điem tốn tả đơn đi»u cực đại A không gian Hilbert, ông h®i tụ mạnh dãy l°p {xn} xác định xn+1 = J A (tnu + (1 − tn)xn + en), n = 0, 1, 2, (0.4) r với m®t so đieu ki»n thích hợp đ°t lên dãy so {tn} dãy sai so tính tốn moi bước l°p {en}, J A = (I + rnA)−1 r Đoi với tốn tìm nghi»m chung m®t ho hǎu hạn phương trình tốn tả với toán tả đơn đi»u cực đại, năm 2006 tác giả Buong Ng [22] đe xuat nghiên cáu phương pháp hi»u chỉnh Browder-Tikhonov cho tốn tìm khơng điem chung m®t ho hǎu hạn tốn tả đơn trị đơn đi»u, the năng, h−liên tục tà không gian Banach E vào khơng gian đoi ngau E∗ Ơng quy tốn giải h» phương trình với tốn tả đơn đi»u cực đại ve vi»c giải m®t phương trình tốn tả thu h®i tụ mnh ca thuêt toỏn ve mđt nghiằm ca hằ tham so hi»u chỉnh chon thích hợp Năm 2008, sở ket nghiên cáu đạt vào năm 2006, tác giả Buong Ng [23] lan đau tiên nghiên cáu ket hợp phương pháp điem gan ke quán tính với hi»u chỉnh goi phương pháp điem gan ke quán tính hi»u chỉnh, cho vi»c giải tốn tìm khơng điem chung m®t ho hǎu hạn toán tả đơn đi»u cực đại Ai = ∂fi, với ∂fi vi phân phiem hàm loi, thường, nảa liên tục yeu fi, i = 1, 2, , N không gian Hilbert H Ơng h®i tụ mạnh dãy l°p {zn} xác định cn Σ N n αnj A (zn+1) +n αN+1zn+1 + zn+1 − zn s γn(zn − zn−1), j j z0, z1 ∈ H, {cn}, {αn} {γn} dãy so thực khơng âm An j tốn tả đơn đi»u cực đại xap xỉ toán tả vi phân ∂ϕj phiem hàm ϕj theo nghĩa n H(Aj (x), ∂ϕj(x)) ≤ hng(ǁxǁ), với g m®t hàm khơng âm, giới n®i Bài tốn tìm điem bat đ®ng chung m®t ho hǎu hạn hay vơ hạn ánh xạ khơng giãn, với tốn liên quan tốn tìm nghi»m h» phương trình với toán tả loại đơn đi»u, toán bat đȁng thác bien phân, toán cân bang nhieu nhà toán hoc nước quan tâm nghiên cáu Chȁng hạn như: Năm 2004 tác giả Anh P N Muu L D [5] ket hợp nguyên lý ánh xạ co với phương pháp điem gan ke cho toán bat đȁng thác bien phân đơn đi»u; năm 2009 tác giả Anh P K Chung C V [3] nghiên cáu phương pháp hi»u chỉnh l°p song song dạng ȁn hi»n cho tốn tìm khơng điem chung m®t ho hǎu hạn tốn tả xác định dương tà khơng gian Hilbert H vào nó; tác giả Thuy N T T [84] xây dựng phương pháp l°p cho tốn tìm nghi»m m®t bat đȁng thác bien phân tªp điem