(LUẬN văn THẠC sĩ) một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian banach

Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh

Khái niệm bài toán đặt không chỉnh

Khái niệm bài toán chỉnh được Hadamard J đưa ra trong nghiên cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình elliptic và parabollic Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày khái niệm bài toán không chỉnh dưới dạng một phương trình toán tử.

Xét bài toán tìm nghiệm của phương trình

A(x) =f, (1.10) trong đó A là một toán tử từ không gian mêtric X vào không gian mêtric

Y với các khoảng cách tương ứng là ρX, ρY và f0 ∈ Y Theo Hadamard

J bài toán (1.10) gọi là đặt chỉnh (chính qui) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: i) Phương trình (1.10) có nghiệm xf với mọi f ∈ Y, ii) nghiệm xf được xác định một cách duy nhất, iii) nghiệm xf phụ thuộc liên tục vào f.

Trong một thời gian dài, người ta tin rằng mọi bài toán đều thỏa mãn ba điều kiện cơ bản Tuy nhiên, thực tế đã chứng minh rằng quan niệm này là sai lầm, đặc biệt là với sự ra đời của máy tính điện tử Trong quá trình tính toán các bài toán thực tế, việc làm tròn số thường xảy ra, dẫn đến những sai lệch đáng kể trong kết quả.

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thì bài toán (1.10) được gọi là bài toán đặt không chỉnh.

Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov

Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, do A N Tikhonov phát triển, là một phương pháp quan trọng trong việc tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán khi không có thông tin về nghiệm chính xác x0 Phương pháp này dựa trên việc xây dựng toán tử hiệu chỉnh và lựa chọn giá trị cho một tham số mới, giúp cải thiện độ chính xác của nghiệm xấp xỉ.

Giả sử A −1 không liên tục và ta biết rằng f δ : ρ Y (f δ , f) ≤ δ → 0 Bài toán đặt ra là từ thông tin về (A, fδ) và mức sai số δ, tìm một phần tử xδ xấp xỉ nghiệm chính xác x0 của bài toán Rõ ràng, không thể xây dựng x δ theo quy tắc x δ = A −1 f δ, vì A −1 có thể không xác định với mọi f ∈ Y và không liên tục, do đó nếu A −1 f δ tồn tại, cũng chưa chắc đã xấp xỉ A −1 f.

Tham số δ xác định mức độ sai số của phương trình (1.10), dẫn đến việc xây dựng phần tử xấp xỉ phụ thuộc vào tham số tương thích với δ, nhằm đảm bảo khi δ → 0, phần tử xấp xỉ này sẽ hội tụ đến nghiệm x0 Nếu điều này khả thi, từ fδ ∈ Y, ta có thể xác định phần tử xấp xỉ trong không gian X, cho thấy sự tồn tại của một toán tử tác động từ Y vào X Định nghĩa toán tử R(f, α) phụ thuộc vào tham số α và tác động từ Y vào X được coi là toán tử hiệu chỉnh cho bài toán (1.10) nếu tồn tại hai số dương α1 và δ1, sao cho R(f, α) được xác định với mọi α ∈(0, α1) và mọi fδ ∈ Y khi ρY(fδ, f)≤ δ với δ ∈ (0, δ1) Hơn nữa, cần có một sự phụ thuộc α = α(fδ, δ) sao cho với mọi ε > 0, tồn tại δ(ε) ≤ δ1 để đảm bảo rằng với mọi fδ ∈ Y thỏa mãn ρY(fδ, f)≤ δ ≤ δ1 thì ρX(xα, x0) ≤ ε, trong đó x0 là nghiệm chính xác của (1.10) và xα ∈ R(fδ, α(fδ, δ)).

Nghiệm hiệu chỉnh x α trong bài toán (1.10) được xác định bởi tham số hiệu chỉnh α = α(f δ , δ) Định nghĩa này cho thấy rằng nghiệm hiệu chỉnh này ổn định với các dữ kiện ban đầu.

Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là một trong những kỹ thuật nổi bật, thường được áp dụng để nghiên cứu và giải quyết các bài toán không chỉnh trong nhiều lĩnh vực của Toán học.

Chú ý 1.9 Trong trường hợp α = δ, định nghĩa về toán tử hiệu chỉnh có dạng đơn giản sau:

Toán tử R(f, δ) tác động từ Y vào X được gọi là một toán tử hiệu chỉnh, nếu: i) Tồn tại một số dương δ 1 sao cho toán tử R(f, δ) xác định với mọi

0 ≤ δ ≤ δ1 và với mọi f ∈ Y sao cho ρY(f, f0) ≤ δ; ii) Với ε > 0 bất kì, tồn tại δ 0 = δ 0 (ε, f δ ) ≤ δ 1 sao cho từ ρ Y (f δ , f 0 ) ≤ δ ≤ δ0 ta có ρX(xδ, x0)≤ ε, ở đây xδ ∈R(fδ, δ).

Toán tử hiệu chỉnh R(f, δ) có thể được coi là một ánh xạ đa trị Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov để giải quyết các phương trình.

A(x) = f, (1.11) với A : E −→ E ∗ là một toán tử đơn điệu và h−liên tục từ không gian Banach phản xạ E có tính chất Kadec-Klee vào không gian đối ngẫu E ∗, giả thiết rằng tập nghiệm S0 là khác rỗng.

Không gian Banach E được xem là có tính chất Kadec-Klee nếu với mọi dãy {xn} ⊂ E mà xn hội tụ về x và kxnk −→ kxk, thì xn cũng hội tụ về x Tất cả các không gian Banach lồi đều có tính chất Kadec-Klee Toán tử A : E −→ E ∗ được gọi là h-liên tục tại điểm x ∈ E nếu A(x+th) hội tụ về A(x) khi t → 0, và A được coi là h-liên tục trên E nếu điều này đúng với mọi x ∈ E Nếu A là một toán tử liên tục, thì điều này cũng dễ dàng nhận thấy.

A là một toán tử h−liên tục, tuy nhiên điều ngược lại không đúng.

Tư tưởng của phương pháp hiệu chỉnh do Browder F E [20] đề xuất năm 1966 cho bài toán bất đẳng thức biến phân là sử dụng một toán tử

M : E −→ E ∗ có tính chất h−liên tục, đơn điệu mạnh, ánh xạ tập bị chặn trong E thành tập bị chặn trong E ∗ và thỏa mãn điều kiện bức, tức là hM(u), ui kuk → +∞ khi kuk → +∞, tạo thành phần hiệu chỉnh trong không gian Banach E Cụ thể, với E là không gian Banach phản xạ, T : D(T) ⊂ E −→ E ∗ là toán tử phi tuyến đơn điệu, và f : E −→ (−∞,+∞] là hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới Đối với mỗi phần tử ω ∈ E ∗, bài toán bất đẳng thức biến phân cần xác định phần tử u0 ∈ D(T) sao cho hT(u 0) − ω, v − u 0 i ≥ f(u 0) − f(v) với mọi v ∈ D(T).

Browder F E đã nghiên cứu bất đẳng thức biến phân hT ε (u ε )−ω ε , v −u ε i ≥ f(u ε )−f(v) với mọi v ∈ D(T) thay vì giải bất đẳng thức biến phân (1.12) Trong đó, T ε = T +εM và ε > 0 Ông chỉ ra rằng nghiệm u ε của bất đẳng thức (1.13) với ωε = ω+εv0 hội tụ mạnh về phần tử u0 ∈Aω, thỏa mãn bất đẳng thức hM(u 0 )−v 0 , v−u 0 i ≥ 0 với mọi v ∈ A ω khi ε tiến tới 0.

Trên tư tưởng phương pháp hiệu chỉnh của Browder, Alber Y [8] đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho bài toán (1.11) thông qua việc giải phương trình

Phương trình A(x) + αj(x−x0) = fδ, với điều kiện kfδ−fk ≤ δ, cho thấy rằng với mỗi α > 0 và fδ ∈ E*, phương trình này có nghiệm duy nhất x δ α Khi α và δ α tiến về 0, nghiệm x δ α hội tụ đến một phần tử x ∗ ∈ S 0, thỏa mãn điều kiện kx ∗ −x0k = min x∈S 0 kx−x0k.

Năm 2006, Buong Ng đã đề xuất một thuật toán mới dựa trên phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov để giải bài toán cực trị đa mục tiêu trong không gian Banach phản xạ E Mục tiêu là xác định phần tử x₀ ∈ E sao cho ϕi(x₀) = inf x∈E ϕi(x), với i = 0, 1, 2, , N, trong đó ϕi là các phiếm hàm lồi khả vi Gâteaux và các đạo hàm Gâteaux tương ứng là Ai Ông đã trình bày thuật toán này một cách chi tiết.

Phương trình (1.16) được định nghĩa như sau: X i=0 α à i A h i (x) +αj(x) = θ, với điều kiện 0 = à0 < ài < ài+1 < 1 cho mọi i = 1,2, , N −1 Nếu các tham số hiệu chỉnh α và h được chọn sao cho α −→ 0 và h/α −→ 0, thì nghiệm x h α của phương trình (1.16) sẽ hội tụ về nghiệm của bài toán (1.15).

Phương pháp điểm gần kề quán tính

Trước hết, chúng tôi trình bày phương pháp điểm gần kề cho phương trình với toán tử đơn điệu và toán tử j−đơn điệu.

Xác định phần tử x ∗ ∈D(A) sao cho A(x ∗ )3 0, (1.17) với A : D(A) ⊂ E −→ 2 E là một toán tử m-j-đơn điệu.

Khi A là m-j-đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert H, Rockafellar R T đã nghiên cứu phương pháp lặp cnAxn+1 + xn+1 3 xn, với x0 ∈ H, gọi là phương pháp điểm gần kề Ông cũng chỉ ra rằng dãy lặp {xn} xác định bởi phương pháp này hội tụ yếu về một nghiệm của bài toán liên quan.

Phương pháp điểm gần kề, được Martinet B giới thiệu lần đầu tiên trong tài liệu [63], được áp dụng cho bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới dạng ψ : H −→R∪ {+∞} Công thức của phương pháp này được diễn đạt như sau: xn+1 = argmin y∈H ψ(y) + 1.

2cn kx n −yk 2 với mọi n ≥ 1 (1.19)

Vào năm 1991, Guler đã trình bày một ví dụ minh họa rằng phương pháp lặp không luôn hội tụ mạnh trong trường hợp tổng quát Gần đây, các tác giả Bauschke, Matouˇskov´a và Reich cũng đã chỉ ra rằng dãy lặp {xn} được xác định bởi phương trình này chỉ hội tụ yếu mà không hội tụ theo chuẩn.

Năm 2001, Attouch H và Alvarez F đã phát triển một mở rộng của phương pháp điểm gần kề, được gọi là phương pháp điểm gần kề quán tính, với công thức c n A(x n+1) + x n+1 - x n 3 γ n (x n - x n-1), trong đó {c n} và {γ n} là hai dãy số không âm Mặc dù phương pháp này chỉ đạt được sự hội tụ yếu của dãy lặp {x n} về một nghiệm của bài toán trong không gian Hilbert, nhưng kết quả của họ đã được khẳng định qua định lý 1.5, với H là một không gian Hilbert và dãy {x n} được xác định bởi x n+1 = J λ A n x n + α n (x n - x n-1).

, n= 1,2, (1.21) ở đây A : H −→ 2 H là một toán tử đơn điệu cực đại với S =A −1 (0) 6= ∅ và các tham số αn, λn thỏa mãn các điều kiện: i) Tồn tại số λ > 0 sao cho λn ≥ λ, ∀n ≥ 1; ii) Tồn tại α ∈ [0,1) sao cho 0 ≤ αn ≤ α, ∀n ≥ 1.

Nếu điều kiện sau được thỏa mãn

X n=1 α n kx n −x n−1 k 2 < +∞, thì tồn tại x ∗ ∈ S sao cho dãy {xn} hội tụ yếu về x ∗

Chú ý 1.13 Phương pháp lặp (1.21) còn có thể viết dưới dạng tương đương sau: λnA(xn+1) +xn+1 3xn+αn(xn−xn−1) (1.22)

Chú ý 1.14 Phương pháp lặp (1.21) lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Alvarez F [13], cho bài toán cực tiểu hóa phiếm hàm lồi f ở dạng

Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình (1.23) với các tham số εn, λn > 0 và αn ∈ [0,1) Đặc biệt, ∂ε n f(x) được định nghĩa là tập hợp các u ∈ H thỏa mãn điều kiện f(y)−f(x)−hu, y− xi ≥ −ε n, phản ánh xấp xỉ dưới vi phân của hàm lồi f Nếu các dãy số {λn}, {αn} và {εn} tuân thủ các điều kiện 0 ≤ αn ≤ 1, dãy {λ n } có giới hạn dưới bởi một hằng số dương, dãy {αn λ n } giảm dần và tổng P∞ n=0λ n ε n hội tụ, thì dãy {u n } xác định bởi (1.23) sẽ hội tụ yếu về điểm x ∗, nơi f đạt cực tiểu.

Năm 1996, Lehdili và Moudafi đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp {x n } với công thức xn+1 = J c A n n (xn) về một không điểm của toán tử đơn điệu cực đại A trong không gian Hilbert Trong đó, A n được xác định là à n I + A, là toán tử hiệu chỉnh Tikhonov của A, và J c A n n = (I +c n A n ) −1 Phương pháp lặp này được gọi là phương pháp prox-Tikhonov.

Nghiên cứu về những cải tiến và điều chỉnh của phương pháp điểm gần kề để đạt được sự hội tụ mạnh đang thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học trên toàn thế giới.

Năm 2000, các tác giả Kamimura S., Takahashi W [49] và năm 2002,

Xu H K đã chỉ ra sự hội tụ mạnh của dãy lặp {xn} trong không gian Hilbert, được xác định bởi công thức x n+1 = α n x 1 + (1−α n )J r A n (x n ) + e n với các điều kiện thích hợp cho các dãy số {α n }, {r n } và {e n } Bên cạnh đó, Kamimura S và Takahashi W cũng đã nghiên cứu sự hội tụ yếu của dãy lặp {x n} theo công thức x n+1 = α n x n + (1−α n )J r A n (x n ) + e n.

Năm 2004, các tác giả Kohsaka F và Takahashi W đã mở rộng phương pháp lặp trên không gian Banach trơn và lồi đều E, chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp {xn} với công thức xn+1 = j −1 (αnj(x1) + (1−αn)j(J r A n (xn))) Đồng thời, Kamimura S., Kohsaka F và Takahashi W cũng đã phát triển phương pháp lặp trong không gian Banach này theo dạng xn+1 = j −1 (αnj(xn) + (1−αn)j(J r A n (xn))), trong đó j là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian Banach E.

Vào năm 2006, Xu H K và năm 2009, Song Y cùng Yang C đã áp dụng các kỹ thuật ánh xạ không giãn kết hợp với đồng nhất giải thức để đạt được sự hội tụ mạnh của dãy {xn}, được xác định bởi phương trình xn+1 = J r A n (tnu + (1−tn)xn + en), về một không điểm của toán tử đơn điệu cực đại A trong không gian Hilbert H Trong đó, {rn} là dãy số thực dương, {tn} thuộc (0,1) và {en} là dãy sai số tại mỗi bước lặp Dãy lặp {xn} có thể được diễn đạt lại dưới dạng tương đương như sau: rnA(xn+1) + xn+1 3 tnu + (1−tn)xn + en, với n ≥ 0.

Phương pháp lặp (1.15) của Lehdili N và Moudafi A thực chất là một trường hợp đặc biệt của phương pháp lặp (1.29) của Xu H K Khi loại bỏ sai số tính toán ở mỗi bước lặp, tức là e n = 0 cho mọi n và u= θ, dãy lặp (1.29) sẽ trở thành x n+1 = J r A n ((1−t n )x n ) Đặt λn := rn.

1−t n và àn := tn r n , khi đó (1.31) có thể viết dưới dạng xn+1 = J λ A n n (xn), với An = A+ànI (1.32)

Như vậy, (1.29) trở về phương pháp prox-Tikhonov (1.24) được nghiên cứu bởi Lehdili N và Moudafi A khi en = 0 với mọi n và u = θ.

Để đạt được sự hội tụ mạnh của phương pháp điểm gần kề, Ryazantseva I P đã kết hợp phương pháp này với hiệu chỉnh cho trường hợp A là toán tử m-j-đơn điệu đơn trị Phương pháp được gọi là phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh, được biểu diễn bằng công thức c n (A(x n+1 ) +α n x n+1 ) +x n+1 = x n, với x 0 thuộc E.

Dưới một số điều kiện thích hợp cho các tham số c n và α n, dãy lặp {x n } được xác định bởi (1.33) sẽ hội tụ mạnh Điều này xảy ra khi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j của E có tính liên tục yếu theo dãy và liên tục mạnh.

Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh

Năm 2008, Buong Ng đã phát triển phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh dựa trên tư tưởng của thuật giải, nhằm giải quyết bài toán cực trị đa mục tiêu trong không gian Hilbert H Các hàm mục tiêu ϕ i, với i = 1,2, , N, được xác định là các phiếm hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới yếu Ông đã xác định dãy lặp {zn} thông qua c n.

Công thức (1.34) được biểu diễn dưới dạng +z n+1 −z n 3 γ n (z n −z n−1), trong đó z 0 và z 1 thuộc H Các dãy số {c n}, {α n} và {γ n} là các số thực không âm, và A n i là các toán tử đơn điệu cực đại, gần đúng với toán tử dưới vi phân ∂ϕi của phiếm hàm lồi ϕ i theo nghĩa đã định.

Hàm h(A n i (x), ∂ϕi(x))≤ hng(kxk) với g là một hàm không âm và giới nội Sự hội tụ mạnh của dãy lặp {zn} về một nghiệm của bài toán (1.15) được đảm bảo bởi định lý 1.6 Theo định lý này, nếu các dãy số {c n }, {α n } và {γ n } thỏa mãn các điều kiện: i) 0 < c 0 < c n < C 0, 0 ≤ γ n < γ 0 < 1, α n > 0; ii) tổng vô hạn P∞ n=1α˜n = +∞ với α˜n = c n α N n +1, thì điều kiện hội tụ sẽ được thỏa mãn.

1 +cnα N+1 n , P∞ n=1γnkz n −zn−1k < ∞, iii) lim n→∞ D n ˜ αn

= 0, với D n = hn+1+hn+αn−αn+1 α N+1 n+1 , thì dãy lặp {z n } xác định bởi (1.34) hội tụ mạnh về một nghiệm x0 của bài toán (1.15).

Năm 2010, Buong Ng và Kim J K đã nghiên cứu phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh dựa trên thuật toán (1.16) để giải quyết bài toán tìm nghiệm chung của một họ hữu hạn phương trình với toán tử ngược đơn điệu mạnh Nghiên cứu cũng đề cập đến bài toán tìm nghiệm của một bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu, h− liên tục trên tập nghiệm chung của một họ hữu hạn các phương trình trong không gian Hilbert.

Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn

Phát biểu bài toán

Tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T trên không gian Banach lồi chặt E, nếu khác rỗng, là một tập lồi và đóng Vì vậy, bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach E là một trường hợp đặc biệt của bài toán chấp nhận lồi nổi tiếng.

Xác định một phần tử x ∗ ∈ C =∩ N i=1 C i 6= ∅, (1.35) trong đó C i , i = 1,2, , N là các tập lồi, đóng trong không gian Banach E.

Trong không gian Hilbert H, bài toán tìm điểm bất động chung của một tập hợp hữu hạn các ánh xạ không giãn Ti (i = 1, 2, , N) tương đương với việc xác định các phép chiếu mêtric từ H lên C i Do đó, nghiên cứu các phương pháp giải quyết bài toán này trên không gian Hilbert H, cũng như trên không gian Banach nói chung, trở thành một nhu cầu thiết yếu.

Tìm một phần tử x ∗ ∈ S =∩ N i=1 F ix(T i ) 6= ∅, (1.36) trong đó Ti : E −→ E, i = 1,2, , N là các ánh xạ không giãn từ không gian Banach E vào chính nó.

Chú ý 1.16 Bài toán (1.36) còn có thể có nhiều biến thể khác nhau, chẳng hạn như: Ti : C −→ C, Ti : Ci −→ Ci hay T : Ci −→ E trong đó

C, Ci, i = 1,2, , N là các tập con lồi và đóng của E.

Các định lý về điểm bất động chung của ánh xạ không giãn khẳng định rằng trong không gian Banach, nếu K là tập hợp compact, lồi và không rỗng, thì một họ giao hoán hữu hạn các ánh xạ không giãn từ K vào K sẽ có ít nhất một điểm bất động chung trong K (Định lý 1.7) Tương tự, trong trường hợp K là tập hợp lồi, đóng và bị chặn trong không gian Banach lồi đều, họ giao hoán các ánh xạ không giãn từ K vào K cũng đảm bảo tồn tại ít nhất một điểm bất động chung trong K (Định lý 1.8).

Chú ý 1.17 Bài toán (1.36) nói chung là một bài toán đặt không chỉnh.

Điều kiện để có nghiệm duy nhất thường không được đáp ứng, và bài toán (1.36) thể hiện tính không chỉnh trong việc nhỏ thay đổi dữ liệu đầu vào có thể gây ra biến động lớn trong nghiệm Cụ thể, việc giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát tương đương với tìm điểm bất động chung của một tập hợp hữu hạn các ánh xạ không giãn, cho thấy rằng những thay đổi nhỏ trong dữ liệu có thể dẫn đến những thay đổi đáng kể trong nghiệm, thậm chí khiến hệ trở nên vô nghiệm Hơn nữa, bài toán tìm véc tơ riêng ứng với giá trị riêng bằng 1 của toán tử tuyến tính A với kAk = 1 cũng minh chứng cho tính không chỉnh này.

Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ điểm qua một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động cổ điển, bao gồm phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Ishikawa và phương pháp lặp Halpern Những phương pháp này đóng vai trò quan trọng trong việc tìm kiếm và xác định các điểm bất động trong các bài toán toán học.

Vào năm 1953, Mann W R đã nghiên cứu và đề xuất phương pháp lặp với công thức xn+1 = αn xn + (1−αn) T(xn), với x1 thuộc C và n ≥ 1, được gọi là dãy lặp Mann chuẩn tắc Ông chứng minh rằng nếu dãy {αn} được chọn sao cho tổng P∞ n=1 αn(1−αn) là vô hạn, thì dãy {xn} sẽ hội tụ yếu về một điểm bất động của ánh xạ T, trong đó T: C → C là một ánh xạ không giãn từ tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H vào chính nó Tuy nhiên, trong trường hợp H là không gian Hilbert vô hạn chiều, dãy lặp này chỉ hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh.

Nhận xét 1.6 Trong trường hợp α n = α ∈ (0,1) với mọi n thì phương pháp lặp Mann (1.37) trở thành phương pháp lặp Kranoselskii [56].

Reich S đã mở rộng kết quả của Mann cho trường hợp T : C −→ C từ một tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian Banach lồi đều với chuẩn khả vi Fréchet Ông cũng chứng minh rằng nếu dãy

{α n } được chọn sao cho P∞ n=1α n (1−α n ) =∞ thì dãy {x n } sẽ hội tụ yếu về một điểm bất động của ánh xạ T,

Nakajo K và Takahashi W [68] đã đề xuất một cải tiến của phương pháp lặp (1.37) cho trường hợp T là một ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert dạng

Cn = {z ∈ C : ky n −zk ≤ kx n −zk},

Trong bài viết này, chúng tôi đề cập đến phép chiếu mêtric PK từ không gian H lên tập con lồi đóng K của H Các nhà nghiên cứu đã chứng minh rằng nếu dãy {α n } nằm trong khoảng [0, a] với a thuộc [0,1), thì dãy lặp {x n } được xác định bởi (1.38) sẽ hội tụ mạnh.

Năm 2011, Buong Ng và Lang Ng D đã thay thế các tập hợp lồi, đóng Cn và Qn bằng các nửa không gian Họ đã đề xuất một phương pháp lặp để giải quyết vấn đề này.

 x 0 ∈ H zn = αnPC(xn) + (1−αn)PCT PC(xn), yn =βnx0 + (1−βn)PCT zn,

H n ={z ∈ H : ky n −zk 2 ≤ kx n −zk 2 +βn(kx0k 2 + 2hxn −x0, zi)},

Sự hội tụ mạnh của dãy lặp {x n } được xác định bởi định lý 1.9, trong đó C là một tập con không rỗng, lồi và đóng của không gian Hilbert H Ánh xạ T : C −→ H là không giãn với điều kiện F ix(T) không rỗng Định lý này áp dụng cho các dãy số {α n } và {β n } trong khoảng [0,1], với αn tiến tới 1 và βn tiến tới 0.

Khi đó, các dãy {x n },{y n } và {z n } xác định bởi (1.39) hội tụ mạnh về u0 = P F ix(T) (x0), khi n −→ ∞.

Năm 2005, Kim và Xu [53] đã mở rộng phương pháp lặp Mann (1.37) trên không gian Banach dạng

Định lý 1.10 cho biết rằng nếu C là một tập con lồi, đóng của không gian Banach trơn đều E và T là một ánh xạ không giãn với tập cố định F ix(T) không rỗng, thì với u thuộc C và các dãy số {α n }, {β n } nằm trong khoảng (0,1) thỏa mãn các điều kiện: αn tiến tới 0, βn cũng tiến tới 0, tổng vô hạn của các dãy α n và β n đều hội tụ, và tổng của các hiệu |α n −α n+1 | và |β n −β n+1 | là hữu hạn.

Khi đó, dãy lặp {xn} xác định bởi (1.40) hội tụ mạnh về một điểm bất động của T.

Phương pháp lặp Ishikawa được đề xuất bởi Ishikawa S [45] vào năm

1974 Với phương pháp lặp này thì dãy lặp {x n } được xác định bởi

(1.41) trong đó {α n } và {β n } là các dãy số thực trong đoạn [0,1].

Chú ý 1.18 Trong trường hợp β n = 1, ∀n thì phương pháp lặp Ishikawa (1.41) trở thành phương pháp lặp Mann (1.37) Tuy nhiên, Mutangadura

S A và Chidume C E [67] đã xây dựng một ví dụ cho trường hợp T là một ánh xạ Lipschitz giả co thì dãy lặp Ishikawa hội tụ về một điểm bất động của T nhưng dãy lặp Mann lại không hội tụ.

Sự hội tụ yếu của dãy lặp Ishikawa về một điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không gian Banach đã được Tan K K và Xu H K nghiên cứu và chứng minh Định lý 1.11 chỉ ra rằng, với E là không gian Banach lồi đều thỏa mãn điều kiện của Opial hoặc có chuẩn khả vi Fréchet, và C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của E, nếu T : C −→ C là ánh xạ không giãn, cùng với các dãy số {α n } và {β n } trong đoạn [0,1] thỏa mãn các điều kiện nhất định, thì dãy {x n } được xác định bởi (1.41) sẽ hội tụ yếu về một điểm bất động của T.

Không gian Banach E được xem là thỏa mãn điều kiện Opial nếu với mọi dãy {x_n} trong E hội tụ yếu về x ∈ E, thì lim inf khi n tiến đến vô cùng của kx_n - xk nhỏ hơn lim inf khi n tiến đến vô cùng của kx_n - yk với mọi y ∈ E và y khác x.

Vào năm 2005, Shahzad N đã cải tiến phương pháp lặp Ishikawa cho trường hợp C là một tập con lồi đóng co rút không giãn trong không gian Banach E Phương pháp được mô tả bằng công thức xn+1 = P((1−αn)xn + αnT P((1−βn)xn + βnT(xn))), với n ≥ 1, trong đó x1 thuộc C và các dãy số thực {αn}, {βn} nằm trong khoảng [ε, 1−ε], với ε là một hằng số dương nhỏ.

N Shahzad đã chỉ ra rằng nếu không gian đối ngẫu E ∗ của không gian Banach E có tính chất Kadec-Klee, thì dãy {xn} được xác định bởi (1.42) sẽ hội tụ yếu về một phần tử x ∗ thuộc F ix(T) Hơn nữa, nếu ánh xạ không giãn T thỏa mãn điều kiện kx−T xk ≥ f(d(x, F ix(T))) với mọi x ∈ C, trong đó f : [0,∞) −→ [0,∞) với f(0) = 0 và f(r) > 0 cho mọi r > 0, thì dãy lặp (1.42) sẽ hội tụ mạnh về một phần tử x ∗ thuộc F ix(T).

Vào năm 2006, Plubtieng S và Ungchittrakool K đã mở rộng phương pháp lặp cho một tập hợp hữu hạn các ánh xạ không giãn Giả sử K là một tập con lồi, đóng, không rỗng và co rút không giãn trong không gian Banach lồi E, với các ánh xạ không giãn T1, T2, , TN: K → E Dãy {xn} được xác định với x1 ∈ K và các công thức lặp như sau: x1n = P(α1n T1 xn + βn1 xn + γn1 u1n), x2n = P(α2n T2 x1n + βn2 xn + γn2 u2n), cho đến xn+1 = xNn = P(αNn TN xNn + βnN xn + γnN uNn).

(1.44) với n ≥ 1, trong đó P là một co rút không giãn từE lên K; {α 1 n },{α 2 n }, , {α N n }, {β n 1 }, {β n 2 }, , {β n N }, {γ n 1 }, {γ n 2 }, , {γ n N } là các dãy số trong đoạn

[0,1] thỏa mãn α i n +β n i + γ n i = 1 với mọi i = 1,2, , N và mọi n ≥ 1 và {u 1 n }, {u 2 n }, , {u N n } là các dãy bị chặn trong K.

Một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn T 1 , T 2 , , T N : K −→ E với

F =∩ N i=1 F ix(T i ) được gọi là thỏa mãn điều kiện (B) nếu tồn tại một hàm không giảm f : [0,∞) −→ [0,∞) thỏa mãn f(0) = 0 và f(r) > 0 với mọi r >0 sao cho

Trong không gian Banach lồi đều E, định lý 1.12 chỉ ra rằng với một tập con K là lồi, đóng và co rút, nếu các ánh xạ T1, T2, , TN từ K đến E không giãn thỏa mãn điều kiện (B), thì tồn tại một dãy {x_n} được xác định bởi (1.44) với tổng ∑∞ n=1 γ_n i hội tụ và các hệ số {α_i n} nằm trong khoảng [ε, 1−ε] cho mọi i = 1, 2, , N, với ε là một hằng số dương nhỏ hơn 1.

(0,1) thì {x n } hội tụ mạnh về một điểm bất động chung của T 1 , T 2 , , T N

Trong phần này, chúng tôi trình bày phương pháp lặp của Halpern B được giới thiệu vào năm 1967, với công thức xn+1 = αnu + (1−αn)T(xn), n ≥ 0, trong đó u, x0 thuộc tập C, {αn} nằm trong khoảng (0,1) và T là ánh xạ không giãn từ tập con lồi đóng C của không gian Hilbert H vào C Halpern đã chứng minh rằng nếu chọn αn = n −α với α thuộc (0,1), thì dãy {xn} được xác định bởi công thức trên sẽ hội tụ về một điểm bất động của ánh xạ T.

Phương pháp điểm gần kề 40 2.1 Phương pháp điểm gần kề cho bài toán tìm điểm bất động

Tính ổn định của phương pháp

Trong phần này, chúng tôi sẽ phân tích tính ổn định của các phương pháp điểm gần kề (2.15) và (2.16) đối với bài toán (2.14) khi các miền xác định Ci và các ánh xạ không giãn Ti bị ảnh hưởng bởi nhiễu Cụ thể, chúng tôi sẽ trình bày các giả thiết về nhiễu được đưa ra trong nghiên cứu này.

(P1) Thay cho mỗi tập Ci, tồn tại các tập con lồi, đóng và co rút không giãn theo tia C i n ⊂ E, n = 1,2,3, thỏa mãn

H(C i n , Ci) ≤ δn, i = 1,2, , N, trong đó {δn} là một dãy số thực không âm.

Đối với mỗi tập C_i^n, có ánh xạ không giãn T_i^n: C_i^n −→ C_i^n, với i = 1, 2, , N, thỏa mãn điều kiện tồn tại các hàm g(t) và ξ(t) không âm xác định cho mọi t > 0 Cụ thể, g(0) ≥ 0, ξ(0) = 0, và nếu x ∈ C_i, y ∈ C_i^m với kx−yk ≤ δ, thì kT_ix−T_i^m yk ≤ g(max{kxk, kyk})ξ(δ).

Ta cần nhắc lại một tính chất quan trọng của mô đun trơn của không gian Banach E như sau: Đặt hE(τ) = ρ E (τ) τ , τ > 0 (2.21)

Hàm số hE(τ) là không giảm và có thể chứng minh rằng hE(Kτ) ≤ LKhE(τ) với mọi K > 1 và τ > 0, trong đó L là hằng số Figiel Ngoài ra, từ tài liệu [36], ta có bất đẳng thức ρE(η) η^2 ≤ LρE(ξ) ξ^2 cho mọi η ≥ ξ > 0.

Từ đó suy ra ξh E (η)≤ Lηh E (ξ), ∀η ≥ ξ >0 (2.24) Trong (2.24) thay η = Cτ và thay ξ = τ, ta nhận được τ h E (Cτ)≤ LCτ h E (τ), (2.25) suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.

Alber Y đã nghiên cứu các điều kiện nhiễu (P1) và (P2) liên quan đến tính ổn định của phương pháp đường dốc trong việc tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn Tuy nhiên, nghiên cứu của ông chỉ tập trung vào trường hợp một ánh xạ duy nhất.

Chúng tôi thiết lập tính ổn định của phương pháp lặp (2.15) ở dạng sau

B i n (zn+1) + zn+1 = tnu + (1−tn)zn, với u, z0 ∈ E và n ≥ 0, trong đó B i n = I − T i n Q C i n, i = 1,2, , N và Q C i n : E −→ C i n là một co rút không giãn theo tia từ E lên C i n Định lý 2.7 chỉ ra rằng nếu E là một không gian Banach lồi đều và trơn đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, thì với các tập con lồi, đóng và co rút không giãn C i và các ánh xạ không giãn Ti : Ci −→ Ci, i = 1,2, , N, có S = ∩ N i=1 F ix(T i ) 6= ∅ Nếu các điều kiện (P1) và (P2) được thỏa mãn cùng với các dãy số {δ n} và {t n} thỏa mãn điều kiện ξ(ap hE(δn)) tn, thì kết quả sẽ đạt được.

Nếu a > 0 và một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: i) lim n→∞ t_n = 0, tổng P∞ n=1 t_n = ∞, và lim n→∞ t_n / t_(n+1) = 1, hoặc ii) lim n→∞ t_n = 0, tổng P∞ n=1 t_n = ∞, và tổng P∞ n=1 |t_n - t_(n+1)| < +∞, thì dãy {z_n} xác định bởi (2.26) sẽ hội tụ mạnh về QSu, trong đó QS: E −→.

S là một co rút không giãn theo tia từ E lên S.

Theo Mệnh đề 1.4, với mỗi n, toán tử PN i=1B i n là m-j-đơn điệu trên E, dẫn đến việc phương trình (2.26) xác định duy nhất một phần tử z n+1 ∈ E Kết hợp với các phương trình (2.15) và (2.26), ta có h.

= (1−tn)hzn −xn, j(zn+1−xn+1)i.

Từ tính j-đơn điệu của PN i=1B i n và phương trình (2.27), ta suy ra kz n+1 −x n+1 k ≤(1−t n )kz n −x n k+

Vì dãy {xn} bị chặn và H(Ci, C i n ) ≤ δn, nên tồn tại các hằng số K1,i > 0 và K 2,i > 1 sao cho kQC i n xn+1−QC ixn+1k ≤K1,i q hE(K2,iδn)

Từ điều kiện (P2), ta có kT i n Q C i n x n+1 −T i Q C i x n+1 k ≤g(M i )ξ(K 1,i p

K 2,i Lp h E (δ n )), (2.31) trong đó Mi = max{sup n kQC i n xn+1k,sup n kQC i xn+1k}< +∞.

Từ (2.28), (2.29) và (2.31), ta nhận được kz n+1 −x n+1 k ≤ (1−t n )kz n −x n k+N g(M)ξ(γ 1,2 p h E (δ n )), (2.32) ở đây

M = max{M1, M2, , MN} < +∞ và γ1,2 = max i=1,2, ,N{K1,i pK2,iL}.

Theo giả thiết và Bổ đề 1.3, ta thu được kz n −x n k −→ 0 Theo Định lí 2.3, thì kzn−QSuk ≤ kzn−xnk+kxn−QSuk −→ 0, khi n −→ ∞, (2.33) và do đó dãy z n hội tụ mạnh về Q S u.

Tiếp theo, chúng tôi cũng thiết lập tính ổn định của phương pháp lặp (2.16) ở dạng sau rn

Bài viết này trình bày một định lý quan trọng liên quan đến sự hội tụ trong không gian Banach Cụ thể, giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơn đều với tính liên tục yếu theo dãy, và Ci là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn của E Định lý 2.8 chứng minh rằng nếu các ánh xạ Ti từ Ci đến Ci thỏa mãn điều kiện S = ∩ N i=1 F ix(T i ) 6= ∅ và các điều kiện (P1) và (P2) được thỏa mãn, cùng với các dãy số {r n }, {δ n } và {t n} đáp ứng các điều kiện giới hạn cụ thể, thì dãy {z n} được xác định bởi công thức (2.34) sẽ hội tụ mạnh về QSu.

S là một co rút không giãn theo tia từ E lên S.

Theo Mệnh đề 1.4, với mỗi n, toán tử PN i=1B i n là một toán tử m-j-đơn điệu trên không gian E, dẫn đến việc phương trình (2.34) xác định duy nhất một phần tử z n+1 thuộc E Kết hợp với các phương trình (2.16) và (2.34), ta có thể rút ra được rnh.

B i n (xn+1)−Bi(xn+1), j(zn+1−xn+1)i

Từ tính j-đơn điệu của PN i=1B i n và từ phương trình (2.35), ta suy ra kzn+1−xn+1k ≤(1−tn)kzn−xnk+rn

Vì {x n } là bị chặn và H(C i , C i n ) ≤ δn, nên tồn tại các hằng số K1,i > 0 và

K2,i > 1 sao cho kQ C i n xn+1−QC ixn+1k ≤K1,i q hE(K2,iδn)

Từ điều kiện (P2), chúng ta có bất đẳng thức kT i n QC i n xn+1−TiQC ixn+1k ≤g(Mi)ξ(K1,i pK2,iLp hE(δn)) Ở đây, M i được xác định là giá trị lớn nhất trong các sup n kQ C i n x n+1 k và sup n kQ C i x n+1 k, với M i < +∞ Kết hợp các bất đẳng thức (2.36), (2.37) và (2.39), ta thu được kzn+1−xn+1k ≤(1−tn)kzn−xnk+N g(M)rnξ(γ1,2 phE(δn)).

Theo giả thiết và Bổ đề 1.3, ta có kết quả kz n − xnk → 0 Áp dụng Định lý 2.4, ta suy ra kz n − QSu ≤ kz n − xnk + kx n − QSu → 0 khi n → ∞ Do đó, dãy {z n} hội tụ mạnh về QSu.

Phương pháp điểm gần kề và bài toán xác định không điểm của toán tử m-j-đơn điệu

của toán tử m-j-đơn điệu

Phương pháp điểm gần kề, được Rockafellar đề xuất vào năm 1976, nhằm giải quyết bài toán xác định không điểm của toán tử đơn điệu cực đại A trong không gian Hilbert Mặc dù thuật toán này đã được áp dụng, nhưng chỉ đạt được sự hội tụ yếu, không đủ để đảm bảo hội tụ mạnh Do đó, việc nghiên cứu các giả thiết liên quan đến toán tử A và cải tiến phương pháp điểm gần kề để đạt được sự hội tụ mạnh của dãy lặp về không điểm của A đã thu hút sự quan tâm đáng kể từ nhiều nhà toán học.

Nếu f là một hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới trên không gian Banach E, thì vi phân ∂f là một toán tử đơn điệu cực đại Điều này cho thấy bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi f tương đương với bài toán xác định không điểm của toán tử đơn điệu cực đại ∂f Do đó, bài toán xác định không điểm của toán tử j-đơn điệu hay toán tử đơn điệu cực đại có vai trò quan trọng trong lĩnh vực tối ưu hóa.

Ngoài ra, ta cũng biết rằng nếu T : D(T) −→E từ không gian Banach

E vào không gian Banach E là một ánh xạ giả co, tức là tồn tại j(x−y) ∈

Nếu tồn tại một hằng số k sao cho điều kiện j(x−y) sao cho hT(x)−T(y), j(x−y)i ≤ kx−yk 2 được thỏa mãn với mọi x, y thuộc D(T), thì toán tử A = I −T là j-đơn điệu Trong trường hợp D(T) ≡ E, A trở thành một toán tử m-j-đơn điệu Do đó, việc xác định không điểm của toán tử m-j-đơn điệu không chỉ liên quan đến việc xấp xỉ điểm bất động của ánh không giãn mà còn gắn liền với việc xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ giả co.

Nếu T : E −→ E là một ánh xạ không giãn, thì T được coi là một ánh xạ giả co Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng Để minh họa cho điều này, chúng ta sẽ xem xét một ví dụ cụ thể.

Ví dụ 2.3 Lấy E = R và T : [0,1]−→ R xác định bởi

Khi đó, T là một hàm số đơn điệu giảm và do đó T là một ánh xạ giả co. Tuy nhiên, T không phải là một ánh xạ không giãn, vì

Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả mở rộng quan trọng từ nghiên cứu của Xu [88] trong tài liệu [87], liên quan đến bài toán xác định một không điểm của toán tử m-j-đơn điệu trong không gian Banach trơn đều.

Cho E là một không gian Banach trơn đều và A : D(A) ⊆ E −→ 2 E là một toán tử m-j-đơn điệu với S =A −1 (θ) 6= ∅.

Trong phần này, chúng ta sẽ chuyển từ bài toán tìm một điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn sang bài toán tìm một không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử j-đơn điệu Đặc biệt, các toán tử được xem xét trong phần trước đều là đơn trị, trong khi ở mục này, toán tử m-j-đơn điệu A sẽ được xác định là đa trị.

Chúng tôi nghiên cứu sự hội tụ mạnh của dãy lặp ẩn {xn} được xác định bởi: u, x 0 ∈ E, r n A(x n+1 ) +x n+1 3 t n u+ (1−t n )x n , n ≥ 0, (2.42) trong đó {t n } ⊂ (0,1) và {r n } ⊂(0,+∞).

Định lý 2.9 khẳng định rằng trong không gian Banach trơn đều E với ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j, nếu A là một toán tử m-j-đơn điệu với miền xác định D(A) ⊆ E và S = A^{-1}(θ) không rỗng, thì tồn tại các dãy số {r_n} và {t_n} thỏa mãn các điều kiện lim_{n→∞} t_n = 0, ∑_{n=0}^{∞} t_n = +∞ và lim_{n→∞} r_n = +∞ Dãy {x_n} được xác định bởi (2.42) sẽ hội tụ mạnh về Q_S u, với Q_S là một co rút không giãn theo tia từ E lên S.

Chứng minh Vì A là một toán tử m-j-đơn điệu, nên phương trình bao hàm (2.42) có nghiệm, tức là tồn tại xn+1 sao cho rnA(xn+1) +xn+1 3 tnu+ (1−tn)xn (2.43)

Do đó, với mỗi n, tồn tại y n+1 ∈ A(x n+1 ) sao cho r n y n+1 +x n+1 = t n u+ (1−t n )x n (2.44) Với mọi x ∗ ∈S, ta có hr n y n+1 , j(x n+1 −x ∗ )i ≥ 0, ∀n ≥ 0 (2.45) Suy ra, ht n u+ (1−t n )x n −x n+1 , j(x n+1 −x ∗ )i ≥ 0, ∀n ≥ 0 (2.46)

Từ bất đẳng thức trên, ta nhận được kxn+1−x ∗ k 2 ≤ [tnku−x ∗ k+ (1−tn)kxn −x ∗ k].kxn+1−x ∗ k, ∀n ≥ 0.

Vì kxn+1−x ∗ k ≥ 0, ∀n ≥ 0, nên ta được kxn+1−x ∗ k ≤tnku−x ∗ k+ (1−tn)kxn−x ∗ k, ∀n ≥ 0 (2.47)

Do đó, ta có kxn+1−x ∗ k ≤tnmax(ku−x ∗ k,kxn−x ∗ k)

Dãy {x n } là bị chặn, và theo định nghĩa, mọi tập bị chặn trong không gian Banach phản xạ đều là tập compact tương đối yếu Do đó, có tồn tại một dãy con {x n k } ⊆ {x n } hội tụ yếu về giới hạn x∈ E.

Từ phương trình (2.44) và tính chất bị chặn của dãy {xn}, ta có kyn+1k = 1 r n ktnu + (1−tn)xnk −→ 0 khi n tiến tới vô cùng Điều này cho thấy x thuộc S, vì toán tử A là demi-đóng Do đó, từ bất đẳng thức (1.8), ta có lim sup n→∞ hu−Q S u,j(x n −Q S u)i.

= lim k→∞hu−QSu, j(xn k −QSu)i

Tiếp theo, ta có kx n+1 −Q S uk 2 = h−r n y n+1 +t n u+ (1−t n )x n −Q S u, j(x n+1 −Q S u)i

= −hrnyn+1, j(xn+1−QSu)i +htnu+ (1−tn)xn−QSu, j(xn+1−QSu)i

≤ ht n (u−QSu) + (1−tn)(xn−QSu), j(xn+1−QSu)i

2kt n (u−QSu) + (1−tn)(xn−QSu)k 2

Từ Bổ đề 1.1 và đánh giá ở trên, ta suy ra kx n+1 −Q S uk 2 ≤ kt n (u−Q S u) + (1 −t n )(x n −Q S u)k 2

≤ (1−tn) 2 kxn−QSuk 2 + 2tn(1−tn)hu−QSu, j(xn−QSu)i +cρE(tnku−QSuk).

Tóm lại, ta có kx n+1 −Q S uk 2 ≤ (1−t n )kx n −Q S uk 2 +t n β n , (2.50) trong đó β n = 2(1−t n )hu−Q S u, j(x n −Q S u)i+cρ E (t n ku−Q S uk) tn

Vì E là không gian Banach trơn đều, nên ρ E (t n ku−Q S uk) tn

∞ Bởi (2.49), ta nhận được lim sup n→∞ β n ≤ 0 Áp dụng Bổ đề 1.3 vào (2.50) ta nhận được điều phải chứng minh.

Chú ý rằng đối với phương pháp điểm gần kề của Rockafellar, nếu tồn tại số n₀ sao cho kxₙ₀ − x∗k = 0, thì kxₙ₀ + k − x∗k = 0 với ∀k ≥ 1, điều này chỉ đúng khi kxₙ₊₁ − x∗k ≤ kxₙ − x∗k cho ∀n ≥ 0 Tuy nhiên, tính chất này không nhất thiết đúng với phương pháp điểm gần kề mà chúng tôi đã đề cập Dưới các giả thiết khác về các dãy số {rₙ} và {tₙ}, chúng ta cũng có thể chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy {xₙ} Điều này được khẳng định trong định lý 2.10, trong đó E là một không gian Banach trơn đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào E∗.

A : D(A) ⊆ E −→ 2 E là một toán tử m-j-đơn điệu với S = A −1 (θ) 6= ∅. Nếu các dãy số {r n } ⊂(0,+∞) và {t n } ⊂ (0,1) thỏa mãn i) limn→∞tn = 0; P∞ n=0tn = +∞, P∞ n=0|tn+1−tn| < +∞; ii) inf n r n =r > 0, P∞ n=0

< +∞, thì dãy {x n } xác định bởi (2.42) hội tụ mạnh về Q S u, trong đó Q S là một co rút không giãn theo tia từ E lên S.

Chứng minh rằng dãy {x n } là bị chặn tương tự như Định lý 2.9, từ đó suy ra tồn tại một dãy con {x n k } của {x n } với xn k * x thuộc E Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng x thuộc S.

Trong phương trình (2.44) thay n bởi n+ 1, ta nhận được rn+1yn+2+xn+2 = tn+1u+ (1−tn+1)xn+1 (2.51)

Từ các phương trình (2.44), (2.51) và từ tính chất j-đơn điệu của A, ta có rn+1hxn+2−xn+1, j(xn+2−xn+1)i −(rn+1−rn)hxn+2, j(xn+2−xn+1)i

−rn+1[tnu+ (1−tn)xn], j(xn+2−xn+1)i.

Do đó, rn+1kxn+2−xn+1k ≤ |rn+1−rn|.kxn+2k

+krn[tn+1u+ (1−tn+1)xn+1]−rn+1[tnu+ (1−tn)xn]k

≤ rn+1(1−tn+1)kx n+1 −xnk+|r n+1 −rn|.kx n+2 k +r n+1 |t n+1 −t n |(kx n k+kuk)

Do {t n } ⊂(0,1) và rn > 0 với mọi n, ta suy ra kx n+2 −x n+1 k ≤(1−t n+1 )kx n+1 −x n k

(2.52) trong đó K = max{kuk,sup n kxnk} < +∞ Áp dụng Bổ đề 1.3, ta được kx n+1 −x n k −→ 0, khi n −→ ∞.

Suy ra, kyn+1k = 1 r n ktn(u−xn) + (xn−xn+1)k

Vì toán tử A là demi-đóng, nên x∈ S.

Phần còn lại của chứng minh được thực hiện như chứng minh của Định lí 2.9.

Chúng tôi tiến hành nghiên cứu tính ổn định của phương pháp (2.42) dưới dạng rnA n (zn+1) + zn+1 3 tnu + (1−tn)zn, với u, z0 thuộc E và n ≥ 0 Trong đó, A n là các toán tử m-j-đơn điệu với miền xác định D(A n) = D(A).

Hệ số H(A n (x), A(x)) không vượt quá g(kxk)hn, với g là một hàm thực bị chặn, đảm bảo rằng ảnh của một tập bị chặn qua g cũng là một tập bị chặn Điều này áp dụng cho mọi t ≥ 0, với g(0) = 0 và {h n } là một dãy số dương.

Kết quả của định lý 2.11 chỉ ra rằng nếu E là một không gian Banach trơn đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào E ∗, thì các điều kiện liên quan đến tính chất của không gian này sẽ được xác lập.

Các toán tử m-j-đơn điệu A và A n thỏa mãn điều kiện D(A) ⊆ E và D(A n) ⊆ E, với S = A −1 (θ) không rỗng và D(A) = D(A n) cho mọi n Nếu điều kiện (2.55) được đáp ứng và các dãy số {r n } trong (0,+∞) và {t n } trong (0,1) được chọn sao cho limn→∞tn = 0 và tổng P∞ n=0tn = +∞, cũng như lim n→∞ r n = +∞ và tổng P∞ n=1rnhn < +∞, thì dãy {z n } được xác định bởi (2.54) sẽ hội tụ mạnh về Q S u, với Q S là một co rút không giãn theo tia từ E lên S.

Chứng minh.Với mỗi n, vì A n là một toán tử m-j-đơn điệu, nên phương trình (2.54) có nghiệm, tức là tồn tại zn+1 sao cho r n A n (z n+1 ) +z n+1 3 t n u+ (1−t n )z n (2.56)

Do đó, tồn tại w n+1 ∈ A n (z n+1 ) để rnwn+1+zn+1 = tnu+ (1−tn)zn (2.57)

Từ điều kiện (2.55), với mỗi yn+1 ∈ A(xn+1), tồn tại bn+1 ∈ A n (xn+1) sao cho ky n+1 −b n+1 k ≤ g(kx n+1 k)h n ≤ g(K)h n (2.58)

Từ các phương trình (2.44) và (2.57), ta có hrn(wn+1−bn+1),j(zn+1−xn+1)i+hrn(bn+1−yn+1), j(zn+1 −xn+1)i

+kz n+1 −xn+1k 2 = (1−tn)hz n −xn, j(zn+1−xn+1)i.

Do A n là một toán tử m-j-đơn điệu và do (2.58), nên ta nhận được kzn+1−xn+1k ≤(1−tn)kzn−xnk +g(K)rnhn (2.59)

Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 75 3.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn

Tính ổn định của các phương pháp hiệu chỉnh

Trong phần này, chúng tôi phân tích tính ổn định của các phương pháp hiệu chỉnh (3.2) và (3.3) khi các toán tử T i và miền xác định C đáp ứng các điều kiện nhiễu được nêu dưới đây.

Đối với miền xác định C, tồn tại một dãy các tập con lồi, đóng và co rút không giãn theo tia Cn ⊂ E, n = 1,2,3, sao cho H(Cn, C) ≤ δn, với {δn} là một dãy số dương thỏa mãn điều kiện δn+1 ≤ δn cho mọi n ≥ 1.

(A2) Trên mỗi tập C n , tồn tại các ánh xạ không giãn T i n : C n −→ C n , i 1,2, , N thỏa mãn các điều kiện: tồn tại các hàm dương g(t) và ξ(t) tăng với mọi t > 0 sao cho g(0) ≥ 0, ξ(0) = 0 và nếu x ∈ Ck, y ∈

C, kx−yk ≤ δ, thì kT i k x−T i yk ≤g(max{kxk,kyk})ξ(δ) (3.23)

Chúng tôi thiết lập tính ổn định của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (3.2) và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh (3.3) ở dạng

A n i (zn) +αn(zn−QC ny) =θ, (3.24) cn(

(3.25) tương ứng, trong đó u0, u1, y là các phần tử thuộc E, A n i = I −T i n , i 1,2, , N và Q C n : E −→ C n là các ánh xạ co rút không giãn theo tia từ

Trong không gian Banach E, định lý 3.5 chỉ ra rằng nếu E là một không gian lồi đều và trơn đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào E*, thì với C là một tập con không rỗng, lồi, đóng và co rút không giãn theo tia của E, các ánh xạ không giãn T_i: C → C (với i = 1, 2, , N) sẽ được xem xét.

S = ∩ N i=1 F ix(T i ) 6= ∅ Khi đó, i) với mỗi α n > 0 phương trình (3.24) có duy nhất nghiệm z n ; ii) nếu các điều kiện (A1) và (A2) được thỏa mãn và các dãy số dương {α n }, {δ n } thỏa mãn αn −→0, δ n +ξ(δ n ) αn

−→0, khi n −→ ∞, (3.26) thì dãy {zn} xác định bởi (3.24) hội tụ mạnh về QS(QCy), trong đó

Q S : E −→ S là một co rút không giãn theo tia từ E lên S.

Hơn nữa, nếu thêm điều kiện {αn} là một dãy giảm, thì ta có đánh giá sau kz n+1 −z n k ≤4δ n +Kδ n +ξ(2δ n ) αn

(3.27) trong đó R, K, K3, K4 là các hằng số.

Chứng minh rằng với mỗi n ≥ 0, phương trình (3.24) có duy nhất nghiệm zn dựa trên lập luận tương tự như chứng minh của Định lý 3.1 Hơn nữa, do khoảng cách Hausdorff H(C n , C) ≤ δ n, nên với mỗi nghiệm x n của phương trình (3.2), tồn tại một phần tử un ∈ Cn thỏa mãn điều kiện kxn−unk ≤ δn, khi phần tử y trong (3.2) được thay thế bằng QCy.

Từ các phương trình (3.2) và (3.24), ta có

Từ tính chất j-đơn điệu của PN i=1A n i , ta nhận được h

(A n i (zn)−A n i (un)), j(zn−un)i ≥ 0, điều này suy ra αnhzn−xn, j(zn −un)i ≤ αnhQC n y−QCy, j(zn−un)i

(Ai(xn)−A n i (un)), j(zn−un)i (3.29)

Do đó, αnkz n −unk ≤ αnkx n −unk

Vì H(Cn, C) ≤ δn, nên tồn tại các hằng số K1 > 0 và K2 > 1 sao cho các bất đẳng thức sau kQ C n y −Q C yk ≤K 1 p h E (K 2 δ n ) ≤ K 1 p

Tiếp theo, với mỗi i∈ {1,2, , N}, ta có kAi(xn)−A n i (un)k ≤δn+g(max{kxnk,kunk})ξ(δn)

≤ δn+g(M)ξ(δn), trong đó M = max{sup n kx n k,sup n ku n k}< +∞.

Từ các đánh giá trên, ta nhận được α n kz n −u n k ≤α n δ n +α n K 1 p

Do đó, kzn−xnk ≤ kzn−unk+kxn−unk

Vì αn −→ 0, δn+ξ(δn) α n −→0, nên δn −→ 0 vàhE(δn) −→0 Từ bất đẳng thức (3.31), ta được kx n −z n k −→ 0 Theo Định lí 3.1, x n −→ Q S (Q C y), do đó dãy {z n } cũng hội tụ mạnh về QS(QCy).

Cuối cùng, ta chứng minh bất đẳng thức (3.27) Trong phương trình (3.24) thay n bởi n+ 1, ta được

H(C n , C n+1 )≤ H(C n , C) +H(C, C n+1 ) ≤ 2δ n , nên với mỗi z n+1 ∈ C n+1 đều tồn tại v n ∈ C n sao cho kz n+1 −v n k ≤2δ n

Từ các phương trình (3.24) và (3.32), ta nhận được

(A n i (zn)−A n i (vn)) +αn(zn−Q C n y)−αn+1(zn+1−QC n+1y)

Từ tính chất j-đơn điệu của PN i=1A n i và tính chất của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j, suy ra αnkz n −vnk ≤αn+1kv n −zn+1k+|α n −αn+1|.kv n −QC nyk

Do H(C n , C n+1 ) ≤ 2δ n , nên tồn tại các hằng số K 3 > 0 và K 4 > 1 sao cho các bất đẳng thức sau kQ C n y−Q C n+1 yk ≤K 3 p h E (K 4 δ n ) ≤ K 3 p

Từ v n ∈ C n , suy ra kv n −QC nyk ≤ kv n −yk ≤sup n kz n k+kyk+ 2δ1 :=R (3.35)

Tiếp theo, với mỗi i∈ {1,2, , N}, ta có kA n i (vn)−A n+1 i (zn+1)k ≤2δn+kT i n (vn)−Ti(vn)k

(3.36) trong đó M 0 = max{sup n kvnk,sup n kznk}< +∞.

Kết hợp (3.33), (3.34), (3.35) và (3.36), ta nhận được kzn−vnk ≤ 2δn+K3 pLK4 phE(δn)

Tóm lại, ta có đánh giá sau kz n+1 −z n k ≤ 4δ n +Kδ n +ξ(2δ n ) αn

Định lý 3.6 khẳng định rằng trong không gian Banach lồi đều và trơn đều E, với ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j có tính liên tục yếu theo dãy từ E vào E*, nếu C là một tập con không rỗng, lồi, đóng và co rút không giãn theo tia của E, thì các ánh xạ không giãn T_i: C → C, với i = 1, 2, , N, sẽ đảm bảo tính ổn định và sự hội tụ của phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh.

S = ∩ N i=1 F ix(Ti) 6= ∅ Nếu các điều kiện (A1) và (A2) được thỏa mãn và các dãy số {α n }, {δ n }, {c n } và {γ n } thỏa mãn các điều kiện i) α n & 0, α n −α n+1 α 2 n −→ 0, khi n −→ ∞, P∞ n=1α n = +∞, ii) δ n +ξ(2δ n ) α 2 n −→0, phE(δn) αn

−→ 0, khi n −→ ∞, iii) 0 < c 0 < c n , γ n ≥ 0, γ n α −1 n ku n −u n−1 k −→0, khi n −→ ∞, thì dãy {un} xác định bởi (3.25) hội tụ mạnh về QS(QCy), trong đó QS :

E −→ S là một co rút không giãn theo tia từ E lên S.

Chứng minh Trước hết, với mỗi n bởi lập luận tương tự như chứng minh của Định lí 3.2, suy ra rằng phương trình (3.25) có duy nhất nghiệm z n+1 ∈ C n

Bây giờ, ta viết lại các phương trình (3.24) và (3.25) ở các dạng tương đương dn

A n i (zn) +zn−QC ny = βn(zn−QC ny), (3.39) d n

−QC n y = βn[QC n (un+γn(un−u n−1 ))−QC n y],

Từ (3.39), (3.40) và từ tính chất j-đơn điệu của PN i=1A n i , ta có ku u+1 −znk ≤ βnkQ C n (un +γn(un−un−1))−znk

Suy ra, ku n+1 −z n+1 k ≤ ku n+1 −z n k+kz n+1 −z n k

(3.41) hay tương đương với kun+1−zn+1k ≤(1−bn)kun−znk+σn, (3.42) trong đó b n = cnαn

Từ giả thiết, ta nhận được σ n bn

Từ Bổ đề 1.3, suy ra ku n − z n k −→ 0 Vì z n −→ Q S (Q C y), nên u n −→

Ứng dụng

3.3.1 Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ giả co chặt

Trong mục này, chúng tôi sẽ thảo luận về ứng dụng của các phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính, như đã trình bày trong Mục 3.1, để giải quyết bài toán (2.63).

Từ các Định lí 3.3 và Định lí 3.4 ta có các kết quả sau: Định lí 3.7 Nếu dãy số dương {α n } thỏa mãn lim n→∞ α n = 0, thì dãy {x n } xác định bởi

Phương trình Fi(xn) + αnxn = θ, với n ≥ 0, hội tụ mạnh về nghiệm chuẩn tắc PSθ của bài toán (2.63), trong đó PS là phép chiếu mêtric từ H lên S Định lý 3.8 khẳng định rằng dãy {u n} được xác định bởi các giá trị ban đầu u 0, u 1 ∈ H và cn.

Nếu các dãy số {cn}, {αn} và {γn} thỏa mãn các điều kiện: i) 0 < c0 < cn, αn > 0, αn −→0, |αn+1−αn| α 2 n −→0, và tổng P∞ n=0αn = +∞; ii) γn ≥ 0, γnα −1 n kun−un−1k −→0, thì dãy {u n } sẽ hội tụ mạnh về nghiệm chuẩn tắc PSθ của bài toán (2.63), trong đó PS là phép chiếu mêtric từ H lên S.

Chú ý 3.2 Các ánh xạ F i với i = 1,2, , N ở các Định lí 3.7 và Định lí 3.8 được xác định trong Mục 2.4.1 của Chương 2.

3.3.2 Bài toán chấp nhận lồi

Trong mục này, chúng tôi sẽ khám phá một ứng dụng của các phương pháp lặp được trình bày trong Mục 3.1 nhằm giải quyết bài toán chấp nhận lồi (2.67) trong không gian Banach, tương tự như nội dung đã đề cập trong Mục 2.4.2 của Chương 2.

Từ các Định lí 3.3 và Định lí 3.4, ta có các kết quả sau: Định lí 3.9 Nếu dãy số dương {αn} thỏa mãn lim n→∞ αn = 0, thì dãy {x n } xác định bởi

Bi(xn) + αnxn = θ, n ≥ 0, (3.45) hội tụ mạnh về nghiệm chuẩn tắc QSθ của bài toán (2.67) Trong đó, Bi là I − QS i, với i = 1, 2, , N, và QS là một co rút không giãn theo tia từ E lên S Định lý 3.10 chỉ ra rằng {u n} là dãy được xác định bởi u 0, u 1 ∈ E và c n.

Nếu các dãy số {cn}, {αn} và {γn} thỏa mãn các điều kiện 0 < c0 < cn, αn > 0, αn → 0, |αn+1 − αn| α2n → 0, và ∑∞ n=0 αn = +∞; cùng với γn ≥ 0, γn α−1n ku n − u n−1 k → 0, thì dãy {un} sẽ hội tụ mạnh về nghiệm chuẩn tắc QSθ của bài toán (2.67), trong đó Bi = I − QSi, i = 1, 2, , N, và QS là một co rút không giãn theo tia từ E lên S.

Từ các Định lí 3.9 và Định lí 3.10, ta có các hệ quả tương ứng sau đây:

Hệ quả 3.3 Nếu dãy số dương {αn} thỏa mãn lim n→∞ αn = 0, thì dãy {x (n) } xác định bởi

B i (x (n) ) +α n x (n) = θ, n≥ 0, (3.47) hội tụ mạnh về nghiệm chuẩn tắc của hệ (2.70).

Hệ quả 3.4 Cho {u (n) } là dãy được xác định bởi u (0) , u (1) ∈ R k và c n

Nếu các dãy số {cn}, {αn} và {γn} thỏa mãn các điều kiện i) 0 < c 0 < c n , α n > 0, α n →0, |α n+1 −α n | α 2 n →0, P∞ n=0α n = +∞; ii) γ n ≥ 0, γ n α −1 n ku n −u n−1 k → 0, thì dãy {u (n) } hội tụ mạnh về nghiệm chuẩn tắc của hệ (2.70).

Luận án này trình bày kết quả số cho Ví dụ 2.1 và Ví dụ 2.2 trong Chương 2, nhằm minh họa và làm rõ các kết quả lý thuyết đã được đề cập trong chương này.

Ví dụ 3.1 Xét bài toán tìm nghiệm chung của hai phương trình (2.77) và (2.78).

- Áp dụng Định lí 3.1 với y = θ và αn = 1 n, ta nhận được bảng kết quả sau: n [0,1] n max err tg (tính bằng giây)

- Tương tự, khi áp dụng Định lí 3.2 với x0(t) = t, γn = 0, αn = 1

√n và c n = 1 với mọi n, ta nhận được bảng kết quả sau: n [0,1] n max err tg (tính bằng giây)

Chú ý 3.3 Sai số của nghiệm xấp xỉ so với nghiệm chính xác trong ví dụ này được xác định như trong Ví dụ 2.1.

Ví dụ 3.2 Xét hệ phương trình tuyến tính Ax = b trong Ví dụ 2.2 của Chương 2.

- Khi áp dụng phương pháp lặp (3.47) với α n = 1 n, thì ta có bảng kết quả sau: nmax err tg (tính bằng giây)

- Khi áp dụng phương pháp lặp (3.48) với cn = 1, αn = 1

√n và γn = 0, thì ta có bảng kết quả sau: nmax err tg (tính bằng giây)

Chú ý 3.4 Sai số của nghiệm xấp xỉ so với nghiệm chính xác trong ví dụ này được xác định như trong Ví dụ 2.2.

Ví dụ 3.3 Xét bài toán tìm điểm bất động chung của hai ánh xạ không giãn T 1 và T 2 được đề cập đến trong Ví dụ 2.7 của Chương 2.

- Khi áp dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (3.2) với α n = 1 n, y {y n } ∈ l p với yk = 1 với mọi k = 1,2, ,100 và yk = 0 với mọi k ≥ 101 ta có bảng kết quả sau: nmax err tg (tính bằng giây)

- Khi áp dụng phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh (3.3) với cn = 1, αn = 1

√n, γn = 0, y = {yn} ∈ l p với yk = 1 với mọi k = 1,2, ,100 và y k = 0 với mọi k ≥ 51 ta có bảng kết quả sau: n max err tg (tính bằng giây)

Chú ý 3.5 Sai số của nghiệm xấp xỉ so với nghiệm chính xác trong ví dụ này được xác định như trong Ví dụ 2.7.

Qua các bảng kết quả, ta nhận thấy rằng số bước lặp càng lớn thì nghiệm xấp xỉ càng gần nghiệm chính xác Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho tốc độ hội tụ nhanh hơn so với phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh Tuy nhiên, cần nghiên cứu thêm về cách chọn tham số hiệu chỉnh để đạt được tốc độ hội tụ tối ưu nhất Đồng thời, từ các bảng kết quả, phương pháp lặp xoay vòng (2.76) cho kết quả tốt hơn so với các phương pháp lặp (3.47) và (3.48).

Chương này tập trung vào các phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh để tìm điểm bất động chung của một tập hợp hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach Chúng tôi đã chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov khi tham số hiệu chỉnh αn tiến về 0 khi n tiến về vô cùng (Định lý 3.1) và cũng đạt được sự hội tụ mạnh cho phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh (Định lý 3.2) Đặc biệt, chúng tôi đã chỉ ra tính ổn định của các phương pháp lặp trong trường hợp miền xác định C và các ánh xạ T i bị nhiễu (Định lý 3.5, Định lý 3.6) Tương tự như Chương 2, chúng tôi cũng trình bày một số ứng dụng của các kết quả này cho bài toán tìm điểm bất động chung của các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert và bài toán chấp nhận lồi trong không gian Banach, kèm theo một ví dụ đơn giản để minh họa cho các kết quả đạt được Đối với phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh, khi tham số γ n = 0 với mọi n, chúng tôi thu được phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh.

Luận án đã đề cập đến những vấn đề sau:

Nghiên cứu này áp dụng các phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp điểm gần kề và phương pháp điểm gần kề quán tính để giải quyết bài toán tìm điểm bất động chung của một tập hợp hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach Những phương pháp này giúp cải thiện độ chính xác và hiệu quả trong việc xác định điểm bất động, góp phần nâng cao hiểu biết về các ánh xạ không giãn trong không gian toán học.

- Nghiên cứu và thiết lập các điều kiện đảm bảo tính ổn định của các phương pháp lặp thu được.

Nghiên cứu này áp dụng các phương pháp hiệu chỉnh để giải quyết bài toán tìm điểm bất động chung của một tập hợp hữu hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert, cũng như bài toán chấp nhận lồi trong không gian Banach Bài viết cũng cung cấp các ví dụ số cụ thể để minh họa cho những kết quả đạt được.

Kết quả chính đạt được trong luận án bao gồm:

Bài viết này trình bày và chứng minh các định lý liên quan đến sự hội tụ mạnh của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh và phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh Các phương pháp này được áp dụng để giải bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach lồi đều và trơn đều, đồng thời đảm bảo tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.

Bài viết này trình bày và chứng minh các định lý liên quan đến sự hội tụ mạnh của phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh, áp dụng cho bài toán xác định không điểm của một toán tử m-j-đơn điệu trong không gian Banach Đặc biệt, chúng tôi xem xét tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, từ đó khẳng định sự hiệu quả và tính chính xác của phương pháp trong việc giải quyết các vấn đề liên quan.

- Nghiên cứu và thiết lập các giả thiết đảm bảo cho tính ổn định của các phương pháp giải.

Các phương pháp hiệu chỉnh được áp dụng để giải quyết bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert Ngoài ra, chúng cũng được sử dụng trong bài toán chấp nhận lồi trong không gian Banach, cùng với một trường hợp đặc biệt là bài toán giải hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát.

KIẾN NGHỊ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO

Tất cả các kết quả của luận án đã được trình bày và chứng minh cho trường hợp không gian Banach E có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy Đồng thời, các không gian L p (Ω) cũng được xem xét trong bối cảnh này.