(LUẬN văn THẠC sĩ) một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯƠNG MINH TUYÊN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU HẠN CÁC ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS Nguyễn Bường GS TS Jong Kyu Kim THÁI NGUYÊN-NĂM 2013 download by : skknchat@gmail.com ii LỜI CAM ĐOAN Các kết trình bày luận án cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn GS TS Nguyễn Bường GS TS Jong Kyu Kim Các kết trình bày luận án chưa công bố cơng trình người khác Tơi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Tác giả Trương Minh Tuyên download by : skknchat@gmail.com iii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình GS TS Nguyễn Bường GS TS Jong Kyu Kim Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Trong trình học tập nghiên cứu, thông qua giảng seminar tác giả nhận quan tâm giúp đỡ ý kiến đóng góp quý báu GS TSKH Phạm Kỳ Anh, PGS TS Phạm Ngọc Anh, PGS TS Phạm Hiến Bằng, PGS TS Phạm Việt Đức, TS Đào Thị Liên, GS TSKH Nguyễn Văn Mậu, TS Hà Trần Phương, TS Vũ Vinh Quang, PGS TS Nguyễn Năng Tâm, GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, GS TSKH Đỗ Đức Thái, GS TS Trần Vũ Thiệu, TS Nguyễn Thị Thu Thủy, TS Vũ Mạnh Xuân Từ đáy lòng tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa sau đại học Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tốt để tác giả hồn thành luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Thầy Khoa Tốn-Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, toàn thể anh chị em nghiên cứu sinh chun ngành Tốn Giải tích, bạn bè đồng nghiệp quan tâm, động viên, trao đổi đóng góp ý kiến quý báu cho tác giả suốt trình học tập, seminar, nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả xin kính tặng người thân u gia đình niềm vinh hạnh to lớn Tác giả download by : skknchat@gmail.com Mục lục Trang bìa phụ i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Một số ký hiệu viết tắt vi Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề hình học khơng gian Banach, tốn tử đơn điệu ánh xạ khơng giãn 1.2 Bài tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh 17 1.2.1 Khái niệm toán đặt không chỉnh 18 1.2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 18 1.3 Phương pháp điểm gần kề quán tính 22 1.4 Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 25 1.5 Bài tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn 26 1.5.1 Phát biểu toán 26 1.5.2 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động ánh xạ không giãn 28 1.6 Một số bổ đề bổ trợ 37 Chương Phương pháp điểm gần kề 2.1 Phương pháp điểm gần kề cho tốn tìm điểm bất động 40 chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn 40 download by : skknchat@gmail.com v 2.2 Tính ổn định phương pháp 50 2.3 Phương pháp điểm gần kề tốn xác định khơng điểm tốn tử m-j-đơn điệu 54 2.4 Ứng dụng 62 2.4.1 Bài tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt 62 2.4.2 Bài toán chấp nhận lồi 65 Chương Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 3.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm 75 gần kề quán tính hiệu chỉnh cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn 75 3.2 Tính ổn định phương pháp hiệu chỉnh 82 3.3 Ứng dụng 88 3.3.1 Bài tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt 88 3.3.2 Bài toán chấp nhận lồi 89 Kết luận chung 95 Kiến nghị hướng nghiên cứu 96 Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án 97 Tài liệu tham khảo 98 download by : skknchat@gmail.com Một số ký hiệu viết tắt E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E θ phần tử không không gian Banach E dim(E) số chiều không gian Banach E R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm ∩ phép giao inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M max M số lớn tập hợp số M M số nhỏ tập hợp số M argminx∈X F (x) tập điểm cực tiểu hàm F X ∅ tập rỗng ∀x với x D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I tốn tử đồng Lp (Ω) khơng gian hàm khả tích bậc p Ω lp khơng gian dãy số khả tổng bậc p d(x, M ) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp M H(C1 , C2 ) khoảng cách Hausdorff hai tập hợp C1 C2 lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ lim inf xn n→∞ giới hạn dãy số {xn } download by : skknchat@gmail.com vii αn α0 dãy số thực {αn } hội tụ giảm α0 xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị δE (ε) mô đun lồi không gian Banach E ρE (τ ) mô đun trơn không gian Banach E F ix(T ) F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f M bao đóng tập hợp M d(a, M ) khoảng cách tử phần tử a đến tập hợp M Wpm (Ω) không gian Sobolev o(t) vô bé bậc cao t n[a,b] số điểm chia cách đoạn [a, b] nmax số bước lặp tg thời gian tính tốn err sai số nghiệm xấp xỉ so với nghiệm xác int(C) phần tập hợp C download by : skknchat@gmail.com Mở đầu Bài tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert hay không gian Banach trường hợp riêng tốn chấp nhận lồi: "Tìm phần tử thuộc giao khác rỗng họ hữu hạn hay vơ hạn tập lồi đóng {Ci }i∈I không gian Hilbert H hay không gian Banach E" Bài tốn có nhiều ứng dụng quan trọng lĩnh vực khoa học khác như: Xử lí ảnh, khơi phục tín hiệu, vật lý, y học (xem [27], [28], [29], [43], [58], [59], [71], [72], [81] ) Khi Ci = F ix(Ti ), với F ix(Ti ) tập điểm bất động ánh xạ không giãn Ti , i = 1, 2, , N , có nhiều phương pháp đề xuất dựa phương pháp lặp cổ điển tiếng Đó phương pháp lặp Kranoselskii [56], Mann [62], Ishikawa [45] Halpern [42], phương pháp xấp xỉ mềm [65] Chẳng hạn, tương tự phương pháp chiếu xoay vịng để giải tốn chấp nhận lồi khơng gian Hilbert, năm 1996 Bauschke H H [16] đề xuất phương pháp lặp xoay vòng dựa phương pháp lặp Halpern cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert Các kết nghiên cứu theo hướng tra khảo tài liệu [16], [30], [46], [69], [70] trình bày cụ thể Chương luận án Ta biết rằng, T ánh xạ khơng giãn khơng gian Banach E, tốn tử A = I − T toán tử j-đơn điệu, với I toán tử đồng E Như vậy, tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn Ti khơng gian Banach E đưa tốn tìm khơng điểm chung họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu Ai = I − Ti với i = 1, 2, , N Khi A : H −→ 2H toán tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert H (trong không gian Hilbert khái niệm j-đơn điệu đơn điệu trùng nhau), Rockafellar R T [77] đề xuất phương pháp điểm gần download by : skknchat@gmail.com kề để xác định dãy {xn } sau: cn Axn+1 + xn+1 xn , x0 ∈ H, (0.1) cn > c0 > Tuy nhiên, việc áp dụng phương pháp lặp (0.1) thu hội tụ yếu dãy {xn } không điểm A Năm 2001, Attouch H Alvarez F [14] xét mở rộng phương pháp điểm gần kề (0.1) dạng cn A(xn+1 ) + xn+1 − xn γn (xn − xn−1 ), x0 , x1 ∈ H (0.2) gọi phương pháp điểm gần kề quán tính, {cn } {γn } hai dãy số khơng âm Đối với thuật tốn mở rộng người ta thu hội tụ yếu dãy lặp {xn } không điểm tốn tử đơn điệu cực đại A khơng gian Hilbert Khi A : E −→ E toán tử m−j−đơn điệu từ khơng gian Banach E vào nó, năm 2002 Ryazantseva I P [78] kết hợp phương pháp điểm gần kề với hiệu chỉnh gọi phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh dạng cn (A(xn+1 ) + αn xn+1 ) + xn+1 = xn , x0 ∈ E (0.3) Ryazantseva I P sự hội tụ mạnh dãy lặp {xn } xác định (0.3) không điểm A không gian Banach E dãy số dương {cn } {αn } thỏa mãn điều kiện thích hợp Năm 2006 tác giả Xu H K [88] năm 2009 tác giả Song Y., Yang C [80] đề xuất nghiên cứu cải biên phương pháp điểm gần kề cho tốn xác định khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại A không gian Hilbert, ông hội tụ mạnh dãy lặp {xn } xác định xn+1 = JrAn (tn u + (1 − tn )xn + en ), n = 0, 1, 2, (0.4) với số điều kiện thích hợp đặt lên dãy số {tn } dãy sai số tính tốn bước lặp {en }, JrAn = (I + rn A)−1 Đối với tốn tìm nghiệm chung họ hữu hạn phương trình tốn tử với tốn tử đơn điệu cực đại, năm 2006 tác giả Buong Ng [22] đề xuất nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho tốn tìm khơng điểm chung họ hữu hạn toán tử đơn download by : skknchat@gmail.com trị đơn điệu, năng, h−liên tục từ không gian Banach E vào không gian đối ngẫu E ∗ Ơng quy tốn giải hệ phương trình với toán tử đơn điệu cực đại việc giải phương trình tốn tử thu hội tụ mạnh thuật toán nghiệm hệ tham số hiệu chỉnh chọn thích hợp Năm 2008, sở kết nghiên cứu đạt vào năm 2006, tác giả Buong Ng [23] lần nghiên cứu kết hợp phương pháp điểm gần kề quán tính với hiệu chỉnh gọi phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh, cho việc giải tốn tìm khơng điểm chung họ hữu hạn toán tử đơn điệu cực đại Ai = ∂fi , với ∂fi vi phân phiếm hàm lồi, thường, nửa liên tục yếu fi , i = 1, 2, , N khơng gian Hilbert H Ơng hội tụ mạnh dãy lặp {zn } xác định N αnj Anj (zn+1 ) + αnN +1 zn+1 + zn+1 − zn cn γn (zn − zn−1 ), j=0 z0 , z1 ∈ H, {cn }, {αn } {γn } dãy số thực khơng âm Anj tốn tử đơn điệu cực đại xấp xỉ toán tử vi phân ∂ϕj phiếm hàm ϕj theo nghĩa H(Anj (x), ∂ϕj (x)) ≤ hn g( x ), với g hàm khơng âm, giới nội Bài tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn hay vô hạn ánh xạ không giãn, với tốn liên quan tốn tìm nghiệm hệ phương trình với tốn tử loại đơn điệu, toán bất đẳng thức biến phân, toán cân nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu Chẳng hạn như: Năm 2004 tác giả Anh P N Muu L D [5] kết hợp nguyên lý ánh xạ co với phương pháp điểm gần kề cho toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu; năm 2009 tác giả Anh P K Chung C V [3] nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh lặp song song dạng ẩn cho tốn tìm khơng điểm chung họ hữu hạn tốn tử xác định dương từ khơng gian Hilbert H vào nó; tác giả Thuy N T T [84] xây dựng phương pháp lặp cho tốn tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân tập điểm download by : skknchat@gmail.com 92 nmax err tg (tính giây) 500 0.085595 75.5 1000 0.046458 150.938 5000 755.278 0.01 Bảng 3.3 - Khi áp dụng phương pháp lặp (3.48) với cn = 1, αn = √ γn = 0, n ta có bảng kết sau: nmax err tg (tính giây) 1000 0.470916 262.407 3000 0.374417 785.141 5000 0.330479 1309.969 10000 0.27356 2623.469 100000 0.123475 31085.594 Bảng 3.4 Chú ý 3.4 Sai số nghiệm xấp xỉ so với nghiệm xác ví dụ xác định Ví dụ 2.2 Ví dụ 3.3 Xét tốn tìm điểm bất động chung hai ánh xạ khơng giãn T1 T2 đề cập đến Ví dụ 2.7 Chương ,y= n {yn } ∈ lp với yk = với k = 1, 2, , 100 yk = với k ≥ 101 ta - Khi áp dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (3.2) với αn = có bảng kết sau: nmax err tg (tính giây) 500 0.688135 0.605 1000 0.554077 0.6409 3000 0.390681 0.6879 5000 0.331459 0.703 10000 0.264798 0.715 Bảng 3.5 download by : skknchat@gmail.com 93 - Khi áp dụng phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh (3.3) với cn = 1, αn = √ , γn = 0, y = {yn } ∈ lp với yk = với k = 1, 2, , 100 n yk = với k ≥ 51 ta có bảng kết sau: nmax err tg (tính giây) 500 1.698190 20.735 1000 1.548176 36.703 3000 1.329883 191.906 5000 1.236710 428.062 Bảng 3.6 Chú ý 3.5 Sai số nghiệm xấp xỉ so với nghiệm xác ví dụ xác định Ví dụ 2.7 Nhận xét 3.1 i) Qua bảng kết số ta thấy số bước lặp lớn nghiệm xấp xỉ gần nghiệm xác, ngồi ta thầy ứng với cách chọn tham số hiệu chỉnh trên, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho ta tốc độ hội tụ nhanh phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh Tuy nhiên, cịn vấn đề cần nghiên cứu, việc chọn tham số hiệu chỉnh để tốc độ hội tụ nhanh nhất? ii) Từ Bảng 3.3, Bảng 3.4 Bảng 2.5, ta thấy phương pháp lặp xoay vòng (2.76) cho ta kết tốt phương pháp lặp (3.47) (3.48) download by : skknchat@gmail.com 94 KẾT LUẬN Chương đề cập đến phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Banach Cụ thể thu hội tụ mạnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov tham số hiệu chỉnh αn −→ n −→ ∞ (Định lí 3.1) Qua đó, chúng tơi thu hội tụ mạnh phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh (Định lí 3.2) Đặc biệt, chúng tơi tính ổn định phương pháp lặp miền xác định C ánh xạ Ti , i = 1, 2, , n thay nhiễu (Định lí 3.5, Định lí 3.6) Cũng giống Chương luận án, mục cuối chương chúng tơi trình bày số ứng dụng kết thu cho việc giải tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt khơng gian Hilbert tốn chấp nhận lồi khơng gian Banach, với ví dụ đơn giản nhằm minh họa thêm cho kết đạt Đối với phương pháp điểm gần kề qn tính hiệu chỉnh trình bày chương này, tham số γn = với n, ta nhận phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh download by : skknchat@gmail.com 95 KẾT LUẬN CHUNG Luận án đề cập đến vấn đề sau: - Nghiên cứu áp dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp điểm gần kề phương pháp điểm gần kề qn tính hiệu chỉnh cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Banach - Nghiên cứu thiết lập điều kiện đảm bảo tính ổn định phương pháp lặp thu - Nghiên cứu áp dụng phương pháp hiệu chỉnh cho việc giải tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt không gian Hilbert tốn chấp nhận lồi khơng gian Banach Đưa ví dụ số cụ thể minh họa cho kết thu Kết đạt luận án bao gồm: - Đưa chứng minh định lí hội tụ mạnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Banach lồi trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc - Đưa chứng minh định lí hội tụ mạnh phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh cho toán xác định khơng điểm tốn tử m-j-đơn điệu khơng gian Banach trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc - Nghiên cứu thiết lập giả thiết đảm bảo cho tính ổn định phương pháp giải - Đưa số ứng dụng phương pháp hiệu chỉnh thu cho việc giải toán tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt không gian Hilbert, tốn chấp nhận lồi khơng gian Banach trường hợp đặc biệt toán chấp nhận lồi, tốn giải hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát download by : skknchat@gmail.com 96 KIẾN NGHỊ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO • Ta thấy tất kết luận án phát biểu chứng minh cho trường hợp không gian Banach E có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy Trong đó, khơng gian Lp (Ω) Wpm (Ω) có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc không liên tục yếu theo dãy Mới đây, năm 2012, tác giả Buong Ng Phuong N T H [26] thu hội tụ mạnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán tìm nghiệm phương trình với tốn tử m − j−đơn điệu không gian Banach mà không cần đến tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Như vậy, vấn đề đặt liệu bỏ giả thiết tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc kết luận án hay không? • Nghiên cứu phân rã thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh nhằm thu hội tụ mạnh dãy lặp không điểm tổng hai tốn tử đơn điệu cực đại khơng gian Hilbert Chú ý rằng, kết theo hướng nghiên cứu Moudafi A Oliny M tài liệu [66] họ thu hội tụ yếu thuật tốn khơng điểm tổng hai tốn tử đơn điệu cực đại • Nghiên cứu tìm phương pháp ổn định giải tốn tìm điểm bất động chung họ vô hạn đếm họ vô hạn không đếm ánh xạ khơng giãn Trong việc trước mắt mở rộng kết luận án cho trường hợp khơng? • Nghiên cứu áp dụng kết đạt cho tốn giải hệ phương trình với tốn tử loại đơn điệu, toán bất đẳng thức biến phân (bài toán cân bằng) tập điểm bất động chung họ hữu hạn hay vô hạn ánh xạ khơng giãn, lớp tốn loại thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều người làm toán nước (xem [3], [5], [6], [84]) download by : skknchat@gmail.com 97 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Kim J K., T M Tuyen (2011), "Regularization proximal point algorithm for finding a common fixed point of a finite family of nonexpansive mappings in Banach spaces", Fixed Point Theory and Applications, 2011 (52) Tuyen T M (2012), "Regularization proximal point algorithm for common fixed points of nonexpansive mappings in Banach spaces", J Optim Theory Appl., 152, pp 351-365 Hang N T., Tuyen T M (2012), "A note on the paper: Regularization proximal point algorithm for common fixed points of nonexpansive mappings in Banach spaces", J Optim Theory Appl., 155, pp 723725 Tuyen T M (2012), "A Regularization proximal point algorithm for zeros of accretive operators in Banach spaces", Afr Diaspora J Math., 13 (2), pp 62-73 Tuyen T M (2012), "An other approach for the problem of finding a common fixed point of a finite family of nonexpansive mappings", J Nonl Anal Optim., (2), pp 207-220 download by : skknchat@gmail.com Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, NXB ĐH QGHN [2] Đ H Tân, N T T Hà (2002), Các định lí điểm bất động, NXB ĐHSP [3] Anh P K., Chung C V (2009), "Parallel iterative regularization methods for solving systems of ill-posed equations", Appl Math and Comp.,212, pp 542-550 [4] Anh P N., Muu L D (2004), "Coupling the Banach contraction mapping principle and the proximal point algorithm for solving monotone variational inequalites", Acta Math Vietnamica, 29 (2), pp 119-133 [5] Anh P N (2012), "Strong convergence of an extended extragradient method for equilibrium problems and fixed point problems", J Korean Math Soc., 49 (1), pp 187-200 [6] Anh P N (2013), "A hybrid extragradient method extended to fixed point problems and equilibrium problems", Opti., 62 (2), pp 271-283 [7] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [8] Alber Y (1975), "On solving nonlinear equations involving monotone operators in Banach spaces", Sibir Math J., 26, pp 3-11 [9] Alber Y (1979), "The solution of equations and variational inequalities with maximal monotone operators", Sov Math Dokl., 20, pp 871-876 [10] Alber Y (2007), "On the stability of iterative approximatins to fixed points of nonexpansive mappings", J Math Anal Appl., 328, pp 958-971 download by : skknchat@gmail.com 99 [11] Alber Y., Ryazantseva I (2006), Nonlinear Ill-posed Problems of Monotone Type, Springer [12] Alber Y., Reich S., Yao J-C (2003), "Iterative methods for solving fixed point problems with nonself-mappings in Banach spaces", Abstr Appl Anal., 4, pp 194-216 [13] Alvarez F (2000), "On the minimizing property of a second order dissipative system in Hilbert space", SIAM J of Contr and Optim., 38 (4), pp 1102-1119 [14] Alvarez F., Attouch H (2001), "An inertial proximal method for maximal monotone operators via discretization of a nonolinear oscillator with damping", Set-Valued Analysis, (1-2), pp 3-11 [15] Bauschke H H., Borwein J M (1996), "On projection algorithms for solving convex feasibility problems", Society for Industrial and Applied Mathematics, 38 (3), pp 267-426 [16] Bauschke H H (1996), "The approximation of fixed points of compositions of nonexpansive mappings in Hilbert spaces", J of Math Anal and Appl., 202, pp 150-159 [17] Bauschke H H., Matouˇskov´a E., Reich S (2004), "Projection and proximal point methods: convergence results and counterexamples", Nonlinear Analysis, 56, pp 715-738 [18] Benavides T D (2002), "Geometric properties of Banach spaces and metric fixed points theory", Extracta Mathenaticae, 17 (3), pp 331349 [19] Browder, F E (1965), "Nonexpansive nonlinear operators in Banach spaces", Proc Nat Acad Sci., U.S.A., 54 (4), pp 1041-1044 [20] Browder, F E (1966), "Existence and approximation of solution of nonlinear variational inequalities", Proc Nat Acad Sci., U.S.A., 56 (4), pp 1080-1086 [21] Bruck R E (1974), "A characterization of Hilbert space", Proc Amer Math Soc., 43, pp 173-175 download by : skknchat@gmail.com 100 [22] Buong Ng (2006), "Regularization for unconstrained vector optimization of convex functionals in Banach spaces", Compt Math and Math Phys., 46 (3), pp 372-378 [23] Buong Ng (2008), "Regularization proximal point algorithm for unconstrained vector convex optimization problems", Ukrainian Mathematical Journal, 60 (9), pp 1483-1491 [24] Buong Ng (2010), "Regularization inertial proximal point algorithm for common solutions of a finite family of inverse-strongly monotone equations", Acta Mathematica Sinica, 26 (3), pp 587-594 [25] Buong Ng., Lang N D (2011), "Hybrid Mann-Halpern iteration methods for nonexpansive mappings and semigroups", Appl Math Comp., 218 (6), pp 2459-2466 [26] Buong Ng., Phuong N T H (2012) "Convergence rates in regularization for nonlinear ill-posed equations involving m−accretive mappings in Banach spaces", Appl Math Sci., (63), pp 3109-3117 [27] Combettes P L (1993), "Signal recovery by best feasible approximation", IEEE Transactions on Image Processing, (2), pp 269-271 [28] Combettes P L (1996), "The convex feasibility problem in image recovery", Advances in Imaging and Electron Physics, 95, pp 155270 [29] Combettes P L (1997), "Convex set theoretic image recovery by extrapolated iterations of parallel subgradient projections", IEEE Transactions on Image Processing, (4), pp 493-506 [30] Chang S.-S., Yao J.- C., Kim J K., Yang L (2007), "Iterative approximation to convex feasibility problems in Banach space", Fixed Point Theory and Appl., 2007, Article ID 46797, 19 pages [31] Chidume C (2009), Geometric properties of Banach spaces and nonlinear iterations, Springer-Verlag download by : skknchat@gmail.com 101 [32] Chidume C E., Chidume C O (2006), "Iterative approximation of fixed points of nonexpansive mappings", Jour Math Anal Appl., 318 (1), pp 288-295 [33] Cioranescu I (1990), Geometry of Banach Spaces, "Duality Mappings and Nonlinear Problems", Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [34] De Marr R (1963), "Common fixed points for commuting contraction mappings", Pacific J Math., 13, pp.1139-1141 [35] Diestel J (1970), Geometry of Banach spaces-Selected topics, Springer-Verlag [36] Figiel T (1976), "On the modunli of convexity and smoothness", Studia Math., 56, pp 121-155 [37] Goebel K., Kirk W.A (1990), Topic in metric fixed point theory, Cambridge University Press [38] Goebel K., Reich S (1984), Uniform convexity, hyperbolic geometry and nonexpansive mappings, Marcel Dekker, New York and Basel [39] Guler O (1991), "On the convergence of the proximal point algorithm for convex minimization", SIAM J Contr Optim., 29 (2), pp 403-419 [40] Hadamard J (1902), "Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique", Princeton University Bulletin, 13, pp 49-52 [41] Hang N T., Tuyen T M (2012), "A note on the paper: Regularization proximal point algorithm for common fixed points of nonexpansive mappings in Banach spaces", J Optim Theory Appl., 155, pp 723725 [42] Halpern B (1967), "Fixed points of nonexpanding maps", Bull Amer Math Soc., 73, pp 957-961 [43] Herman G.T (1980), Image reconstruction from projections, The Fundamentals of Computerized Tomography Academic Press, New York download by : skknchat@gmail.com 102 [44] Hu L G (2008), "Strong convergence of a modified Halpern’s iteration for nonexpansive mappings", Fixed Point theory and Appl., 2008, Article ID 649162, pages [45] Ishikawa S (1974), "Fixed points by a new iteration method", Proc Amer Math Soc, 44 (1), pp 147-150 [46] Jung J S (2005), "Iterative approaches to common fixed points of nonexpansive mappings in Banach spaces", J Math Anal Appl., 302, pp 509-520 [47] Kaczmars S (1937), "Angenăaherte Auflăosung von Systemen linearer Gleichungen", Bulletin International de l’Académie Polonaise des Sciences et des Lettres, Vol 35, pp 355-357 [48] Kamimura S., Kohsaka F., Takahashi W (2004), "Weak and strong convergence theorem for maximal monotone operators in a Banach space", Set-Valued Anal., 12, pp 417-429 [49] Kamimura S., Takahashi W (2000), "Approximation solutions of maximal monotone operators in Hilbert spaces", J Approx Theory, 106, pp 226-240 [50] Karlovitz L A (1972), "The construction and application of contractive retractions in two-dimensional normed linear spaces", Indiana Univ Math J., 22, pp 473-481 [51] Kim J K., Buong Ng (2010), "Regularization inertial proximal point algorithm for monotone hemicontinuous mapping and inverse strongly monotone mappings in Hilbert spaces", Jour Ineq Appl., 2010, Article ID 451916, 10 pages [52] Kim J K., Tuyen T M (2011), "Regularization proximal point algorithm for finding a common fixed point of a finite family of nonexpansive mappings in Banach spaces", Fixed Point Theory and Appl., 2011 (52) [53] Kim T H., Xu H K (2005), "Strong convergence of modified Mann iterations", Non., Anal., 61, pp 51-60 download by : skknchat@gmail.com 103 [54] Kohsaka F., Takahashi W (2004), "Strong convergence of an iterative sequence for maximal monotone op erators in a Banach space", Abstr Appl Anal., 3, pp 239-249 [55] Kopeck´a E., Reich R (2007), "Nonexpansive retracts in Banach spaces", Banach Center Publ., 77, pp 161-174 [56] Krasnoselskii M A (1955), "Two remarks on the method of successive approximations", Uspehi Mat Nauk, 10, pp 123-127 [57] Lehdili N., Moudafi A (1996), "Combining the proximal algoritm and Tikhonov regularization", Optimization, 37 (3), pp 239-252 [58] Levi A., Stark H (1983), "Signal reconstruction from phase by projection onto convex sets", Journal of the Optical Society of America, 73 (6), pp 810-822 [59] Levi A., Stark H (1984), "Image restoration by the method of generalized projections with application to restoration from magnitude", Journal of the Optical Society of America A, 1(9), pp 932-943 [60] Lions P.-L (1997), "Approximation de points fixes de contractions", Comptes Rendus de l’ Académie des Sciences, Série A-B, 284 (21), pp A1357-A1359 [61] Lindenstrauss J., Tzafriri L (1979), Classical Banach spaces II: Function Spaces, Ergebnisse Math Grenzgebiete Bd 97, Springer-Verlag [62] Mann W R (1953), "Mean value methods in iteration", Proc Amer Math Soc., 4, pp 506-510 [63] Martinet B (1970), "Regularisation dinequations variationnelles par approximation successives", Rev PranMc-aise Informat Recherche operationnelle, 4, pp 154-158 [64] Matsushita S., Takahashi W (2008), "Strong convergence theorem for nonexpansive nonself-mappings without boundary conditions", Nonlinear Analysis, 68, pp 412-419 download by : skknchat@gmail.com 104 [65] Moudafi A (2000), "Vicosity approximation methods for fixed point problems", J Math Anal Appl , 241, pp 45-55 [66] Moudafi A, Oliny., M (2003), "Convergence of a splitting inertial proximal method for monotone operators Journal of Computational and Applied Mathematics", Pacific J Math.155 (2), pp 447-454 [67] Mutangadura S A., Chidume C E (2001), "An example on the Mann iteration methods for Lipschitz pseudocontractions", Proc Amer Math Soc., 129 (8), pp 2359-2363 [68] Nakajo K., Takahashi W (2003), "Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups", J Math Anal Appl., 279, pp 372-379 [69] O’Hara J G., Pillay P., Xu H K (2003), "Iterative approaches to finding nearest common fixed points of nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Nonl Anal., 54, pp 1417-1426 [70] Plubtieng S., Ungchittrakool K (2006), "Weak and strong convergence of finite family with errors of nonexpansive nonself-mappings", Fixed Point Theory and Application, Vol 2006, pp 1-12 [71] Popa C., Zdunek R (2004), "Kaczmarz extended algorithm for tomographic image reconstruction from limited data", Math Comput Simul., 65, pp 579-598 [72] Popa C (2008), "Constrained Kaczmarz extended algorithm for image reconstruction", Linear Algebra and its Applications, 429 (8-9), pp 2247–2267 [73] Reich S (1979), "Weak convergence theorems for nonexpansive mappings in Banach spaces", J Math Anal Appl., 67, pp 274-276 [74] Reich S (1980), "Strong convergence theorems for resolvents of accretive operators in Banach space", J Math Anal Appl., 75, pp 287-292 [75] Reich S (1994), "Approximating fixed points of nonexpansive mappings", PanAmerrican Mathematical Journal, (2), pp 23-28 download by : skknchat@gmail.com 105 [76] Rockafellar R T (1970), " On the maximal monotonicity of subdifferential mappings", Pacific J Math., Vol 33 (1), pp 209-216 [77] Rockafellar R T (1976), "Monotone operators and proximal point algorithm", SIAM Journal on Control and Optim., 14, pp 887-897 [78] Ryazanseva I P (2002), "Regularization proximal algorithm for nonlinear equations of monotone type", Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 42 (9), pp 1295-1303 [79] Shahzad N (2005), "Approximating fixed points of non-self nonexpansive mappings in Banach spaces", Nonl Anal., 61, pp 1031-1039 [80] Song Y., Yang C (2009), "A note on a pape: A regularization method for the proximal point algorithm", J Glob Optim., 43, pp 171-174 [81] Stark H (1987) , Image Recovery: Theory and Application, San Diego, CA: Academic Press [82] Suzuki T (2007), "A sufficient and necessary condition for Halperntype strong convergence to fixed points of nonexpansive mappings", Proc Amer Math Soc., 135 (1), pp 99-106 [83] Tan K K., Xu H K (1993), "Approximating fixed points of nonexpansive mappings by the Ishikawa iterative process", J Math Anal Appl., 178, pp 301-308 [84] Thuy N T T (2013), "A new hybrid method for variational inequality and fixed point problems", Vietnam J Math., DOI 10.1007/s10013013-0027-1 [85] Tuyen T M (2012), "Regularization proximal point algorithm for common fixed points of nonexpansive mappings in Banach spaces", J Optim Theory Appl., 152, pp 351-365 [86] Tuyen T M (2012), "A Regularization proximal point algorithm for zeros of accretive operators in Banach spaces", Afr Diaspora J Math., 13 (2), pp 62-73 download by : skknchat@gmail.com 106 [87] Tuyen T M (2012), "An other approach for the problem of finding a common fixed point of a finite family of nonexpansive mappings", J Nonl Anal Optim., (2), pp 207-220 [88] Xu H K (2006), A regularization method for the proximal point algorithm, J Glob Optim., 36 (1) (2006), pp 115-125 [89] Xu H K (2002), "Iterative algorithms for nonlinear operators", J of the London Math Soc., 66 (1), pp 240-256 [90] Xu H K (2003) "An iterative approach to quadratic optimization", J Optim Theory Appl., 116, pp 659-678 [91] Wittmann R (1992), "Approximation of fixed points of nonexpansive mappings", Arch Math., 58, pp 486-491 download by : skknchat@gmail.com ... tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn với số phương pháp giải số kết điển hình biết 1.1 Một số vấn đề hình học khơng gian Banach, tốn tử đơn điệu ánh xạ không giãn Cho E không. .. chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn đặc biệt mục chúng tơi trình bày cách tổng quan phương pháp "cổ điển" xấp xỉ điểm bất động ánh xạ khơng giãn nói chung phương pháp tìm điểm bất động chung họ hữu. .. tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn Ti , i = 1, 2, , N, với Ti phép chiếu mêtric từ H lên Ci Do đó, việc nghiên cứu phương pháp giải tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh