Các định nghĩa và tính chất sơ cấp về không gian vectơ tôpô
Trong chương này, chúng ta sẽ ôn lại những khái niệm cơ bản về không gian vectơ tôpô, bao gồm không gian vectơ, không gian tôpô, lân cận và không gian vectơ tôpô Chúng ta sẽ chứng minh nhiều mệnh đề để làm rõ các khái niệm như tập hút, tập cân, tập lồi và tập tuyệt đối lồi Từ đó, chúng ta sẽ trình bày một số tính chất sơ cấp của không gian tôpô, bao gồm tính tách được, ánh xạ tuyến tính liên tục, tính bị chặn và tính liên tục, cùng với khái niệm không gian thương.
Chương 2 Định lý cơ bản trên không gian vectơ tôpô.
Trong chương này, bài viết sẽ giới thiệu về phạm trù Baire và chứng minh Định lý Banach-Steinhause Tiếp theo, nội dung sẽ đề cập đến Định lý ánh xạ mở cùng với quá trình chứng minh Cuối cùng, khóa luận sẽ trình bày và chứng minh Định lý đồ thị đóng.
Do hạn chế về thời gian và phạm vi của khóa luận, một số nội dung sẽ được trình bày dưới dạng bổ đề mà không có chứng minh cụ thể Tuy nhiên, ở phần cuối của khóa luận, tôi sẽ cung cấp một số tài liệu tham khảo để hỗ trợ cho các nội dung đã nêu.
Sau đây là một số ký hiệu được viết trong khóa luận
R và C lần lượt là tập hợp các số thực và số phức, trong khi N∗ là tập hợp các số tự nhiên khác 0 Ánh xạ π−1 : X → GΛ là ánh xạ ngược của ánh xạ π : GΛ → X Giả sử A và C là các tập con của không gian vectơ tôpô X, thì phần trong của A được ký hiệu là A0 hay intA, còn C là bao đóng của C trong X, và X\A là phần bù của A trong X.
Ký hiệu Bổ đề.[1] nghĩa là bổ đề được tham khảo từ tài liệu [1] ở danh mục tài liệu tham khảo.
Trước khi trình bày nội dung khóa luận, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Lương Quốc Tuyển vì đã giới thiệu tài liệu và hướng dẫn tận tình, giúp em hoàn thành khóa luận Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng, những người đã dạy bảo em trong suốt bốn năm học Cuối cùng, em cảm ơn gia đình và bạn bè lớp 08CTT2 đã động viên và hỗ trợ em trong quá trình học tập và hoàn thành khóa luận.
Mặc dù đã nỗ lực, nhưng do thời gian hạn chế và kiến thức còn thiếu sót, khóa luận không thể tránh khỏi một số thiếu sót về nội dung và cách trình bày Vì vậy, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu từ các thầy cô và bạn đọc.
Em xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, ngày 20 tháng 05 năm 2012
Định lý cơ bản trên không gian tôpô
CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT SƠ CẤP VỀ
KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ § 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Không gian vectơ trên trường số thực Φ hoặc trường số phức Φ được định nghĩa là một tập E không rỗng, trong đó có phép cộng E × E → E và phép nhân vô hướng Φ × E → E, và các phép toán này phải thỏa mãn một số điều kiện nhất định.
(1) (x+ y) +z = x+ (y +z) (Phép cộng có tính kết hợp).
(2) x+y = y +x (Phép cộng có tính giao hoán).
(3) Tồn tại θ ∈ E, x + θ = x (Phép cộng vectơ có phần tử trung hòa (có thể ký hiệu là 0)).
(4) Tồn tại −x∈ E, x+ (−x) =θ (Phép cộng vectơ có phần tử đối).
(5) λ(x+y) = λx+λy(Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng vectơ).
(6) (λ+ à)x = λx + àx (Phộp nhõn vụ hướng phõn phối với phộp cộng vô hướng).
(7) (λà)x = λ(àx) (Phộp nhõn vụ hướng tương thớch với phộp nhõn trong trường các số vô hướng).
(8) 1.x = x (Phần tử đơn vị của trường Φ có tính chất của phần tử đơn vị với phép nhân vô hướng).
1.1.2 Định nghĩa Cho τ là một họ gồm các tập con nào đó của X Ta nói τ là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn ba tính chất
Khi đó, cặp(X, τ) được gọi là mộtkhông gian tôpô, tập hợp X gọi là không gian, các phần tử của X được gọi là các điểm của không gian.
(i) Giao hữu hạn các phần tử của τ cũng là phần tử của τ.
(ii) Hợp tùy ý các phần tử của τ cũng là phần tử của τ.
(i) Tập mở, tập đóng, lân cận Cho không gian tôpô (X, τ).
(a) Mọi tập thuộc τ được gọi là tập mở, tập có phần bù là tập mở được gọi là tập đóng.
(b) Với mỗi điểm x ∈ X, tập V ⊂ X được gọi là lân cận của x nếu tồn tại tập mở G sao cho x ∈ G ⊂V.
(c) Họ U các lân cận của điểm a được gọi là một cơ sở lân cận của điểm a nếu với mọi lân cận U của điểm a đều tồn tại tập V ∈ U sao cho V ⊂ U
(ii) Điểm trong, điểm ngoài, phần trong và bao đóng Cho không gian tôpô (X, τ), x ∈ X và tập A ⊂ X.
(a) x được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại tập mở G sao cho x ∈ G ⊂ A Ngược lại, x được gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại tập mở G sao cho x ∈ G⊂ X\A.
Phần trong của tập A, ký hiệu là intA hoặc A 0, bao gồm tất cả các điểm nằm trong A Nói cách khác, đây là tập mở lớn nhất có chứa trong A.
(c) Bao đóng của tập A ký hiệu A, là tập đóng bé nhất trong X chứa A.
(iii) Tập hợp trù mật Trong không gian tôpô X, tập con A của X được gọi là trù mật trong X nếu A= X.
Nếu intA= ∅thì A được gọi là tập thưa (hay tập không đâu trù mật). (iv) Tập thuộc phạm trù Cho không gian tôpô X.
• Tập con F ⊂ X được gọi là thuộc phạm trù thứ nhất trong X nếu
F bằng hợp đếm được các tập không đâu trù mật Ký hiệu,
Trong đó, A i là tập không đâu trù mật trong X, i = 1,2,
• Tập con F củaX được gọi là thuộc phạm trù thứ hai trong X nếu
F không thuộc phạm trù thứ nhất.
(i) Hợp tất cả các tập thuộc phạm trù thứ nhất là thuộc phạm trù thứ nhất.
(ii) Bao đóng của tập hợp thuộc phạm trù thứ hai trong X cũng thuộc phạm trù thứ hai trong X.
Không gian vectơ X trên trường Φ (bao gồm trường số thực và trường số phức) được coi là tương thích với cấu trúc đại số khi tôpô τ trên X đảm bảo rằng các phép toán đại số, cụ thể là phép cộng và nhân vô hướng, đều liên tục theo tôpô này.
(a) Với mọi x, y ∈ X, với mọi lân cận W của điểm x+y, tồn tại lân cận
U của x và lân cận V của y sao cho U + V ⊂ W.
(b) Với mọi x ∈ X, với mọi α ∈ Φ, với mọi lân cận W củaαx, tồn tại một lân cận U của điểm x và số r > 0 sao cho βU ⊂ W,với mọi β ∈ Φ mà
Không gian vectơ X trên trường Φ được gọi là không gian vectơ tôpô nếu có một tôpô τ tương thích với cấu trúc đại số của X, đảm bảo rằng mỗi điểm trong X là một tập con đóng.
1.1.6 Định nghĩa Cho ánh xạ f : X → Y x7→ f(x) = y Ánh xạ f được gọi là
(i) Đơn ánh khi và chỉ khi với mọix 1 , x 2 ∈ X, x 1 ̸= x 2 suy raf(x 1 ) ̸= f(x 2 ).
(ii) Toàn ánh khi và chỉ khi với mọi y ∈ Y suy ra tồn tại x ∈ X sao cho y = f(x).
(iii) Song ánh khi và chỉ khi f vừa là toàn ánh, vừa là đơn ánh.
(iv) Liên tục tại x nếu với mọi U là lân cận của f(x), tồn tại lân cận V của x sao cho f(V) ⊂U.
(v) Đồng phôi khi và chỉ khi f(x) vừa song ánh, vừa liên tục và ánh xạ ngược f − 1 (x) cũng liên tục.
1.1.7 Bổ đề.[1] (phần 1.7 trang 8) Giả sử X là không gian vectơ tôpô. Khi đó, với mọi a ∈ X, với mọi α ∈ Φ mà α ̸= 0, ta có
(a) Phép tịnh tiến cho bởi f(x) = x+a, với mọi x ∈ X;
(b) Phép vị tự cho bởi g(x) = αx, với mọi x ∈ X là các phép đồng phôi.
Nhận xét Từ Bổ đề 1.1.7 ta suy ra αA = α.A, a+A = a+A,
(iii) Tập con V của không gian vectơ tôpô X được gọi là đối xứng nếu
1.1.8 Hệ quả Giả sử a ∈ X, α ∈ Φ, α ̸= 0 Khi đó,
(i) Tập A ⊂ X là tập mở khi và chỉ khi a+A mở.
(ii) U là lân cận của 0 ∈ X khi và chỉ khi αU là lân cận của điểm 0.
Ta gọi một cơ sở lân cận B của điểm 0 trong không gian vectơ tôpô X là cơ sở địa phương của X.
1.1.10 Định nghĩa Giả sử (X, τ) là không gian vectơ tôpô, B là một cơ sở của tôpô τ Dãy {x n } ⊂ X được gọi là τ dãy-Cauchy nếu với mỗi tập
V ∈ B tồn tại số tự nhiên n 0 ∈ N ∗ sao cho x n −x m ∈ V, với mọi m, n ≥n 0
(a) Không gian metric là một cặp (X, d) trong đó, X là một tập hợp, d :X ×X → R là một hàm xác định trên X ×X thỏa mãn các điều kiện sau
(i) d(x, y) ≥ 0;d(x, y) = 0 tương đương với x = y (Tiên đề đồng nhất);
(ii) d(x, y) =d(y, x) (Tiên đề đối xứng);
(iii) d(x, z) ≤d(x, y) +d(y, z) (Tiên đề tam giác);
Hàm d được gọi là metric trên X Mỗi phần tử của X được gọi là điểm của không gian X, số d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa hai điểm x và y.
Không gian metric X được gọi làđầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
(b) Cho không gian metric X, x 0 ∈ X, r > 0 Đặt
(i) S(x 0 , r) ={x ∈ X : d(x, x 0 ) < r}được gọi làhình cầu mở tâmx 0 , bán kính r.
(ii) S(x 0 , r) = {x∈ X : d(x, x 0 ) ≤ r} được gọi là hình cầu đóng tâm x 0 , bán kính r.
(i) Metric d ở trên X được gọi là bất biến nếu d(x+z, y +z) =d(x, y), với mọi x, y ∈ X.
(ii) Nếu d là metric bất biến trên không gian vectơ tôpô X, thì d(nx,0)≤ nd(x,0), với mọi x ∈ X, với mọi n ∈ N ∗
1.1.12 Định nghĩa Giả sử A là tập con của không gian vectơ tôpô X. Khi đó,
(i) Tập A được gọi là hút nếu với mọi x ∈ X, tồn tại λ > 0 sao cho x ∈ αA, với mọi α ∈ Φ mà |α| ≥λ.
(ii) Tập A được gọi là cân nếu với mọi x ∈ A, ta có αx ∈ A, với mọi α ∈ Φ mà |α| ≤ 1.
(iii) Tập con A được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ A,với mọi λ ∈ [0,1] ta có λx+ (1−λ)y ∈ A.
(iv) Tập A được gọi là tuyệt đối lồi nếu A vừa lồi vừa cân.
(v) Tập A được gọi là bị chặn nếu với mọi lân cận V của điểm 0 ∈ X, tồn tại số δ > 0 sao cho A ⊂tV, với mọi t > δ.
Giả sử A là tập con của không gian vectơ tôpô X Khi đó,
(a) A tuyệt đối lồi khi và chỉ khi với mọi x, y ∈ X, với mọi α, β ∈ Φ mà
(b) NếuAlà tập tuyệt đối lồi khỏc rỗng, thỡ với mọiλ, à ∈ Φ, mà|λ| ≤ |à|, ta cú λA ⊂ àA.
(c) Nếu A là tập tuyệt đối lồi khác rỗng, thì với mọi λ 1 , λ 2 , , λ n ∈ Φ, n ∈ N ∗ , ta có
(a) Trước tiên ta chứng minh Alà tập hợp lồi Thật vậy, giả sửx, y bất kỳ trong A, λ bất kỳ trong [0,1] Khi đó, 1−λ ∈ [0,1] và λ+ (1−λ) = 1.
Nhờ giả thiết của điều kiện đủ ta suy ra λx+ (1−λ)y ∈ A.
Suy ra tập A là tập hợp lồi.
Tiếp theo ta chứng minh A là tập cân Thật vậy, giả sử x ∈ A, α∈ Φ mà |α| ≤ 1 Lấy y bất kỳ, β = 0 Khi đó, nhờ giả thiết điều kiện đủ ta suy ra αx= αx+βy ∈ A.
Do vậy, A là tập hợp cân.
Từ chứng minh trên ta suy ra A là tập tuyệt đối lồi Hơn nữa,
Giả sử A tuyệt đối lồi, x, y ∈ A, α, β ∈ Φ mà |α|+ |β| ≤ 1 Ta cần chứng minh rằng αx+βy ∈ A Thật vậy,
(+) Nếu α = 0 hoặc β = 0 thì từ tính cân của A ta suy ra αx+βy ∈ A.
(+) Nếu α ̸= 0 và β ̸= 0, thì do A cân nên ta có α
|α|+|β| = 1, A là tập vừa lồi vừa cân nên ta có αx+βy = (|α|+|β|)
(+) Nếu à = 0, thỡ λ = 0 Do vậy, λA = {0}= àA.
≤1 Suy ra với mọi x ∈ A ta có λ àx ∈ A, kộo theo λA ⊂àA, với mọi x ∈ A.
(c) Giả sử A là tập tuyệt đối lồi, A ̸= ∅ Ta chứng minh khẳng định trên bằng quy nạp theo n Với n=2, giả sử λ 1 , λ 2 ∈ Φ Khi đó,
(+) Nếu λ 1 ̸= 0 hoặc λ 2 ̸= 0 Thì do A là tập tuyệt đối lồi nên nhờ
Suy ra λ 1 A+ λ 2 A ⊂ (|λ 1 |+|λ 2 |)A Mặt khác, vì
Giả sử khẳng định trên đúng với n = k Khi đó,
Ta phải chứng minh khẳng định trên đúng với n = k + 1 Thật vậy, ta có k+1∑ i=1 λ i A ∑ k i=1 λ i A+λ k+1 A (∑ k i=1
1.1.14 Định nghĩa Giả sử A là tập con tùy ý của không gian vectơ tôpô X Khi đó,
-Bao lồi của A, ký hiệu convA là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn
-Bao tuyệt đối lồi của A là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn
1.1.15 Định nghĩa (Không gian compact) Cho X là một không gian tôpô Một họ {G α } α ∈ I các tập mở của X được gọi là phủ mở của X nếu ∪ α ∈ I
Không gian X được gọi là compact nếu phủ mở {G α } α ∈ I tồn tại tập con hữu hạn J ⊂ I sao cho {G α } α ∈ J cũng là phủ mở của X.
Tập K ⊂ X được gọi là tập compact khi không gian con K, kết hợp với tôpô cảm sinh trên X, tạo thành một không gian compact Điều này có nghĩa là mọi phủ của K bằng các tập con mở trong không gian con K đều có tồn tại một phủ con hữu hạn.
1.1.16 Định nghĩa Giả sử X là không gian vectơ tôpô trên trường Φ.
(a) X được gọi là không gian lồi địa phương, nếu nó có một cơ sở địa phương B sao cho mọi phần tử của B là các tập hợp lồi.
(b) X được gọi là không gian bị chặn địa phương, nếu nó có một lân cận
U của 0 là tập bị chặn.
(c) X được gọi là không gian compact địa phương, nếu nó có một lân cận U của 0 sao cho U là tập compact.
(d) X được gọi là không gian khả metric, nếu tôpô τ ở trên X được sinh bởi một metric d bất biến nào đó.
(e) X được gọi là F-không gian, nếu tôpô τ ở trên X được sinh bởi một metric d bất biến, đầy đủ nào đó.
(f) X được gọi là không gian Fréchet, nếu X là một F-không gian, lồi địa phương.
(g) X được gọi là có tính chất Heine-Borel ( Hainơ-Boren) nếu với mỗi tập con đóng bị chặn của X là tập compact.
(a) X được gọi là T 1 -không gian nếu với x, y ∈ X và x ̸= y, tồn tại lân cận U của x sao cho y /∈ U.
(b) X được gọi là T 2 -không gian ( hay là không gian Hausdorff) nếu với mọi x, y ∈ X mà x̸= y, tồn tại các lân cận mở U của x và V của y sao cho U ∩V = ∅.
(c) X được gọi là không gian chính quy nếu với mọi x ∈ X, với mọi tập đóng F ⊂ X sao cho x /∈ F, luôn tồn tại các lân cận mở U của x,
(d) X được gọi là T 3 -không gian nếu X là T 1 -không gian và X là không gian chính quy.
1.1.18 Định nghĩa Giả sử (X, τ) là một không gian tôpô, Y ⊂X. Khi đó, họ U = {U ⊂ Y : U = Y ∩V, V ∈ τ} là một tôpô trên Y, tôpô U được gọi là tôpô cảm sinh sinh bởi tôpô τ trên Y
Không gian tôpô (Y,U) được gọi là không gian con của không gian tôpô (X, τ).
1.1.19 Bổ đề Nếu X là T 2 -không gian và là không gian compact địa phương thì X là không gian chính quy. § 1.2 TÍNH TÁCH ĐƯỢC
1.2.1 Bổ đề Giả sử W là một lân cận của 0 trong không gian vectơ tôpô X Khi đó, tồn tại một lân cận đối xứng U của 0 sao cho
Nhờ tính liên tục của phép toán cộng tại điểm (0,0) ∈ X ×X nên với lân cận W của điểm 0 trong X, tồn tại các lân cận V 1 , V 2 của 0 ở trong X sao cho V 1 +V 2 ⊂W Đặt
Khi đó, U là lân cận cần tìm.
Nhận xét.[1] (phần 1.10, trang 9) Áp dụng Bổ đề 1.2.1 khi thay W bởi U ta suy ra, tồn tại một lân cận V của 0 sao cho
V +V +V +V ⊂ W. Bởi vì 0∈ V nên ta cũng suy ra V +V +V ⊂ W.
Giả sử K và C là hai tập con của không gian vectơ tôpô X, trong đó K là tập compact và C là tập đóng với điều kiện K ∩ C = ∅ Khi đó, tồn tại một lân cận V của điểm 0 thỏa mãn điều kiện cần thiết.
- Nếu K = ∅, thì kết luận của Định lý 1.2.2 là hiển nhiên.
Nếu K không rỗng, với bất kỳ điểm x thuộc K, do K và C không giao nhau, suy ra x thuộc X\C Điều này dẫn đến −x + X\C là lân cận của 0 Theo Hệ quả 1.1.8 và Nhận xét trong Bổ đề 1.2.1, ta có thể khẳng định rằng tồn tại lân cận đối xứng Vx của điểm 0 trong X.
V x +V x + V x ⊂ −x+X\C. Cộng hai vế của bao hàm thức trên cho x ta được x+V x +V x +V x ⊂ X\C.
Suy ra (x+V x +V x +V x )∩C = ∅ Do V x đối xứng nên ta có
Họ {V x : x ∈ K} là một phủ mở của K, vì K là tập compact nên tồn tại hữu hạn điểm x 1 , x 2 , , x n ∈ K sao cho
V x i Khi đó, V là lân cận của 0 và
Bởi vì V ⊂ V x i , với mọi i ∈ N ∗ nên ta có
Suy ra (x i +V x i +V x i )∩(C +V x i ) = ∅, với mọi i ∈ N ∗ Kết hợp với (2) ta có
1.2.3 Hệ quả Với các giả thiết của Định lý 1.2.2, tồn tại lân cận V của điểm 0 sao cho
Giả sử ngược lại rằng với mọi lân cận V của 0 ta có
(K + V)∩ (C +V) ̸= ∅. Khi đó, tồn tại điểm x V ∈ (K +V)∩(C +V) Vì C +V là lân cận của điểm x V và x V ∈ (K +V), nên (K +V) + (C +V) ̸= ∅ Điều này mâu thuẫn với Định lý 1.2.2.
1.2.4 Định lý Nếu B là một cơ sở địa phương của không gian vectơ tôpô X, thì với mỗi U ∈ B, tồn tại V ∈ B sao cho V ⊂ U.
Lấy bất kỳ tập mở U ∈ B, khi đó 0∈ U Đặt K = {0}, C = X\U Suy ra K là tập compact, C là tập đóng và K ∩C = ∅ Nhờ Hệ quả 1.2.3 tồn tại lân cận V ∈ B sao cho
Vì C ⊂ C +V nên từ kết quả trên ta có V ∩C = ∅ Do vậy, V ⊂U.
1.2.5 Định lý Giả sử X là một không gian vectơ tôpô Khi đó,
(a) Nếu A⊂ X và B là một cơ sở lân cận bất kỳ của 0 ∈ X thì
(c) Nếu Y là không gian con của X, thì Y là không gian con của X.
Để chứng minh rằng A ⊂ B, ta lấy bất kỳ x ∈ A và V ∈ B Khi đó, x−V trở thành một lân cận của điểm x Vì x ∈ A, nên tồn tại a ∈ (x−V)∩A, kéo theo tồn tại v ∈ V sao cho a = x−v Do đó, x = a+v ∈ A+V.
Tiếp theo ta chứng minh rằng B ⊂ A Thật vậy, lấy bất kỳ x ∈ B và lân cận bất kỳ U của x Khi đó, U −x là lân cận của 0 nên tồn tại
V ∈ B sao cho −V ⊂ U −x, kéo theo x−V ⊂ U Mặt khác, vì x ∈ B nên x ∈ A+ V Suy ra (x−V)∩A ̸= ∅, kéo theo U ∩A ̸= ∅.
Từ chứng minh trên ta suy ra A = ∩
Giả sử x là một điểm thuộc tập A và y là một điểm thuộc tập B, cùng với W là lân cận của điểm x+y Nhờ vào tính liên tục của phép toán cộng, có thể tìm thấy các lân cận U của x và V của y sao cho tổng U và V nằm trong W.
Vì x ∈ A, y ∈ B nên U ∩A ̸= ∅, V ∩B ̸= ∅, nghĩa là tồn tại a ∈ A∩ U, tồn tại b ∈ B ∩V Khi đó, ta có a+b ∈ (A+B)∩W.Vậy, x+ y ∈ A+B Do vậy, A+B ⊂ A+B.
(c) Lấy bất kỳ α, β ∈ Φ Ta cần chứng minh rằng αY + βY ⊂ Y , với mọi α, β ∈ Φ.
Thật vậy, trước hết ta thấy,
∗ Nếu α ̸= 0 hoặc β ̸= 0 thì nhờ Bổ đề 1.1.7 ta có αY = αY và βY = βY.
Mặt khác, vì Y là không gian con của X nên với mọi α, β ∈ Φ ta có αY +βY ⊂ Y, suy ra αY + βY ⊂Y.
Vì thế nhờ khẳng định (b) của Định lý 1.2.5 ta có αY +βY = αY +βY ⊂ αY +βY ⊂ Y.
Vì vậy Y là không gian con của X.
1.2.6 Định lý Giả sử X là không gian vectơ tôpô Khi đó,
(a) Mỗi lân cận của 0∈ X chứa một lân cận cân của 0.
(b) Mỗi lân cận lồi của 0∈ X chứa một lân cận lồi, cân của 0.
(a) Giả sử U là lân cận bất kỳ của 0 ∈ X Vì phép nhân vô hướng, liên tục nên tồn tại lân cận V của 0 và δ >0 sao cho αV ⊂ U, với mọi α ∈ Φ và |α| < δ. Đặt W = ∪
| α | |α| Do Λ(V) là tập cân, nên |β| cũng thuộc Λ(V) và α = α.
Suy ra Λ(V) = Φ, do đó −Λ(x) ∈ Φ dẫn đến Λ(y) = −Λ(x) cho một y ∈ V Từ đó, ta có Λx + Λy = 0, suy ra x + y ∈ N(Λ) Tuy nhiên, x + y cũng thuộc V + x, nên x + y ∈ (x + V) ∩ N(Λ), điều này mâu thuẫn với (*) và chứng minh rằng Λ(V) bị chặn.
Giả sử Λ bị chặn trên lân cận V nào đó của điểm 0 Khi đó, tồn tại
Với ε > 0 và bé tùy ý, chọn U = ε
Tại điểm 0, U là một lân cận của nó, và nhờ tính tuyến tính của Λ, ta có |Λx| < ε với mọi x thuộc U Điều này chứng tỏ rằng Λ liên tục tại điểm 0, và từ Định lý 1.3.3, ta suy ra rằng Λ là một hàm liên tục.
(a) Giả sử f : X → Y là ánh xạ tuyến tính Hạch (hay gọi là hạt nhân) của f là tập hợp
(b) Ảnh của f là tập hợp
1.3.6 Định nghĩa Ánh xạ tuyến tính f :X →Y được gọi là một đẳng cấu tuyến tính của X lên Y nếu Kerf = {0} và Imf = Y