Định lý ánh xạ mở và định lý đồ thị đóng trên không gian vectơ tôpô

MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Chương 1: Các định nghĩa tính chất sơ cấp không gian vectơ tôpô § 1.1 Các khái niệm § 1.2 Tính tách 14 § 1.3 Ánh xạ tuyến tính liên tục 19 § 1.4 Tính bị chặn tính liên tục 23 § 1.5 Khơng gian thương 26 Chương 2: Định lý không gian tôpô 30 § 2.1 Phạm trù Baire định lý Banach-Steinhause 30 § 2.2 Định lý ánh xạ mở 36 § 2.3 Định lý đồ thị đóng 39 Kết luận 41 LỜI NĨI ĐẦU Giải tích môn học trừu tượng xem mơn chun ngành lĩnh vực tốn học môi trường đại học, cao đẳng Với nhiều nội dung, giải tích nghiên cứu nhiều không gian khác như: không gian metric, không gian tơpơ, khơng gian định chuẩn, khơng gian Banach, Tính chất không gian thể rõ định lý giải tích Quan tâm đến vấn đề này, nhờ hướng dẫn nhiệt tình thầy Lương Quốc Tuyển, em xin trình bày định lý giải tích khơng gian vectơ tôpô Do giới hạn thời gian nên khuôn khổ luận văn trình bày hai định lý bản, tên hai định lý tên đề tài khóa luận: "Định lý ánh xạ mở Định lý đồ thị đóng khơng gian vectơ tơpơ" Với mục đích trên, bố cục khóa luận bao gồm chương Chương 1: Các định nghĩa tính chất sơ cấp khơng gian vectơ tơpơ Trong chương này, em xin nhắc lại số khái niệm không gian vectơ tôpô như: không gian vectơ, không gian tôpô, lân cận, không gian vectơ tôpô, thông qua chứng minh nhiều mệnh đề để hiểu tập hút, tập cân, tập lồi, tập tuyệt đối lồi, , từ trình bày số tính chất sơ cấp khơng gian tơpơ là: tính tách được, ánh xạ tuyến tính liên tục, tính bị chặn tính liên tục, cuối khơng gian thương Chương Định lý không gian vectơ tơpơ Bài chương này, em xin trình bày phạm trù Baire, nội dung chứng minh Định lý Banach-Steinhause Phần tiếp theo, em xin trình bày chứng minh Định lý ánh xạ mở Cuối nội dung khóa luận xin trình bày chứng minh Định lý đồ thị đóng Do giới hạn mặt thời gian khn khổ khóa luận nên số nội dung trình bày khóa luận em xin trích dạng bổ đề, khơng chứng minh cụ thể, cuối khóa luận có trình bày số tài liệu tham khảo Sau số ký hiệu viết khóa luận R, C tập hợp số thực, số phức, N∗ tập hợp số tự nhiên khác Ánh xạ π −1 : X → GΛ ánh xạ ngược ánh xạ π : GΛ → X Giả sử A, C tập không gian vectơ tơpơ X Khi đó, phần A ký hiệu A hay intA, C bao đóng C X, X\A phần bù A X Ký hiệu Bổ đề.[1] nghĩa bổ đề tham khảo từ tài liệu [1] danh mục tài liệu tham khảo Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin gửi lời cảm ơn đến thầy Lương Quốc Tuyển, thầy giới thiệu, cung cấp tài liệu tận tình hướng dẫn để em hồn thành khóa luận Đồng thời em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành đến tồn thể thầy giáo Khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng dạy bảo em tận tình suốt bốn năm học em trường Cuối cùng, em xin cảm ơn gia đình tất bạn bè lớp 08CTT2 động viên, giúp đỡ tạo điều kiện để em hồn thành khóa luận q trình học Dù cố gắng thời gian thực khóa luận khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót mặt nội dung cách trình bày Vì vậy, em mong nhận lời bảo q báu q thầy góp ý bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, ngày 20 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Mỹ Hương CHƯƠNG I CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT SƠ CẤP VỀ KHƠNG GIAN VECTƠ TƠPƠ § 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1.1 Định nghĩa Gọi Φ trường số thực trường số phức Một không gian vectơ Φ tập E khác rỗng, có phép cộng E × E → E phép nhân vô hướng Φ × E → E thỏa mãn điều kiện (1) (x + y) + z = x + (y + z) (Phép cộng có tính kết hợp) (2) x + y = y + x (Phép cộng có tính giao hoán) (3) Tồn θ ∈ E, x + θ = x (Phép cộng vectơ có phần tử trung hịa (có thể ký hiệu 0)) (4) Tồn −x ∈ E, x + (−x) = θ (Phép cộng vectơ có phần tử đối) (5) λ(x+y) = λx+λy (Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng vectơ) (6) (λ + µ)x = λx + µx (Phép nhân vơ hướng phân phối với phép cộng vơ hướng) (7) (λµ)x = λ(µx) (Phép nhân vơ hướng tương thích với phép nhân trường số vô hướng) (8) 1.x = x (Phần tử đơn vị trường Φ có tính chất phần tử đơn vị với phép nhân vô hướng) Với x, y, z ∈ E, với λ, µ ∈ Φ 1.1.2 Định nghĩa Cho τ họ gồm tập X Ta nói τ tơpơ X thỏa mãn ba tính chất (i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ (ii) Nếu U, V ∈ τ U ∩ V ∈ τ (iii) Nếu Ui ∈ τ, i ∈ I ∪ Ui ∈ τ i∈I Khi đó, cặp (X, τ ) gọi không gian tôpô, tập hợp X gọi không gian, phần tử X gọi điểm không gian Nhận xét (i) Giao hữu hạn phần tử τ phần tử τ (ii) Hợp tùy ý phần tử τ phần tử τ 1.1.3 Định nghĩa (i) Tập mở, tập đóng, lân cận Cho khơng gian tôpô (X, τ ) (a) Mọi tập thuộc τ gọi tập mở, tập có phần bù tập mở gọi tập đóng (b) Với điểm x ∈ X, tập V ⊂ X gọi lân cận x tồn tập mở G cho x ∈ G ⊂ V (c) Họ U lân cận điểm a gọi sở lân cận điểm a với lân cận U điểm a tồn tập V ∈ U cho V ⊂ U (ii) Điểm trong, điểm ngồi, phần bao đóng Cho không gian tôpô (X, τ ), x ∈ X tập A ⊂ X (a) x gọi điểm A tồn tập mở G cho x ∈ G ⊂ A Ngược lại, x gọi điểm A tồn tập mở G cho x ∈ G ⊂ X\A (b) Phần tập A ký hiệu intA A, tập tất điểm A Nói cách khác, phần A tập mở lớn chứa A (c) Bao đóng tập A ký hiệu A, tập đóng bé X chứa A (iii) Tập hợp trù mật Trong không gian tôpô X, tập A X gọi trù mật X A = X Nếu intA = ∅ A gọi tập thưa (hay tập không đâu trù mật) (iv) Tập thuộc phạm trù Cho khơng gian tơpơ X • Tập F ⊂ X gọi thuộc phạm trù thứ X F hợp đếm tập không đâu trù mật Ký hiệu, ∞ ∪ F = Ai i=1 Trong đó, Ai tập không đâu trù mật X, i = 1, 2, • Tập F X gọi thuộc phạm trù thứ hai X F không thuộc phạm trù thứ Nhận xét (i) Hợp tất tập thuộc phạm trù thứ thuộc phạm trù thứ (ii) Bao đóng tập hợp thuộc phạm trù thứ hai X thuộc phạm trù thứ hai X 1.1.4 Định nghĩa Cho X không gian vectơ trường Φ (Φ trường số thực trường số phức) Ta nói tơpơ τ X tương thích với cấu trúc đại số X phép toán đại số X (cộng nhân vô hướng) liên tục theo tơpơ đó, nghĩa (a) Với x, y ∈ X, với lân cận W điểm x + y, tồn lân cận U x lân cận V y cho U + V ⊂ W (b) Với x ∈ X, với α ∈ Φ, với lân cận W αx, tồn lân cận U điểm x số r > cho βU ⊂ W ,với β ∈ Φ mà |β − α| < r 1.1.5 Định nghĩa Không gian vectơ X trường Φ gọi không gian vectơ tôpô (hay không gian tơpơ tuyến tính) cho tơpơ τ tương thích với cấu trúc đại số X cho điểm X tập đóng 1.1.6 Định nghĩa Cho ánh xạ f : X→Y x → f (x) = y Ánh xạ f gọi (i) Đơn ánh với x1 , x2 ∈ X, x1 ̸= x2 suy f (x1 ) ̸= f (x2 ) (ii) Toàn ánh với y ∈ Y suy tồn x ∈ X cho y = f (x) (iii) Song ánh f vừa toàn ánh, vừa đơn ánh (iv) Liên tục x với U lân cận f (x), tồn lân cận V x cho f (V ) ⊂ U (v) Đồng phôi f (x) vừa song ánh, vừa liên tục ánh xạ ngược f −1 (x) liên tục 1.1.7 Bổ đề.[1] (phần 1.7 trang 8) Giả sử X không gian vectơ tơpơ Khi đó, với a ∈ X, với α ∈ Φ mà α ̸= 0, ta có (a) Phép tịnh tiến cho f (x) = x + a, với x ∈ X; (b) Phép vị tự cho g(x) = αx, với x ∈ X phép đồng phôi Nhận xét Từ Bổ đề 1.1.7 ta suy 0 αA = α.A, a + A = a + A, αA = α A Ở ta hiểu (i) αA = {α.a : a ∈ A} (ii) A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}, với A ⊂ X, B ⊂ X (iii) Tập V không gian vectơ tôpô X gọi đối xứng −x ∈ V, với x ∈ V 1.1.8 Hệ Giả sử a ∈ X, α ∈ Φ, α ̸= Khi đó, (i) Tập A ⊂ X tập mở a + A mở (ii) U lân cận ∈ X αU lân cận điểm 1.1.9 Định nghĩa Ta gọi sở lân cận B điểm không gian vectơ tôpô X sở địa phương X 1.1.10 Định nghĩa Giả sử (X, τ ) không gian vectơ tôpô, B sở tôpô τ Dãy {xn } ⊂ X gọi τ dãy-Cauchy với tập V ∈ B tồn số tự nhiên n0 ∈ N∗ cho xn − xm ∈ V, với m, n ≥ n0 1.1.11 Định nghĩa (a) Không gian metric cặp (X, d) đó, X tập hợp, d : X × X → R hàm xác định X × X thỏa mãn điều kiện sau (i) d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = tương đương với x = y (Tiên đề đồng nhất); (ii) d(x, y) = d(y, x) (Tiên đề đối xứng); (iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (Tiên đề tam giác); Với x, y, z ∈ X Hàm d gọi metric X Mỗi phần tử X gọi điểm không gian X, số d(x, y) gọi khoảng cách hai điểm x y Không gian metric X gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ (b) Cho không gian metric X, x0 ∈ X, r > Đặt (i) S (x0 , r) = {x ∈ X : d (x, x0 ) < r} gọi hình cầu mở tâm x0 , bán kính r (ii) S (x0 , r) = {x ∈ X : d (x, x0 ) ≤ r} gọi hình cầu đóng tâm x0 , bán kính r Lưu ý.[1] (phần 1.28 trang 21) (i) Metric d X gọi bất biến d(x + z, y + z) = d(x, y), với x, y ∈ X (ii) Nếu d metric bất biến không gian vectơ tôpô X, d(nx, 0) ≤ nd(x, 0), với x ∈ X, với n ∈ N∗ 1.1.12 Định nghĩa Giả sử A tập không gian vectơ tôpô X Khi đó, (i) Tập A gọi hút với x ∈ X, tồn λ > cho x ∈ αA, với α ∈ Φ mà |α| ≥ λ (ii) Tập A gọi cân với x ∈ A, ta có αx ∈ A, với α ∈ Φ mà |α| ≤ (iii) Tập A gọi lồi với x, y ∈ A, với λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ)y ∈ A (iv) Tập A gọi tuyệt đối lồi A vừa lồi vừa cân (v) Tập A gọi bị chặn với lân cận V điểm ∈ X, tồn số δ > cho A ⊂ tV , với t > δ 1.1.13 Mệnh đề Giả sử A tập khơng gian vectơ tơpơ X Khi đó, (a) A tuyệt đối lồi với x, y ∈ X, với α, β ∈ Φ mà |α| + |β| ≤ 1, ta có αx + βy ∈ A (b) Nếu A tập tuyệt đối lồi khác rỗng, với λ, µ ∈ Φ, mà |λ| ≤ |µ|, ta có λA ⊂ µA (c) Nếu A tập tuyệt đối lồi khác rỗng, với λ1 , λ2 , , λn ∈ Φ, n ∈ N∗ , ta có n ∑ λi A = i=1 (∑ n ) |λi | A i=1 Chứng minh (a) Trước tiên ta chứng minh A tập hợp lồi Thật vậy, giả sử x, y A, λ [0, 1] Khi đó, − λ ∈ [0, 1] λ + (1 − λ) = Nhờ giả thiết điều kiện đủ ta suy λx + (1 − λ)y ∈ A Suy tập A tập hợp lồi Tiếp theo ta chứng minh A tập cân Thật vậy, giả sử x ∈ A, α ∈ Φ mà |α| ≤ Lấy y bất kỳ, β = Khi đó, nhờ giả thiết điều kiện đủ ta suy αx = αx + βy ∈ A Do vậy, A tập hợp cân Từ chứng minh ta suy A tập tuyệt đối lồi Hơn nữa, Giả sử A tuyệt đối lồi, x, y ∈ A, α, β ∈ Φ mà |α| + |β| ≤ Ta cần chứng minh αx + βy ∈ A Thật vậy, (+) Nếu α = β = từ tính cân A ta suy αx + βy ∈ A (+) Nếu α ̸= β ̸= 0, A cân nên ta có α β x ∈ A, y ∈ A |α| |β| |α| |β| Vì + = 1, A tập vừa lồi vừa cân nên ta có |α| + |β| |α| + |β| [ ] |α| α |β| β αx + βy = (|α| + |β|) x+ y ∈ A |α| + |β| |α| |α| + |β| |β| (b) Giả sử λ, µ ∈ Φ, |λ| ≤ |µ| Khi đó, (+) Nếu µ = 0, λ = Do vậy, λA = {0} = µA 10 cận ∈ X Do đó, tồn V ∈ B để V ∈ π −1 (W ), kéo theo π(V ) ⊂ W Vì π ánh xạ mở nên π(V ) tập mở Vì vậy, π(B) = {π(V ) : V ∈ B} sở địa phương X/N (c) • Vì π ánh xạ tuyến tính mở nên nhờ khẳng định (b) Mệnh đề 1.3.2 ta suy X khơng gian lồi địa phương X/N khơng gian lồi địa phương • Nhờ Định lý 1.4.4 π ánh xạ mở ta suy X khơng gian bị chặn địa phương X/N khơng gian bị chặn địa phương • Giả sử X khơng gian khả metric Khi đó, tồn sở địa phương đếm B = {Vn , n ∈ N} Nhờ (b) suy π(B) = {π(Vn )} sở địa phương đếm X/N Vì vậy, X/N khơng gian khả metric (d) Giả sử X F-không gian, với metric d bất biến, đầy đủ, tương thích với tôpô τ X Ta đặt f [π(x), π(y)] = inf{d(x − y, f ) : f ∈ N }, với x, y ∈ X Có thể kiểm tra f metric bất biến X/N Vì π({x ∈ X : d(x, 0) < r}) = {u ∈ X/N : f(u, 0) < r} nên nhờ khẳng định (b) ta suy metric f tương thích với tơpơ τN Vấn đề cịn lại ta phải chứng minh rằng, d metric đầy đủ X f metric đầy đủ X/N Thật vậy, giả sử {Un }∞ n=1 dãy Cauchy không gian thương X/N với metric f Khi đó, tồn dãy {Uni } ⊂ {Un } cho f[Uni , Uni+1 ] < 2−i , với i ≥ Bằng quy nạp ta chọn dãy {xi } ⊂ X cho π(xi ) = Uni d(xi , xi+1 ) < 2−i , với i ≥ Khi đó, {xi } dãy Cauchy X theo metric d Vì (X, d) khơng gian metric đầy đủ nên xi → x ∈ X Do ánh xạ thương π liên tục ta suy π(xi ) → π(x) hay Uni → π(x) ∈ X/N {Un } dãy 28 Cauchy, {Uni } dãy {Un }, Uni → π (x) nên Un → π (x) ∈ X Suy (X/N , f ) đầy đủ 29 CHƯƠNG II ĐỊNH LÝ CƠ BẢN TRÊN KHÔNG GIAN VECTƠ TƠPƠ § 2.1 PHẠM TRÙ BAIRE VÀ ĐỊNH LÝ BANACH-STEINHAUSE 2.1.1 Mệnh đề Giả sử X không gian vectơ tơpơ Khi (a) Nếu A ⊂ B B thuộc phạm trù thứ X A thuộc phạm trù thứ X (b) Hợp họ đếm tập thuộc phạm trù thứ X tập thuộc phạm trù thứ X (c) Nếu E tập đóng X intE = ∅ E thuộc phạm trù thứ X (d) Nếu h : X → X phép đồng phơi với tập E X, tập E h(E) thuộc phạm trù X 2.1.2 Định lý (Baire) Nếu X không gian metric đầy đủ X khơng gian Hausdorff compact địa phương, giao họ đếm tập mở trù mật khắp nơi X tập trù mật khắp nơi X Chứng minh Giả sử V1 , V2 tập mở trù mật khắp nơi X Để chứng ∞ ∩ minh Vi trù mật X, ta chứng minh B0 tập mở i=1 không rỗng X, ta có B0 ∞ ∩ ∩ ( Vi ) ̸= ∅ Thật vậy, giả sử i=1 B0 tập mở không rỗng X, quy nạp ta chọn dãy tập mở không rỗng {Bn : n ≥ 0} cho Bn ⊂ Vn ∩ Bn−1 , với n ≥ 30 Thật vậy, giả sử với n ≥ 1, tập mở không rỗng Bn−1 chọn Khi đó, Vn trù mật khắp nơi X nên Vn ∩ Bn−1 ̸= ∅ Hơn Vn ∩ Bn−1 tập mở - Nếu X không gian metric đầy đủ ta chọn hình cầu mở Bn = B(xn , rn ) X với rn < n cho Bn ⊂ Vn ∩ Bn−1 - Nếu X T2 -không gian compact địa phương, theo Bổ đề 1.1.20, với T2 -không gian compact địa phương không gian quy, Vn ∩ Bn−1 mở, khác rỗng nên ta chọn tập mở khác rỗng Bn cho Bn tập compact Bn ⊂ Vn ∩ Bn−1 ∞ ∩ Đặt K = Bn Khi đó, K tập đóng X Hơn K ̸= ∅ n=1 vì, (+) Nếu X khơng gian metric đầy đủ, từ cách chọn dãy hình cầu mở Bn = {B(xn , rn )} ta suy dãy {Bn } dãy hình cầu đóng thắt nên K ̸= ∅ (+) Nếu X T2 -khơng gian compact địa phương, B1 tập compact dãy {Bn } dãy có tâm tập đóng B1 nên suy K ̸= ∅ ∞ ∩ Theo cách xây dựng ta có K ⊂ B0 , K ⊂ Vn , K ̸= ∅ Do ta có n=1 (∞ ) ∩ ∩ B0 Vn ̸= ∅ n=1 2.1.3 Định nghĩa Giả sử X, Y không gian vectơ tôpô, Γ họ ánh xạ tuyến tính từ X vào Y Họ Γ gọi đồng liên tục X với lân cận W điểm Y , tồn lân cận V điểm X cho Λ (V ) ⊂ W, với Λ ∈ Γ 2.1.4 Định lý Giả sử X Y không gian vectơ tôpô, Γ họ đồng liên tục ánh xạ tuyến tính từ X vào Y E tập bị chặn X Khi đó, Y tồn tập bị chặn F cho Λ (E) ⊂ F, với Λ ∈ Γ 31 Chứng minh ∪ Đặt F = Λ (E), ta cần chứng minh F tập bị chặn Y Λ∈Γ Thật vậy, giả sử W lân cận Y , họ Γ đồng liên tục nên tồn lân cận V X cho Λ (V ) ⊂ W, với Λ ∈ Γ Vì E tập bị chặn X nên với lân cận V đó, tồn s > cho E ⊂ tV, với t > s Từ ta suy Λ (E) ⊂ Λ (tV ) Vậy, Λ (E) ⊂ Λ (tV ) = tΛ (V ) ⊂ tW, với t > s, với Λ ∈ Γ Suy ra, F ⊂ tW, với t > s Bởi thế, F bị chặn 2.1.5 Định lý (Banach- Steinhause) Giả sử X Y không gian vectơ tôpô, Γ họ ánh xạ tuyến tính, liên tục từ X vào Y B tập tất x ∈ X cho quỹ đạo Γ (x) = {Λx : Λ ∈ Γ} x tập bị chặn Y Khi đó, B tập thuộc phạm trù thứ hai X B = X Γ họ đồng liên tục Chứng minh Trước hết ta chứng minh họ Γ đồng liên tục Giả sử W lân cận điểm Y Gọi U lân cận cân điểm Y ∩ −1 cho U + U ⊂ W Đặt E = Λ (U ) Nhận xét rằng, x ∈ B, Λ∈Γ Γ(x) bị chặn Y Do với n đủ lớn, ta có Γ (x) ⊂ nU , suy Λx ∈ nU nên x ∈ nΛ−1 (U ), ∀Λ ∈ Γ hay x ∈ nE Điều kéo theo ∞ ∪ B⊂ nE Vì B thuộc phạm trù thứ hai X nên theo Mệnh n=1 đề 2.1.1, tồn n0 cho n0 E thuộc phạm trù thứ hai X (vì hợp đếm tất tập thuộc phạm trù thứ phạm trù thứ nhất) Theo Bổ đề 1.1.7 ta có E thuộc phạm trù thứ hai X Từ giả thiết Λ ∈ Γ liên tục cách đặt E ta có E tập đóng X Suy intE ̸= ∅ Giả sử x ∈ intE Khi đó, tồn lân cận V điểm X cho V ⊂ x − E (lân cận 0) Từ ta có Λ (V ) ⊂ Λx − Λ (E) ⊂ U − U ⊂ W, ∀Λ ∈ Γ Vậy họ Γ họ đồng liên tục Vì họ Γ đồng liên tục nên theo Định lý 2.1.4, họ Γ bị chặn Đặc 32 biệt, với x ∈ X tập Γ(x) bị chặn Y (x bị chặn suy Λx bị ∪ chặn nên Γ (x) = Λx bị chặn) Kéo theo x ∈ B Vậy X = B Λ∈Γ 2.1.6 Bổ đề.[1](phần 2.6 trang 54) Nếu Γ họ ánh xạ tuyến tính, liên tục F-khơng gian X vào khơng gian vectơ tôpô Y với x ∈ X tập Γ (x) = {Λx : Λ ∈ Γ} bị chặn Y Γ họ đồng liên tục 2.1.7 Định lý Giả sử X Y không gian vectơ tôpô, {Λn } dãy ánh xạ tuyến tính, liên tục từ X vào Y (a) Giả sử C tập hợp tất x ∈ X cho {Λn x} dãy Cauchy Y Nếu C thuộc phạm trù thứ hai X, C = X (b) Giả sử L tập tất x ∈ X cho tồn lim (Λn x) ∈ Y Nếu n→∞ L thuộc phạm trù thứ hai X Y F-khơng gian L = X ánh xạ Λ: X → Y cho x → Λx = lim (Λn x) ánh xạ tuyến n→∞ tính , liên tục Chứng minh (a) Giả sử C tập tất x ∈ X cho {Λn x} dãy Cauchy Y Theo Mệnh đề 1.4.1 ta có tập {Λn x, n ≥ 1} tập bị chặn Y Nếu C tập thuộc phạm trù hai X, theo Định lý 2.1.5 dãy {Λn } đồng liên tục Ta nhận xét C không gian X Hơn nữa, C trù mật X Thật vậy, C không gian X nên C không gian X (theo Định lý 1.2.5) Mặt khác, C thuộc phạm trù hai X nên C thuộc phạm trù hai X (Nhận xét Định nghĩa 1.1.3) Do tồn tập mở U ̸= ∅ cho U ⊂ C Giả sử x ∈ U Khi đó, tập V = x − U lân cận X Vì V hút nên với y ∈ X tồn s > cho y ∈ λV, với λ ∈ Φ mà |λ| ≥ s Do C không gian V ⊂ C nên y ∈ λV ⊂ C Vậy X = C hay C trù mật X Bây ta chứng minh X = C Lấy x ∈ X W 33 lân cận Y Gọi W1 lân cận Y cho W1 + W1 + W1 ⊂ W Do dãy {Λn } đồng liên tục nên tồn lân cận V X cho Λn (V ) ⊂ W1 , với n ≥ Vì C trù mật khắp nơi X nên tồn x′ ∈ C ∩ (x + V ) Theo giả thiết, {Λ_nx′ } dãy Cauchy Do đó, với m, n đủ lớn ta có Λn x′ − Λm x′ ∈ W1 Suy Λn x − Λm x = Λn (x − x′ ) + (Λn − Λm )x′ + Λm (x′ − x) ∈ W1 + W1 + W ⊂ W dãy Cauchy Suy x ∈ C Vậy X = C Do {Λn x} (b) Từ tính đầy đủ Y ta suy L = C Do theo khẳng định (a) L (tức C) thuộc phạm trù hai X L = C = X Vấn đề lại ta chứng minh ánh xạ Λ : X → Y cho x → Λx = lim An x ánh xạ tuyến tính, liên tục n→∞ (+) Dễ dàng chứng minh Λ ánh xạ tuyến tính (+) Giả sử W lân cận điểm Y W1 lân cận Y cho W1 ⊂ W Nhờ chứng minh khẳng định (a) ta có {Λn } đồng liên tục Do đó, tồn lân cận V X cho Λn (V ) ⊂ W1 , với n ≥ Từ suy Λn (V ) ⊂ W1 ⊂ W Vậy Λ liên tục 2.1.8 Định lý Giả sử X, Y không gian vectơ tôpô, K tập lồi, compact X Γ họ ánh xạ tuyến tính, liên tục từ X vào Y cho với x ∈ K quỹ đạo Γ(x) = {Λx :Λ ∈ Γ} tập bị chặn Y Khi tồn tập hợp bị chặn B Y cho Λ(K) ⊂ B, với Λ ∈ Γ Chứng minh Ký hiệu B = ∪ Γ(x) Ta chứng minh B tập bị chặn Y x∈K Giả sử W lân cận Y U lân cận cân ∈ Y cho U + U ⊂ W (Theo Bổ đề 1.2.1) Ta đặt 34 E= ∩ Λ−1 (U ) (1) Λ∈Γ Vì Γ(x) tập bị chặn với x ∈ K nên x ∈ K tồn n ∈ N∗ cho Γ (x) ⊂ nU Suy ta có x ∈ nE Vì ta có ∞ ∪ K= (K ∩ nE) (2) n=1 Từ (2) K tập compact, E tập đóng nên sử dụng Hệ Định lý Baire phạm trù ta suy tồn n0 ∈ N∗ cho int(K ∩ n0 E) ̸= ∅ (phần trong K) Giả sử x0 ∈ int(K ∩ n0 E) V lân cận cân X cho K ∩ (x0 + V ) ⊂ K ∩ n0 E ⊂ n0 E (3) Vì K tập compact nên K − x0 tập compact Do lân cận V hút điểm tập K − x0 nên tồn p > cho K ⊂ x0 + pV (4) ∪ ( y ∈ K − x0 suy tồn λy ∈ Φ : y ∈ λy V suy K − x0 ⊂ kéo theo tồn phủ hữu hạn K − x0 ⊂ m ∪ λy V y∈K−x0 λyi V , với m ∈ N∗ ) i=1 Bây giả sử x thuộc K Đặt z = (1 − p−1 )x0 + p−1 (x) (5) Vì K lồi, x ∈ K, x0 ∈ K suy z ∈ K Nhờ (4) ta có z − x0 = p−1 (x − x0 ) ∈ V Suy z ∈ x0 + V Lại z ∈ K, z ∈ x0 + V , nên nhờ (3) ta có z ∈ n0 E Từ cách đặt E ta có Λ (n0 E) ⊂ n0 U , với Λ ∈ Γ Do đó, x = pz − (p − 1)x0 nên ta thu Λx ∈ pn0 U − (p − 1)n0 U ⊂ pn0 (U + U ) ⊂ pn0 W, ∀Λ ∈ Γ Từ cách đặt B ta suy B ⊂ pn0 W Vậy B tập bị chặn Y 35 § 2.2 ĐỊNH LÝ ÁNH XẠ MỞ 2.2.1 Định nghĩa Giả sử f : X → Y ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y Ta nói ánh xạ f mở điểm P ∈ X với lân cận V điểm P X, tập f (V ) lân cận điểm f (P ) Y Nhận xét (1) Ánh xạ f : X → Y mở f mở giá trị P thuộc X (2) Ánh xạ tuyến tính Λ : X → Y từ không gian vectơ tôpô X vào không gian vectơ tôpô Y mở Λ mở điểm X 2.2.2 Định lý ánh xạ mở Giả sử (a) X F -không gian (b) Y không gian vectơ tôpô (c) Λ : X → Y ánh xạ tuyến tính, liên tục (d) Λ(X) thuộc phạm trù thứ hai Y Khi đó, (i) Λ(X) = Y (ii) Λ ánh xạ mở (iii) Y F-không gian Chứng minh Trước hết ta chứng minh (ii) đúng, (i) Thật vậy, giả sử Λ ánh xạ mở Khi đó, Λ(X) tập mở Y Do ta có ∞ ∪ Y = nΛ(X) n=1 (Do Λ(X) lân cận nên hút với điểm.) 36 Vì Λ(X) khơng gian Y , nên nΛ(X) = Λ(X) Suy Y = Λ(X) Bây ta chứng minh khẳng định (ii) Muốn vậy, ta chứng minh Λ mở điểm ∈ X Giả sử V lân cận mở ∈ X, ta chứng minh Λ(V ) chứa lân cận điểm ∈ Y Giả sử d metric bất biến X cho d tương thích với tơpơ cho X Với n=0, 1, 2, ta đặt Vn = {x ∈ X : d(x, 0) 1, nên ta có n ∑ {d(xn , 0) < 2−n r, với n > 1} Do dãy { xi }∞ n=1 dãy Cauchy i=1 ( (n ) ) m ( −n−1 ) ∑ ∑ X d xi , xi ≤ + + 2−n−m r i=1 i=1 n ∑ Vì X đầy đủ nên dãy xi → x ∈ X Lúc ta có d(x, 0) < r i=1 Vì x ∈ V0 ⊂ V Do yn+1 ∈ Λ(Vn+1 ) nên từ tính liên tục Λ ta suy yn+1 → 0,(khi n ) → ∞ Lại nhờ tính liên tục Λ đẳng thức n n n ∑ ∑ ∑ Λ xi = Λxi = (yi − yi+1 ) = yn − yn+1 (7) i=1 i=1 i=1 Ta suy Λx = y1 ∈ Λ (V ) Vậy (ii) Vấn đề lại ta phải chứng minh (iii) Ký hiệu N = KerΛ Vì X F-khơng gian Λ liên tục, nên theo Định lý 1.5.2, không gian thương (X/N , f ) F-không gian Để chứng minh Y F-không gian ta chứng minh tồn phép đẳng cấu đồng phôi f : X/N , f ) lên Y Muốn ta đặt f(x + N ) = Λx, với x ∈ X Dễ dàng chứng minh f đẳng cấu từ X/N lên Y Λ (x) = f [π (x)] , với ∀x ∈ X đó, π ánh xạ thương từ π : X → X/N Nếu V tập mở Y , Λ liên tục π ánh xạ mở nên [ ] f −1 (V ) = π Λ−1 (V ) tập mở X/N , f ) Suy f liên tục Nếu U tập mở X/N Λ ánh xạ mở (theo (ii)) π [ ] liên tục nên ta có f (U ) = Λ π −1 (U ) mở Y Vì X/N F-khơng gian, f đẳng cấu đồng phôi nên Y F-không gian 2.2.3 Hệ quả.[1](phần 2.12 trang 49) (a) Nếu Λ : X → Y ánh xạ tuyến tính liên tục F-khơng gian X lên F-khơng gian Y Λ ánh xạ mở (b) Nếu Λ : X → Y thỏa mãn điều kiện khẳng định (a), Λ song ánh, ánh xạ ngược Λ−1 : Y → X ánh xạ tuyến tính, liên tục 38 § 2.3 ĐỊNH LÝ ĐỒ THỊ ĐÓNG 2.3.1 Định nghĩa Giả sử f ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y Tập hợp ký hiệu Gf = {(x, f (x)) : x ∈ X} gọi đồ thị ánh xạ f Lưu ý Nếu X, Y khơng gian vectơ tơpơ, X × Y khơng gian vectơ tơpơ với tơpơ tích 2.3.2 Mệnh đề Giả sử X không gian vectơ tôpô, Y không gian Hausdorff Nếu f : X → Y ánh xạ liên tục đồ thị Gf f tập đóng khơng gian tích X × Y Chứng minh Xét tập hợp Ω = X × Y \Gf Lấy điểm (x0 , y0 ) ∈ Ω Ta chứng minh Ω lân cận (x0 , y0 ) Khi đó, ta có y0 ̸= f (x0 ) Vì Y T2 -không gian nên tồn lân cận V y0 W f (x0 ) cho V ∩ W = ∅ Vì f liên tục x0 nên tồn lân cận U x0 cho f (U ) ⊂ W Khi đó, ta có U × V lân cận điểm (x0 , y0 ) khơng gian X × Y thỏa mãn (x0 , y0 ) ∈ U × V ⊂ Ω Vậy Ω tập mở X × Y Suy Gf đóng X × Y 2.3.3 Định lý(Đồ thị đóng) Giả thiết rằng, (a) X, Y F-không gian (b) Λ : X → Y ánh xạ tuyến tính (c) Đồ thị GΛ = {(x, Λx) : x ∈ X} tập đóng X × Y Khi Λ ánh xạ liên tục Chứng minh 39 Trước hết ta chứng minh khơng gian tích X × Y F- không gian Dễ thấy X × Y khơng gian vectơ với phép toán cho (a) (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ), với (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ X × Y (b) λ (x, y) = (λx, λy), với λ ∈ Φ, với (x, y) ∈ X × Y Giả sử dX , dY metric bất biến đầy đủ F-không gian X Y tương ứng Ta xác định hàm d : (X × Y ) × (X × Y ) → R cho d ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = dX (x1 , y1 ) + dY (x2 , y2 ), với (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ X × Y Dễ dàng kiểm tra d metric X × Y Từ tính bất biến dX , dY ta suy d bất biến (+) Từ bao hàm thức (1) {(x, y) : d ((x, y) , (0, 0)) < r} ⊂ {x ∈ X : dX (x, 0) < r} × {y ∈ X : dY (y, 0) < r} r} { r} (2) x ∈ X : dX (x, 0) < × y ∈ X : dY (y, 0) < 2 Ta suy tôpô ⊂ {(x, y) : d ((x, y) , (0, 0)) < r} tích trùng với tơpơ sinh metric d X × Y { (+) Từ cách đặt d giả thiết dX , dY metric đầy đủ ta suy d metric đầy đủ Vậy (X × Y, d) F-khơng gian Vì Λ ánh xạ tuyến tính, nên đồ thị GΛ khơng gian X × Y Nhờ giả thiết GΛ đóng X × Y X × Y F-khơng gian nên GΛ F-không gian với metric cảm sinh metric d lên GΛ Ta xác định ánh xạ π1 : GΛ → X π2 : X × Y → Y cho π1 (x, Λx) = x, với x ∈ X; π2 (x, y) = y, với (x, y) ∈ X × Y Khi π1 song ánh tuyến tính từ F-khơng gian GΛ lên F-khơng gian X Do theo Hệ 2.2.3 (b) ta suy ra, ánh xạ π1 −1 : X → GΛ liên tục Mặt khác, π2 phép chiếu nên π2 liên tục, từ ta suy Λ = π2 ◦ π1 −1 ánh xạ liên tục 40 KẾT LUẬN Sau cố gắng để hồn thành, khóa luận giải vấn đề sau: Trình bày nội dung chứng minh chi tiết Định lý Baire Định lý Banach-Steinhause phần 2.2.1 Trình bày chứng minh Định lý ánh xạ mở phần 2.2.2 Trình bày chứng minh Định lý đồ thị đóng phần 2.2.3 41 Tài liệu tham khảo [1] W.Rudin, Functional Analisis, 1991 [2] Trần Quan Kỳ, Không gian vectơ tôpô, Đại học Huế [3] PGS.TS Trần Văn Ân, Lý thuyết tơpơ, chun đề cao học tốn, ĐH Vinh [4] TS Nông Quốc Chinh, Tôpô đại cương, nhà xuất Đại học Sư Phạm [5] TS Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, nhà xuất giáo dục [6] PGS.PTS Đỗ Văn Lưu, Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội, 1999 [7] Nguyễn Xuân Liêm, Topo đại cương-độ đo tích phân, nhà xuất giáo dục, 1994 42 ... (1) Ánh xạ f : X → Y mở f mở giá trị P thuộc X (2) Ánh xạ tuyến tính Λ : X → Y từ khơng gian vectơ tôpô X vào không gian vectơ tôpô Y mở Λ mở điểm X 2.2.2 Định lý ánh xạ mở Giả sử (a) X F -không. .. bày định lý giải tích khơng gian vectơ tơpơ Do giới hạn thời gian nên khn khổ luận văn trình bày hai định lý bản, tên hai định lý tên đề tài khóa luận: "Định lý ánh xạ mở Định lý đồ thị đóng. .. pn0 W Vậy B tập bị chặn Y 35 § 2.2 ĐỊNH LÝ ÁNH XẠ MỞ 2.2.1 Định nghĩa Giả sử f : X → Y ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tơpơ Y Ta nói ánh xạ f mở điểm P ∈ X với lân cận V điểm P X,