Một số định lý điểm bất động trên không gian s metric đầy đủ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN ———————– * ———————— Đề tài khóa luận tốt nghiệp MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRÊN KHÔNG GIAN S-METRIC ĐẦY ĐỦ Sinh viên thực : Phan Thị Hồng Thắm Lớp: 12CTUD Giáo viên hướng dẫn : TS Lương Quốc Tuyển ĐÀ NẴNG Ngày tháng năm 2016 LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong Giải Tích, việc nghiên cứu khơng gian metric định lý điểm bất động ánh xạ co không gian metric đầy đủ thu hút nhiều nhà toán học giới Một số kết chứng minh tồn điểm bất động xuất từ đầu TK XX Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922), Nguyên lý ánh xạ co Banach xem định lý sử dụng rộng rãi Vì vậy, nhiều nhà tốn học tìm cách mở rộng Nguyên lý ánh xạ co Banach lớp ánh xạ không gian khác nhau.Trong trình nghiên cứu số nhà tốn học mở rộng Nguyên lý ánh xạ co Banach sang số không gian metric suy rộng Gần đây, S Sedghi, N Shobe A Aliouche giới thiệu khái niệm metric suy rộng S-metric Đồng thời, tác giả mở rộng nguyên lí ánh xạ co Banach không gian metric đầy đủ sang không gian S-metric đầy đủ Để tìm hiểu rõ khơng gian S-metric đầy đủ tồn điểm bất động cho số lớp ánh xạ co không gian suy rộng này, tơi chọn đề tài khóa luận Một số định lý điểm bất động không gian S-metric đầy đủ Mục đích nghiên cứu Trình bày số kiến thức khơng gian metric Tìm hiểu số định nghĩa, tính chất số định lý điểm bất động không gian S-metric Đối tượng nghiên cứu Không gian metric không gian S-metric Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu liên quan đến không gian S-metric Phương pháp nghiên cứu KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Khoa Tốn - ĐHSP Sử dụng phương pháp nghiên cứu lí thuyết q trình nghiên cứu đề tài thực theo quy trình sau: (1) Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức (2) Thu thập tài liệu có liên quan đến không gian S-metric (3) Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài (4) Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng tài liệu cho quan tâm nghiên cứu số định lý điểm bất động không gian S-metric Cấu trúc đề tài • Chương I: Chương nêu lại số khái niệm tính chất khơng gian metric để làm tảng nghiên cứu chương sau • Chương II : Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất khơng gian S-metric nhằm phục vụ cho việc chứng minh chương • Chương III: Trong chương chúng tơi trình bày số định lý điểm bất động không gian S-metric đầy đủ lớp ánh xạ co số hệ với ví dụ có liên quan Bài khóa luận thực tài trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng hướng dẫn chu đáo tận tình thầy giáo T.S Lương Quốc Tuyển Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Khoa Tốn nhiệt tình giảng dạy suốt trình học tập vừa qua Mặc dù có nhiều cố gắng kiến thức cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong đóng góp q thầy để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn ! SVTH: Phan Thị Hồng Thắm ii Mục lục Lời giới thiệu i Chương KHÔNG GIAN METRIC 1.1 KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN METRIC 1.2 DÃY HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN METRIC 1.3 LÂN CẬN 1.4 TẬP HỢP MỞ 1.5 TẬP HỢP ĐÓNG 1.6 KHÔNG GIAN METRIC ĐẦY ĐỦ 1.7 ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN METRIC 8 1.8 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA BANACH 10 Chương KHÔNG GIAN S-METRIC 2.1 KHÔNG GIAN S-METRIC 2.2 TOPO SINH BỞI S-METRIC 2.3 SỰ HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN S-METRIC 13 13 14 16 Chương ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN S-METRIC 21 3.1 ÁNH XẠ LIÊN TỤC VÀ ÁNH XẠ CO 21 3.2 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO TRÊN KHÔNG GIAN S-METRIC ĐẦY ĐỦ 22 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 Chương KHÔNG GIAN METRIC 1.1 KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN METRIC Định nghĩa 1.1 Giả sử X tập hợp khác rỗng d : X × X → R hàm thỏa mãn tiên đề sau: (1) d(x, y) ≥ với x, y ∈ X; d(x, y) = x = y (2) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X; (3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với x, y, z ∈ X Khi đó: (a) d gọi metric xác định X; (b) Cặp (X, d) gọi không gian metric Ký hiệu (X, d) Ví dụ 1.1 Với x = (x1 , x2 , , xn ); y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ R ,ta đặt: n (1) d(x, y) = |xi − yi |2 ; i=1 n |xi − yi |; (2) d1 (x, y) = i=1 (3) d2 (x, y) = max |xi − yi | i=1,n Khi đó, ta kiểm tra d, d1 , d2 metric xác định Rn Chứng minh (1) d metric: Với x = (x1 , x2 , , xn ); y = (y1 , y2 , , yn ); z = (z1 , z2 , , zn ) Ta có: i) n |xi − yi |2 ≥ d(x, y) = i=1 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Khoa Tốn - ĐHSP n n d(x, y) = ⇔ |xi − yi |2 = |xi − yi | = ⇔ i=1 i=1 ⇔ xi − yi = 0, ∀i = 1, n ⇔ xi = yi , ∀i = 1, n ⇔ x = y ii) n n |yi − xi |2 = d(y, x) |xi − yi | = d(x, y) = i=1 i=1 iii) n n |xi − zi | ⇒ d(x, z) = d(x, z) = i=1 n ⇔ d(x, z) ≤ i=1 2 |xi − yi | ≤ n |xi − yi | + 2 |yi − zi | n i=1 i=1 2 n |xi − yi |2 + = |yi − zi |2 |xi − yi | i=1 n n +2 i=1  |xi − yi | |yi − zi | i=1 2 n + i=1 |yi − zi | +2 i=1 2  n i=1 n 2 (|xi − yi | + |yi − zi |)2 |xi − zi | ≤ i=1  n 2 |yi − zi |2  = [d(x, y) + d(y, x)]2 i=1 Suy d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, x) Như vậy, d không gian metric Rn (2) d1 metric: Với x = (x1 , x2 , , xn ); y = (y1 , y2 , , yn ); z = (z1 , z2 , , zn ) Ta có: i) n |xi − yi | ≥ d1 (x, y) = i=1 n d1 (x, y) = ⇔ |xi − yi | = ⇔ |xi − yi | = ⇔ xi = yi , ∀i = 1, n ⇔ x = y i=1 SVTH: Phan Thị Hồng Thắm KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Khoa Tốn - ĐHSP ii) n n |xi − yi | = d1 (x, y) = i=1 |yi − xi | = d1 (y, x) i=1 iii) n n |xi − zi | ≤ d1 (x, z) = i=1 (|xi − yi | + |yi − zi |) i=1 n n |xi − yi | + = i=1 |yi − zi | i=1 = d1 (x, y) + d1 (y, z) Như vậy, d1 không gian metric Rn (3) d2 metric: Với x = (x1 , x2 , , xn ); y = (y1 , y2 , , yn ); z = (z1 , z2 , , zn ) i) d2 (x, y) = max |xi − yi | > i=1,n d2 (x, y) = ⇔ max |xi − yi | = ⇔ |xi − yi | = ⇔ xi = yi , ∀i = 1, n ⇔ x = y i=1,n ii) d2 (x, y) = max |xi − yi | = max |yi − xi | = d2 (y, x) i=1,n i=1,n iii) d2 (x, z) = max |xi − zi | ≤ max (|xi − yi | + |yi − zi |) i=1,n i=1,n = max |xi − yi | + max |yi − zi | i=1,n i=1,n = d2 (x, y) + d2 (y, z) Như vậy, d2 không gian metric Rn Định nghĩa 1.2 Giả sử X không gian metric, x ∈ R r > Đặt: B(x, r) = {x ∈ X : d(x, y) < r} ; B [x, r] = {x ∈ X : d(x, y) ≤ r} Khi đó, SVTH: Phan Thị Hồng Thắm KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Khoa Toán - ĐHSP (1) B(x, r) gọi hình cầu mở tâm x bán kính r; (2) B [x, r] gọi hình cầu đóng tâm x bán kính r 1.2 DÃY HỘI TỤ TRONG KHƠNG GIAN METRIC Định nghĩa 1.3 Giả sử X không gian metric {xn } dãy X Ta nói {xn } dãy hội tụ đến x ∈ X lim d(xn , x) = Lúc đó, ký n→∞ hiệu lim xn = x xn → x n→∞ 1.3 LÂN CẬN Định nghĩa 1.4 Giả sử X không gian metric, x ∈ X A ⊂ X Ta nói A lân cận x tồn r > cho x ∈ B(x, r) ⊂ A Nhận xét 1.1 Trong không gian metric, giao họ hữu hạn lân cận x lân cận x Chứng minh Giả sử A1 , A2 , , An lân cận x Ta chứng minh rằng: n A= Ai i=1 lân cận x Thật vậy, Ai lân cận x với i = 1, 2, , n nên với i = 1, 2, , n, tồn ri > cho x ∈ B(x, ri ) ⊂ Ai với i = 1, 2, , n Bây giờ, ta đặt r = ri > 0, i=1,n x ∈ B(x, r) ⊂ A Như vậy, A lân cận x 1.4 TẬP HỢP MỞ Định nghĩa 1.5 Giả sử X không gian metric A ⊂ X Ta nói A tập hợp mở A lân cận điểm A Định lý 1.1 Giả sử X không gian metric Khi đó, khẳng định sau SVTH: Phan Thị Hồng Thắm KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Khoa Tốn - ĐHSP (1) Hợp họ tùy ý gồm tập hợp mở tập hợp mở; (2) Giao họ hữu hạn gồm tập hợp mở tập hợp mở Chứng minh (1) Giả sử {Aα }α∈I họ gồm tập hợp mở Ta chứng minh A = Aα tập hợp mở α∈I Thật vậy, giả sử x ∈ A Khi đó, tồn α0 ∈ I cho x ∈ Aα0 Mặt khác, Aα0 lân cận x nên tồn r > cho x ∈ B(x, r) ⊂ Aα0 ⊂ Aα = A, α∈I nên ta suy x ∈ B(x, r) ⊂ A Suy A lân cận x Như vậy, A tập hợp mở X n (2) Giả sử A1 , A2 , , An tập hợp mở Ta chứng minh rằng: A = Ai i=1 tập hợp mở Thật vậy, giả sử x ∈ A Khi đó, x ∈ Ai với i = 1, 2, , n Mặt khác, Ai tập hợp mở nên lân cận x Theo Nhận xét 1.2 ta có A lân cận x Suy A tập hợp mở không gian metric X Bổ đề 1.1 Mỗi hình cầu mở không gian metric tập hợp mở Chứng minh Giả sử B(x, r) hình cầu mở khơng gian metric X Ta chứng minh B(x, r) tập hợp mở Thật vậy, lấy y ∈ B(x, r) Khi đó, d(x, y) < r Bây giờ, ta đặt ry = r − d(x, y), ry > y ∈ B(y, ry ) ⊂ B(x, r) Thật vậy, lấy z ∈ B(y, ry ).Khi đó, d(y, z) < ry Hơn nữa, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + ry = d(x, y) + [r − d(x, y)] = r, nên z ∈ B(x, r) Như vậy, B(x, r) tập hợp mở SVTH: Phan Thị Hồng Thắm KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Khoa Tốn - ĐHSP Chứng minh Hiển nhiên S(x, y, z) ≥ với x, y, z ∈ X Hơn nữa, S(x, y, z) = |x − z| + |y − z| = 0, |x − z| = 0, |y − z| = 0, x = y = z Như vậy, S thỏa mãn tiên đề (S1 ) định nghĩa S-metric Cuối cùng, với x, y, z, a ∈ X , ta có S(x, y, z) = |x − z| + |y − z| ≤ |x − a| + |z − a| + |y − a| + |z − a| ≤ [|x − a| + |x − a|] + [|y − a| + |y − a|] + [|z − a| + |z − a|] = S(x, x, a) + S(y, y, a) + S(z, z, a) Do đó, S thỏa mãn tiên đề (S2 ) định nghĩa S-metric, suy S S-metric R 2.2 TOPO SINH BỞI S-METRIC Định nghĩa 2.2 Giả sử (X, S) không gian S-metric, x ∈ X r > Ta đặt BS (x, r) = {y ∈ X : S(y, y, x) < r} ; BS [x, r] = {y ∈ X : S(y, y, x) ≤ r} Khi đó, BS (x, r) gọi hình cầu mở tâm x bán kính r; BS [x, r] gọi hình cầu đóng tâm x bán kính r; Tập A ⊂ X gọi lân cận x với x ∈ A, tồn r > cho BS (x, r) ⊂ A Tập A ⊂ X gọi tập S-mở A lân cận điểm thuộc A Định lý 2.1 Giả sử (X, S) không gian S-mở Đặt τ = {U ⊂ X : U tập S-mở X} Khi đó, τ topo X Chứng minh (1) Hiển nhiên ∅, X ∈ τ SVTH: Phan Thị Hồng Thắm 14 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Khoa Tốn - ĐHSP (2) Giả sử A, B ∈ τ Ta chứng minh A ∩ B ∈ τ Thật vậy, A, B ∈ τ nên A, B tập S-mở không gian (X, S) Mặt khác, theo định nghĩa tập S-mở ta suy tồn rA , rB > cho x ∈ BS (x, rA ) ⊂ A x ∈ BS (x, rB ) ⊂ B Bây ta đặt r = {rA , rB } ta suy x ∈ BS (x, r) ⊂ A ∩ B Như vậy, A ∩ B tập hợp S-mở (X, S), nghĩa A ∩ B ∈ τ (3)Giả sử {Ui }i∈I họ tùy ý tập S-mở X Ta cần chứng minh Ui tập S-mở X Thật vậy, giả sử x ∈ Ui Khi đó, tồn i∈I i∈I i ∈ I cho x ∈ Ui Mặt khác, x ∈ Ui tập mở X nên tồn r > cho Ui x ∈ BS (x, r) ⊂ U ⊂ i∈I Ui tập hợp S-mở Theo định nghĩa tập hợp S-mở ta suy i∈I Ui không gian S-metric (X,S) Điều chứng tỏ i∈I Từ chứng minh ta suy τ topo X Bổ đề 2.2 Mỗi hình cầu mở không gian S-metric tập hợp mở Chứng minh Giả sử BS (x, r) hình cầu mở không gian S-metric X Ta chứng minh BS (x, r) tập hợp mở.Thật vậy, lấy y ∈ BS (x, r) Khi đó, S(y, y, x) < r Ta đặt ry = r − S(y, y, x) Để hoàn thành chứng minh ta cần chứng tỏ y ∈ BS (y, ry ) ⊂ BS (x, r) Thật vậy, giả sử z ∈ BS (y, ry ) Khi đó, S(z, z, y) < ry Sử dụng tiên đề (S2 ) S-metric, ta có S(z, z, x) ≤ S(z, z, y) + S(z, z, y) + S(x, x, y) < 2ry + S(x, x, y) = r Như vậy, y ∈ BS (y, ry ) ⊂ BS (x, r) SVTH: Phan Thị Hồng Thắm 15 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Khoa Toán - ĐHSP Định nghĩa 2.3 Giả sử (X, S) khơng gian S-metric Khi đó, ta nói topo τ Định lí 2.1 topo sinh S-metric Nhận xét 2.1 Giả sử (X, S) không gian S-metric Khi đó, X khơng gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Chứng minh Với x ∈ X , gọi US (x) họ gồm tất lân cận x BS (x) = BS x, n : n = 1, 2, Ta có: + BS (x) đếm với x + Chứng minh: BS (x) ⊂ US (x) 1 ∈ BS (x), ta có: BS x, n n lân cận x Suy BS (x) ⊂ US (x) Thật vậy, với BS x, tập mở kéo theo + Với US ∈ US (x) suy US lân cận x kéo theo tồn r > cho x ∈ BS (x, r) ⊂ US Lấy n0 ∈ N∗ cho < r suy n0 x ∈ BS x, suy x ∈ BS x, n10 n0 ⊂ BS (x, r) ⊂ US , ⊂ US mà BS x, n10 ⊂ BS (x) Vậy điểm X có sở lân cận đếm nên X thỏa mãn tiên đề đếm thứ 2.3 SỰ HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN S-METRIC Định nghĩa 2.4 Giả sử (X, S) không gian S-metric {xn } dãy X Khi đó, (1) {xn } gọi S-hội tụ đến x ∈ X S(xn , xn , x) → n → ∞, nghĩa với ε > 0, tồn n0 ∈ N cho S(xn , xn , x) < ε với n ≥ n0 Lúc đó, ta viết lim xn = x n→∞ SVTH: Phan Thị Hồng Thắm 16 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Khoa Tốn - ĐHSP (2) {xn } gọi dãy S-Cauchy lim S(xn , xn , xm ) = 0, nghĩa với n,m→∞ ∗ ε > 0, tồn n0 ∈ N cho S(xn , xn , xm ) < ε với n, m ≥ n0 (3) Không gian S-metric (X,S) gọi không gian S-metric đầy đủ dãy S-Cauchy (X,S) hội tụ Bổ đề 2.3 Giả sử (X,S) không gian S-metric Khi đó, (1) Nếu {xn } S-dãy hội tụ đến x, x (2) Nếu {xn } dãy hội tụ đến x {yn } S-dãy hội tụ đến y , S(xn , xn , yn ) → S(x, x, y) Chứng minh (1) Giả sử {xn } S-dãy hội tụ đến x, y ∈ X Khi đó, với ε > tồn n1 , n2 ∈ N∗ cho ε n ≥ n1 ⇒ S(xn , xn , x) < ε n ≥ n2 ⇒ S(xn , xn , y) < Ta đặt n0 = max {n1 , n2 }, với n ≥ n0 sử dụng tiên đề (S2 ) định nghĩa S-metric ta thu ≤ S(x, x, y) ≤ S(x, x, xn ) + S(x, x, xn ) + S(y, y, xn ) ε ε = 2S(x, x, xn ) + S(y, y, xn ) < + = ε 2 Suy S(x, x, y) = Vậy x = y (2) Giả sử {xn } dãy hội tụ đến x {yn } S-dãy hội tụ đến y Khi đó, với ε > tồn n1 , n2 ∈ N∗ cho ε n ≥ n1 ⇒ S(xn , xn , x) < ε n ≥ n2 ⇒ S(yn , yn , y) < Ta đặt n0 = max {n1 , n2 }, với n ≥ n0 sử dụng tiên đề (S2 ) định nghĩa S-metric ta thu ≤ S(xn , xn , yn ) ≤ 2(S(xn , xn , x) + S(yn , yn , x) ≤ 2(S(xn , xn , x) + 2S(yn , yn , y) + S(x, x, y) ε ε < + + S(x, x, y) = ε + S(x, x, y) 2 SVTH: Phan Thị Hồng Thắm 17 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Khoa Tốn - ĐHSP Khi đó, suy S(xn , xn , yn ) − S(x, x, y) < ε (2.1) Hồn tồn tương tự, ta có ≤ S(x, x, y) ≤ 2S(x, x, xn ) + S(y, y, xn ) ≤ 2S(x, x, xn ) + 2S(y, y, yn ) + S(xn , xn , yn ) ε ε < + + S(xn , xn , yn ) = ε + S(xn , xn , yn ) 2 Suy S(x, x, y) − S(xn , xn , yn ) < ε (2.2) Từ (2.1) (2.2) ta suy |S(xn , xn , yn ) − S(x, x, y)| < ε Vậy S(xn , xn , yn ) → S(x, x, y) Bổ đề 2.4 Giả sử (X,S) khơng gian S-metric Khi đó, {xn } dãy X , S-hội tụ đến x, {xn } dãy S-Cauchy Chứng minh Giả sử {xn } dãy hội tụ đến x Khi với ε > tồn n1 , n2 ∈ N cho ε n ≥ n1 ⇒ S(xn , xn , x) < ε m ≥ n2 ⇒ S(xm , xm , x) < Ta đặt n0 = max {n1 , n2 }, với n, m ≥ n0 sử dụng tiên đề (S2 ) định nghĩa S-metric ta thu ≤ S(xn , xn , xm ) ≤ S(xn , xn , x) + S(xn , xn , x) + S(xm , xm , x) ε ε = 2S(xn , xn , x) + S(xm , xm , x) < + = ε 2 Như vậy, {xn } dãy Cauchy X Định nghĩa 2.5 Giả sử X tập hợp khác rỗng tồn b ≥ cho hàm d : X → [0, +∞) thỏa mãn tiên đề sau với x, y, z ∈ X (B1 ) d(x, y) = x = y ; (B2 ) d(x, y) = d(y, x); (B3 ) d(x, z) ≤ b [d(x, y) + d(y, z)] Khi đó, SVTH: Phan Thị Hồng Thắm 18 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Khoa Toán - ĐHSP (1) d gọi b-metric X; (2) Cặp (X,d) gọi không gian b-metric Mệnh đề 2.1 Giả sử (X,S) không gian S-metric Ta đặt d(x, y) = S(x, x, y) với x, y ∈ X Khi đó, khẳng định sau (1) d b-metric X ; (2) xn → x (X, S) xn → x (X, d); (3) {xn } dãy S-Cauchy (X, S) {xn } dãy d-Cauchy (X, d) Chứng minh (1)Ta chứng minh d b-metric X Thật vậy, (B1 ) d(x, y) = S(x, x, y) = 0, x = y (B2 ) Bởi vì, S S-metric nên sử dụng Bổ đề 2.1 ta suy d(x, y) = S(x, x, y) = S(y, y, x) = d(y, x) (B3 ) Sử dụng Bổ đề 2.1 tiên đề (S2 ) khơng gian S-metric ta có d(x, z) = S(x, x, z) ≤ S(x, x, y) + S(x, x, y) + S(z, z, y) = 2S(x, x, y) + S(y, y, z) = 2d(x, y) + d(y, z) Tương tự d(z, x) = S(z, z, x) ≤ S(z, z, y) + S(z, z, y) + S(x, x, y) = 2S(z, z, y) + S(x, x, y) = 2d(y, z) + d(x, y) Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức ta suy [d(y, z) + d(x, y)] Điều chứng tỏ d b-metric với b = d(x, z) = (2) Giả sử {xn } dãy X Khi đó, nhờ cách đặt d ta suy xn → x (X, S) SVTH: Phan Thị Hồng Thắm 19 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Khoa Tốn - ĐHSP S(xn , xn , x) → n → ∞, d(xn , x) → n → ∞, xn → x (X, d) (3) Giả sử {xn } dãy X Khi đó, nhờ cách đặt d ta suy {xn } dãy S-Cauchy (X, S) S(xn , xn , xm ) → m, n → ∞, d(xn , xm ) → m, n → ∞, {xn } dãy d-Cauchy (X, d) SVTH: Phan Thị Hồng Thắm 20 Chương ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN S-METRIC 3.1 ÁNH XẠ LIÊN TỤC VÀ ÁNH XẠ CO Định nghĩa 3.1 Giả sử F : (X, S1 ) → (Y, S2 ) ánh xạ từ không gian S-metric (X, S1 ) vào khơng gian S-metric (Y, S2 ) Khi đó, (1) F gọi S-liên tục x0 ∈ X với ε > 0, tồn δ > cho với x ∈ X mà S1 (x, x, x0 ) < δ , ta có S2 [F (x), F (x), F (x0 )] < ε (2) F gọi S-liên tục X S-liên tục x ∈ X Định lý 3.1 Giả sử F : (X, S1 ) → (Y, S2 ) ánh xạ từ không gian Smetric (X, S1 ) vào không gian S-metric (Y, S2 ) Khi đó, F S-liên tục x0 ∈ X với dãy {xn } S-hội tụ đến x0 (X, S1 ) ta có {F (x)} dãy S-hội tụ đến F (x0 ) (Y, S2 ) Chứng minh (1) Điều kiện cần Giả sử F S-liên tục x0 dãy {xn } S-hội tụ đến x0 (X, S1 ) Ta phải chứng minh {F (x)} dãy S-hội tụ đến F (x0 ) (Y, S2 ) Thật vậy, F S-liên tục x0 nên với ε > 0, tồn δ > cho với x ∈ X thỏa mãn S(x, x, x0 ) < δ , ta có S [F (x), F (x), F (x0 )] < ε Bởi dãy {xn } S-hội tụ đến x0 (X, S1 ) nên tồn n0 ∈ N cho S(xn , xn , x0 ) < δ với n ≥ n0 Do đó, S [F (xn ), F (xn ), F (x0 )] < ε với n ≥ n0 Điều chứng tỏ {F (x)} dãy S-hội tụ đến F (x0 ) (Y, S2 ) (2) Điều kiện đủ Giả sử dãy {xn } S-hội tụ đến điểm x0 (X, S1 ) ta có {F (xn )} dãy S-hội tụ (X, S2 ) Ta chứng minh F KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Khoa Toán - ĐHSP S-liên tục x0 Thật vậy, giả sử ngược lại F không S-liên tục x0 Khi đó, tồn ε > cho với δ > 0, tồn xδ ∈ X thỏa mãn S1 (xδ , xδ , x0 ) < δ; S2 [F (xδ ), F (xδ ), F (x0 )] ≥ ε Khi đó, với n ∈ N∗ , tồn xn ∈ X cho S1 (xn , xn , x0 ) < δ; S2 [F (xn ), F (xn ), F (x0 )] ≥ ε Suy {xn } dãy S-hội tụ đến x0 (X, S1 ) {F (xn )} không dãy S-hội tụ đến F (x0 ) (X, S2 ) Điều mâu thuẫn với giả thiết điều kiện đủ Định nghĩa 3.2 Giả sử (X,S) không gian S-metric Ánh xạ F : X → X gọi ánh xạ co tồn số L ∈ [0, 1) cho S [F (x), F (x), F (y)] ≤ LS(x, x, y) với x, y ∈ X Nhận xét 3.1 (1) Từ Định nghĩa ánh xạ co ta suy rằng, ánh xạ co ánh xạ S-liên tục (2) Giả sử x ∈ X, n ∈ N Ta đặt F (x) = x; F n+1 (x) = F [F n (x)] Chứng minh Giả sử F : X → Y ánh xạ co, suy tồn ≤ L < cho S(F (x), F (x), F (y)) ≤ LS(x, x, y), ∀x, y ∈ X ε Khi đó, với ε > 0, đặt δ = , thỏa mãn S(x, x, y) < δ ta có L ε S(F (x), F (x), F (y)) ≤ LS(x, x, y) < L = ε L Suy ra, F liên tục y Vậy F ánh xạ liên tục 3.2 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO TRÊN KHÔNG GIAN S-METRIC ĐẦY ĐỦ Định lý 3.2 Giả sử (X, S) không gian S-metric đầy đủ F : X → X ánh xạ co Khi đó, F có điểm bất động u ∈ X Hơn nữa, lim F n (x) = u n→∞ 2Ln S [x, x, F (x)] S [F (x), F (x), u] ≤ 1−L n SVTH: Phan Thị Hồng Thắm n 22 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Khoa Toán - ĐHSP Chứng minh (1) Ta chứng minh F có điểm bất động Thật vậy, (1.1) Giả sử x ∈ X Khi đó, F ánh xạ co nên tồn L ∈ [0, 1) cho S [F (x), F (x), F (y)] ≤ LS(x, x, y) với x, y ∈ X Do đó, với n ∈ N, ta có S F n (x), F n (x), F n+1 (x) ≤ LS F n−1 (x), F n−1 (x), F n (x) ≤ L2 S F n−2 (x), F n−2 (x), F n−1 (x) ≤ Ln S [x, x, F (x)] Hơn nữa, với m > n, ta có S [F n (x), F n (x), F m (x)] ≤ ≤ 2S F n (x), F n (x), F n+1 (x) + S F n+1 (x), F n+1 (x), F m (x) ≤ 2S F n (x), F n (x), F n+1 (x) + S F n+1 (x), F n+1 (x), F n+2 (x) +S F n+1 (x), F n+1 (x), F n+2 (x) + S F m (x), F m (x), F n+2 (x) = S F n (x), F n (x), F n+1 (x) + S F n+1 (x), F n+1 (x), F n+2 (x) +S F n+2 (x), F n+2 (x), F m (x) Tiếp tục trình đến bước thứ m − 1, ta có S [F n (x), F n (x), F m (x)] ≤ m−2 S F i (x), F i (x), F i+1 (x) + S F m−1 (x), F m−1 (x), F m (x) ≤2 i=n m−2 Li S [x, x, F (x)] + Lm−1 S [x, x, F (x)] ≤2 i=n n ≤ 2L S(x, x, F (x)) + L + L2 + · · · 2Ln ≤ S(x, x, F (x)) 1−L Suy với m > n, ta có S [F n (x), F n (x), F m (x)] ≤ SVTH: Phan Thị Hồng Thắm 2Ln S(x, x, F (x)) 1−L (3.1) 23 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Khoa Tốn - ĐHSP Bởi L ∈ [0, 1) nên ta suy 2Ln lim S [x, x, F (x)] = 0, n→∞ − L kéo theo S [F n (x), F n (x), F m (x)] → n → ∞ Như vậy, {F n (x)} dãy S-Cauchy không gian S-metric đầy đủ X Do đó, tồn u ∈ X cho lim F n (x) = u (3.2) n→∞ Mặt khác, theo Nhận xét 3.1, F S-liên tục nên ta suy u = lim F n+1 (x) = lim F [F n (x)] = F (u) n→∞ n→∞ Điều chứng tỏ u điểm bất động F (1.2) u điểm bất động F Thật vậy, giả sử v điểm bất động F , nghĩa F (v) = v Khi đó, sử dụng tính chất ánh xạ co ta suy S(u, u, v) = S [F (u), F (u), F (v)] ≤ LS(u, u, v), kéo theo (1 − L)S(u, u, v) ≤ Điều kéo theo S(u, u, v) = u = v (2) Theo (3.2) ta có lim F n (x) = u n→∞ (3) Trong (3.1) cho m → ∞ ta thu 2Ln S [F (x), F (x), u] ≤ S(x, x, F (x)) 1−L n n Từ (1), (2) (3) ta suy định lí chứng minh Ví dụ 3.1 Giả sử X = R đặt S (x, y, z) = |x − z| + |y − z| F :X → X x → F (x) = sinx Khi đó, SVTH: Phan Thị Hồng Thắm 24 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Khoa Toán - ĐHSP (1) S S-metric X ; (2) F ánh xạ co; (3) F có điểm bất động u = thỏa mãn khẳng định Định lí 3.2 Chứng minh (1)Hiển nhiên S(x, y, z) ≥ với x, y, z ∈ X Hơn nữa, S(x, y, z) = |x − z| + |y − z| = 0, |x − z| = 0, |y − z| = 0, x = y = z Như vậy, S thỏa mãn tiên đề (S1 ) định nghĩa S-metric Cuối cùng, với x, y, z, a ∈ X , ta có S(x, y, z) = |x − z| + |y − z| ≤ |x − a| + |z − a| + |y − a| + |z − a| ≤ [|x − a| + |x − a|] + [|y − a| + |y − a|] + [|z − a| + |z − a|] = S(x, x, a) + S(y, y, a) + S(z, z, a) Do đó, S thỏa mãn tiên đề (S2 ) định nghĩa S-metric, suy S S-metric R (2)Với x, y ∈ X ta có 1 (sinx − sin y) + (sinx − sin y) 2 ≤ (|x − y| + |x − y|) = S(x, x, y) Do vậy, F ánh xạ co L = S [F (x), F (x), F (y)] = (3) Với x ∈ X , ta có lim F n (x) = với n→∞ 2Ln S [F (x), F (x), 0] ≤ S [x, x, F (x)] , L = 1−L n n Như vậy, điều kiện Định lí 3.2 thỏa mãn tồn điểm u = ∈ X cho F (u) = u SVTH: Phan Thị Hồng Thắm 25 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Khoa Tốn - ĐHSP Định lý 3.3 Cho (X, S) không gian S-metric đầy đủ, x0 ∈ X, r > Ta đặt BS (x0 , r) = {x ∈ X : S(x, x, x0 ) < r} Giả sử F : BS (x0 , r) → X ánh xạ co thỏa mãn r S[F (x0 ), F (x0 ), x0 ] < (1 − L) Khi đó, F có điểm bất động BS (x0 , r) Chứng minh Ta lấy r0 cho ≤ r0 < r r0 S[F (x0 ), F (x0 ), x0 ] < (1 − L) Cho F : BS (x0 , r0 ) → BS (x0 , r0 ) Nếu x ∈ BS (x0 , r0 ), S[x0 , x0 , F (x)] ≤ 2S[x0 , x0 , F (x0 )]+S[F (x0 ), F (x0 ), F (x)] r0 ≤ 2(1 − L) + LS(x0 , x0 , x) ≤ r0 Theo Định lý 3.2, F có điểm bất động BS (x0 , r0 ) ⊂ BS (x0 , r) Vậy F có điểm bất động BS (x0 , r) SVTH: Phan Thị Hồng Thắm 26 Kết luận Khóa luận tốt nghiệp đạt kết sau: (1) Hệ thống lại số kiến thức khơng gian metric (2) Trình bày chứng minh số định nghĩa, định lý không gian S-metric (3) Chứng minh số định lý điểm bất động không gian S-metric đầy đủ lớp ánh xạ co Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Dũng and Nguyễn Trung Hiếu (2013), One fixed point theorem for g-monotone maps on partially ordered S-metric spaces, submitted [2] Nguyễn Trung Hiếu, Nguyễn Thị Thanh Lý, Nguyễn Văn Dũng (2013), A generalization of Ciric quasi contractions for maps on S-metric spaces, Thai J Math accepted paper [3] N T Hiếu (2013), Về định lí điểm bất động không gian S-mêtric thứ tự phận, Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, số 3, 47 -55 [4] S Sedghi, N Shobe and A Aliouche (2011), A generalization of fixed point theorem in S-metric spaces, Mat Vesnik, 64(3), 258-266 [5] S Sedghi and N V Dung (2014), Fixed point theorem on S-metric spaces, Mat Vesnik, 66(1), 113-124 ... Một s? ?? định lý điểm bất động không gian S- metric đầy đủ Mục đích nghiên cứu Trình bày s? ?? kiến thức khơng gian metric Tìm hiểu s? ?? định nghĩa, tính chất s? ?? định lý điểm bất động không gian S- metric. .. Banach không gian metric đầy đủ sang không gian S- metric đầy đủ Để tìm hiểu rõ khơng gian S- metric đầy đủ tồn điểm bất động cho s? ?? lớp ánh xạ co không gian suy rộng này, tơi chọn đề tài khóa luận Một. .. khơng gian metric định lý điểm bất động ánh xạ co không gian metric đầy đủ thu hút nhiều nhà toán học giới Một s? ?? kết chứng minh tồn điểm bất động xuất từ đầu TK XX Nguyên lý điểm bất động Brouwer