Định lý điểm bất động trong không gian metric nón

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN −−− −−− TRƯƠNG THỊ NGUYỆT ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN METRIC NĨN Chun ngành: Cử nhân Tốn - Tin KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khoa học: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN Đà Nẵng, 5/2014 MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời nói đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 Không gian metric Sự hội tụ không gian metric 1.3 1.4 Tập hợp mở tập hợp đóng Không gian metric đầy đủ 12 1.5 Tập hợp compact 13 1.6 1.7 Ánh xạ liên tục 13 Định lý điểm bất động Banach 14 1.8 Không gian định chuẩn không gian Banach 15 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN METRIC NĨN 18 2.1 Khơng gian metric nón 18 2.2 2.3 Sự hội tụ khơng gian metric nón 28 Định lý điểm bất động khơng gian metric nón 33 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Trương Thị Nguyệt LỜI CẢM ƠN! Đầu tiên, em xin cảm ơn Thầy cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng cung cấp cho em kiến thức vô quý báu cần thiết suốt thời gian học tập trường, tạo điều kiện thuận lợi để em thực hồn thành tốt khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy Lương Quốc Tuyển, thầy hướng dẫn, giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu hướng dẫn tận tình suốt trình em thực đề tài Cuối cùng, em cảm kích biết ơn gia đình, bạn bè tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ để em có đủ tự tin nghị lực để thực tốt đề tài Do giới hạn thời gian hạn chế mặt kiến thức nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót ngồi ý muốn Em mong thông cảm quý Thầy Cô mong đóng góp ý kiến q Thầy Cơ bạn Một lần em xin trân trọng cảm ơn Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Trương Thị Nguyệt LỜI NĨI ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động chủ đề nhiều nhà toán học quan tâm, đặc biệt chuyên gia giải tích hàm Lý thuyết gắn với tên tuổi nhà Toán học lớn Banach, Brouwer, Shauder, Kakutani, Ky Fan, Một số kết tồn điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỉ XX, phải kể đến Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) Nguyên lý ánh xạ co Banach không gian metric đầy đủ (1922) Các nhà toán học mở rộng nguyên lý cho nhiều loại ánh xạ nhiều loại không gian khác Một hướng mở rộng, xây dựng khơng gian mới, sau mở rộng kết kinh điển Banach cho lớp ánh xạ Với ý tưởng vậy, năm 2007, Huang LongGuang Zhang Xian [3] đưa khái niệm khơng gian metric nón cách thay tập số thực định nghĩa metric nón định hướng khơng gian Banach Nhằm tìm hiểu khơng gian metric nón, định lý điểm bất động Banach khơng gian metric nón, em lựa chọn đề tài sau cho khóa luận mình: “Định lý điểm bất động khơng gian metric nón” Mục đích nghiên cứu Gồm hai chương: - Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: + Khái quát lại kiến thức không gian metric + Nhắc lại định lý điểm bất động Banach - Chương 2: Định lý điểm bất động không gian metric nón + Khơng gian metric nón Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Trương Thị Nguyệt + Định lý điểm bất động khơng gian metric nón Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn tìm hiểu chứng minh định lý điểm bất động khơng gian metric nón Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận: Trước tiên đọc tài liệu liên quan đến nội dung đề tài Cụ thể tài liệu viết không gian metric, khơng gian metric nón, định lý điểm bất động - Trao đổi tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Giới hạn đề tài: Đề tài không sâu vào nghiên cứu ứng dụng định lý điểm bất động mà trình bày khái niệm nón, số tính chất nón khơng gian Banach, khái niệm khơng gian metric nón, tính chất dãy hội tụ khơng gian metric nón cuối trình bày chứng minh lại định lý điểm bất động có báo “Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings” tác giả L.-G Huang, X Zhang Trong thời gian tương đối ngắn với hạn chế mặt kiến thức nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận bảo, dạy dỗ thầy cơ, góp ý tận tình bạn để khóa luận em thêm hồn chỉnh Đà Nẵng, năm 2014 Sinh viên Trương Thị Nguyệt Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Trương Thị Nguyệt CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1 Cho tập X = ∅ Ánh xạ d : X × X −→ R (x, y) −→ d(x, y) gọi metric điều kiện sau thỏa mãn a) d(x, y) 0, với x, y ∈ X ; Nếu d(x, y) = x = y , với x, y ∈ X ; b) d(x, y) = d(y, x), với x, y ∈ X ; c) d(x, y) d(x, z) + d(y, z), với x, y, z ∈ X Khi đó, cặp (X, d) gọi không gian metric Ví dụ 1.2 Cho X = R Ánh xạ d xác định d : R × R −→ R (x, y) −→ d(x, y) = |x − y| metric R (X, d) không gian metric Chứng minh Ta chứng minh d thỏa mãn điều kiện metric R d(x, y)) 0, với x, y ∈ X Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Trương Thị Nguyệt Để d(x, y) = |x − y| = Suy x − y = hay x = y , với x, y ∈ X Với x, y ∈ X , ta có d(x, y) = |x − y| = |y − x| = d(y, x) Vậy d(x, y) = d(y, x), với x, y ∈ X Với x, y, z ∈ X , ta có d(x, y) = |x − y| = |x − z − y + z| |x − z| + |y − z| = d(x, z) + d(y, z) Do ánh xạ d xác định metric X (X, d) khơng gian metric Ví dụ 1.3 Cho X = Rk , ánh xạ d : Rk × Rk −→ R k |xi − yi |2 , (x, y) −→ d(x, y) = i=1 x = (x1 , x2 , , xk ), y = (y1 , y2 , , yk ) ∈ Rk , metric Rk (X, d) không gian metric Định nghĩa 1.4 Giả sử (X, d) không gian metric, Y ⊂ X Đặt d|Y ×Y : Y × Y −→ R (x, y) −→ d|Y ×Y (x, y) = d(x, y) Khi đó, d|Y ×Y metric Y (Y, d|Y ×Y ) khơng gian metric Ta nói (Y, d|Y ×Y ) không gian metric không gian metric (X, d) 1.2 Sự hội tụ không gian metric Định nghĩa 1.5 Giả sử (X, d) không gian metric {xn } dãy X Ta nói dãy {xn } hội tụ đến x0 ∈ X lim d(xn , x0 ) = Lúc n→∞ đó, x0 gọi giới hạn dãy {xn } ta kí hiệu Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Trương Thị Nguyệt lim xn = x0 hay xn → x0 n→∞ Như vậy, lim xn = x0 với ε > 0, tồn n0 cho với n→∞ n ∈ N, n n0 , d(xn , x0 ) < ε Bổ đề 1.6 Giả sử (X, d) không gian metric, {xn } {yn } hai dãy nằm X a) Nếu xn → x0 x0 Do vậy, giới hạn dãy hội tụ b) Nếu xn → x0 xn → x0 , d(xn , yn ) → d(x0 , y0 ) Ví dụ 1.7 Cho X = Rk , dãy {xn } ⊂ X x0 ∈ X Giả sử (0) (0) (0) (1) (1) (1) (n) (n) x0 = (x1 , x2 , , xk ), x1 = (x1 , x2 , , xk ), (n) xn = (x1 , x2 , , xk ) Xét metric k |xi − yi |2 , d(x, y) = i=1 đó, x = (x1 , x2 , , xk ) y = (y1 , y2 , , yk ), x, y ∈ Rk Theo Định nghĩa 1.5, để chứng minh {xn } hội tụ đến x0 X , ta cần chứng minh d(xn , x0 ) → Bởi xn → x0 nên suy d(xn , x0 ) → Do đó, k i=1 (n) (n) (0) xi − xi (n) (0) → 0, kéo theo xi − xi → (0) Suy ra, xi → xi với i = 1, k Như vậy, hội tụ Rk hội tụ theo thành phần tọa độ Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Trương Thị Nguyệt 1.3 Tập hợp mở tập hợp đóng Định nghĩa 1.8 Cho (X, d) không gian metric, x0 ∈ X , r > 0, tập E ⊂ X , ta kí hiệu a) S(x0 , r) = {x ∈ X : d(x, x0 ) < r} gọi cầu mở tâm x0 , bán kính r b) S[x0 , r] = {x ∈ X : d(x, x0 ) r} gọi cầu đóng tâm x0 , bán kính r c) Điểm x0 gọi điểm E tồn r > cho S(x0 , r) ⊂ E d) Điểm x0 gọi điểm E tồn r > cho S(x0 , r) ⊂ X \ E S(x0 , r) ∩ E = ∅ e) Điểm x0 gọi điểm biên E với r > ta có S(x0 , r) ∩ E = ∅ S(x0 , r) ∩ (X \ E) = ∅ f) Điểm x0 gọi điểm giới hạn E với r > ta có S(x0 , r) ∩ (E \ {x0 }) = ∅ g) Điểm x0 gọi điểm cô lập E tồn r > cho S(x0 , r) ∩ E = {x0 } h) Điểm x0 gọi điểm dính E với r > ta có S(x0 , r) ∩ E = ∅ Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Trương Thị Nguyệt 10 Định nghĩa 1.9 Giả sử (X, d) không gian metric, E ⊂ X Ta nói E tập mở điểm E điểm Như vậy, E tập mở điểm E điểm hay với x ∈ E , tồn rx cho S(x, rx ) ⊂ E Nhận xét 1.10 Mỗi hình cầu mở tập hợp mở Chứng minh Giả sử S(x0 , r) hình cầu mở Ta cần chứng minh tập hợp mở Thật vậy, giả sử x ∈ S(x0 , r) Đặt δ = r − d(x0 , x) Bởi x ∈ S(x0 , r) nên δ = r − d(x0 , x) > Khi đó, lấy y ∈ S(x, δ), ta có d(x, y) < δ Suy ra, d(x0 , y) d(x0 , x) + d(x, y) < δ + d(x, x0 ) Mặt khác, δ = r − d(x0 , x) nên δ + d(x0 , x) = r Suy d(x0 , y) < r hay y ∈ S(x0 , r) Do đó, S(x, δ) ⊂ S(x0 , r) Như vậy, S(x0 , r) tập mở Định lý 1.11 a) Hợp họ tùy ý tập mở tập mở b) Giao hữu hạn tập mở tập mở Định nghĩa 1.12 Cho (X, d) không gian metric, x ∈ X , F ⊂ X Khi đó, a) F gọi lân cận x x điểm F , nghĩa tồn r > cho S(x, r) ⊂ F b) Hơn nữa, F tập mở F gọi lân cận mở x Định nghĩa 1.13 Tập hợp tất điểm E gọi phần E , kí hiệu IntE Hiển nhiên IntE ⊂ E Nhận xét 1.14 IntE tập mở tập mở lớn E Định nghĩa 1.15 Tập F không gian metric X gọi tập hợp đóng X \ F tập hợp mở Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Trương Thị Nguyệt 30 Suy c − d(xn , x) ∈ IntP Điều chứng tỏ d(xn , x) Như vậy, {xn } hội tụ đến x theo Định nghĩa 2.14 c Bổ đề 2.16 Cho (X, d) không gian metric nón, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K Khi đó, c ∈ P c ε với ε ∈ P c = Chứng minh Theo giả thiết theo Định nghĩa 2.1 ta có d c với d ∈ P, n ∈ N∗ n Suy ra, d − c ∈ IntP ⊂ P n d − c hội tụ đến −c nên theo Định lý 1.17 ta Lại P tập đóng n suy −c ∈ P Cuối cùng, c ∈ P −c ∈ P nên theo Định nghĩa 2.1(c), ta suy c = Bổ đề 2.17 Cho (X, d) khơng gian metric nón, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K {xn } dãy X Khi đó, {xn } hội tụ đến x {xn } hội tụ đến y , x = y , nghĩa là, giới hạn dãy hội tụ {xn } không gian metric X Chứng minh Với c ∈ E , c, xn → x, yn → x nên theo Định nghĩa 2.14 tồn N cho d(xn , x) c d(xn , y) c với n > N Ta có d(x, y) d(xn , x) + d(xn , y) c + c = 2c Do đó, d(x, y) 2K c Bởi c tùy ý nên suy d(x, y) = Hơn nữa, d metric nón nên suy x = y Vậy giới hạn dãy {xn } Định nghĩa 2.18 Cho (X, d) khơng gian metric nón, {xn } dãy nằm X Nếu với c ∈ E mà d(xn , xm ) c, tồn N ∈ N∗ cho c với n, m > N Khi đó, {xn } gọi dãy Cauchy X Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Trương Thị Nguyệt 31 Định nghĩa 2.19 Cho (X, d) không gian metric nón, dãy Cauchy X hội tụ, X gọi khơng gian metric nón đầy đủ Bổ đề 2.20 Cho (X, d) khơng gian metric nón, {xn } dãy nằm X Khi đó, {xn } hội tụ đến x, {xn } dãy Cauchy Chứng minh Bởi {xn } hội tụ đến x X , nên với c ∈ E mà c, tồn N cho c d(xm , x) d(xn , x) Bởi X metric nón nên ta có d(xn , xm ) c với n, m > N d(xn , x) + d(xm , x) c c + = c 2 c Do vậy, theo Định nghĩa 2.18 ta suy {xn } dãy Suy d(xn , xm ) Cauchy X Bổ đề 2.21 Cho (X, d) khơng gian metric nón, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K , {xn } ⊂ X Khi đó, {xn } dãy Cauchy d(xn , xm ) → Chứng minh Giả sử {xn } dãy Cauchy Với ε > 0, chọn c ∈ E mà c K c < ε Thì tồn N cho d(xn , xm ) c với n, m > N Suy d(xn , xm ) K c < ε với n, m > N Do vậy, d(xn , xm ) → Ngược lại, giả sử d(xn , xm ) → Cho c ∈ E mà c, tồn δ > cho x < δ , tức c − x ∈ IntP Với δ tồn N cho d(xn , xm ) < δ với n, m > N Suy ra, c − d(xn , xm ) ∈ IntP kéo theo d(xn , xm ) nghĩa 2.18 ta suy {xn } dãy Cauchy Khóa luận tốt nghiệp c Do đó, theo Định SVTH: Trương Thị Nguyệt 32 Bổ đề 2.22 Cho (X, d) không gian metric nón, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K {xn }, {yn } hai dãy nằm X cho xn → x, yn → y Khi đó, d(xn , yn ) → d(x, y) ε 4K + Bởi xn → x yn → y nên theo Định nghĩa 2.18, tồn N cho Chứng minh Với ε > 0, chọn c ∈ E mà d(xn , x) c d(yn , y) c c < c với n > N Ta có d(xn , yn ) d(x, y) d(xn , x) + d(x, y) + d(yn , y) d(x, y) + 2c, d(xn , x) + d(xn , yn ) + d(yn , y) d(xn , yn ) + 2c Suy d(x, y) − d(xn , yn ) + 2c 4c Như vậy, d(x, y) − d(xn , yn ) + 2c 4K c d(xn , yn ) − d(x, y) d(x, y) + 2c − d(xn , yn ) − 2c Suy d(xn , yn ) − d(x, y) d(xn , yn ) + 2c − d(x, y) 4K c +2 + c = (4K + 2) 2c c < ε Do đó, d(xn , yn ) −d(x, y) ε Như vậy, d(xn , yn ) → d(x, y) Định nghĩa 2.23 Cho (X, d) khơng gian metric nón Nếu với dãy {xn } X , tồn dãy {xni } {xn } cho {xni } hội tụ X , X gọi khơng gian metric nón compact Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Trương Thị Nguyệt 33 2.3 Định lý điểm bất động khơng gian metric nón Định lý 2.24 Cho (X, d) khơng gian metric nón đầy đủ, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K T : X × X ánh xạ thỏa mãn điều kiện ánh xạ co d(T x, T y) kd(x, y) với x, y ∈ X, với k số, k ∈ [0, 1) Khi đó, T có điểm bất động X Hơn nữa, dãy lặp {T n x} hội tụ đến điểm bất động với x ∈ X Chứng minh Lấy x0 ∈ X Ta đặt x1 = T x0 , x2 = T x1 = T x0 , , xn+1 = T xn = T n+1 x0 , Ta có d(x2 , x1 ) = d(T x1 , T x0 ) kd(x1 , x0 ), d(x3 , x2 ) = d(T x2 , T x1 ) k d(x1 , x0 ), Bằng quy nạp ta d(xn+1 , xn ) = d(T xn , T xn−1 ) k d(xn−1 , xn−2 ) kd(xn , xn−1 ) ··· k n d(x1 , x0 ) Với n > m, ta có d(xn , xn−1 ) + d(xn−1 , xn−2 ) + · · · + d(xm+1 , xm ) d(xn , xm ) k n−1 d(x1 , x0 ) + k n−2 d(x1 , x0 ) + · · · + k m d(x1 , x0 ) = (k n−1 + k n−2 + · · · + k m )d(x1 , x0 ) n−m km − kn m1 − k = k d(x1 , x0 ) = d(x1 , x0 ) 1−k 1−k km d(x1 , x0 ) 1−k Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Trương Thị Nguyệt 34 Suy Với c ∈ E mà c, tồn δ > cho c + Nδ (0) ⊆ P , với Nδ (0) = {y ∈ E : y < δ} Hơn nữa, chọn N1 > cho km d(x1 , x0 ) ∈ Nδ với m > N1 1−k Khi đó, với m > N1 ta có km d(x1 , x0 ) 1−k c Do vậy, km d(x1 , x0 ) c, ∀n > m d(xn , xm ) 1−k Do đó, {xn } dãy Cauchy (X, d) Bởi (X, d) khơng gian metric đầy đủ nên tồn x∗ ∈ X cho xn → x∗ Ta lấy N2 > cho c d(xn , x∗ ) với n N2 , m 2m Khi đó, d(T x∗ , x∗ ) d(T xn , T x∗ ) + d(T xn , x∗ ) d(xn , x∗ ) + d(xn+1 , x∗ ) kd(xn , x∗ ) + d(xn+1 , x∗ ) c c c + = , ∀n N2 2m 2m m Do đó, c c , kéo theo − d(T x∗ , x∗ ) ∈ P m m c c Hơn nữa, → P tập đóng nên − d(T x∗ , x∗ ) hội tụ đến m m −d(T x∗ , x∗ ) ∈ P Mặt khác, d(T x∗ , x∗ ) ∈ P Do vậy, theo định nghĩa nón ta có d(T x∗ , x∗ ) = T x∗ = x∗ Bây giờ, ta giả sử y ∗ điểm bất động T Ta chứng minh x∗ = y ∗ Thật vậy, ta có d(T x∗ , x∗ ) d(x∗ , y ∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ ) Vì k < nên T Khóa luận tốt nghiệp kd(x∗ , y ∗ ) d(x∗ , y ∗ ) = x∗ = y ∗ Do điểm bất động SVTH: Trương Thị Nguyệt 35 Hệ 2.25 Cho (X, d) khơng gian metric nón đầy đủ, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K Với c ∈ E mà c x0 ∈ X , ta đặt B(x0 , c) = {x ∈ X | d(x0 , x) c} Giả sử ánh xạ T : X × X thỏa mãn điều kiện ánh xạ co kd(x, y) với x, y ∈ B(x0 , c), d(T x, T y) với k số, k ∈ [0, 1) d(T x0 , x0 ) bất động B(x0 , c) (1 − k)c Khi đó, T có điểm Chứng minh Theo Định lý 2.24, để T có điểm bất động B(x0 , c), ta cần chứng minh B(x0 , c) đầy đủ T x ∈ B(x0 , c) với x ∈ B(x0 , c) Thật vậy, giả sử {xn } dãy Cauchy B(x0 , c) Khi đó, {xn } dãy Cauchy X Hơn nữa, X đầy đủ nên tồn x ∈ X cho xn → x Ta có d(x0 , x) d(x0 , xn ) + d(xn , x) Bởi d(xn , x) → nên ta suy d(x0 , x) theo B(x0 , x) đầy đủ d(xn , x) + c c Do vậy, x ∈ B(x0 , c) kéo Cuối cùng, với x ∈ B(x0 , c) ta có d(x0 , T x) d(T x0 , x0 ) + d(T x0 , T x) (1 − k)c + kd(x0 , x) (1 − k)c + kc = c Do đó, T x ∈ B(x0 , c) Hệ 2.26 Giả sử (X, d) khơng gian metric nón đầy đủ, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K T : X → X ánh xạ thỏa mãn d(T n x, T n y) kd(x, y) với x, y ∈ X, n 1, với k số, k ∈ [0, 1) Khi đó, T có điểm bất động X Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Trương Thị Nguyệt 36 Chứng minh Theo Định lý 2.24, T n có điểm bất động nên tồn x∗ ∈ X cho T n x∗ = x∗ Mặt khác, ta có T n (T x∗ ) = T (T n x∗ ) = T x∗ Suy T x∗ điểm bất động T n Bởi điểm bất động T nên T x∗ = x∗ Do vậy, x∗ điểm bất động T Như vậy, x∗ vừa điểm bất động T , vừa điểm bất động T n Hơn nữa, điểm bất động T n nên x∗ điểm bất động T Định lý 2.27 Cho (X, d) khơng gian metric nón compact, P nón quy T : X → X ánh xạ thỏa mãn điều kiện ánh xạ co d(T x, T y) < d(x, y) với x, y ∈ X mà x = y Khi đó, T có điểm bất động X Chứng minh Lấy x0 ∈ X Ta đặt x1 = T x0 , x2 = T x1 = T x0 , , xn+1 = T xn = T n+1 x0 , Giả sử xn+1 = xn với n, nghĩa T xn = xn Khi đó, xn điểm bất động T , chứng minh kết thúc Ta giả sử xn+1 = xn với n Ta đặt dn = d(xn , xn+1 ) Khi đó, dn+1 = d(xn+1 , xn+2 ) = d(T xn , T xn+1 ) d(xn , xn+1 ) = dn Do vậy, dn+1 < dn hay {dn } dãy giảm Hơn nữa, xn+1 = xn nên dn = d(xn+1 , xn ) > Suy {dn } dãy giảm bị chặn Mặt khác, P nón quy nên theo Định nghĩa 2.4, tồn d∗ ∈ E cho dn → d∗ Từ tính chất compact X , tồn dãy {xni } {xn } x∗ ∈ X cho xni → x∗ Bởi P nón quy nên nón chuẩn tắc Ta có d(T xni , T x∗ ) Khóa luận tốt nghiệp d(xni , x∗ ) với i = 1, 2, SVTH: Trương Thị Nguyệt 37 Suy d(T xni , T x∗ ) d(xni , x∗ ) → 0, K với K số chuẩn tắc P Do T xni → T x∗ Ta có d(T xni , T x∗ ) = d(T (T xni ), T (T x∗ )) d(T xni , T x∗ ) d(xni , x∗ ) với i = 1, 2, Suy d(T xni , T x∗ ) K d(xni , x∗ ) → Vậy T xni → T x∗ Theo Bổ đề 1.6, ta có T xni → T x∗ xni → x∗ kéo theo d(T xni , xni ) → d(T x∗ , x∗ ), T xni → T x∗ T xni → T x∗ kéo theo d(T xni , T xni ) → d(T x∗ , T x∗ ) Bởi X có tính compact nên tồn dãy {dni } {dn } cho dni → d∗ Rõ ràng ta có, d(T xni , xni ) = dni → d∗ = d(T x∗ , x∗ ) Ta cần chứng minh T x∗ = x∗ Nếu T x∗ = x∗ d∗ = Ta có d∗ = d(T x∗ , x∗ ) > d(T x∗ , T x∗ ) = lim d(T xni , T xni ) i→∞ = lim d(T xni +1 , xni +1 ) i→∞ = lim d(xni +2 , xni +1 ) i→∞ = lim dni +1 = d∗ i→∞ Điều mâu thuẫn Như vậy, T x∗ = x∗ Do đó, x∗ điểm bất động T Theo Định lý 2.24 ta suy điểm bất động T Định lý 2.28 Cho (X, d) khơng gian metric nón đầy đủ, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K T : X → X ánh xạ thỏa mãn điều kiện ánh xạ co d(T x, T y) k(d(T x, x) + d(T y, y)) với x, y ∈ X, Khi đó, T có điểm bất động X Hơn nữa, dãy lặp {T n x} hội tụ đến điểm bất động với x ∈ X với k số, k ∈ 0, Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Trương Thị Nguyệt 38 Chứng minh Lấy x0 ∈ X Ta đặt x1 = T x0 , x2 = T x1 = T x0 , , xn+1 = T xn = T n+1 x0 , Ta có d(xn+1 , xn ) = d(T xn , T xn−1 ) k(d(T xn , xn ) + d(T xn−1 , xn−1 )) = k(d(xn+1 , xn ) + d(xn , xn−1 )) Suy d(xn+1 , xn ) k d(xn , xn−1 )) 1−k Khi đó, d(xn+1 , xn ) hd(xn , xn−1 )) với h = k 1−k Khi đó, với n > m, ta có d(xn , xn−1 ) + d(xn−1 , xn−2 ) + · · · + d(xm+1 , xm ) d(xn , xm ) Bởi d(xn , xn−1 ) hd(xn−1 , xn−2 ) d(xn−1 , xn−2 ) d(xm+1 , xm ) hd(xn−2 , xn−3 ) hd(xm , xm−1 ) h2 d(xn−2 , xn−3 ) h2 d(xn−3 , xn−4 ) h2 d(xm−1 , xm−2 ) ··· ··· ··· hn−1 d(x1 , x0 ), hn−2 d(x1 , x0 ), hm d(x1 , x0 ) hn−1 d(x1 , x0 ) + hn−2 d(x1 , x0 ) + · · · + hm d(x1 , x0 ) hm n−1 n−2 m = (h +h + · · · + h )d(x1 , x0 ) d(x1 , x0 ) 1−h Với c ∈ E mà c, chọn N1 > cho hm d(x1 , x0 ) c, với n N1 1−h Khi đó, với n > m d(xn , xm ) c d(xn , xm ) Như vậy, {xn } dãy Cauchy (X, d) Bởi {xn } dãy Cauchy (X, d) không gian metric đầy đủ nên tồn x∗ ∈ X cho xn → x∗ Chọn N2 > cho Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Trương Thị Nguyệt 39 c(1 − k) c(1 − k) d(xn+1 , x∗ ) 2km 2m Khi đó, với n N2 , ta có d(xn+1 , xn ) với n > N2 , m d(T x∗ , x∗ ) d(T xn , T x∗ ) + d(T xn , x∗ ) k(d(T xn , xn ) + d(T x∗ , x∗ )) + d(xn+1 , x∗ ) Suy d(T x∗ , x∗ ) (kd(xn+1 , xn ) + d(xn+1 , x∗ )) 1−k Do đó, d(T x∗ , x∗ ) Cho nên c , ∀m m c − d(T ∗ , x∗ ) ∈ P, ∀m m c c c + = 2m 2m m 1 c c → P tập đóng nên − d(T ∗ , x∗ ) hội tụ đến m m −d(T ∗ , x∗ ) ∈ P Mặt khác, d(T ∗ , x∗ ) ∈ P theo định nghĩa nón ta có d(T ∗ , x∗ ) = T x∗ = x∗ Bây ta cần chứng minh x∗ Thật vậy, giả sử y ∗ điểm bất động T Khi đó, Bởi d(x∗ , y ∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ ) k(d(T x∗ x∗ ) + d(T y ∗ , y ∗ )) = Suy d(x∗ , y ∗ ) = hay x∗ = y ∗ Do đó, điểm bất động T Định lý 2.29 Cho (X, d) không gian metric nón đầy đủ, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K T : X → X ánh xạ thỏa mãn điều kiện ánh xạ co d(T x, T y) k(d(T x, y) + d(T y, x)) với x, y ∈ X, Khi đó, T có điểm bất động X Hơn nữa, dãy lặp {T n x} hội tụ đến điểm bất động với x ∈ X với k số, k ∈ 0, Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Trương Thị Nguyệt 40 Chứng minh Lấy x0 ∈ X Ta đặt x1 = T x0 , x2 = T x1 = T x0 , , xn+1 = T xn = T n+1 x0 , Ta có d(xn+1 , xn ) = d(T xn , T xn−1 ) k(d(T xn , xn−1 ) + d(T xn−1 , xn )) = k(d(xn+1 , xn−1 ) + d(xn , xn )) = kd(xn+1 , xn−1 ) k(d(xn+1 , xn ) + d(xn , xn−1 )) Suy (1 − k)d(xn+1 , xn ) kd(xn , xn−1 ) Khi đó, d(xn+1 , xn ) hd(xn , xn−1 ) với h = k 1−k Khi đó, với n > m ta có d(xn , xm ) d(xn , xn−1 ) + d(xn−1 , xn−2 ) + · · · + d(xm+1 , xm ) Bởi d(xn , xn−1 ) hd(xn−1 , xn−2 ) d(xn−1 , xn−2 ) d(xm+1 , xm ) h2 d(xn−2 , xn−3 ) h2 d(xn−3 , xn−4 ) hd(xn−2 , xn−3 ) hd(xm , xm−1 ) h2 d(xm−1 , xm−2 ) ··· ··· ··· hn−1 d(x1 , x0 ), hn−2 d(x1 , x0 ), hm d(x1 , x0 ), hn−1 d(x1 , x0 ) + hn−2 d(x1 , x0 ) + · · · + hm d(x1 , x0 ) d(xn , xm ) (hn−1 + hn−2 + · · · + hm )d(x1 , x0 ) hm hm − hn d(x1 , x0 ) d(x1 , x0 ) = 1−h 1−h Với c ∈ E , c, chọn N1 > cho hm d(x1 , x0 ) 1−h c, ∀n N1 Do đó, với n > m d(xn , xm ) Khóa luận tốt nghiệp c SVTH: Trương Thị Nguyệt 41 Như vậy, {xn } dãy Cauchy (X, d) Bởi (X, d) đầy đủ nên tồn x∗ ∈ X cho xn → x∗ Chọn N2 > cho c(1 − k) với n N2 d(xn , x∗ ) 2m Khi đó, với n N2 ta có d(T x∗ , x∗ ) d(T xn , T x∗ ) + d(T xn , x∗ ) k(d(T xn , xn ) + d(T x∗ , x∗ )) + d(xn+1 , x∗ ) Suy d(T x∗ , x∗ ) (kd(xn+1 , x∗ ) + d(x∗ , xn )) + d(xn+1 , x∗ ) 1−k c c c + = 2m 2m m Do đó, d(T x∗ , x∗ ) Cho nên c , ∀m m c − d(T ∗ , x∗ ) ∈ P, ∀m m 1 c c → P tập đóng nên − d(T ∗ , x∗ ) hội tụ đến m m −d(T ∗ , x∗ ) ∈ P Mặt khác, d(T ∗ , x∗ ) ∈ P theo định nghĩa nón ta có d(T ∗ , x∗ ) = T x∗ = x∗ Ta cần chứng minh x∗ Bây giả sử y ∗ điểm bất động T Bởi x∗ y ∗ điểm bất động T nên Bởi d(x∗ , y ∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ ) k(d(T x∗ , y ∗ ) + d(T y ∗ , x∗ )) k(d(x∗ , y ∗ ) + d(y ∗ , x∗ )) 2kd(x∗ , y ∗ ) Do vậy, d(x∗ , y ∗ ) = hay x∗ = y ∗ Vậy điểm bất động T Ví dụ 2.30 Cho E = R2 , mặt phẳng Euclide P = {(x, y) ∈ R2 | x, y Khóa luận tốt nghiệp 0} SVTH: Trương Thị Nguyệt 42 nón chuẩn tắc P Giả sử X = {(x, 0) ∈ R2 | x 1} ∪ {(0, x) ∈ R2 | xạ d : X × X → E xác định d((x, 0), (y, 0)) = x 1} ánh |x − y| , |x − y| |x − y| , |x − y| d((x, 0), (0, y)) = d((0, y), (x, 0)) = x + y, x + 3 Khi (X, d) không gian metric đầy đủ Giả sử ánh xạ T : X → X với d((0, x), (0, y)) = T ((x, 0)) = (0, x) T ((0, x)) = x, Thì T thỏa mãn điều kiện ánh xạ co d(T ((x1 , x2 )), T ((y1 , y2 ))) kd((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) với (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ X , với k số, k = có điểm bất động (0, 0) ∈ X Khóa luận tốt nghiệp ∈ [0, 1) Khi T SVTH: Trương Thị Nguyệt 43 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu, học hỏi từ tài liệu thầy Lương Quốc Tuyển cung cấp, em hoàn thành đề tài Đề tài đề cập đến định lý điểm bất động không gian Banach Những kết trình bày khóa luận bao gồm a) Nhắc lại số kiến thức chuẩn bị, • Khái quát không gian metric • Định lý điểm bất động Banach • Khơng gian định chuẩn khơng gian Banach b) Khái qt nón khơng gian metric nón Cuối cùng, trình bày chứng minh chi tiết Định lý, Bổ đề, Nhận xét, có báo “Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings” tác giả L.-G Huang, X Zhang [3] mà họ đưa không chứng minh chứng minh chưa chi tiết Do giới hạn thời gian hạn chế mặt kiến thức nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót ngồi ý muốn Em mong thông cảm quý Thầy Cô mong đóng góp ý kiến q Thầy Cơ bạn để khóa luận em thêm hồn chỉnh Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Trương Thị Nguyệt 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Xuân Liêm, Tôpô đại cương- Độ đo tích phân, Nhà Xuất Giáo dục, 1994 [2] Hồng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, Nhà Xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 [3] L.-G Huang, X Zhang, Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings, J Math Anal Appl 332 (2007) 1468-1476 [4] Sh Rezapour ∗ , R Hamlbarani, Some notes on the paper “Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings”, J Math Anal Appl 345 (2008) 719 − 724 Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Trương Thị Nguyệt ... 13 Định lý điểm bất động Banach 14 1.8 Không gian định chuẩn không gian Banach 15 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN METRIC NĨN 18 2.1 Khơng gian metric nón ... vậy, x∗ điểm bất động T Như vậy, x∗ vừa điểm bất động T , vừa điểm bất động T n Hơn nữa, điểm bất động T n nên x∗ điểm bất động T Định lý 2.27 Cho (X, d) khơng gian metric nón compact, P nón quy... Banach - Chương 2: Định lý điểm bất động không gian metric nón + Khơng gian metric nón Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Trương Thị Nguyệt + Định lý điểm bất động khơng gian metric nón Đối tượng nghiên