Các phương pháp nghiên cứu định lý RASNOSELSKII về điểm bất động trong nón

THƯ VIỆN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH VŨ HUỲNH PHƯƠNG THẢO CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ĐỊNH LÍ KRASNOSELSKII VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG NĨN Chun ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 BẢNG CÁC KÍ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG N Tập hợp số tự nhiên N* Tập hợp số tự nhiên khác R Tập hợp số thực R Tập hợp số thực không âm  Biên   Bao đóng  ( X ,| |) Không gian Banach X với chuẩn |.| Lp [a, b] Không gian hàm đo đoạn [a, b] xp Chuẩn x không gian Lp C[ a , b ] Không gian hàm số thực liên tục đoạn [a, b] C [a, b], E  Không gian hàm liên tục u :[a, b]  E  Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Lý thuyết phương trình khơng gian có thứ tự hình thành từ năm 1940, phát triển mạnh mẽ vào năm 1960–1970 hoàn thiện ngày Lý thuyết tìm ứng dụng rộng rãi sâu sắc nhiều lĩnh vực Lý thuyết phương trình vi phân, vật lí, sinh học, kinh tế … Trong lý thuyết phương trình khơng gian có thứ tự định lí Krasnoselskii điểm bất động ánh xạ nén giãn mặt nón đóng vai trị quan trọng Vai trị định lí tương tự định lí Banach ánh xạ co định lí Schauder lí thuyết điểm bất động Nó sử dụng để chứng minh tồn nghiệm nhiều lớp phương trình vi phân tích phân Vì quan trọng nó, định lí Krasnoselskii nhiều nhà nghiên cứu quan tâm, tìm cách mở rộng, để áp dụng cho lớp phương trình Cho đến nay, định lý mở rộng theo nhiều hướng khác công cụ chủ yếu để chứng minh tồn nghiệm dương nhiều lớp phương trình vi phân tích phân.Chứng minh ban đầu Định lý Krasnoselskii dựa định lý Schauder, phức tạp dài Với việc xây dựng khái niệm bậc topo theo nón cho ánh xạ dượng định lý Krasnoselskii chứng minh đơn giản nhiều việc mở rộng định lý trở nên thuận lợi Tuy nhiên việc sử dụng định lý Schauder để nghiên cứu Định lý Krasnoselskii ý nghĩa số trường hơp, ví dụ cần trình bày định lý cách độc lập với việc dùng bậc topo Luận văn trình bày hai phương pháp nghiên cứu Định lý Krasnoselskii ánh xạ nén giãn mặt nón, phương pháp sử dụng bậc topo phương pháp sử dụng Định lý Schauder Ngoài luận văn giới thiệu ứng dụng Định lý mở rộng để chứng minh tồn nghiệm dương phương trình tích phân Chuơng 1: PHƯƠNG PHÁP BẬC TƠPƠ NGHIÊN CỨU ĐỊNH LÍ KRASNOSELSKII 1.1 Khơng gian Banach với thứ tự sinh nón Định nghĩa 1.1.1 Tập K khơng gian Banach thực X gọi nón nếu: (i) K tập đóng (ii) K  K  K ,  K  K ,   (iii) K  ( K )  {0} Nếu K nón thứ tự X sinh K định bởi: x  y  y  xK Mỗi x  K \{0} gọi dương Mệnh đề 1.1.2 Giả sử “≤” thứ tự sinh nón K Khi đó: x  y  x  z  y  z,  x   y z  K ,    xn  yn (n  N *), lim xn  x, lim yn  y   x  y Nếu xn dãy tăng, hội tụ x xn  x, n  N * Chứng minh mệnh đề 1.1.2 Sử dụng thứ tự “≤” sinh nón tính chất (ii) định nghĩa 1.1.1 Ta có lim( yn  xn )  y  x mà yn  xn  K  y  x  K (tính chất đóng K ) n  Cho m   bất đẳng thức xn  xn  m ta có xn  x, n  N 1.2 Bậc tơpơ theo nón Trước vào định nghĩa bậc tơpơ theo nón, ta nhắc lại cách xây dựng bậc tôpô không gian hữu hạn chiều không gian vô hạn chiều Bậc tôpô không gian hữu hạn chiều A Cho G tập mở bị chặn không gian R n , A : G  R n , A  C1 (G ) Ta nhắc lại A  C1 (G ) A khả vi điểm x0  G A ' : G  L( R n ; R n ) liên tục Hơn A  C1 (G ) có tập E  G , E mở, có A  C1 (G ) A |G  A Định nghĩa 1.2.1 Cho A  C1 (G ) , ta gọi x điểm tới hạn A det A '( x)  , A( x) gọi giá trị tới hạn A Tập hợp điểm tới hạn A G kí hiệu Z A (G ) hay Z A Tập hợp giá trị tới hạn A  Z A  gọi nếp A Định lý 1.2.2 Nếu A  C1 (G ) p  A( Z A ) A1 ( p ) chứa hữu hạn điểm (Chứng minh Định lý 1.2.2 tham khảo [6, p.143]) Định nghĩa 1.2.3 Giả sử A  C1 (G ) , p  A(G ) p  A( Z A ) Ta định nghĩa deg( A, G , p ) bậc A p G với: deg( A, G , p ) :  sign det A '( x) 1 xA ( p ) Chú ý 1.1: (i) Trong định nghĩa điều kiện p  A(G ) A '( x) tồn x  A1 ( p ) x  A1 ( p )  G nên A '( x) tồn (ii) Điều kiện p  A( Z A ) bảo đảm tổng  sign det A '( x) hữu hạn (do Định lý 1.2.2) xA1 ( p ) Hạn chế Định nghĩa 1.2.3 có nhiều ràng buộc ánh xạ A điểm p , sau hai định nghĩa “tốt hơn”, loại bỏ điều kiện A khả vi G điều kiện p  A( Z A ) Để kiểm tra tính đắn hai định nghĩa này, ta tham khảo [6, p 144-149] Định nghĩa 1.2.4 Giả sử A  C1 (G ) , p  A(G ) p  A( Z A ) Khi đó: deg( A, G , p ) : deg( A, G , q ) với q điểm thỏa mãn: q  A( Z A ) q  p  d ( p, A(G )) d (a, ) : inf{|| x  a ||: x  } Định nghĩa 1.2.5 Giả sử A  C (G ) , p  A(G ) Khi đó: deg( A, G , p ) : deg(, G , p ) với B  C (G ) thỏa: A( x)  B( x)  d ( p, A(G )), x  G Như ta xem xét bậc tôpô ánh xạ liên tục A không gian hữu hạn chiều Câu hỏi đặt làm để xây dựng bậc tơpơ cho ánh xạ không gian vô hạn chiều Phần sau trình bày bậc tơpơ khơng gian vơ hạn chiều cho ánh xạ A có dạng A  I  F với I hàm đồng nhất, F : G  X hàm compact liên tục Bậc tôpô không gian vô hạn chiều (Bậc Leray-Schauder) Định nghĩa 1.2.6 Cho X Y hai không gian tuyến tính định chuẩn, ánh xạ compact F : X  Y gọi ánh xạ hữu hạn chiều F ( X ) chứa khơng gian tuyến tính hữu hạn chiều Y Định lý 1.2.7 (Định lý xấp xỉ Schauder) Cho G tập lồi khơng gian tuyến tính định chuẩn X  ( X ,|| ||) , F : X  G ánh xạ compact liên tục Khi với   , tồn tập hữu hạn V  v1 , v2 , ,  F ( X ) hàm liên tục hữu hạn chiều F : X  G thỏa mãn: (i) F ( x)  F ( x)   , x  X (ii) F ( X )  co(V )  G co(V ) tập lồi nhỏ chứa V (Chứng minh Định lý 1.2.7 tham khảo [6, Định lý 4.12]) Định nghĩa 1.2.8 Cho G tập mở, bị chặn không gian định chuẩn X  ( X ,|| ||)  A  I  F với I hàm đồng nhất, F : G  X hàm compact liên tục, p  A(G ) Đặt A  I  F  hàm tùy ý xác định G liên tục hữu hạn chiều thỏa: với F  ( x)  d ( p, A(G )), x  G F ( x)  F  (G ) p , đặt G  G  V , ta định nghĩa: Chọn không gian tuyến tính hữu hạn chiều V chứa F V deg( A, G, p ) : deg( A, GV , p ) , gọi deg( A, G , p ) bậc Leray - Schauder ánh xạ A p G  đuợc suy từ Định lý 1.2.7 Ngoài ra, tồn deg(  Nhận xét: Sự tồn ánh xạ F A, GV , p ) độc lập với việc chọn khơng gian V Định nghĩa1.2.8 tham khảo [6, p.152-153]) Bậc tơpơ theo nón K Bổ đề 1.2.9 Cho khơng gian Banach X , tập đóng M  X ánh xạ compact liên tục A : M  X Khi tồn ánh xạ compact liên tục A : X  X cho: A( x)  A( x) x  M , (Chứng minh Bổ đề 1.2.9 xem [4, p.44]) A( X )  coA( M ) Định nghĩa 1.2.10 Cho X không gian Banach với nón K Giả sử G  X tập mở, bị chặn A : K  G  K ánh xạ compact liên tục cho: Ax  x x  K  G Gọi A : X  X ánh xạ compact liên tục cho:  A( x)  A( x) x  K  G   A( X )  co( A( K  G ))  K (1.1) (Sự tồn A đuợc suy từ Bổ đề 1.2.9) Khi ( I  A)( x)  với x  G Giả sử trái lại, ta có x0  G : x0  Ax0 mà A( X )  K , nên x0  K  G Do x0  A( x0 )  A( x0 ) , điều mâu thuẫn với giả thiết A( x)  x x  K  G Vì bậc tơpơ deg( I  A, G ,0) xác định tốt Ta định nghĩa: ik ( A, G ) : deg( I  A, G ,0) gọi iK ( A, G ) bậc tôpô theo nón K ánh xạ A tập mở G Để kiểm tra tính đắn Định nghĩa 1.2.10, ta cần xem xét số kết khái niệm đồng luân phép biến đổi compact (Chứng minh kết tham khảo [6, Định lý 12.16]) Định nghĩa 1.2.11 Cho G tập mở, bị chặn khơng gian tuyến tính định chuẩn X  ( X ,|| ||) Giả sử h :[0,1]  K (G ) , K (G ) tập hợp hàm compact liên tục từ G vào X Ta nói h đồng luân phép biến đổi compact G với   cho trước, tồn  ( )  cho: (h(t ))( x)  (h( s ))( x)   với x  G, t  s   Định lý 1.2.12 (Bất biến đồng luân) Cho G tập mở, bị chặn khơng gian tuyến tính định chuẩn X  ( X ,|| ||) , h đồng luân phép biến đổi compact G Đặt t  I  h(t ) , p  t (G ) với  t  deg(t , G , p ) khơng phụ thuộc vào t  [0,1] Bây ta kiểm tra tính có lý định nghĩa 1.2.10 Giả sử A ' mở rộng khác A thỏa (1.1) Đặt h(t ) : X  K , h(t )  t A '  (1  t ) A Lấy   bất kì, chọn     A  A   A  A' ta có: (h(t ))( x)  (h( s ))( x)  (t  s)( A  A ')( x)  t  s A  A '   với x  G, t  s   Do h đồng luân A, A ' Đặt t ( x)  ( I  h(t ))( x)  t ( I  A)( x)  (1  t )( I  A ')( x) Ta có: 0  I  A;1  I  A 0  I  A;1  I  A ' t ( x)  với x  G , t   0,1 (vì trái lại có x0  G, t0  [0,1] cho: t ( x0 )  hay x0  h(t0 )( x0 )  K x0  K  G , nghĩa x0  Ax0 , mâu thuẫn với giả thiết) Do  t (G ) với t   0,1 Theo Định lý 1.2.12, ta có deg(0 , G ,0)  deg(1 , G,0) , deg( I  A, G ,0)  deg( I  A ', G ,0) Vậy định nghĩa bậc tơpơ theo nón khẳng định hợp lý Tính chất bậc tơpơ theo nón K Cho X khơng gian Banach với nón K Giả sử G  X tập mở, bị chặn A : K  G  K compact liên tục, Ax  x, x  K  G (1) Tính chuẩn tắc: Nếu A( x)  u0  G, x  G iK ( A, G )  (2) Tính bất biến đồng luân: Giả sử A0 ; A1 : K  G  K compact liên tục, A0 x  x; A1 x  x, x  K  G đồng luân dương K  G theo nghĩa: tồn ánh xạ compact F : ( K  G )  [0,1]  K cho: F ( x, t )  x, ( x, t )  G   0,1 ; F ( x,0)  A0 ( x); F ( x,1)  A1 ( x) Thế iK ( A0 , G )  iK ( A1 , G ) (3) Tính cộng tính: Giả sử G, G1 , G2 tập mở bị chặn, G1  G2  ,  Gi  G (i  1, 2)  A : K  G  K ánh xạ compact thỏa mãn: A( x)  x với x  K  G \ (G1  G2 ) Khi đó: iK ( A, G )  iK ( A, G1 )  iK ( A, G2 ) (4) Tính chất nghiệm: Nếu iK ( A, G )  A có điểm bất động K  G 1.3 Định lí Krasnoselskii mở rộng Trong mục này, ta trình bày Định lý Krasnoselskii (Định lý 1.3.4) số định lý mở rộng Chứng minh định lý dựa bậc topo số hàm số truờng hợp đặc biệt Do ta trình bày trước Định lý 1.3.2 Định lý 1.3.3 sở cho việc chứng minh Định lý Krasnoselskii Bổ đề 1.3.1 Cho X không gian Banach với nón K Giả sử G  X tập mở, bị chặn chứa điểm , A : K  G  K ; A( x)  u x  K  G Khi đó, u  G iK ( A, G )  Chứng minh Bổ đề 1.3.1 Giả sử iK ( A, G )  , theo tính chất nghiệm bậc tơpơ theo nón A có điểm bất động x0 K  G , suy x0  u  G , điều mâu thuẫn với giả thiết  Định lý 1.3.2 Cho X không gian Banach với nón K Giả sử G  X tập mở, bị chặn chứa , A : K  G  K ánh xạ compact liên tục cho: Ax  x với x  K  G (i) Nếu A( x)   x, x  K  G,   iK ( A, G )  (ii) Nếu tồn phần tử x0  K \ {0} cho x  A( x)   x0 , x  K  G ,   iK ( A, G )  (iii) Giả sử (a) Ax   x, x  K  G,   1, (b) inf || Ax ||: x  K  G  Khi iK ( A, G )  Chứng minh Định lý 1.3.2 (i) Xét ánh xạ compact F : ( K  G )  [0,1]  K , F ( x, t )  tA( x) Ta có F ( x, t )  tA( x)  x, x  K  G, t  (do giả thiết), suy A đồng luân dương với A0 ( x)  ( F ( x,0)  0, F ( x,1)  A( x) ) Do iK ( A, G )  iK (0, G )  (do tính chuẩn tắc bậc tơpơ theo nón,  G ) (ii) Ta chứng minh A đồng luân dương với A0 ( x)   x0  đủ lớn  x0  G áp dụng Bổ đề 1.3.1 ta có iK ( A, G )  Chỉ cần chứng minh tồn 0 cho: x  (1  t ) Ax  t x0 , x  K  G , t  [0,1],   0 (1.2) Giả sử trái lại, tồn xn  K  G, tn  [0,1], n  0, n   cho: xn  (1  tn ) Axn  tn n x0 (1.3) Vì {xn }  G, {tn } bị chặn, A compact nên vế trái (1.3) bị chặn Do vế phải (1.3) bị chặn hay {tn n } bị chặn R Không giảm tính tổng qt ta xem lim tn n    (nếu không ta xét dãy con) Khi lim tn  lim n  tnn   , điều suy A( xn ) hội tụ (do A compact, {xn }  G bị chặn) Do  xn  hội tụ x  K  G (do K  G đóng) Khi qua giới hạn (1.3) ta có x  Ax   x0 , x  K  G,   , mâu thuẫn với giả thiết.Vậy (1.2) (iii) Lấy t  bất kỳ, xét ánh xạ compact ht : ( K  G )  [0,1]  K , ht ( x, s )  (1  s ) Ax  stAx Đặt  ( s, t )  1 Ax , Ta có   ( s, t )  1, s  [0,1], t  h( x, s )   ( s, t )  s (t  1) điều suy h( x, s )  x (do giả thiết (a)) Do A tA (với t  ) đồng luân dương K  G , theo tính bất biến đồng ln bậc tơpơ ta có: iK ( A, G )  iK (tA, G ), t  Ta chứng minh tồn t0 cho t  t0 : iK (tA, G )  , iK ( A, G )  Thực vậy, áp dụng kết vừa chứng minh phần (ii) ta cần chứng minh với x0  K \ {0} cố định thì: x  tA( x)   x0 , t  t0 , x  K  G,   (1.4) Giả sử trái lại, tồn dãy tn  , xn  K  G, n  cho xn  tn A( xn )  n x0 Vì A : K  G  K compact nên tồn dãy {xnk } để A( xnk )  y  K Mặt khác, ý xnk tnk  A( xnk )  n k tnk x0  K Cho k   ta có  y  K , suy y  K  ( K ) hay y  , mâu thuẫn với (b) Do (1.4) hay iK (tA, G )  t  t0 Vậy iK ( A, G )  iK (tA, G )  0(t  t0 )  Định lý 1.3.3 Cho X khơng gian Banach với nón K Giả sử G  X tập mở, bị chặn, chứa A : K  G  K ánh xạ compact liên tục cho Ax  x với x  K  G (i) Giả sử tồn u  G cho Ax  x   ( x  u ), x  G ,   , iK ( A, G )  (ii) Nếu tồn u  K \ G cho Ax  x   ( x  u ), x  G ,   , iK ( A, G )  Chứng minh Định lý 1.3.3 (i) Xét ánh xạ compact h : ( K  G )  [0,1]  K , h( x, t )  (1  t ) Ax  tu , ta chứng minh h( x, t )  x, ( x, t )  ( K  G )  [0,1] Thật vậy, giả sử trái lại tồn x0  ( K  G ), t0  [0,1] cho (1  t0 ) Ax0  t0u0  x0 Ta suy t0  , khơng ta có u0  x0 , mâu thuẫn với x0  G , u  G ( G mở) Khi Ax0  x0  t t0  x0  u0  với  , điều mâu thuẫn với giả thiết  t0  t0 Do h( x, t )  x, ( x, t )  ( K  G )  [0,1] Theo tính bất biến đồng luân ta có: iK ( A, G )  iK (u , G )  (do u  G ) (ii) Chứng minh tương tự ta có: iK ( A, G )  iK (u , G )  (do u  G , Bổ đề 1.3.1) (h1) || N ( x) |||| x || với x  C , x   (h2) | N ( x) || x | với x  C ,| x | R Khi  A có hai điểm bất động x1 x2 với || x1 ||  || x2 || | x2 | R Chương ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ KRASNOSELSKII CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN 3.1 Ứng dụng Định lý Krasnoselskii chứng minh tồn nghiệm phương trình tích phân phi tuyến Xét phương trình tích phân phi tuyến y (t )  h(t )   k (t , s ) f ( y ( s ))ds, t  [0,1] (3.1) Ta tìm điều kiện k , h f để (3.1) có nghiệm khơng âm y  C[0,1] Định lý 3.1 Giả sử  kt ( s )  k (t , s )  L1[0,1] với t  [0,1] (3.2) Ánh xạ t  kt ánh xạ liên tục từ [0,1] vào L1[0,1] (3.3) Tồn M  (0,1),   L1[0,1] [a, b]  [0,1] cho k (t , s )  M  ( s )  với t  [a, b] s  [0,1] hầu khắp nơi (3.4) k (t , s )   ( s ) với t  [0,1] s  [0,1] hầu khắp nơi (3.5) h  C[0,1], h(t )  với t  [0,1] h(t )  M | h |0  M sup h(t ) (3.6) f : R  R ánh xạ liên tục, không giảm f (u )  u với u  (3.7) t[ a , b ] Tồn   cho  | h |0  K1 f ( ) Tồn   0,    cho t[0,1]  với K1  sup  k (t , s )ds   K2 f (M  ) t[0,1] b  với K  sup  k (t , s )ds t[0,1] a Khi (3.1) có nghiệm không âm y  C[0,1] : (A)      | y |0   (B)      | y |0   Chứng minh định lý 3.1 Đặt F : C[0,1]  C[0,1] xác định bởi: (3.8) (3.9) Fy (t )  h(t )   k (t , s) f ( y ( s ))ds, t  [0,1] (3.10) Đặt C  { y  C[0,1]: y (t )  0, t  [0,1] y (t )  M | y |0 t  [a, b]} (3.11) Ta áp dụng Định lý 2.1.11 (Định lý nón dạng giãn Krasnoselskii) để chứng minh F có điểm bất động C Bước 1: Chứng minh C nón n   y ta có y (t )  với t  [0,1] Mặt C tập đóng lấy  yn nN  C bất kỳ, yn  khác yn (t )  M | yn |0 với n  N , t  [a, b] nên lấy giới hạn hai vế n   ta có y (t )  M | y |0 với t  [a, b] Do y  C hay C tập đóng Với y, y1 , y2  C ,   O ta có: ( y1  y2 )(t )  y1 (t )  y2 (t )  0; ( y1  y2 )(t )  y1 (t )  y2 (t )  M | y1 |0  M | y2 |0  M | y1  y2 |0 t  [ a, b]; ( y )(t )   y (t )  0; ( y )(t )   M | y |0  M |  y |0 t  [a, b] suy C  C  C , C  C Với y  (C ) ta có tồn y '  C : y   y ' suy y (t )  0, t  [0,1] , C  C  {0} Bước 2: Chứng minh F : C  C Lấy y  C ta chứng minh Fy  C Thật vậy, lấy t1 , t2  [0,1] ta có 1 0 Fy (t1 )  Fy (t2 )  h(t1 )  h(t2 )   k (t1 , s ) f ( y ( s ))ds   k (t2 , s ) f ( y ( s ))ds  h(t1 )  h(t2 )  sup f ( y ( s ))  k (t1 , s)  k (t2 , s ) ds s[0,1] (do(3.2), (3.7))  t1  t2 (do f ( y ( s ))  y ( s )  với s  [0,1] ) Do Fy  C[0,1] (3.12) Mặt khác: h(t )  0, k (t , s )  0, f ( y ( s ))  y ( s )  với t  [0,1], s  [0,1] suy ra: Fy (t )  t  [0,1]   Lại có Fy (t )   h(t )   k (t , s) f ( y ( s ))ds  t[ a , b ] t[ a , b ]    h(t )   k (t , s ) f ( y ( s ))ds t[ a , b ] t[ a , b ] (3.13)  M | h |0   M  ( s ) f ( y ( s))ds (do (3.4), (3.6) f ( y ( s))  y ( s )  với s  C[0,1] )   Suy Fy (t )  M  | h |0    ( s ) f ( y ( s ))ds  t[ a , b ]    M ( h   k (t , s ) f ( y ( s))ds ) , t  [0,1] (do (3.5) f ( y ( s ))  với s  C[0,1] )   Do Fy (t )  M  sup h(t )  sup  k (t , s ) f ( y ( s))ds  t[ a , b ] t[0,1]  t[0,1]     M sup  h(t )   k (t , s) f ( y ( s))ds  t[0,1]    M | Fy |0 (3.14) Từ (3.12), (3.13) (3.14) ta có Fy  C y  C hay F : C  C Bước 3: Chứng minh F compact liên tục n   y C[0,1] ta có: Lấy  yn n  C[0,1], yn  Fyn  Fy  sup Fyn (t )  Fy (t ) t[0,1]  k (t , s)  f ( y (s))  f ( y(s))ds  sup n t[0,1]  sup  k (t , s) t[0,1] f ( yn ( s))  f ( y ( s )) ds    sup   sup  ( s)  f ( yn ( s))  f ( y ( s )) ds t[0,1]  s[0,1]      sup  ( s )   f ( yn ( s ))  f ( y ( s )) ds  s[0,1] 0 n    (do  yn n  C[0,1], f liên tục) Vậy F liên tục Tiếp theo ta lấy U tập bị chặn C[0,1] ta sử dụng Định lý Arzela-Ascoli để chứng minh F (U ) compact tương đối C[0,1] Thật vậy, U tập bị chặn nên tồn c  :| y ( s) | c với s  [0,1] , y  U Suy tồn C  :| f ( y ( s )) | C với s  [0,1] , y  U (do f liên tục) Với t  [0,1] ta có: | Fy (t ) | h(t )   k (t , s ) f ( y ( s ))ds  h(t )   k (t , s ) f ( y ( s )) ds  h  C   ( s ) ds , y  U Do F (U ) bị chặn điểm (3.15) Lấy t0  [0,1],   bất kỳ, h  C[0,1] nên tồn 1  cho với t  [0,1],| t  t0 | 1 | h(t )  h(t0 ) |  Do ánh xạ t  kt ánh xạ liên tục từ [0,1]vào L1[0,1] nên tồn   cho với t  [0,1],| t  t0 |  kt  kt0   2C Đặt   min{1 ,  } với t  [0,1],| t  t0 |  ta có: | Fy (t )  Fy (t0 ) | h(t )  h(t0 )    k (t , s)  k (t , s) f ( y(s))ds 0  h(t )  h(t0 )  kt  kt0  f ( y ( s)) ds     2C C   , y U Do F (U ) liên tục đồng bậc C [0,1], R  (3.16) Từ (3.15) (3.16), theo Định lý Arzela-Ascoli ta có F(U) tập compact tương đối C [0,1], R  Vậy F : C  C compact liên tục Bước 4: Đặt  :  y  C[0,1]: y    ,     : y  C[0,1]: y   Ta chứng minh: | Fy |0 | y |0 , y    C (3.17) | Fy |0 | y |0 , y    C (3.18) Thật vậy, lấy y    C bất kỳ, y   y (t )  0, t  [0,1] Từ (3.2), (3.7) (3.8) ta có:   sup Fy (t )  sup  h(t )   k (t , s ) f ( y ( s ))ds  t[0,1] t[0,1]    sup h(t )  f ( y ) sup  k (t , s )ds t[0,1] t[0,1] | h |0  K1 f ( )   | y |0 Do (3.17) Lấy y     C bất kỳ, y (t )  0, t  [0,1] , y   với t  [a, b] ta có M   y (t )   Từ (3.2), (3.6), (3.7) (3.9) ta có: sup Fy (t )  sup h(t )   k (t , s ) f ( y ( s ))ds t[0,1] t[0,1] b  sup  k (t, s) f ( y( s))ds t[0,1] a b  sup  k (t , s) f ( y(s)) ds t[0,1] a  K f ( M  )   | y |0 Do (3.18) Vậy    theo Định lý 2.1.11, F có điểm bất động y 1 : {x  C :  | x |0   } Nếu    theo Định lý 2.1.8, F có điểm bất động y  : {x  C :  | x |0   }  Chú ý 3.1: Điều kiện (3.9) thay điều kiện: (3.19) Tồn   0,    t*  [0,1] cho  b 1 h(t*)  f ( M  )  k (t*, s )ds a Do kết (3.18) đước suy từ (3.9) nên ta chứng minh (3.19) suy (3.18) Thật vậy, lấy y     C bất kỳ, y (t )  0, t  [0,1] , y   với t  [a, b] ta có M   y (t )   Khi từ (3.2), (3.6), (3.7) (3.18) ta có: | Fy |0  Fy (t*)  h(t*)   k (t*, s ) f ( y ( s ))ds b  h(t*)   k (t*, s ) f ( y ( s ))ds a b  h(t*)  f ( M  )  k (t*, s )ds a   | y |0 Do (3.18) Chú ý 3.2: Dễ dàng kiểm tra điều kiện f : R  R không giảm ( điều kiện 3.7) bỏ qua, thay vào ta thay điều kiện (3.8) (3.9) theo thứ tự (3.20) Tồn   cho  | h |0  K1 sup f ( z )  với K1  sup  k (t , s )ds  t[0,1] z[0, ] (3.21) Tồn   0,    cho  K inf z[ M  ,  ] b f ( z)  với K  sup  k (t , s )ds t[0,1] a Như Định lý 3.1 chứng minh tồn nghiệm phương trình (3.1) nhờ vào Định lý Krasnoselskii 2.1.11 Dưới ta trình bày ứng dụng Định lý 2.2.3 (Định lý Krasnoselskii dạng hai chuẩn) 3.2 Ứng dụng Định lý Krasnoselskii dạng hai chuẩn chứng minh tồn nghiệm phương trình tích phân Xét phương trình tích phân: y (t )   k (t , s ) f ( s, y ( s ))ds với t  [0,1] h.k.n (3.22) Ta tìm nghiệm dương y  Lp [0,1] với  p   phương trình (3.22), nghĩa y (t )  với 1 p p t  [0,1] h.k.n   y (t ) dt    0  Định lý 3.2 Cho không gian LP [0,1](1  p  ) Giả sử rằng: f :[0,1]  R  R hàm Carathéodory, nghĩa là: Ánh xạ t  f (t , y ) đo với y  R (3.23) Ánh xạ y  f (t , y ) liên tục với t  [0,1] h.k.n (3.24) Tồn p2  (1, ); a0 , a1  LP2 ([0,1], R ) với a0 (t )  tập có độ đo dương a2  cho: f (t , y )  a1 (t )  a2 | y | f (t , y )  a0 (t ) p p2 với  y  R , t  [0,1] h.k.n (3.25) với y  R , t  [0,1] h.k.n (3.26) f (t , y ) không giảm theo biến y với t  [0,1] h.k.n (3.27) k :[0,1]  [0,1]  R hàm đo (3.28) Tồn  M  1, p2 q p  q  p, k1  Lp [0,1], k2  Lp1 với p1 : cho: p2 p2 q  p  k1 (t ), k2 (t ) với t  [0,1] h.k.n (3.29) Mk1 (t )k2 ( s )  k (t , s )  k1 (t )k2 ( s ) với t  [0,1] h.k.n; với s  [0,1] h.k.n (3.30) Tồn  , R :    R r  [1, q ] cho: k1 q k2 p p2 p1  (  )   với  (t ) :| a1 | p  a2 t (t  0) ,trong p1 M k1 r  k2 ( s ) f ( s, br ( s ) R )ds  R (b) với b (t ) : M  p2  (3.31) k1 (t ) , k1  t  [0,1] h.k.n (0    p ) (3.32) Khi (3.22) có hai nghiệm dương y1 , y2 với | y1 |q   | y2 |q | y2 |r  R Chứng minh định lý 3.2 Đặt X : Lp [0,1] A  KF với: F : Lp [0,1]  Lp2 [0,1] ; F ( y )(t )  f (t , y (t )) K : Lp2 [0,1]  Lp [0,1] ; K (v)(t )   k (t , s )v( s )ds Đặt C  { y  Lp [0,1]: y  0; y (t )  b (t ) | y | , t  [0,1] h.k n,   [1, p ]} (3.33) Ta áp dụng Định lý 2.2.3 để chứng minh A có hai điểm bất động C Bước 1: Chứng minh C  X tập lồi khác  với  C  C  C với   Thật vây: Dễ thấy C  ( k1  C ) ;  C  C  C với   C lồi lấy y1 , y2  C , 1 , 2  [0,1]: 1  2  ta có: 1 y1  2 y2  (hiển nhiên)  1 y1  2 y2  (t )  1 y1 (t )  2 y2 (t )  b (t )(1 y1   2 y2  )]  b (t )(  y1  2 y2  ), t  [0,1] h.k n,   [1, p Bước 2: Chứng minh F , K xác định A : C  C Với y  L [0,1] ta có f (t , y (t ))  a1 (t )  a2 | y | p 1 Mà a1  L [0,1] , | y |  L [0,1] (do    | y |    p p2 P2 p p2 p2 p p2    dt      p2 p2 p p2 với t  [0,1] h.k n p p2 p | y |   ) Do a1  a2 | y |  Lp2 [0,1] , suy F ( y )  f (., y (.))  Lp2 [0,1] Vậy F : Lp [0,1]  Lp2 [0,1] p       p    K ( v )( t ) dt k ( t ) k ( s ) v ( s ) ds dt        0   00  Với v  Lp2 [0,1] ta có: 1 p 1 p 1 p   p     k1 (t )  dt    k2 ( s )v( s ) ds  0  0  1 1  p1   p2 p1 p2  k1 p   k2 ( s ) ds    v( s) ds  (bất đẳng thức Holder) 0  0   k1 p k2 p1 v p2   ( k2  Lp1  Lp1 p  q ta có: p1 : p2 q q q   p1 )   q p2 q  p q  p q 1 p2 p2 p2 Do K (v)  Lp [0,1] hay K : Lp2 [0,1]  Lp [0,1] 1 0 Lấy y  C bất kỳ, ta có: A( y )(t )   k (t , s ) f ( s, y ( s ))ds  Mk1 (t )  k2 ( s ) f ( s, y ( s ))ds, t  [0,1] h.k n , suy  k2 ( s ) f ( s, y ( s ))ds  A( y )(t ) , t  [0,1] h.k.n Mk1 (t ) Lấy   [1, p ] ta có:  11   A( y )(t )   A( y )      k (t , s ) f ( s, y ( s))ds  dt  k1   k2 ( s ) f ( s, y ( s ))ds  k1  , t  [0,1]h.k.n suy 00  Mk1 (t )    A( y )(t )  Mk1 (t ) A( y )   b (t ) A( y )  , t  [0,1]h.k.n,  [1,p] k1  (3.34) Mặt khác A( y )(t )   k (t , s) f ( s, y ( s))ds  M  k1 (t ).k2 ( s).a0 ( s )ds t  [0,1], y  C  t  [0,1] (do a0 (t )  k1 (t ), k2 (t )  0, t  [0,1] h.k n ) Suy A( y )  0, y  C Từ (3.34) (3.35) ta có A( y )  C Vậy A : C  C (3.35) Bước 3: Chứng minh A hoàn toàn liên tục Ta chứng minh F liên tục, bị chặn K hoàn toàn liên tục * Chứng minh F : Lp [0,1]  Lp2 [0,1] liên tục: Lấy  yn nN *  Lp [0,1] Fyn n , yn  y Lp [0,1] Giả sử  Lp2 [0,1] , tồn   dãy Fynk Fynk  Fy p2 không hội tụ Fy : k   , nk  N (3.36)   Lại có ynk  y Lp [0,1] nên có dãy ynk l l cho: ynk (t )  y (t ) , t  [0,1] h.k.n tồn l h  Lp [0,1] : ynk (t )  h(t ) với nk  , t  [0,1] Từ ta suy ra: l  Fynk (t )  f (t , ynk (t ))   f (t , y (t ))  Fy (t ) , t  [0,1] h.k.n l (3.37) l Fynk (t )  a1 (t )  a2 ynk (t ) l p p2 l  a1 (t )  a2 h(t ) hàm g (t )  a1 (t )  a2 h(t ) Fynk (t )  Fy (t ) p2 l p p2 p p2 , t  [0,1] , nk  (3.38) khả tích Lp2 [0,1] (do a1  Lp2 ; h  p2 1 Fynk (t ) p2 l  p2 1 Fy (t ) Từ (3.38) ta có: 2 l 2 p2 1 a1 (t )  a2 | y (t ) | p2  a2 | ynk (t ) | p  a2 | y (t ) | p  l   22 p2   a1 (t )  p2  a2 | h(t ) | p  a2 | y (t ) | p  , nk  , t  [0,1]  Do Fynk (t )  Fy (t ) p2 p2  a2 | h(t ) | p  a2 | y (t ) | p   L1 , t  [0,1] (do a1  Lp2 ; h  Lp )  p2 l    0, t  [0,1] h.k.n (do (3.37) Theo Định lý Lebesgue hội tụ bị chặn ta có: lim Fynk  Fy l  l p2 p p2 p2  k (t ), t  [0,1], nkl  Mặt khác Fynk (t )  Fy (t ) l a1 (t )  a2 | ynk (t ) | p p2 p2  Lp2 ) p2  22 p2   a1 (t )  Lại có k (t )  22 p2   a1 (t )  l p2 1 p p2 p2 lim  Fynk (t )  Fy (t ) dt  hay l  l  (Mâu thuẫn với (3.36)) Vậy  Fyn n không hội tụ Fy Lp2 [0,1] hay F ánh xạ liên tục liên tục * Chứng minh F biến tập bị chặn Lp [0,1] thành tập bị chặn Lp2 [0,1] : Lấy  tập bị chặn Lp [0,1] nghĩa với y   ta có M  cho y p2 Fy p2 p  M Khi đó:   f (t , y (t )) dt p 2 p2 1  p2 a1 (t ) dt  a2 p2 1  y (t ) p p2 p2 dt  p2 1 ( a1 p2  a2 M p ) , y   p2 Suy F () tập bị chặn Lp2 [0,1] Ta cần chứng minh K hồn tồn liên tục, trước hết ta có bổ đề sau: Bổ đề: Tiêu chuẩn Riesz tính compact Cho   LP [0,1] (1  p  ) Khi  tập compact tương đối không gian LP [0,1] điều kiện sau thỏa: (i)  bị chặn LP [0,1] (ii)  u (t  h)  u (t ) p dt  h  biến u   * Chứng minh K : Lp2 [0,1]  Lp [0,1] liên tục hoàn toàn liên tục: Lấy u  LP2 [0,1] , đó:       k (t , s ).u ( s )ds dt   0  p 1 Ku p   p1    p      k (t , s ) ds       p  p2 1     u ( s ) ds   0      p2 p2 p  dt  ( p1 số liên hợp p2 )   (do bất đẳng thức Holder với t  [0,1]: k (t ,.)  k1 (t ).k2 (.)  Lp1  LP1 )  u  u  u p2 p 1 p p1   p  k (t , s ) ds  dt      00    1    k (t ) p1 k ( s ) p1 ds  dt       00    p p1 p2 p2 k1 p k2 p1 p Do Ku p  u k1 p2 p k2 u  Lp2 , suy K : Lp2 [0,1]  Lp [0,1] liên tục p1 Để chứng minh K : Lp2 [0,1]  Lp [0,1] hoàn toàn liên tục ta áp dụng tiêu chuẩn Riesz Lấy  tập bị chặn Lp2 [0,1] , nghĩa tồn D  : u Ku p  u p2 k1 p k2 p1  M u   Lấy u  ta có: p2  D k1 k2 p p1 u   Do K    bị chặn Lp [0,1] Tiếp theo ta rằng:  p Ku (t  h)  Ku (t ) dt  h  biến u   Thật vậy:  Ku (t  h)  Ku (t ) p 1 0 p dt    k (t  h, s )u ( s )ds   k (t , s )u ( s )ds dt p 1      k (t  h, s )  k (t , s ) u ( s ) ds  dt 0  p  u p1 1  p1 0  0 k (t  h, s)  k (t , s) ds  dt   p p2 (bất đẳng thức Holder, u    Lp2 với t  [0,1]: k (t ,.)  k1 (t ).k2 (.)  Lp1  LP1 ) p p1 1  p1 p  D    k (t  h, s )  k (t , s ) ds  dt   0 h 0  0 Vậy K : Lp2 [0,1]  Lp [0,1] hoàn toàn liên tục Do F : Lp [0,1]  Lp2 [0,1] liên tục K : Lp2 [0,1]  Lp [0,1] hoàn toàn liên tục nên A  K o F : Lp [0,1]  Lp [0,1] hoàn toàn liên tục Bước4 : Áp dụng Định lý 2.2.3 với | |:| |q || ||:| |r Đầu tiên ta chứng minh tồn c1 , c2  : c1 | y |q | y |r  c2 | y |q , y  C (3.39) Thật vậy, rõ ràng | y |r | y |q , y  C (do r  q ); mặt khác với y  C ta có y (t )  b (t ) | y | với   [0,1] , suy y r  b r | y | Do (3 39) với c1  b ; c2  r Cuối ta chứng minh : | A( y ) |q | y |q với y  C ,| y |q   (3.40) | A( y ) |r | y |r với y  C ,| y |r  R (3.41) Thật vậy, với y  C ,| y |q   ta có: q 11 q  | A( y ) |q      k (t , s ) f ( s, y ( s )) ds  dt  00     p1     p p  k1 q   k2 ( s ) ds    F ( y )( s ) ds  0  0   k1 q k2  k1 q p Ta có y p1 p2 p2 F ( y) p  k2 p  a1   a2 y p2 p      y p2 ( s ) ds    p2 p2 p p2 p2    p2     y(s) 0 p p2 q p2 p  ds   p p2 q   q    y ( s ) ds  0  1 p q p2 p  y qp2 Suy | A( y ) |q  k1 q k2  k1 q k2 p1 ( y q) p1  ( )   | y |q (do (3.31)) Do (3.39) thỏa mãn Cuối lấy y  C ,| y |r  R ta có : r 11  r | A( y ) |r      k (t , s ) f ( s, y ( s )) ds  dt  00     M k1 r  k2 ( s ) f ( s, y ( s))ds  M k1 r  k2 ( s ) f ( s, br ( s ) y r )ds (do y  C f ( s, y ) không giảm theo y )  M k1 r  k2 ( s ) f ( s, br ( s ) R )ds  R | y |r (do (3.32)) Do (3.40) thỏa mãn Áp dụng Định lý 2.2.3 ta có A có hai điểm bất động y1 , y2 với | y1 |q   | y2 |q | y2 |r  R (đpcm)  KẾT LUẬN Như luận văn nêu hai phương pháp việc chứng minh Định lý Krasnoselskii cho ánh xạ nén giãn mặt nón Đó phương pháp dùng khái niệm bậc topo phương pháp dùng Định lý điểm bất động Schauder Ngoài ra, luận văn cịn trình bày hai định lý ứng dụng Định lý Krasnoselskii việc chứng minh tồn nghiệm phương trình tích phân phi tuyến Tuy định chứng minh chúng phức tạp luận văn trình bày chi tiết rõ ràng số báo sách tham khảo Tuy nhiên thời gian điều kiện làm việc hạn chế nên luận văn chưa sâu nghiên cứu Định lý Krasnoselskii cho ánh xạ đa trị xem xét thêm nhiều ứng dụng khác định lý việc chứng minh tồn nghiệm phương trình tích phân phi tuyến (3.1) (3.21) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] D O’Regan, R Precup (2005), “Compression–expansion fixed point theorem in two norms and applications”, Mathematical Analysis and Applications, 309, pp.383-391 [2] Nguyễn Bích Huy, Giáo trình Cao học Giải tích phi tuyến 2, Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh [3]M K Kwong (2008), “On Krasnoselskii’s cone fixed point theorem”, Fixed point theory and Aplications, Article ID 164537, 18pp [4] K Deimling (1984), Nonlinear Functional Analysis, Springer Verlag, New York [5]Leszek Gasi´nski, Nikolaos S Papageorgiou (2005), Nonlinear Analysis Volume 9, Taylor & Francis Group, LLC, New York [6] R P Agarwal, M Meehan, D O'Regan (2001), Fixed point theory and applications, Cambridge University Press, New York [7] R P Agarwal, M Meehan, D.O'Regan (2001), Nonlinear integral equations and inclusions, Nova Science Publishers, New York ... định lý Schauder để nghiên cứu Định lý Krasnoselskii cịn ý nghĩa số trường hơp, ví dụ cần trình bày định lý cách độc lập với việc dùng bậc topo Luận văn trình bày hai phương pháp nghiên cứu Định. .. iK ( A, G )  A có điểm bất động K  G 1.3 Định lí Krasnoselskii mở rộng Trong mục này, ta trình bày Định lý Krasnoselskii (Định lý 1.3.4) số định lý mở rộng Chứng minh định lý dựa bậc topo số... R R  khơng có điểm bất động BR (do  khơng có điểm bất động Br , A khơng có điểm bất động  S R ) Điều mâu thuẫn với (P3) Vậy A có điểm bất động  Định lý 2.1.6 Cho X , C xác định hai số  r