1505 định lý bốn điểm đối với hàm phân hình và tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ phân hình nhiều biến luận văn tốt nghiệp

1 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Năm 1925, R Nevanlinna công bố báo phân bố giá trị hàm phân hình mặt phẳng phức Sau đó, nhanh chóng mở rộng sang trường hợp hàm phân hình nhiều biến phức ánh xạ chỉnh hình vào khơng gian xạ ảnh phức, lập nên lý thuyết mà sau mang tên Nevanlinna (hay gọi Lý thuyết phân bố giá trị) Nhiều ứng dụng đẹp đẽ lý thuyết việc nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình, phân hình như: Bài tốn xác định ánh xạ chỉnh hình, phân hình; Bài tốn tính Hyperbolic đa tạp đại số xạ ảnh; Bài toán họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình, phân hình; Bài tốn thác triển ánh xạ chỉnh hình Phát triển lý thuyết nghiên cứu ứng dụng Lý thuyết Nevanlinna lĩnh vực khác liên tục thu hút quan tâm nhiều nhà toán học suốt gần 100 năm qua Trong bối cảnh đó, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu: "Định lý bốn điểm hàm phân hình tính chuẩn tắc họ ánh xạ phân hình nhiều biến" Mục đích nghiên cứu Năm 1926, R Nevanlinna chứng minh với hai hàm phân hình khác f g mặt phẳng phức, chúng có ảnh ngược khơng kể bội năm điểm phân biệt f = g (Định lý năm điểm) g biểu diễn phân tuyến tính f chúng có số ảnh ngược (tính bội) bốn điểm phân biệt (Định lý bốn điểm) Số điểm cần thiết kết nói R Nevanlinna mức Tuy vậy, từ hai kết đó, ta xuất câu hỏi tự nhiên là: Liệu Định lý bốn điểm có mở rộng đến trường hợp khơng tính bội hay bội ngắt mức hay khơng? Vấn đề thu hút quan tâm H Cartan, G Gundersen, N Steinmetz, H Fujimoto, M Shirosaki, Trần Văn Tấn nhiều tác giả khác Tiếp tục hướng nghiên cứu này, xem xét vấn đề sau: Mở rộng Định lý bốn điểm nói tới trường hợp bội ngắt với mức thấp bốn điểm thay bốn hàm phân hình nhỏ (so với hàm f, g xét) 2 Một ứng dụng quan trọng lý thuyết Nevanlinna cho ta tiêu chuẩn tính suy biến hay chặt tính đường cong (chỉnh hình, phân hình) Trong đó, theo nguyên lý Bloch, định lý dạng Picard bé (về tiêu chuẩn đường cong hằng) tương ứng với tiêu chuẩn họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình Đó cầu nối lý thuyết Nevanlinna lý thuyết họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình Nhiều tiêu chuẩn chuẩn tắc cho họ ánh xạ chỉnh hình, phân hình điều kiện ảnh ngược siêu phẳng, siêu mặt L Zalcman, H Fujimoto, W Bergweiler, Z Tu, Phạm Ngọc Mai - Đỗ Đức Thái - Phạm Nguyễn Thu Trang, Sĩ Đức Quang - Trần Văn Tấn, Y Zhang nhiều tác giả khác Vấn đề nghiên cứu thứ hai luận án là: Tính chuẩn tắc cho họ ánh xạ phân hình từ miền không gian affine phức vào không gian xạ ảnh phức điều kiện có ảnh ngược siêu phẳng hay siêu mặt di động Định lý Picard lớn cổ điển rằng: Mỗi hàm chỉnh hình đĩa thủng tránh giá trị phân biệt thác triển chỉnh hình qua điểm thủng Kết mở rộng sang trường hợp ánh xạ chỉnh hình vào khơng gian xạ ảnh phức điều kiện ảnh ngược siêu phẳng (cố định hay di động) siêu mặt cố định H Fujimoto, Z Tu, Z Tu - P Li nhiều tác giả khác Tiếp tục hướng nghiên cứu này, xem xét vấn đề sau: Thiết lập Định lý Picard lớn cho ánh xạ chỉnh hình vào phần bù 2n + siêu mặt di động không gian xạ ảnh phức n chiều Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án Lý thuyết Nevanlinna; Lý thuyết họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình, phân hình; Bài tốn xác định ánh xạ phân hình; Bài tốn thác triển ánh xạ chỉnh hình Phương pháp nghiên cứu Để giải vấn đề đặt luận án, sử dụng phương pháp nghiên cứu Lý thuyết phân bố giá trị, Giải tích phức, Hình học phức; kế thừa phát triển kỹ thuật tác giả trước chủ đề liên quan 3 Các kết đạt ý nghĩa đề tài Đề tài thu nhóm kết sau: - Định lý mối quan hệ hai hàm phân hình mặt phẳng phức có ảnh ngược (với bội ngắt 2) bốn hàm phân hình nhỏ Kết tổng quát mạnh mẽ Định lý bốn điểm R Nevanlinna G Gundersen - Tiêu chuẩn chuẩn tắc cho họ ánh xạ phân hình từ miền không gian affine vào không gian xạ ảnh với điều kiện có ảnh ngược (khơng tính bội) siêu phẳng hay siêu mặt di động Đây kết tiêu chuẩn họ chuẩn tắc điều kiện có ảnh ngược (khơng tính bội) siêu phẳng hay siêu mặt (thay điều kiện ánh xạ vào phần bù siêu phẳng hay siêu mặt kết có) - Định lý dạng Picard lớn cho trường hợp ánh xạ chỉnh hình vào phần bù 2n + siêu mặt di động không gian xạ ảnh phức Kết mở rộng kết tác giả trước, từ siêu mặt cố định, siêu phẳng di động sang siêu mặt di động Cấu trúc luận án Nội dung luận án gồm chương: - Chương trình bày tổng quan vấn đề nghiên cứu Ở đó, chúng tơi đề cập tới kết liên quan, phân tích, so sánh chúng với vấn đề nghiên cứu luận án - Chương dành cho việc nghiên cứu tính hàm phân hình mặt phẳng phức điều kiện có ảnh ngược hàm phân hình nhỏ - Chương dành cho việc nghiên cứu tiêu chuẩn họ chuẩn tắc ánh xạ phân hình từ miền khơng gian affine phức vào khơng gian xạ ảnh có ảnh ngược siêu phẳng hay siêu mặt di động thiết lập Định lý Picard lớn cho ánh xạ chỉnh hình vào phần bù 2n + siêu mặt di động không gian xạ ảnh phức n chiều Chương Tổng quan 1.1 Về hàm phân hình có ảnh ngược bốn điểm Năm 1926, R.Nevanlinna chứng minh hai hàm phân hình khác f g mặt phẳng phức C có ảnh ngược (khơng tính bội) điểm phân biệt f = g (Định lý năm điểm) kết sau, gọi Định lý bốn điểm: Định lý 1.1.1 Cho f g hai hàm phân hình phân biệt mặt phẳng phức C bốn điểm phân biệt a1 , a2 , a3 , a4 ∈ C∪{∞} Giả sử νf −aj = νg−aj (j = 1, 2, 3, 4), νϕ divisor khơng điểm hàm phân hình ϕ Khi đó, g biểu diễn phân tuyến tính f (bởi công thức phụ thuộc vào điểm aj ), hai bốn điểm aj giá trị Picard f (giả sử a3 a4 ), tỷ số kép (a1 , a2 , a3 , a4 ) -1 Các kết R.Nevanlinna mở rộng sang trường hợp ánh xạ chỉnh hình vào khơng gian xạ ảnh H.Fujimoto (năm 1975) L.Smiley (năm 1983) theo cách nhìn nhận khác sau tiếp tục nghiên cứu nhiều tác giả khác Đối với trường hợp hàm phân hình, câu hỏi nảy sinh tự nhiên từ Định lý bốn điểm năm điểm Nevanlinna là: Liệu Định lý bốn điểm có cịn thay điều kiện divisor (tính bội) điều kiện hàm phân hình f − aj , g − aj có tập khơng điểm (khơng tính bội) Định lý năm điểm hay không? Năm 1983, G Gundersen đưa ví dụ để thấy điều khơng Có lẽ từ năm 1929, Cartan thấy điều ơng nêu giả thuyết yếu rằng: Có hai hàm phân hình khác có ảnh ngược (khơng tính bội) bốn điểm cho trước Tuy vậy, năm 1988 H.Fujimoto giả thuyết Cartan không Nhưng H.Fujimoto chứng minh rằng, giả thuyết Cartan cho trường hợp bội không điểm ngắt 2, có nghĩa: Cho f hàm phân hình khác mặt phẳng phức bốn điểm a1 , a2 , a3 , a4 C ∩ {∞} Khi đó, có khơng q hai hàm phân hình khác g thỏa mãn: min{νf −aj , 2} = min{νg−aj , 2}, với j = 1, 2, 3, (chú ý rằng, ta đồng P divisor ν = t λt at C với hàm ν : C −→ Z cho ν(at ) = λt , ν(z) = với z nằm tập {at }) Hàm đặc trưng Tf (r) hàm phân hình f cho công thức: Tf (r) := 2π Z2π log kf (reiθ )kdθ − 2π Z2π log f (eiθ ) dθ (r > 1), f = (f0 : f1 ) biểu diễn rút gọn f kf k = |f0 |2 + |f1 |2
1/2 Ta nói hàm phân hình a nhỏ f Ta (r) = o(Tf (r)) r → ∞ (ngoài tập có độ đo Lebesgue hữu hạn) Năm 2005, T.V Tan - D.D Thai mở rộng kết H Fujimoto sang trường hợp mà {aj } hàm phân hình nhỏ Trở lại với kết Nevanlinna, năm 1983 (đính bổ sung năm 1987), G Gundersen mở rộng kết R.Nevanlinna tới trường hợp mà bội khơng điểm tính ứng với hai điểm khơng tính tới ứng với hai điểm cịn lại: Định lý 1.1.2 Cho hai hàm phân hình f g C bốn điểm phân biệt a1 , a2 , a3 , a4 ∈ C ∪ {∞} Nếu min{νf −aj , 1} = min{νg−aj , 1} với j = 1, 2, νf −aj = νg−aj với j = 3, Khi f, g thỏa mãn giả thiết Định lý bốn điểm Nevanlinna 6 Như vậy, câu hỏi tự nhiên nói điều chỉnh thành: đâu giá trị bé cho mức ngắt bội không điểm? Trước xem xét câu hỏi trên, phát biểu kết sau M Shirosaki, kết mở rộng Định lý bốn điểm sang trường hợp điểm thay hàm phân hình nhỏ Định lý 1.1.3 Cho f g hai hàm phân hình phân biệt mặt phẳng phức a1 , a2 , a3 , a4 bốn hàm phân hình nhỏ (so với f ) Giả sử νf −aj = νg−aj với j ∈ {1, 2, 3, 4} Khi đó, tồn hàm phân hình a, b, c, d nhỏ so với af + b thứ tự giá trị {a1 , a2 , a3 , a4 } f , ad − bc 6= 0, cho g = cf + d cho tỷ số kép chúng −1 Năm 2003, W.Yao mở rộng kết nêu G.Gundersen tới trường hợp điểm thay hàm phân hình nhỏ, hay nói cách khác mở rộng kết M Shirosaki tới trường hợp khơng tính bội khơng điểm ứng với hai hàm tính bội ứng với hai hàm lại Liên quan tới hướng nghiên cứu này, chương luận án tập trung vào việc mở rộng kết tác giả tới trường hợp mà bội khơng điểm khơng tính tới ứng với hai hàm bội ngắt ứng với hai hàm cịn lại, có nghĩa là: min{νf −ai , 1} = min{νg−ai , 1} với i = 1, min{νf −aj , 2} = min{νg−aj , 2} với j = 3, ak hàm phân hình nhỏ so với f Từ phân tích ta thấy, vấn đề cịn lại liệu mở rộng Định lý bốn điểm tới trường hợp: min{νf −ai , 1} = min{νg−ai , 1} với i = 1, 2, min{νf −a4 , 2} = min{νg−a4 , 2} Đây câu hỏi mở hai trường hợp ak điểm hay hàm Trước kết thúc vấn đề này, muốn giới thiệu cách tiếp cận khác số tác T Czubiak-G Gundersen, N.Steinmetz quan tâm hai hàm phân hình có ảnh ngược khơng tính bội bốn cặp điểm, tính bội cặp điểm thứ năm 7 1.2 Tiêu chuẩn chuẩn tắc cho họ ánh xạ phân hình Một họ ánh xạ chỉnh hình gọi chuẩn tắc dãy chứa dãy hội tụ tập compact tới ánh xạ chỉnh hình Đây khái niệm cổ điển đề cập lần đầu Motel năm 1912 hàm chỉnh hình Tới nay, phát triển thành lý thuyết họ chuẩn tắc, nhánh Giải tích phức, Hình học phức Theo nguyên lý Bloch, tiêu chuẩn ánh xạ (dạng Định lý Picard bé) tương ứng với tiêu chuẩn họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình Như vậy, tiêu chuẩn họ chuẩn tắc ánh xạ có liên quan mật thiết với tiêu chuẩn ánh xạ nghiên cứu từ công cụ Lý thuyết Nevanlinna Cho f ánh xạ phân hình miền D khơng gian affine phức Cm vào không gian xạ ảnh phức CP n Khi đó, với a ∈ D, f có biểu diễn rút gọn fe = (f0 , · · · , fn ) lân cận U a D nghĩa với fi hàm phân hình U f (z) = (f0 (z) : · · · : fn (z)) tập giải tích I(f ) := {z : f0 (z) = · · · = fn (z) = 0} (tập khơng xác định f ) có đối chiều ≥ Năm 1974, H.Fujimoto mở rộng khái niệm họ chuẩn tắc sang trường hợp ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh: m - Một dãy {fk }∞ vào CP n k=1 ánh xạ phân hình từ miền D C gọi hội tụ phân hình D đến ánh xạ phân hình f từ D vào CP n với z ∈ D, fk có biểu diễn rút gọn fek = (fk0 , · · · , fkn ) lân cận U (chung cho tất k) z cho {fki }∞ k=1 hội tụ tập compact U đến hàm chỉnh hình fi (0 ≤ i ≤ n) U thỏa mãn (f0 , · · · , fn ) biểu diễn f U - Một họ F ánh xạ phân hình từ miền D Cm vào CP n gọi chuẩn tắc phân hình miền D dãy F trích dãy hội tụ phân hình D Với khái niệm trên, H.Fujimoto đưa kết sau: Định lý 1.2.1 Cho F họ ánh xạ phân hình từ miền D ⊂ Cm vào (2n+1) CP n cho {Hj }j=1 siêu phẳng vị trí tổng quát CP n (theo nghĩa giao (n + 1) siêu phẳng chúng rỗng) cho với f ∈ F, f (D) 6⊂ Hj (j = 1, , 2n + 1) với tập compact cố định K D, độ đo Lebesgue 2(m − 1)-chiều f −1 (Hj ) ∩ K (tính bội) (j = 1, , 2n + 1) giá trị bị chặn số không phụ thuộc f Khi đó, họ F chuẩn tắc phân hình D Năm 2005, Z.Tu-P.Li mở rộng kết sang trường hợp siêu phẳng di động (theo nghĩa hệ số xác định phương trình siêu phẳng hàm chỉnh hình theo biến z thuộc miền D): Định lý 1.2.2 Cho F họ ánh xạ phân hình từ miền D ⊂ Cm vào (2n+1) CP n cho {Hj (z)}j=1 siêu phẳng di động vị trí tổng quát điểm CP n (theo nghĩa z ∈ D siêu phẳng cố định {Hj (z)} vị trí tổng quát CP n ) cho với tập compact K D, độ đo Lebesgue 2(m − 1)-chiều f −1 (Hj ) ∩ K (tính bội) (j = 1, , 2n + 1) giá trị bị chặn không phụ thuộc vào f Khi đó, họ F chuẩn tắc phân hình D Năm 2005, P.N Mai - D.D Thai - P.N.T Trang mở rộng kết H Fujimoto sang trường hợp mà siêu phẳng Hj thay siêu mặt cố định Năm 2008, S.D Quang - T.V Tan mở rộng kết sang trường hợp siêu mặt di động (các hệ số đa thức xác định siêu mặt hàm chỉnh hình miền D) bội giao điểm ứng với số siêu mặt bỏ qua Định lý 1.2.3 Cho F họ ánh xạ phân hình miền D ⊂ Cm vào CP n {Qj (z)}qj=1 siêu mặt di động vị trí tổng quát yếu CP n (theo nghĩa, tồn điểm z0 ∈ D để siêu mặt cố định sinh {Qj (z0 )}qj=1 vị trí tổng quát CP n ) Giả sử: i) Với tập compact cố định K D, diện tích Lebesgue 2(m − 1)chiều f −1 (Qj ) ∩ K (tính bội, j = 1, , n + 1) bị chặn giá trị không phục thuộc vào f ∈ F ii) Tồn tập giải tích mỏng S ∈ D cho với tập compact K D, độ đo Lebesgue 2(m−1)-chiều f −1 (Qj )∩(K−S), (khơng tính bội, j = 1, , n + 1) bị chặn giá trị không phụ thuộc vào f ∈ F Khi đó, họ F chuẩn tắc phân hình D Chúng tơi muốn nhấn mạnh rằng, kết nói trên, bội giao ln tính độ đo Lebesgue divisor tập compact (ngay kết S D Quang - T V Tan cần tính bội giao ứng n + siêu mặt) Lấy cảm hứng từ cách thiết lập điều kiện cho toán xác định ánh xạ phân hình điều kiện có ảnh ngược siêu mặt hay siêu phẳng, chương thiết lập tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc ánh xạ phân hình có ảnh ngược (khơng tính bội) siêu phẳng siêu mặt di động vị trí tổng quát Ở mục 3.2 chương 3, chúng tơi đạt hai kết sau: Định lý 1.2.4 Cho X ⊂ CP n đa tạp xạ ảnh Q1 , , Q2t+1 siêu mặt di động CP n vị trí t-dưới tổng quát X Cho F họ ánh xạ phân hình f từ miền D ⊂ Cm vào X, cho Qj (f ) 6≡ 0, với j ∈ {1, , 2t + 1} Giả sử: a) f −1 (Qj ) = g −1 (Qj ) (có nghĩa {z : Qj (f (z)) = 0} = {z : Qj (g(z)) = 0}) với f, g F với j ∈ {1, , 2t + 1}, −1 b) dim(∩2t+1 j=1 f (Qi )) ≤ m − với f ∈ F Khi đó, họ F chuẩn tắc phân hình D Cho 2t + (t ≥ n) siêu phẳng di động Hj ứng với đa thức aj0 x0 + · · · + ajn xn HD [x0 , , xn ] Kí hiệu Y D(H1 , , H2t+1 ) := ( X det(aj i )0≤i,`≤n ) ` L⊂{1, ,2t+1},#L=t+1 {j0 , ,jn }⊂L Rõ ràng, điểm z siêu phẳng cố định tương ứng H1 (z), , H2t+1 (z) vị trí t− tổng quát D(H1 , , H2t+1 )(z) > Đối với siêu phẳng di động H = aj0 x0 + · · · + ajn xn , ta cho tương ứng với ánh xạ chỉnh hình H ∗ từ D vào CP n có biểu diễn rút gọn (aj0 : · · · : ajn ) 10 Định lý 1.2.5 Cho F họ ánh xạ phân hình từ miền D ⊂ Cm vào CP n Với f F, giả sử có 2t + siêu phẳng di động H1f , · · · , H(2t+1)f ∗ CP n cho {Hjf : f ∈ F} (j = 1, , 2t + 1) họ chuẩn tắc tồn số nguyên dương δ0 thỏa mãn: D(H1f , , H(2t+1)f )(z) > δ0 , với z ∈ D, f ∈ F Cho m1 , , m2t+1 số nguyên dương ∞ cho P2t+1 j=1 mj Giả sử Hjf (f ) 6≡ với j ∈ {1, , 2t + 1}, f ∈ F hai điều kiện sau thỏa mãn: a) {z : ≤ ν(f,Hjf ) (z) ≤ mj } = {z : ≤ ν(g,Hjg ) (z) ≤ mj } với f, g F, với j ∈ {1, , 2t + 1}, b) I(f ) ⊂ ∪2t+1 j=1 {z : ≤ ν(f,Hjf ) (z) ≤ mj }, Hjf (f ) 6≡ 0, với j ∈ {1, , 2t + 1} f ∈ F, I(f ) tập tất điểm không xác định f Khi đó, họ F họ chuẩn tắc phân hình D 1.3 Định lý Picard lớn cho ánh xạ chỉnh hình vào phần bù hợp số siêu mặt di động không gian xạ ảnh Định lý Picard lớn cổ điển thác triển ánh xạ chỉnh hình phát biểu sau: Định lý 1.3.1 (Định lý Picard lớn) Cho f ánh xạ chỉnh hình từ đĩa thủng 4∗R ⊂ C vào CP Nếu f tránh giá trị phân biệt CP , f thác triển thành ánh xạ chỉnh hình từ 4R vào CP Năm 1972, H Fujimoto tổng quát kết cho trường hợp ánh xạ chỉnh hình vào phần bù 2n + siêu phẳng vị trí tổng quát CP n Ông đạt kết sau: Định lý 1.3.2 Cho f ánh xạ chỉnh hình từ Cm vào CP n Nếu f tránh 2n + siêu phẳng CP n vị trí tổng qt f ánh xạ < 11 Định lý 1.3.3 Cho S tập giải tích mỏng thuộc miền D Cm khơng có điểm kỳ dị Khi ánh xạ chỉnh hình f từ D \ S vào X phần bù 2n + siêu phẳng H1 , , H2n+1 vị trí tổng qt CP n thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f từ D vào CP n Ngồi ra, cơng cụ Lý thuyết Nevanlinna, năm 2006 Z.Tu tổng quát kết sang trường hợp mà ánh xạ chỉnh hình f "chạm" vào siêu phẳng Hj với bội mj (j ∈ {1, , q}, q ≥ 2n + 1) P q−n−1 m1 , , mq số nguyên dương ∞, với 2n+1 j=1 mj < n Năm 1999, A Eremeko chứng minh kết sau: Định lý 1.3.4 Cho X tập đóng CP n (với tôpô thông thường đa tạp thực 2n−chiều CP n ) cho D1 , , D2`+1 siêu mặt cố định CP n vị trí `−dưới tổng qt X Khi đó, ánh xạ chỉnh hình f từ C vào X \ (∪2`+1 j=1 Dj ) ánh xạ Như vậy, kết A Eremenko thực chất Định lý Picard bé cho trường hợp đường cong vào phần bù siêu mặt không gian xạ ảnh Hay nói cách khác, đường cong nguyên vào phần bù 2n + siêu mặt cố định vị trí tổng qt khơng gian xạ ảnh CP n Tuy vậy, Định lý Picard bé không cho trường hợp đường cong vào phần bù 2n + siêu mặt di động vị trí tổng quát Nhưng lưu ý thêm rằng, kết A Eremenko - M Sodin ra: Khơng tồn ánh xạ chỉnh hình khác từ C vào phần bù 2n + siêu mặt di động nhỏ so với f CP n vị trí tổng quát Từ phân tích thấy rằng, vấn đề Định lý Picard bé đối trường hợp ánh xạ vào phần bù siêu mặt cố định hay di động không gian xạ ảnh giải thỏa đáng Ở mục 3.3 chương 3, mở rộng Định lý Picard lớn Fujimoto (Định lý 1.3.2 Định lý 1.3.3) tới trường hợp ánh xạ chỉnh hình vào phần bù 2n + siêu mặt di động CP n Chương Về hàm phân hình có ảnh ngược bốn điểm Năm 1926, R Nevanlinna chứng minh Định lý bốn điểm (Định lý 1.1.1) g biểu diễn phân tuyến tính f chúng có ảnh ngược (tính bội) bốn điểm phân biệt Năm 1983 1987, G Gundersen mở rộng Định lý bốn điểm Nevanlinna sang trường hợp mà có ngắt bội ứng với hai giá trị sau: Định lý 2.0.5 Cho f g hai hàm phân hình phân biệt khác a1 , a2 , a3 , a4 bốn giá trị thuộc C ∪ {∞} Giả sử min{νf −ai , 1} = min{νg−ai ,1 } với i = 1, 2, νf −aj = νg−aj (ngồi tập rời rạc có hàm đếm khơng tính bội o(Tf (r))) với j = 3, Khi νf −ai = νg−ai với i ∈ {1, , 4} Như trình bày chương Tổng quan, chương này, mở rộng kết tới trường hợp min{νf −ai , 1} = min{νg−ai , 1} với i = 1, 2, min{νf −aj , 2} = min{νg−aj , 2} với j = 3, 4, {aj } hàm phân hình nhỏ (đối với f ) Kết chúng tơi gần tốt G Gundersen phản ví dụ Định lý bốn điểm Nevanlinna khơng cịn trường hợp min{νf −ai , 1} = min{νg−ai , 1} với i ∈ {1, , 4} Chương viết dựa báo An improvement of the Nevanlinna Gundersen theorem công bố năm 2011 Journal of Mathematical of Analysis and Application 12 13 2.1 Các định lý Lý thuyết Nevanlinna hàm phân hình Trong mục chúng tơi giới thiệu lại kí hiệu, định nghĩa lý thuyết Nevanlinna Cụ thể nhắc lại khái niệm hàm đếm divisor, hàm đặc trưng ánh xạ phân hình hàm xấp xỉ hàm phân hình Từ trình bày lại hai định lý quan trọng Lý thuyết Nevanlinna Định lý thứ nhất, Định lý thứ hai cho trường hợp chiều trường hợp chiều cao Cho ν divisor C k, m số nguyên không âm ∞ Đặt ≥m [k] ν (z) := ν(z) < m, ≥m ν [k] (z) := min{ν(z), k} ν(z) ≥ m   0 ν(z) < m ≥m [k] ν (z) :=  min{ν(z), k} ν(z) ≥ m Định nghĩa 2.1.1 Hàm đếm ν định nghĩa bởi: ≥m [k] Zr ≥m N (r, ν) = n(t) dt (r > 1), t ≥m n(t) = X ≥m [k] ν (z) |z|≤t Cho hàm phân hình khác khơng f C, ta định nghĩa hàm đếm không điểm f sau: ≥m [k] Nf (r) :=≥m N [k] (r, νf ) Để thuận tiên, ta bỏ kí hiệu [k], (≥ m) hàm đếm divisor k = ∞, (m = 0) Định nghĩa 2.1.2 Hàm đặc trưng f định nghĩa bởi: Tf (r) := 2π Z2π log kf (reiθ )kdθ − 2π Z2π log f (eiθ ) dθ (r > 1), f = (f0 : f1 ) biểu diễn rút gọn f kf k = |f0 |2 + |f1 |2
1/2 14 Ta nói hàm phân hình a nhỏ f Ta (r) = o(Tf (r)) r → ∞ (ngồi tập có độ đo Lebesgue hữu hạn) Ký hiệu Rf tập tất hàm phân hình nhỏ f Khi đó, Rf trường f khác Định nghĩa 2.1.3 Hàm xấp xỉ f định nghĩa bởi: m(r, f ) = 2π Z2π log+ f (reiθ )dθ, log+ x = max{log x, 0} với x ≥ Định lý 2.1.4 (ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ NHẤT.) Cho f a hai hàm phân hình C cho (f, a) 6≡ Khi đó: Tf (r) = N f1 (r) + m(r, f ) + O(1) Nf −a (r) ≤ Tf (r) + Ta (r) + O(1) Định lý 2.1.5 (ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI) (Đối với mục tiêu di động) Cho f hàm phân hình khác C Cho a1 , , aq q hàm phân biệt thuộc Rf Khi đó, với  > 0, ta có: k (q − − )Tf (r) ≤ q X [1] Nf −ai (r) i=1 Đối với ánh xạ chỉnh hình f từ C vào CP n có biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · : fn ), hàm đặc trưng f xác định công thức: Tf (r) := 2π Z2π log kf (reiθ )kdθ − 2π kf k = |f0 |2 + · · · + |fn |2 Z2π log f (eiθ ) dθ (r > 1),
1/2 Với siêu phẳng H : a0 x0 + · · · + an xn = 0, CP n , đặt (f, H) = a0 f0 + · · · + an fn Khi ảnh f không nằm H, tức (f, H) 6≡ 0, ta có 15 [k] thể nói tới hàm đếm N(f,H) (r) định nghĩa trên, gọi hàm đếm giao điểm H ảnh f (với bội ngắt k) Đối với trường hợp chiều cao, ta có định lý thứ thứ hai sau: Định lý 2.1.6 (ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ NHẤT, trường hợp chiều cao) Nếu (f, H) 6≡ 0, ta có: N(f,H) (r) ≤ Tf (r) + O(1) Ta nói ánh xạ f khơng suy biến tuyến tính, ảnh khơng nằm siêu phẳng Định lý 2.1.7 (ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI, trường hợp chiều cao) Cho f ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính từ C vào CP n H1 , , Hq (q > n + 1) siêu phẳng CP n vị trí tổng quát Khi đó: k(q − n − 1)Tf (r) q X
[n] N(f,Hj ) (r) + o Tf (r) j=1 2.2 Định lý hai hàm phân hình có ảnh ngược bốn điểm Định lý chương phát biểu sau: Định lý 2.2.1 Cho f hàm phân hình phân biệt khác C có biểu diễn rút gọn f = (f0 : f1 ), a1 , a2 , a3 , a4 bốn hàm phân hình phân biệt thuộc Rf có biểu diễn rút gọn aj = (aj0 : aj1 ) Giả sử tồn hàm phân hình g khác f thỏa mãn min{νf −aj , 1} = min{νg−aj , 1} với j = 1, 2, min{νf −ai , 2} = min{νg−ai , 2} với i = 3, Khi khẳng định sau đúng: i) Với  > 0, k N (r, D(f,g,aj ) ) ≤ (Tf (r) + Tg (r)), j ∈ {1, , 4} D(f,g,aj ) =0 {z : νf −aj (z) = νg−aj (z)} D(f,g,aj ) =1 {z : νf −aj (z) 6= νg−aj (z)} 16 ii) Tập {a1 , a2 , a3 , a4 } ∩ Af chứa phần tử (giả sử a3 , a4 ) tỉ số kép (a1 , a2 , a3 , a4 ) −1 iii) g ≡ S(f ), S(a1 ) ≡ a1 , S(a2 ) ≡ a2 , S(a3 ) ≡ a4 , S(a4 ) ≡ a3 , S := −a11 a10 a21 −a20 !−1 a11 −a10 ◦ ! a21 −a20 Để chứng minh định lý trên, cần số bổ đề sau: Bổ đề 2.2.2 Cho h1 , h2 hai hàm phân hình khác thỏa mãn điều kiện: (i) Với  > 0,
[1] [1] k Nhi (r) + N (r) ≤  Th1 (r) + Th2 (r) hi (ii) Tồn 1 > cho
[1] k N(h1 =1=h2 ) (r) ≥ 1 Th1 (r) + Th2 (r) , [1] N(h1 =1=h2 ) (r) kí hiệu hàm đếm 1-điểm chung khơng tính bội h1 , h2 Khi tồn số nguyên p1 p2 (|p1 | + |p2 | > 0), cho hp11 hp22 ≡ Bổ đề 2.2.3 Cho f hàm phân hình khác C a, b hai hàm phân hình phân biệt thuộc Rf \ {∞} f L(f, a, b) := a b Đặt f a0 b0 Khi L(f, a, b) 6≡ 0, L(f, a, b)f k ) = o(Tf (r)), với k = 0, m(r, (f − a)(f − b) Bổ đề 2.2.4 Cho f, g hai hàm phân hình khác α1 , α2 , α3 ba hàm phân hình phân biệt Rf \ {∞} Giả sử: 17 min{µf , 1} = min{µg , 1} min{νf −αj , 1} = min{νg−αj , 1}, j = 1, 2, Đặt Φ = Φ(α1 , α2 , α3 ) := L(f, α1 , α2 )(f − α3 ) L(g, α1 , α2 )(g − α3 ) − (f − α1 )(f − α2 ) (g − α1 )(g − α2 ) Nếu Φ(α1 , α2 , α3 ) · Φ(α3 , α2 , α1 ) 6≡ 0, khẳng định sau đúng: P (i) N Φ1 (r) ≤ i=1,2 N [1] (r, |νf −αi − νg−αi |) + N [1] (r, |µf − µg |) + o(Tf (r)), |.| giá trị tuyệt đối (ii) TΦ(α1 ,α2 ,α3 )·Φ(α3 ,α2 ,α1 ) (r) ≤ N [1] (r, |νf −α2 − νg−α2 |) + N [1] (r, |µf − µg |) +
o Tf (r)) P [1] (iii) N Φ(α1 ,α2 ,α3 )(g−α1 ) (r) ≤ 3i=1 N [1] (r, |νf −αi − νg−αi |) + 2N [1] (r, |µf − µg |) + o(Tf (r)) (iv) N o(Tf (r)) f −α3 [1] f −α3 Φ(α1 ,α2 ,α3 )(g−α1 ) (r) ≤ P3 i=1 N [1] (r, |νf −αi −νg−αi |)+2N [1] (r, |µf −µg |)+ Cho G nhóm Abel tự xoắn A = (x1 , , xq ) q− phần tử xi G Cho < s < r ≤ q Ta nói A có tính chất Pr,s r phần tử xp1 , , xpr A thỏa mãn điều kiện với tập I ⊂ {p1 , , pr } với #I = s, tồn tập J ⊂ {p1 , , pr }, Q Q J 6= I, #J = s cho xi = xj i∈I j∈J Bổ đề 2.2.5 Nếu A có tính chất Pr,s , tồn tập {i1 , , iq−r+2 } {1, , q} cho xi1 = · · · = xiq−r+2 Chương Tiêu chuẩn họ chuẩn tắc ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh có ảnh ngược siêu mặt Như chúng tơi trình bày chương tổng quan luận án, nhiều tiêu chuẩn họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình, phân hình thiết lập cho trường hợp ánh xạ vào phần bù siêu phẳng, siêu mặt (cố định di động) khơng gian xạ ảnh (nói cách khác trường hợp ánh xạ có ảnh tránh mục tiêu đó) trường hợp ảnh siêu mặt chạm vào mục tiêu với phần nhỏ, thể độ đo (Lebesgue) ảnh ngược (tính bội) mục tiêu qua lớp ánh xạ xét có chặn hữu hạn cho tất ánh xạ Ở mục 3.2 chương này, thiết lập tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc ánh xạ phân hình có ảnh ngược (khơng tính bội) siêu mặt di động Nội dung viết dựa báo Normal families of meromorphic mappings sharing hypersurfaces công bố năm 2015 Complex Variables and Elliptic Equations Trong mục 3.3 chương này, chúng tơi trình bày dạng Định lý Picard lớn ánh xạ phân hình vào phần bù (2n + 1) siêu mặt di động vị trí tổng quát không gian xạ ảnh CP n Mục viết dựa báo Big Picard theorems for holomorphic mappings into the complement of (2n + 1) moving hypersurfaces in CP n công bố năm 2010 Analele Stiintifice ale Universitatti Ovidius Constanta, Seria Matematica 18 19 3.1 Một số khái niệm kết bổ trợ Cho f ánh xạ phân hình từ miền D Cm vào CP n Khi đó, với a ∈ D, f có biểu diễn rút gọn fe = (f0 , · · · , fn ) lân cận U a D nghĩa fi hàm phân hình U f (z) = (f0 (z) : · · · : fn (z)) ngồi tâp giải tích I(f ) := {z : f0 (z) = · · · = fn (z) = 0} có codimI ≥ Năm 1974, H.Fujimoto đưa khái niệm họ chuẩn tắc ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức: m Định nghĩa 3.1.1 Họ ánh xạ phân hình {fk }∞ k=1 miền D C vào CP n gọi hội tụ phân hình D đến ánh xạ phân hình f từ D vào CP n với z ∈ D, với fk có biểu diễn rút gọn fek = (fk0 , · · · , fkn ) lân cận cố định U z {fki }∞ k=1 hội tụ tập compact U đến hàm chỉnh hình fi (0 ≤ i ≤ n) U thỏa mãn (f0 , · · · , fn ) biểu diễn f U Định nghĩa 3.1.2 Một họ F ánh xạ phân hình miền D Cm vào CP n gọi chuẩn tắc D dãy F có dãy hội tụ phân hình D Định nghĩa 3.1.3 Cho {νi }∞ i=1 dãy divisor không âm miền D Cm Ta nói {νi }∞ i=1 hội tụ đến divisor không âm ν D với a ∈ D có lân cận U cho tồn hàm chỉnh hình khác khơng h hi U với νi = νhi ν = νh U cho {hi }∞ i=1 hội tụ đến h tập compact U Cho S tập giải tích D có đối chiều ≥ Theo định lý ThullenRemmert-Stein’s, divisor không âm ν D \ S thác triển thành divisor νb D Hơn nữa, ta có: Bổ đề 3.1.4 Nếu dãy {νk }∞ k=1 divisor không âm D \ S hội tụ đến ν D \ S, {b νk } hội tụ đến νb D 20 Bổ đề 3.1.5 Cho {fi } họ ánh xạ phân hình từ miền D Cm vào CP n cho E tập giải tích mỏng D Giả sử {fi } hội tụ phân hình D \ E đến ánh xạ phân hình f từ D \ E vào CP n Nếu tồn siêu phẳng H CP n cho f (D \ E) 6⊂ H {ν(fi ,H) } dãy divisor hội tụ D Khi {fi } hội tụ phân hình D Hệ 3.1.6 Cho S tập giải tích có đối chiều ≥ miền D ⊂ Cm n Cho {fk }∞ k=1 họ ánh xạ phân hình từ D vào CP Giả sử {fk |D\S } hội tụ chỉnh hình tới ánh xạ chỉnh hình f D \ S, Khi {fk } hội tụ chỉnh hình D Bổ đề 3.1.7 Cho F ánh xạ chỉnh hình từ miền D Cm vào CP n Họ F không chuẩn tắc D tồn dãy {pj } ⊂ D với {pj } → p0 ∈ D, {fj } ⊂ F, {ρj } ⊂ R với ρj > {ρj } → 0, vectors đơn vị Euclidean {uj } ⊂ Cm , cho gj (ξ) := fj (pj + ρj uj ξ), ξ ∈ C thỏa mãn pj + ρj uj ξ ∈ D, hội tụ tập compact C đến ánh xạ chỉnh hình khác g từ C vào CP n Bổ đề 3.1.8 Cho X tập đóng CP n (với tơpơ thông thường đa tạp thực 2n−chiều C P n ) cho D1 , , D2`+1 siêu mặt (cố định) CP n , vị trí `−dưới tổng quát X Khi đó, với ánh xạ chỉnh hình f từ C vào X \ (∪2`+1 j=1 Dj ) Cuối cùng, đề cập tới Định lý thứ hai Nochka Định lý 3.1.9 Cho f ánh xạ chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính từ C vào CP n H1 , , Hq siêu phẳng CP n vị trí N-dưới tổng qt, N ≥ n q ≥ 2N − n + Khi đó, với  > 0, q X [n] (q − 2N + n − − )Tf (r) ≤ Nf (r, Hj ) j=1 21 3.2 Tiêu chuẩn họ chuẩn tắc ánh xạ phân hình có ảnh ngược siêu mặt di động Trước tiên, chúng tơi phát biểu hai kết mục này: kết thứ siêu mặt di động, kết thứ hai siêu phẳng di động, siêu mặt di động chung cho ánh xạ, siêu phẳng lại thay đổi theo ánh xạ Định lý 3.2.1 Cho X ⊂ CP n đa tạp xạ ảnh Q1 , , Q2t+1 siêu mặt di động CP n vị trí t-dưới tổng quát X Cho F họ ánh xạ phân hình f từ miền D ⊂ Cm vào X, cho Qj (f ) 6≡ 0, với j ∈ {1, , 2t + 1} Giả sử: a) f −1 (Qj ) = g −1 (Qj ) (như tập hợp) với f, g F, với j ∈ {1, , 2t + 1}, −1 b) dim(∩2t+1 j=1 f (Qi )) ≤ m − với f ∈ F Khi đó, họ F chuẩn tắc phân hình D Đối với siêu phẳng di động H = aj0 x0 + · · · + ajn xn (các hàm hệ số chỉnh hình D khơng có khơng điểm chung), ta cho tương ứng với ánh xạ chỉnh hình H ∗ từ D vào CP n với biểu diễn rút gọn (aj0 : · · · : ajn ) Cho 2t + 1(t ≥ n) siêu phẳng di động Hj := aj0 x0 + · · · + ajn xn ∈ HD [x0 , , xn ] (j = 1, , 2t + 1) Kí hiệu Y D(H1 , , H2t+1 ) := ( X det(aj i )0≤i,`≤n ) ` L⊂{1, ,2t+1},#L=t+1 {j0 , ,jn }⊂L Định lý 3.2.2 Cho F họ ánh xạ phân hình từ miền D ⊂ Cm vào CP n Với f F, giả sử tồn 2t+1 siêu phẳng di động H1f , · · · , H(2t+1)f ∗ CP n cho {Hjf : f ∈ F} (j = 1, , 2t + 1) họ chuẩn tắc tồn số nguyên dương δ0 thỏa mãn: D(H1f , , H(2t+1)f )(z) > δ0 , với z ∈ D, f ∈ F Cho m1 , , m2t+1 số nguyên dương ∞ cho P2t+1 j=1 mj Giả sử Hjf (f ) 6≡ với j ∈ {1, , 2t + 1}, f ∈ F, hai điều kiện sau thỏa mãn: < 22 a) {z : ≤ ν(f,Hjf ) (z) ≤ mj } = {z : ≤ ν(g,Hjg ) (z) ≤ mj } với f, g F, với j ∈ {1, , 2t + 1}, b) I(f ) ⊂ ∪2t+1 j=1 {z : ≤ ν(f,Hjf ) (z) ≤ mj }, Hjf (f ) 6≡ 0, với j ∈ {1, , 2t + 1} f ∈ F, I(f ) tập tất cực điểm f Khi đó, họ F chuẩn tắc phân hình D 3.3 Định lý Picard lớn cho ánh xạ chỉnh hình vào phần bù siêu mặt không gian xạ ảnh Cho f ánh xạ chỉnh hình từ tập mở Ω ⊂ D vào CP n Ta nói f tránh siêu phẳng di động Q với điểm z0 ∈ Ω với biểu diễn rút gọn f˜ = (f0 , · · · , fn ) f lân cận U z0 Ω Q(f0 , · · · , fn ) không triệt tiêu U Hai kết mục phát biểu sau: Định lý 3.3.1 Cho S tập giải tích miền D ⊂ Cm có đối chiều kì dị với giao chuẩn tắc Cho f ánh xạ chỉnh hình từ D \ S vào n CP n Cho siêu mặt di động {Qj }2n+1 j=1 CP , vị trí tổng quát điểm thuộc D Giả sử f tránh 2n + siêu phẳng Khi f thác triển thành ánh xạ chỉnh hình từ D vào CP n Định lý 3.3.2 Cho D miền Cm S ⊂ D tập đóng, giải tích, có đối chiều ≥ tập đóng có độ đo Hausdorff (2m2)- chiều Cho f ánh xạ chỉnh hình từ D \ S vào CP n Giả sử n f tránh 2n + siêu mặt di động {Qj }2n+1 j=1 , vị trí tổng quát CP điểm thuộc D Khi f thác triển thành ánh xạ chỉnh hình từ D vào CP n Để chứng minh định lý 3.3.1, 3.3.2 ta cần số khái niệm bổ trợ bổ đề sau: Định nghĩa 3.3.3 Giả sử D miền Cm đĩa đơn vị C 23 i) Một họ F ánh xạ chỉnh hình từ D vào CP n gọi chuẩn tắc F compact tương đối Hol(D, CP n ) theo tôpô compact mở ii) Ta gọi ánh xạ chỉnh hình f từ D ⊂ Cm vào CP n chuẩn tắc họ {f ◦ ψ : ψ ∈ Hol(4, D)} họ chuẩn tắc Bổ đề 3.3.4 Cho S tập giải tích miền D Cm có đối chiều kì dị giao chuẩn tắc Cho f ánh xạ chỉnh hình từ D \ S vào CP n Nếu f chuẩn tắc thác triển thành ánh xạ chỉnh hình từ D vào CP n Bổ đề 3.3.5 Cho F họ ánh xạ chỉnh hình từ miền D ⊂ Cm vào CP n Khi F chuẩn tắc tồn dãy {fj } ⊂ F, {pj } ⊂ D với pj → p0 ∈ D, {rj } ⊂ (0, +∞) với rj → cho limj→∞ rj /d(pj , Cm \ D) = (trong d khoảng cách Euclidean) dãy gj (ξ) := fj (pj + rj ξ) (ξ ∈ Cm với pj + rj ξ ∈ D) hội tụ tập compact Cm đến ánh xạ chỉnh hình khác g từ Cm vào CP n Bổ đề 3.3.6 Cho Ω miền hyperbolic Cm M đa tạp Hermitian đầy compact với hàm độ dài EM Cho f ánh xạ chỉnh hình từ Ω vào M Khi f chuẩn tắc tồn số dương c cho với z ∈ Ω với ξ ∈ Tz Ω, |EM (f (z), df (z)(ξ)| ≤ cFKΩ (z, ξ), df (z) ánh xạ tiếp xúc từ Tz Ω to Tf (z) M cảm sinh f FKΩ metric vi phân Kobayashi Ω 24 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Các kết luận án: • Định lý xác định mối quan hệ hai hàm phân hình mặt phẳng phức có ảnh ngược bốn hàm phân hình nhỏ, với bội khơng điểm ngắt với mức thấp • Các tiêu chuẩn chuẩn tắc họ ánh xạ phân hình có ảnh ngược (khơng tính bội siêu phẳng, siêu mặt di động • Các dạng định lý Picard lớn ánh xạ chỉnh hình vào phần bù (2n + 1) siêu phẳng CP n Kiến nghị nghiên cứu Liên quan tới kết luận án, có số vấn đề mở sau, theo đáng quan tâm: Trong định lý vấn đề hàm phân hình, chúng tơi chứng minh cho trường hợp mà bội khơng điểm khơng tính tới hai hàm tính tới với mức ngắt hai hàm lại Câu hỏi tự nhiên liệu  mở rộng kết tới trường hợp tốt có thể: νf −aj , =  νg−aj , , với j = 1, 2, 3, {νf −ai , 2} = {νg−ai , 2} với i = 4, {aj } hàm phân hình nhỏ f Chương luận án thiết lập thành công số tiêu chuẩn chuẩn tắc cho họ ánh xạ phân hình có ảnh ngược (khơng tính bội) số siêu mặt Liệu định lý 3.1.7 H.Fujimoto mở rộng sang trường hợp khơng tính bội hay khơng?