SỐ KHUYẾT CỦA HÀM PHÂN HÌNH PHI ACSIMET MỴ VINH QUANG* TÓM TẮT Bài báo giới thiệu một vài kết quả mới về số khuyết của hàm phân hình phi Acsimet Các kết quả này liên quan đến bài toán ngược của Lí thu[.]
Mỵ Vinh Quang TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ SỐ KHUYẾT CỦA HÀM PHÂN HÌNH PHI ACSIMET MỴ VINH QUANG* TĨM TẮT Bài báo giới thiệu vài kết số khuyết hàm phân hình phi Acsimet Các kết liên quan đến tốn ngược Lí thuyết Nevanlinna phi Acsimet Đó vấn đề xây dựng hàm phân hình phi Acsimet mà số khuyết điểm cho số cho trước Từ khóa: lí thuyết Nevanlinna, hàm phân hình, số khuyết ABSTRACT Defect of non-Archimedean meromorphic functions This paper introduces several new results of the defect of non-Archimedean meromorphic functions These results are related to the non-Archimedean Nevanlinna inverse problem, which is building nonArchimedean meromorphic functions of which defect at the given points are equal to given numbers Keywords: Nevanlinna Theory, Meromorphic function, Defect Mở đầu Cho K trường đóng đại số, đặc số khơng | | chuẩn phi Acsimet đầy đủ K Chuỗi lũy thừa f ( z) ∞ = ∑a zn n, a ∈ K n=0 hội tụ K gọi hàm chỉnh hình K Tập A hàm chỉnh hình K với phép tốn thông thường làm ( K) thành miền nguyên Trường thương A ( K ) , kí hiệu M trường hàm phân hình K Mỗi phần tử ϕ ∈ M ϕ( z) K Như vậy, hàm phân hình f ( z) , g( z) Với f : μ ( r, f ) , gọi ( K) gọi hàm phân hình với K có dạng: f ϕ( z) = z) (g z ( ) hàm chỉnh hình K f ∈A ( K ) = max{ a r n n≥0 ( K) n } r > , ta định nghĩa hạng tử tối đại số thực f μ ( r, f ) Nếu ϕ = ∈ M ( K ) μ ( r, ϕ ) = g μ ( r, g ) * TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Trường _ _ _ Đại _ _học _ Sư _ _phạm _ _ TPHCM; _ _ _ _Email: _ _ quangmv@hcmup.edu.vn _ _ _ _ _ _ _ _ _ PGS TS, Số 5(70) năm 2015 _ _ _ _ _ _ _ _ _ , ta kí hiệu n ( r, ϕ ) (tương ứng, n ( r, ϕ ) ) số cực điểm M kể số bội (tương ứng, khơng kể bội) hàm phân hình ϕ hình cầu đóng Với ϕ ∈ ( K) B( 0, r ) Hàm đếm cực điểm ϕ định nghĩa sau: n ( t ,ϕ ) − n ( 0,ϕ ) N ( r,ϕ ) = ∫ r dt + n ( 0,ϕ ) log r n ( tt ,ϕ ) − n ( 0,ϕ ) N ( r,ϕ ) = ∫ r dt + n ( 0,ϕ ) log r t Khi đó, mệnh đề gọi tương tự phi Acsimet công thức Poision – Jensen (xem [5], [7]) Mệnh đề 1.1 Cho M ϕ∈ (đóK ) Khi N r, − N ( r, ϕ ) = log μ ( r, ϕ ) + C ϕ ϕ , đó, Cϕ số phụ thuộc vào ϕ Cho ϕ hàm phân hình K Khi đó: m ( r, ϕ ) = log μ ( r, ϕ ) = max{ 0, log μ ( r, ϕ ) , + } gọi hàm xấp xỉ ϕ T ( r, ϕ ) = m ( r, ϕ ) + N ( r,ϕ ) , gọi hàm đặc trưng ϕ Dễ thấy T ( r,ϕ ) hàm tăng theo biến r ϕ hàm phân hình khác ( số lim T r,ϕ = +∞ r →+∞ Mệnh đề cho ta cách tính hàm đặc trưng Mệnh đề 1.2 Cho ϕ = f M∈g ( K với f , g ∈A ) ( K) T ( r,ϕ ) = max{ log μ ( r, f khơng có khơng điểm chung Khi đó: ) ,log μ ( r,g ) } + O ( 1) Hai định lí đóng vai trị tảng lí thuyết Nevanlinna phi Acsimet, xây dựng H.H Khoái, M.V Quang, A Boutabaa (xem [1], [5], [7]) Định lí 1.3 (Định lí thứ nhất) Cho ϕ hàm phân hình K a ∈ K Khi T r, = T ( r, ϕ ) + O ( 1) ϕ−a Định lí 1.4 (Định lí thứ 2) Cho r số thực dương, ϕ hàm phân hình khác số K a1, a2 , , aq ∈K phần tử phân biệt Khi ta có (( qr, ϕ−1)) T+ (∑r, ϕ ) ≤N − N r, i =1 ϕ − ≤ N ( r, ϕ ) +∑ q ( r, ϕ ) = N N ( r, ϕ ') đó, N ( r, ϕ ) q i=1 r, N N r, 1 ϕ−a i +2N( − log r + O ( 1) Ram − r, − log r + O ( 1) ϕ' hạng tử rẽ nhánh r, ϕ ) − ϕ không nhận giá trị ϕ' hàm đếm không điểm ϕ ' Ram N0 r, a1, a2 , , ϕ 'aq Định nghĩa 1.5 Cho ϕ hàm phân hình khác số K a ∈K Số khuyết hàm ϕ a định nghĩa bởi: m r, N r, ϕ−a ϕ−a δϕ ( a) = liminf r →∞ = 1− limsup T ( r, ϕ ) N r, ϕ− a r →∞ T ( r, ϕ ) θϕ ( a ) = 1− limsup T ( r, ϕ ) r →∞ Số khuyết hàm ϕ ∞ định nghĩa sau: ( ∞) δ ϕ = liminf ϕ ( ∞) = 1− limsup T r→∞ ( ) θ m( r,ϕ ) r→∞ r, ϕ = 1− limsup r→∞ N ( r,ϕ ) T ( r, ϕ ) N ( r,ϕ ) T ( r,ϕ ) Hiển nhiên ≤ δϕ ( a ) ≤ θϕ ( a ) ≤ Từ định lí 1.3, 1.4, ta có kết sau số khuyết (xem[5], [7]) Định lí 1.6 Cho ϕ hàm phân hình khác số K Khi tồn nhiều phần tử a ∈K ∪{ ∞} để δϕ ( a ) > Do ∑ a∈K ∪{ ∞} δϕ ( a ) ≤ Định lí 1.7 Cho ϕ hàm phân hình khác số K Khi đó, ta có ∑ a∈K ∪{ ∞} θϕ ( a ) ≤ Nội dung báo số kết liên quan đến toán ngược Lí thuyết Nevanlinna phi Acsimet Cụ thể xây dựng hàm phân hình phi Acsimet với số khuyết điểm cho số cho trước Các kết Ta bắt đầu hai bổ đề hữu ích sau Bổ đề 2.1 Cho dãy { an } f= ( z ) ∏ K , a n ≠ 0, ∀n lim a = ∞ Khi tích vơ hạn n≥ n→∞ z − n=1 an ∞ hội tụ hàm chỉnh hình K Tập không điểm f ( z) { an≥n } Chứng minh > , tồn n cho z f z = − Với ( ) Đặt ∏ n n k =1 n ≥ n0 Khi μ f ( r, μ ( r, f n ) = μ ( r, fn − f( )r, f= μ ak ) ) ( z μ r, =μ r, f với ) r ≥ r với n n ≥ n0 Do đó, với n > n0 , →0 n →∞ n−1 n n−1 Vậy f ( z) ak n0 a n a n fn ( z dãy Cauchy hội tụ hình cầu đóng B ( 0, r ) Do ) hàm chỉnh hình K Ta có khơng điểm fn ( z với n ≥ k không điểm f ) nên ak ( z) Ngược lại, giả sử a ∈K không điểm f ( z ) Gọi số tự nhiên thỏa n0 an > a với n ≥ n0 Khi với n ≥ n0 , ta có: fn ( a ) = Vậy fn f lim ( n (a ) fn ( a ) = hay a = ) ( a) fn n→∞ fn ( a ) = f ( a) =0 = a = ak 0 Vậy tập khơng điểm f Bổ đề 2.2 ( z) { an≥ } 1n □ Cho < ε ≤ 1, ρ số thực dương Giả sử n số lớn số nguyên k thỏa k ≤ ρ Khi ta có: εn k nρ − ∑ ε =ε k =1 ρ2 +O( ρ) Chứng minh k k k ≤ , Ta có −1 < ε ε ε ερ −1 < n < ε ( ρ +1) ( *) ( **) ερ − ρ < nρ < ε ( ρ + ρ ) n n ( n + 1) ρ k n Suy ∑ ≤ ε + O ( ρ ) (do (*)) ε ≤ ε ∑k = k =1 k =1 ε n ρ2 n ( n +1) k n −n > +O( (do (*)) ∑ > ∑ k − n = ε ε ε ρ 2 ) ε k =1 k =1 Bởi vậy, n ρ k ρ Kết hợp với (**), ta có ε = + 2 ∑ ε n ρ k nρ − ∑ = ε ε k =1 O( ) k =1 +O( ρ) Bổ đề chứng minh □ Định lí giải trọn vẹn vấn đề ngược Định lí 1.6 Định lí 2.3 Cho δ ∈[ 0,1] α ∈K ∪{ ∞} Khi ln ln tồn hàm phân hình ϕ K cho δϕ ( α ) = δ Chứng minh ( K) ( ∞) Đầu tiên ta chứng minh tồn ϕ ∈M để δϕ ( ∞) = δ Nếu δ = δ f =1 với hàm chỉnh hình f Do xem δ ∈ [ 0,1) Khi xét hàm số ∞ z ∞ z f ( z) ∏ − = i=1 , g ( z) = ∏ 1+ , i 1−δ a i=1 đó, a ∈ K a > Theo bổ đề 2.1, f ( z ) , g ( z) hàm chỉnh hình K với tập khơng điểm lần i lượt a 1−δ { −a i } i≥1 i≥1 i Gọi n số lớn số tự nhiên i thỏa log a ≤ log r i 1− δ n i − n Khi μ ( r, f ) =r ∏a i=1 1−δ log a Áp dụng Bổ đề 2.2 với ε = 1− δ log μ ( r, f ( 1− δ ) ) = Suy log μ ( r, f ) = n log r − ∑ ( log r ) 2 log a Hồn tồn tương tự, ta có: ρ = , ta có log a + O ( log r ) ( log r ) log μ ( r, g ) = + O ( log r ) log a Xét hàm phân hình ψ ( z ) = g( z) f (z 1 N ( r,ψ ) = N r, = f ( 1− δ ) log r 1− δ Áp dụng mệnh đề 1.1 1.2, ta có )log r + O ( log r ) 2 log a T ( r,ψ ) (=log r + O ( log r ) log a ) N ( r,ψ Do đó, δ ( ∞) = − lim sup ψ T ( r,ψ r →∞ Bây giờ, chọn ϕ = α + , ta có =δ ) ( α) δ ψ ) ϕ =δ định lí chứng minh □ Định lí 2.4 ∈[ 0,1] , θ ∈ Cho θ − k ∈ □ α ,α ∈K ∪{ ∞} Khi ln ln tồn 1 k hàm phân hình K cho θϕ ( α1 ) = θ1 , θϕ ( α ) = θ2 Chứng minh Đầu tiên, ta xây dựng hàm phân hình ψ thỏa θψ Xét trường hợp sau 1) θ = θ = − k Xét g hàm ψ = ( 0) với g ( z ) ∞= ∏ 1+ i=1 θψ ( ∞) = Mặt khác, θψ k 1 N r, ϕ z a ( ∞) = θ1, θψ 1 N r, g = − limsup = − limsup =1− r →∞ r→∞ T ( r, ϕ kT ( r, g ) k Vậy θψ ( ∞) = θ1, θψ ( 0) = θ2 2) θ ∈[ 0,1) , θ = 1− Xảy khả sau k Khi đó, xét hàm ψ = fk 1− g θ1 ∞ z , ∞ z với g ( z ) = f ( z) = i 1− δ ∏ + − a ∏ i=1 i =1 a ∈K, a > δ = 1− a) k ≥ = θ2 Vì ψ hàm chỉnh hình K nên i ) ( 0) k ( 1− θ1 ) ( 0≤δ Theo chứng minh Định lí 2.3, ta có ( log r log μ ( r, g ) = 2log ) a log μ ( r, f ) log μ ( r, f k ( 1− δ ) −δ) ) = + O ( log r ) ( log r ) 2 log a = k( O ( log r ) ( log r 2log )2 a O ( log r ) < 1) Do δ = 1− nên k ( − δ k ( − θ1 ) = ≥ 1− θ1 ) Theo Mệnh đề 1.2 ta có: { } T ( r,ψ ) = max log μ ( r, f ) , log μ ( r, g ) ( log r ) = k( 1−δ) + O ( log r ) log a 1 N ( r,ψ ) = N r, log r 2+ O ( log r ) 2log a = g 1 1 N r, = N r, = ( − log r 2 +O ( log r ) δ) 2log a ψ k Do đó, θ ( ∞) ψ = − limsup r →∞ N ( r,ψ T ( r,ψ ) r →∞ b) k < g( + =1−( 1−θ T( ψ r, ) =1− =θ k Khi đó, xét hàm ψ = với 1− g k θ1 f ∞ z ∞ z = 1 , z) ∏ f ( z) = i 1− δi a a i=1 ∏ 1− i =1 a ∈K, đó, =1− k( 1−δ) 1 N r, ψ θψ ( 0) = 1− limsup ) ) =θ a >1 δ = 1− k ( 1− θ1 ) ( ≤ δ < 1) Vì δ = 1− k ( 1− θ1 ) nên 1− δ = k ( − θ1 ) ≤ k Bởi vậy, theo tính tốn phần ta có { T ( r,ψ ) = max log μ ( r, g )} =k k ) , log μ ( r, f ( log r 2) 2log a O ( log r ) Số 5(70) năm 2015 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 N ( r,ψ ) = N r, = log r 2 + O ( log r ) f log a ( 1− δ ) 1 1 N r, == N r, log r 2+ O ( log r ) ψ log a N ( r,ψ ) ( 1−δ) =1− =θ ( ∞) = 1− limsup Do đó, θ ψ r →∞ T ( r,ψ ) k 1 N r, ψ = − limsup = − = θ2 r →∞ T ( r,ψ ) k θ1 ∈ [ 0,1] , − k ∈ □ tồn hàm chỉnh hình ψ cho Vậy, với θ2 ∈ k θψ ( ∞) = θ1, θψ ( 0) = θ2 α ψ − α2 Bây giờ, đặt ϕ = Khi đó, ta có α ( ) ( ∞) = θ , ( α ) ( 0) = θ θ =θ θ =θ ϕ 1 ϕ ψ ψ ψ −1 định lí chứng minh □ θψ ( 0) Định lí cho thấy số Định lí 1.7 khơng thể thay số nhỏ Định lí 2.5 Cho α, β ∈K ∪ ∞ , α ≠ β Tồn hàm phân hình ϕ K cho { } θϕ ( α ) = θϕ ( β ) = ∑ θϕ ( α ) = α∈K ∪{ ∞} Chứng minh ∞ z z i Xét hàm g ( z ) = ∏ + h ( z ) = ∏ + a a i =1 i=1 i i 1 Theo Bổ đề 2.1, ta có g, h chỉnh hình K 16 ∞ 1 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Từ định lí 1.3, ta có: _ _ h (sup0) = 1− lim r→∞ _ _ _ T ( r, h ) = T O ( 1) 1 Do đó: θ _ Mỵ Vinh Quang _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ + N r,h = N r, r, _ _ h 1 N r, N r, h g = − limsup T ( r, 1 r →∞ h) N r, h 17 Với số nguyên dương k , ta có 1 1 N r, ≥ k + O ( log r ) h g N r, 1 N r, 1 Do đó, limsup g , suy θ ( 0) ≥ 1− với k Cho k →∞ h ≤ r→∞ k 1 k N r, h ta có θh ( ) = Mặt khác, h hàm chỉnh hình K nên Bây giờ, đặt ϕ = =θ αh − β h −1 chứng minh □ Khi đó, ta có θ ϕ N ( r, h) = θh ( ∞) = ( α) ( β) ϕ = định lí TÀI LIỆU THAM KHẢO A Boutabaa (1990), “Theorie de Nevanlinna p - adique”, Manuscripta Math., 67, 251 – 269 W Cherry and Z.Ye (1997), “Non- Archimedean Nevanlinna theory in several variables and the Non – Archimedean Nevanlinna inverse problem”, Trans Amer Math Soc., 349 (12), 5043 – 5071 W Cherry and Z.Ye (2000), Nevanlinna Theory of Value Distribution, Springer D Drasin (1976), “The Inverse Problem of Nevanlinna Theory”, Acta Math., 138, 83151 H.H Khoai and M.V Quang (1988), “On p-adic Nevanlinna theory”, Lecture Notes in Math, 1351, 146 – 158 M.V Quang (1989), “Some applications of p-adic Nevanlinna Theory”, Acta Math – Vietnamica, 14 (1), 39 – 50 C.C Yang and P.C Hu (2000), Meromophic functions over Non- Archimedean fields, Kluwer Academic Publishers (Ngày Tòa soạn nhận bài: 06-3-2015; ngày phản biện đánh giá: 02-4-2015; ngày chấp nhận đăng: 18-5-2015) ... ∪{ ∞} θϕ ( a ) ≤ Nội dung báo số kết liên quan đến tốn ngược Lí thuyết Nevanlinna phi Acsimet Cụ thể xây dựng hàm phân hình phi Acsimet với số khuyết điểm cho số cho trước Các kết Ta bắt đầu... kết sau số khuyết (xem[5], [7]) Định lí 1.6 Cho ϕ hàm phân hình khác số K Khi tồn nhiều phần tử a ∈K ∪{ ∞} để δϕ ( a ) > Do ∑ a∈K ∪{ ∞} δϕ ( a ) ≤ Định lí 1.7 Cho ϕ hàm phân hình khác số K Khi... ) − ϕ không nhận giá trị ϕ'' hàm đếm không điểm ϕ '' Ram N0 r, a1, a2 , , ϕ ''aq Định nghĩa 1.5 Cho ϕ hàm phân hình khác số K a ∈K Số khuyết hàm ϕ a định nghĩa bởi: m