Lý thuyết nevanlinna cho hàm phân hình và mốt số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN KHẮC HIẾU LÝ THUYẾT NEVANLINNA CHO HÀM PHÂN HÌNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN KHẮC HIẾU LÝ THUYẾT NEVANLINNA CHO HÀM PHÂN HÌNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TSKH TRẦN VĂN TẤN Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn2 i Mục lục MỞ ĐẦU 1 Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình 1.1 1.2 1.3 Một số khái niệm 1.1.1 Divisor mặt phẳng phức 1.1.2 Các hàm Nevanlinna hàm phân hình Định lý thứ 1.2.1 Một số kí hiệu 1.2.2 Công thức Jenssen 1.2.3 Định lí thứ 1.2.4 Một số ví dụ 14 Định lí thứ hai 13 15 1.3.1 Bổ đề Borel bổ đề đạo hàm Logarit 15 1.3.2 Định lí thứ hai 19 Một số ứng dụng lý thuyết Nevanlinna toán xác định hàm phân hình 23 2.1 Định lý Picard 23 2.2 Định lý điểm Nevanlinna 23 2.3 Định lý điểm Nevanlinna 25 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn3 MỞ ĐẦU Lý chọn luận văn Lí thuyết Nevanlinna, hay thường gọi lí thuyết phân bố giá trị, xây dựng R.Nevanlinna vào năm 1925 cho trường hợp biến phức Sau báo ơng cơng bố, lí thuyết mở rộng nghiên cứu sâu sắc nhiều nhà tốn học Đầu tiên lí thuyết Nevanlinna tổng quát lên cho trường hợp ánh xạ phân hình nhiều biến tác giả A Bloch, H Cartan, H J Weyles L Ahlfors.Sau W Stoll phát triển lên cho trường hợp ánh xạ phân hình từ khơng gian parabolic vào đa tạp xạ ảnh Đồng thời, lí thuyết Nevanlinna cịn xây dựng cho trường hợp hàm cơng trình D Masson, J F Voloch, J Noguchi J Wang Đây xem công cụ hữu hiệu để nghiên cứu giả thiết ABC xấp xỉ Diophantine Sự phát triển lí thuyết Nevanlinna mang đến cơng cụ vô hữu hiệu để nghiên cứu nhiều vấn đề khác hình học giải tích phức vấn đề hay hữu hạn ánh xạ phân hình, tính chuẩn tắc thác triển ánh xạ phân hình Đặc biệt số ứng dụng tốn xác định hàm phân hình Vì thế, tơi lựa chọn luận văn muốn tiếp cận, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm đọc tài liệu từ tạp chí tốn học nước quốc tế liên quan đến lý thuyết Nevanlinna Qua đó, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Mục đích luận văn Mục đích luận văn học tập giới thiệu kết bật Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4 lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình số ứng dụng toán xác định hàm phân hình Nội dung Luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương nội dung chính, kết luận tài liệu tham khảo Chương Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình Chương Một số ứng dụng lý thuyết Nevanlinna toán xác định hàm phân hình Luận văn hồn thành hướng dẫn nhiệt tình bảo PGS.TSKH Trần Văn Tấn Em xin bày tỏ lòng biêt ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phịng Đào tạo, khoa Tốn-trường Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K18B quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận văn Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Thái Nguyên, ngày 19 tháng 08 năm 2012 Tác Giả Nguyễn Khắc Hiếu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5 Chương Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình 1.1 1.1.1 Một số khái niệm Divisor mặt phẳng phức Định nghĩa 1.1 Một divisor D miền U ⊂ C tổng hình thức có dạng ∞ λν zν , λν ∈ Z, {zν } rời rạc U D= ν=1 Định nghĩa 1.2 Một hàm f xác định tập mở U ⊂ C với giá trị phức gọi hàm phân hình với a ∈ U tồn lân cận mở liên thông V ⊂ U chứa a tồn hàm chỉnh hình g, h V, h ≡ 0, g cho f = V h Giả sử f hàm phân hình U Khi đó, với a ∈ U ta có f (z) = (z − a)m g(z), m ∈ Z, g(z) hàm chỉnh hình U g(a) = +) Nếu m > ta nói a không điểm bậc m f +) Nếu m < ta nói a cực điểm bậc m f ∞ Định nghĩa 1.3 Giả sử f hàm phân hình U, {aν }∞ ν=1 , {bν }ν=1 không điểm, cực điểm f U , aν có bậc λν , bν có bậc −µν với µν < Ta định nghĩa divisor không điểm, divisor cực điểm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6 divisor sinh hàm f sau: µν 0 1.1.2 −µν bν , (f ) = (f )0 − (f )∞ λν aν , (f )∞ = (f )0 = Các hàm Nevanlinna hàm phân hình Định nghĩa 1.4 (Hàm đếm) Giả sử D = µν zν divisor C Với số tự nhiên k ( k = ∞), ta xác định hàm đếm D chặn bội đến bậc k sau: r Nk (r, D) = nk (t, D) dt, t > t min{k, µν } nk (t, D) = |zν | ta đặt ∆(a, r) = {z ∈ C; |z − a| < r}, ∆(r) = {z ∈ C; |z = r|} Với ϕ = ϕ(x, y) hàm khả vi, ϕ = u + iv , ta định nghĩa toán tử đạo hàm riêng ∂ϕ ∂u ∂v = +i , ∂x ∂x ∂x ∂ϕ ∂u ∂v = +i ∂y ∂y ∂y ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ , = −i ∂z ∂x ∂y ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = +i ∂z ∂x ∂y Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn9 Ta định nghĩa toán tử ∂ϕ, ∂ϕ, dϕ, dc ϕ sau: ∂ϕ ∂ϕ dz, ∂ϕ = dz, ∂z ∂z i dϕ = ∂ϕ + ∂ϕ, dc ϕ = (∂ϕ − ∂ϕ) 4π ∂ϕ = Từ ta có: i 4π = 4π dc ϕ = ∂ϕ ∂ϕ dz − dz ∂z ∂z ∂ϕ ∂ϕ dy − dx ∂x ∂y i (∂ + ∂)(∂ − ∂)ϕ 4π i ∂ 2ϕ i ∂∂ϕ = dz ∧ dz = 2π 2π ∂z∂z ddc = Trong hệ tọa độ cực z = r.eiθ , z = r.e−iθ Ta có r2 = z.z = x2 + y , r.cosθ = x, r.sinθ = y , cho nên: ∂r ∂r = cosθ, = sinθ, ∂x ∂y ∂θ sinθ ∂θ cosθ =− , =− ∂x r ∂y r Từ ta có: ∂ϕ ∂ϕ dy − dx 4π ∂x ∂y ∂ϕ ∂r ∂ϕ ∂θ = + sinθdr + rcosθdθ − 4π ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂ϕ ∂r ∂ϕ ∂θ − + cosθdr − rsinθdθ ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂ϕ ∂ϕ sinθ = cosθ − (sinθ + rcosθdθ)− 4π ∂r ∂θ r ∂ϕ ∂ϕ cosθ − ( sinθ + )(cosθdr − rsinθdθ) ∂r ∂θ r ∂ϕ 1 ∂ϕ = r dθ − dr 4π ∂r r ∂θ dc ϕ = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn10 21 q |f (z) − | Đặt h(z) := i=1 , theo định lí 1.8 ta có f (z) q 2π |f (z) − | log i=1 f (z) S(r) dθ = N (r, (h)0 ) − N (r, (h)∞ ) + O(1) (1.9) Ta dễ dàng nhận thấy, z0 khơng điểm h z0 phải khơng điểm (f − ai0 ) với bội m, z0 khơng điểm bội m − f Do q (h)0 (z0 ) ≤ = (f, )(z0 ) i=1 Điều kéo theo q N (r, (h)0 ) ≤ N1 (r, (f − )0 ) (1.10) i=1 Mặt khác z0 cực điểm bậc nhiều m + f Do z0 cực điểm bậc mq − m − ≥ (q − 2)m h Vậy ta có (q − 2)(f )∞ (z0 ) = (q − 2)m ≤ (h)∞ (z0 ) Điều kéo theo N (r, (h)∞ ) ≥ (q − 2)N (r, (f )∞ ) (1.11) Từ (1.7) đến (1.11), ta q ||(q − 2)T (r, f ) ≤ N1 (r, (f − )0 ) + o(T (r, f )) i=1 Định lí chứng minh Sau phát biểu Định lý thứ hai cho số trường hợp khác: Cho f hàm phân hình khác C Ký hiệu, R tập hàm phân hình a C bé so với f, có nghĩa Ta (r) = o(Tf (r)) Năm 2004, Yamanoi, mở rộng định lý thư hai cho trường hợp hàm phân hình bé sau Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn24 22 Định lý 1.15 Chof hàm phân hình C Ký hiệu a1 , , aq q hàm phân biệt thuộc Rf Khi với > 0, ta có q (q − − )Tf (r) ≤ N1 (r, (f − )0 ) i=1 với r ngồi tập có độ đo Lebesgue hữu hạn Năm 1933, Cartan mở rộng định lý thứ hai Nevanlinna sang trường hợp chiều cao sau: Định lý 1.16 Cho f ánh xạ không suy biến tuyến tính từ C vào khơng gian xạ ảnh CP n H1 , , Hq (q n + 1) siêu phẳng CP n vị trí tổng qt Khi q (q − n − 1)Tf (r) Nn (r, (f − Hj )0 ) + o Tf (r) j=1 với r ngồi tập có độ đo Lebesgue hữu hạn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn25 23 Chương Một số ứng dụng lý thuyết Nevanlinna toán xác định hàm phân hình 2.1 Định lý Picard Định lý 2.1 Nếu hàm phân hình f xác định C mà không nhận ba giá trị phân biệt C f hàm Đặc biệt, hàm chỉnh hình f xác định C mà khơng nhận hai giá trị phân biệt C f hàm Chứng minh Giả sử f hàm imf ⊂ C/{a1 , a2 , a3 } Theo định lí thứ hai ta có ||T (r, f ) ≤ N1 (r, (f − )0 ) + o(T (r, f )) = o(T (r, f )) Cho r → +∞, ta T (r, f ) = điều mâu thuẫn với giả sử f hàm Vậy f phải hàm 2.2 Định lý điểm Nevanlinna Định lý 2.2 Giả sử f, g hàm phân hình C khác số, {ai }51 năm điểm phân biệt thuộc C Giả sử f −1 (ai ) = g −1 (ai ) với i = 1, , Khi f ≡ g Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn26 24 Chứng minh Giả sử f ≡ g lấy c ∈ C điểm cho c = , ∀i = 1, , Dễ thấy z khơng điểm (f − ) f (z) = g(z), 1 z khơng điểm − Do ta có: f −c g−c 1 1 − )0 = T (r, − ) + O(1) f −c g−c f −c g−c 1 ≤ T (r, ) + T (r, ) + O(1) f −c g−c = T (r, f ) + T (r, g) + O(1) N1 (r, (f − )0 ) ≤ N r, ( i=1 Theo định lí thứ hai N1 (r, (f − )0 ) ≥ 3T (r, f ) − o(T (r, f )) i=1 Suy 3T (r, f ) ≤ T (r, f ) + T (r, g) + o(T (r, f )) Tương tự ta có 3T (r, g) ≤ T (r, f ) + T (r, g) + oT (r, g) Do 3(T (r, f ) + T (r, g)) ≤ 2(T (r, f ) + T (r, g) + o(T (r, f ) + T (r, g))) Cho r → +∞, ta T (r, f ) = T (r, g) = Điều mâu thuẫn với giả thiết f khác Vậy ta phải có f ≡ g Cho G nhóm aben tự do, xoắn A = (x1 , , xq ) q−phần tử xi G Ký hiệu < s < Pr,s với r phần tử xp1 , , xpr với I ⊂ {p1 , , pr } với #I = s, tồn J = I, #J = s cho xi = xj Kết i∈I r ≤ q Ta nối A có tính chất A thỏa mãn điều kiện: tập J ⊂ {p1 , , pr }, sau chứng minh j∈J Fujimoto Bổ đề 2.3 Nếu A có tính chất Pr,s , tồn {i1 , , iq−r+2 } {1, , q} cho xi1 = = xiq−r+2 [1] Ký hiệu Af tập tất hàm a ∈ Rf cho δf (a) = Rõ ràng #Af ≤ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn27 25 2.3 Định lý điểm Nevanlinna Định lý 2.4 Cho f g hai hàm phân hình phân biệt khác C cho a1 , a2 , a3 , a4 hàm phân hình thuộc Rf Giả sử min{ν(f,aj ) , 2} = min{ν(g,aj ) , 2} với ≤ j ≤ Khi {a1 , a2 , a3 , a4 }∩ Af chứa phần tử, gọi chúng a3 , a4 tỷ số kép (a1 , a2 , a3 , a4 ) (g,a1 ) 1) đồng −1 (f,a (f,a2 ) = − (g,a2 ) Chứng minh Từ min{ν(f,aj ) , 2} = min{ν(g,aj ) , 2} với ≤ j ≤ 4, theo Định lý thứ thứ hai ta có Tf (r) = O(Tg (r)) Vậy Rf = Rg Giả sử (f0 : f1 ), (g0 : g1 ), (aj0 : aj1 ) biểu diễn rút gọn (f,a1 ) (g,a1 ) f, g, aj Từ f ≡ g a1 ≡ a2 , ta có β := (f,a − (g,a ≡ Thật vậy, 2) 2) giả sử trái lại tồn hàm phân hình u C cho (f, a1 ) ≡ u · (g, a1 ) (f, a2 ) ≡ u · (g, a2 ) Do a10 a11 a20 a21 f0 f1 ≡ a10 a11 a20 a21 u · g0 u · g1 Do đó, a10 a11 a20 a21 f0 − u · g0 f1 − u · g1 ≡ Mặt khác a1 ≡ a2 Vì f0 ≡ u · g0 , f1 ≡ u · g1 Mâu thuẫn Vậy β ≡ Rõ ràng {z : (f, a1 )(z) = (f, a2 )(z) = 0} ⊂ {z : a1 (z) = a2 (z)} với ≤ i < j ≤ Do đó, từ min{ν(f,ai ) , 2} = min{ν(g,ai ) , 2}, (1 ≤ i ≤ 4), ta có νβ ≥ Zero(f, a3 ) ∪ Zero(f, a4 ) \ Zero (a2 − a3 )(a2 − a4 ) νβ ≥ min{ν(f,a1 ) , 2} C \ Zero(a1 − a2 ) Mặt khác, − aj ∈ Rf (1 ≤ i < j ≤ 4) Vì ta có [2] [1] [1] Nβ (r) ≥ N(f,a1 ) + N(f,a3 ) + N(f,a4 ) − o(Tf (r)) (2.1) Ta có a10 a11 a20 a21 f0 f1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ≡ (f, a1 ) (f, a2 ) http://www.lrc-tnu.edu.vn28 26 Khi đó, (f, a1 ) a11 a10 (f, a1 ) (f, a2 ) a21 a20 (f, a2 ) a a f0 ≡ f1 ≡ , với D = 10 11 a20 a21 D D Mặt khác từ f0 f1 khơng có khơng điểm chung, ta có ν ∗ := min{ν(f,a1 ) , ν(f,a2 ) } ≤ νD Vì theo Định lý thứ nhất, với k1 , k2 ∈ {0, 1} cho a1k1 ≡ 0, a2k2 ≡ 0, ta có N (r, ν ∗ ) ≤ N (r, νD ) ≤ N ≤T D a1k a2k D a1k a2k (r) + Na1k1 a2k2 (r) (r) + Ta1 (r) + Ta2 (r) + O(1) ≤ 2Ta1 (r) + 2Ta2 (r) + O(1) = o(Tf (r)) Do N (f,a2 ) (r) = N(f,a2 ) (r) − N (r, ν ∗ ) ≥ N(f,a2 ) (r) − o(Tf (r)) (f,a1 ) Vậy theo Định lý thư nhất, ta có m r, (f, a1 ) = T (f,a1 ) (r) − N (f,a2 ) (r) + O(1) ≤ Tf (r) − N(f,a2 ) (r) + o(Tf (r)) (f,a2 ) (f,a1 ) (f, a2 ) Tương tự, m r, (g, a1 ) ≤ Tg (r) − N(g,a2 ) (r) + o(Tg (r)) (g, a2 ) Vì ta có (g, a1 ) (f, a1 ) + m r, + O(1) (f, a2 ) (g, a2 ) ≤ Tf (r) + Tg (r) − N(f,a2 ) (r) − N(g,a2 ) (r) + o(Tf (r)) m(r, β) ≤ m r, (2.2) Đặt ν = max{ν(f,a2 ) , ν(g,a2 ) } Từ min{ν(f,a2 ) , 2} = min{ν(g,a2 ) , 2}, ta có [2] ν + ν(f,a2 ) ≤ ν(f,a2 ) + ν(g,a2 ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn29 27 Kéo theo [2] N (r, ν) + N(f,a2 ) (r) ≤ N(f,a2 ) (r) + N(g,a2 ) (r) Kết hợp với (2.2) ta có [2] m(r, β) ≤ Tf (r) + Tg (r) − N (r, ν) − N(f,a2 ) (r) + o(Tf (r)) Mặt khác, rõ ràng N (r, ν) ≥ N β1 (r) Ta nhận [2] m(r, β) ≤ Tf (r) + Tg (r) − N β1 (r) − N(f,a2 ) (r) + o(Tf (r)) Vậy theo Định lý thứ nhất, Nβ (r) ≤ Tβ (r) + O(1) = m(r, β) + N β1 (r) + O(1) [2] ≤ Tf (r) + Tg (r) − N(f,a2 ) (r) + o(Tf (r)) (2.3) Từ (2.1) (2.3) ta có [2] [2] [1] [1] [1] [2] [2] N(f,a1 ) (r) + N(f,a2 ) (r) + N(f,a3 ) (r) + N(f,a4 ) (r) ≤ Tf (r) + Tg (r) + o(Tf (r)) Tương tự, [1] N(f,a1 ) (r) + N(f,a2 ) (r) + N(f,a3 ) (r) + N(f,a4 ) (r) ≤ Tf (r) + Tg (r) + o(Tf (r)) Vậy 4 [1] N(f,ai ) (r) [2] N(f,ai ) (r) ≤ 2(Tf (r) + Tg (r)) + o(Tf (r)) + i=1 i=1 Tương tự, 4 [1] N(g,ai ) (r) [2] N(g,ai ) (r) ≤ 2(Tf (r) + Tg (r)) + o(Tg (r)) + i=1 i=1 Ta nhận [2] [2] (N(f,ai ) (r) + N(g,ai ) (r)) ≤ 4(Tf (r) + Tg (r))− i=1 [1] − [1] (N(f,ai ) (r) + N(g,ai ) (r)) + o(Tf (r)) i=1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn30 28 > 0, ta có Mặt khác, theo Định lý thứ hai (2 − )(Tf (r) + Tg (r)) ≤ [1] [1] (N(f,ai ) (r) + N(g,ai ) (r)) i=1 Vậy, 4 [2] (N(f,ai ) (r) − [1] N(f,ai ) (r)) i=1 [2] [1] (N(g,ai ) (r) − N(g,ai ) (r)) + i=1 [1] ≤ 4(Tf (r) + Tg (r)) − [1] (N(f,ai ) (r) + N(g,ai ) (r)) + o(Tf (r)) i=1 ≤ (Tf (r) + Tg (r)) Kéo theo [1] [1] (≥2 N(f,ai ) (r) + ≥2 N(g,ai ) (r)) ≤ (Tf (r) + Tg (r)) (2.4) i=1 Đặt hj := (f,aj ) (g,aj ) , j ∈ {1, · · · , 4} Ta có aj0 f0 + aj1 f1 − hj aj0 g0 − hj aj1 g1 = j ∈ {1, , 4} Vậy, det(aj0 , aj1 , hj aj0 , hj aj1 , ≤ j ≤ 4) ≡ Với mỗij ∈ {1, · · · , 4}, cố định kj ∈ {0, 1} cho ajkj ≡ Với cặp I = {u, v} với ≤ u < v ≤ 4, ta định nghĩa hI = hu hv au0 au1 au au · av0 av1 av av 1+u+v AI = (−1) · a1k1 a2k2 a3k3 a4k4 {u , v } = {1, · · · , 4} \ {u, v} u < v Ta có AI ∈ Rf AI ≡ Đặt L = {I ⊂ {1, , 4} : #I = 2}, #L = Do khai triển , ta có AI hI ≡ (2.5) I∈L J hhJI ∈ Rf , ( s ≤ 6) Với v ∈ {1, , s}, chọn Iv ∈ Lv Xét quan hệ tương đương L sau: I Đặt {L1 , , Ls } = L Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn31 29 đặt AI hI = Bv hIv , Bv ∈ Rf I∈Lv Khi (2.5) viết dạng s Bv hIv ≡ (2.6) v=1 TH1 Tốn Bv ≡ Coi Bv ≡ 0, với v ∈ {1, , l}, Bv ≡ với v ∈ {l + 1, , s}, (1 ≤ l ≤ s) Từu (2.6) ta có l Bv hIv ≡ (2.7) v=1 Ký hiệu P tập số nguyên dương p ≤ l cho tồn tập Kp ⊆ {1, , l}, #Kp = p số khác không {ci }i∈Kp với ci Bi hIi ≡ i∈Kp Do (2.7), ta có l ∈ P Đặt t số bé P, (t ≤ l ≤ 6) Coi Kt = {1, , t} Khi tồn số cv , (v = 1, , t) cho t cv Bv hIv ≡ (2.8) v=1 Từ hIi hIj ∈ / Rf hIi ≡ với ≤ i = j ≤ t, ta có t ≥ Khơng tính tổng quát, giả sử T hI1 (r) = max{T hI1 (r), T hI2 (r), T hI3 (r)} hI hI hI (2.9) hI với r ∈ A, A tập [1, +∞) với độ đo Lebesgue hữu hạn Dễ dàng có (I1 ∪ I2 ) \ (I1 ∩ I2 ) ∩ (I2 ∪ I3 ) \ (I2 ∩ I3 ) ∩ (I3 ∪ I1 ) \ (I3 ∩ I1 ) = ∅ Mặt khác hIi = on hIj Zero(f, ak ) \ k=1 Zero(f, ak ) for all ≤ i = j ≤ k∈(Ii ∪Ij )\(Ii ∩Ij ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn32 30 Vậy, Định lý thứ thứ hai T hI1 (r) + T hI2 (r) + T hI3 (r) ≥ N hI1 hI hI hI hI −1 (r) + N hI2 hI −1 (r) + N hI3 hI −1 (r) − O(1) [1] ≥ N(f,ai ) (r) − o(Tf (r)) ≥ (2 − )Tf (r), i=1 (2.10) (để ý {z : (f, )(z) = (f, aj )(z) = 0} ⊂ {z : (z) = aj (z)} − aj ∈ Rf với ≤ i < j ≤ 4) Tương tự, T hI1 (r) + T hI2 (r) + T hI3 (r) ≥ (2 − )Tg (r) hI hI (2.11) hI Định nghĩa hàm φ := (c1 B1 hI1 : · · · : ct−1 Bt−1 hIt−1 ) : C → CP (t−2) Từ t = P, φ khơng suy biến tuyến tính Do (2.9), (2.10) (2.11) ta có Tφ (r) + o(Tf (r)) ≥ T hI1 (r) ≥ (T hI1 (r) + T hI2 (r) + T hI3 (r)) hI2 hI hI hI 2− ≥ (Tf (r) + Tg (r)) (2.12) (2.13) với r ∈ A1 , A1 ⊂ [1, +∞) với độ đo Lebesgue hữu hạn Đặt c B h ct−1 Bt−1 hI t−1 ) biểu diễn rút gọn φ, u ( u1 I1 : · · · : u cBh hàm phân hình C Rõ ràng không điểm i ui Ii (i = 1, · · · , t) không điểm cực điểm cj Bj hIj , j ∈ {1, · · · , t} Vì với i ∈ {1, · · · , t}, ta có t [1] N ci Bi hIi (r) ≤ u t [1] Ncj Bj hI (r) j j=1 t N j=1 [1] cj Bj hI j (r) t [1] NhI (r) j = + j=1 + N j=1 [1] hI j (r) + o(Tf (r)) Mặt khác, νhIj = ν h1 = on ∪4i=1 {z : ν(f,ai ) (z) = = ν(g,ai ) (z)} Vì Ij Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn33 31 ta có, t t t [1] [1] NhI (r) j N ci Bi hIi (r) ≤ t u i=1 +t N j=1 j=1 [1] hI j (r) + o(Tf (r)) ≤t [1] [1] (≥2 N(f,ai ) (r) + ≥2 N(g,ai ) (r)) + o(Tf (r)) i=1 Kết hợp (2.4), ta có t t [t−2] [1] N ci Bi hIi (r) ≤ (t − 2) u i=1 N ci Bi hIi (r) u i=1 [1] [1] (≥2 N(f,ai ) (r) + ≥2 N(g,ai ) (r)) + o(Tf (r)) ≤ t2 (t − 2) i=1 ≤ t (t − 2) (Tf (r) + Tg (r)) + o(Tf (r)) Do (2.8) Định lý thư hai t−1 t [t−2] Tφ (r) ≤ N ci Bi hIi (r) + N i=1 u [t−2] t−1 ci Bi hIi i=1 u [t−2] (r) + o(Tφ (r)) = N ci Bi hIi (r) + o(Tφ (r)) i=1 u ≤ t (t − 2) (Tf (r) + Tg (r)) + o(Tf (r)) + o(Tφ (r)) Kết hợp với (2.13), ta có, với > 0, tồn A2 ⊂ [1, +∞) với độ đo Lebesgue hữu hạn cho 2− (Tf (r) + Tg (r)) ≤ 2t2 (t − 2) (Tf (r) + Tg (r)) với r ∈ A2 Mâu thuẫn TH2 Bv ≡ với v ∈ {1, , s} Khi đó, từ AI hI ≡ (I ∈ L) ta có #Lv ≥ với v ∈ {1, , s} Kéo theo rằng, với I = {u, v} ⊂ {1, · · · , 4} tồn J := {u , v } ⊂ {1, · · · , 4}, J = I cho hI ∈ R∗f hJ (2.14) Gọi M∗ nhóm nhân aben hàm phân hình khác C Ta có R∗f = M∗ ∩ Rf nhóm M∗ G := M∗ R∗f nhóm aben xoắn Ký hiệu [h] lớp thuộc G sinh h ∈ M∗ Khi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn34 32 (2.14) ta có A := (h1 , · · · , h4 ) có tính chất P4,2 Do bổ đề refb tồn {u, v} ⊂ {1, · · · , 4} cho hhuv ∈ R∗f Có thể giả sử {u, v} = {1, 2} Khi tồn α ∈ R∗f , α ≡ cho (g, a1 ) (f, a1 ) =α (f, a2 ) (g, a2 ) (2.15) Đặt a∗j := (aj1 : −aj0 ), Dj := Zero(f, aj ) = Zero(g, aj ) Vậy f = a∗j = g Dj với ≤ j ≤ Do đó, α = (D3 ∪ D4 ) \ (D1 ∪ D2 ) Mặt khác Di ∩Dj ⊂ {z : (z) = aj (z)} −aj ∈ Rf với ≤ i < j ≤ Do theo Định lý thứ nhất, [1] [1] N(f,a3 ) (r) + N(f,a4 ) (r) ≤ Nα−1 (r) + o(Tf (r)) ≤ Tα (r) + o(Tf (r)) = o(Tf (r)) Kéo theo a3 , a4 ∈ Af Mặt khác #Af ≤ Ta có {a1 , · · · , a4 } ∩ Af = {a3 , a4 } Vậy (a∗4 , a1 ) (a∗3 , a1 ) (a∗3 , a1 ) (a∗4 , a1 ) =α ∗ ∗ =α ∗ (a∗4 , a2 ) (a3 , a2 ) (a3 , a2 ) (a4 , a2 ) (2.16) Đặt: (f, a1 )a2k2 (g, a1 )a2k2 , G := (f, a2 )a1k1 (g, a2 )a1k1 (a∗ , a1 )a2k2 (a∗ , a1 )a2k2 b1 := ∗3 , b2 := 4∗ (a3 , a2 )a1k1 (a4 , a2 )a1k1 ∗ (a3 , a1 )a2k2 (a∗4 , a1 )a2k2 , b4 := α ∗ b3 := α ∗ (a3 , a2 )a1k1 (a4 , a2 )a1k1 F := Do (2.15), ta có F = αG Từ α, {ai }4i=1 ∈ Rf , dễ ràng suy TF (r) = Tf (r) + o(Tf (r)), TG (r) = Tg (r) + o(Tg (r)) b1 , b2 , b3 , b4 ∈ Rf Ta có νF −b1 = ν (f,a3 )(a∗1 ,a2 ) a2k ·a (f,a2 )(a∗ ,a ) 1k1 νF −b2 = ν (f,a4 )(a∗1 ,a2 ) a2k ·a (f,a2 )(a∗ ,a ) 1k1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn35 33 νF −b3 = να(G−b1 ) = ν νF −b4 = να(G−b2 ) = ν (g,a )(a∗ ,a ) a2k2 1k1 α (g,a3 )(a∗1 ,a2 ) · a (g,a )(a∗ ,a ) a2k2 1k1 α (g,a4 )(a∗1 ,a2 ) · a * Nếu b2 ≡ b3 , b1 , b2 , b3 phân biệt Theo Định lý thứ hai > 0, ta có [1] (1 − )Tf (r) + o(Tf (r)) = (1 − )TF (r) ≤ ≤ [1] N(f,a3 ) (r) + NF −bi (r) i=1 [1] N(f,a4 ) (r) [1] + N(g,a3 ) (r) + o(Tf (r)) = o(Tf (r)) (chú ý a3 , a4 ∈ Af ) Mâu thuẫn Vậy, b2 ≡ b3 * Nếu b1 ≡ b4 , b1 , b2 , b4 phân biệt Do Định lý thư hai với > 0, ta có [1] [1] [1] (1 − )Tf (r) + o(Tf (r)) = (1 − )TF (r) ≤ NF −b1 (r) + NF −b2 (r) + NF −b4 (r) [1] [1] [1] ≤ N(f,a3 ) (r) + N(f,a4 ) (r) + N(g,a4 ) (r) + o(Tf (r)) = o(Tf (r)) Mâu thuẫn Vậy, b1 ≡ b4 Từ b1 ≡ b4 , b2 = b3 , ta có (2.16) Từ α ≡ (2.16) ta có α ≡ −1 Vậy (2.16) ta c (a1 , a2 , a3 , a4 ) ≡ −1 Ta kết thúc chứng minh định lý Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn36 34 Kết luận Luận văn trình bày sở lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình, đặc biệt phần số ứng dụng liên quan đến tốn xác định hàm phân hình Chương 1: Trình bày lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình Chương :Trình bày số ứng lý thuyết Nevanlinna toán xác định hàm phân hình Nhiều vấn đề tập hợp xác định hàm phân hình cịn chưa làm sáng tỏ Rất mong người quan tâm làm rõ thời gian tới Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn37 35 Tài liệu tham khảo [1] Abhijit Banerjee (2008), "On the uniqueness of meromorphic functions that share two sets", Georgian Mathematical Journal, (1), p.21 - 38 [2] G Frank and M Reinders (1998), "A unique range set for meromorphic functions with 11 elements", Complex variables Theory (Appl.37) [3] F Gross (1968), "On the distribution of values of meromorphic functions", Trans Amer Math, Soc, (131), p.1999 - 2014 [4] F Gross (1977), "Factorization of meromorphic functions and some open problems", Complex analysis (Proc Conf., Univ of Kentucky, Lixington, Ky), p 51-67 [5] F Gross and C C Yang (1982), "On preimage and range sets of meromorphic functions", Proc Japan Acad (Ser A) (58), p.17 - 20 [6] J.Noguchi (March 2004), Nevanlinna Theory in Several Complex Variables and Diophantine Approximation [7] Q Han and H X Yi (2008), "Some further results on meromorphic functions that share two sets", Annales Polonici Mathematici, (93.1), p 17 - 31 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn38 ... định hàm phân hình Chương 1: Trình bày lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình Chương :Trình bày số ứng lý thuyết Nevanlinna toán xác định hàm phân hình Nhiều vấn đề tập hợp xác định hàm phân hình. .. chính, kết luận tài liệu tham khảo Chương Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình Chương Một số ứng dụng lý thuyết Nevanlinna toán xác định hàm phân hình Luận văn hồn thành hướng dẫn nhiệt tình... hạn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn25 23 Chương Một số ứng dụng lý thuyết Nevanlinna tốn xác định hàm phân hình 2.1 Định lý Picard Định lý 2.1 Nếu hàm phân