Nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và phân tích hữu tỷ của hàm phân hình phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐàO Anh tuấn NGHIỆM PHÂN HÌNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI HỆ SỐ KHÁC HẰNG VÀ PHÂN TÍCH HỮU TỶ CỦA HÀM PHÂN HÌNH PHỨC Chun ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS-TSKH Hà Huy Khối Thái Ngun- Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Trong năm gần đây, lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna hướng nghiên cứu giải tích phức thu hút quan tâm rộng rãi nhà toán học khắp giới Sự phân tích nghiệm phân hình cuả phương trình hàm vấn đề quan trọng giải tích phức, có nhiều ứng dụng lý thuyết hệ động lực Mục đích luận văn trình bày sở lý thuyết Nevanlinna áp dụng tìm nghiệm phân hình phương trình hàm với hệ số khác phân tích hữu tỷ hàm phân hình phức Sau q trình nghiên cứu, tơi hoàn thành luận văn với đề tài: “ Nghiệm phân hình phương trình hàm với hệ số khác phân tích hữu tỷ hàm phân hình phức” Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương I: Trình bày định nghĩa hàm đặc trưng, hai định lý Nevanlinna, Chương II: Nghiệm phân hình phương trình hàm với hệ số khác phân tích hữu tỷ hàm phân hình Ngồi kiến thức sở, luận văn trình bày dựa theo hai báo sau : 1/ P Li and C.-C Yang, Meromorphic solutions of functional equations with nonconstant coefficients Proc Japan Acard., 82, ser A (2006) 2/ Alain Escassut and E Mayerhofer, Rational Decomposition of Complex Meromorphic Function Complex Variables, Vol.49, No 14,15 November 2004, pp 991-996 Kết có nhờ hướng dẫn tận tình GS TSKH Hà Huy Khối Thầy khơng tận tình hướng dẫn mà cịn động viên tơi suốt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy! Đồng thời, em xin chân thành cảm ơn thầy cô hội đồng bảo vệ luận văn thạc sỹ tạo điều kiện thuận lợi để em vững tin việc chuẩn bị bảo vệ luận văn Xin chân thành cảm ơn Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm ĐHTN, Khoa Sau đại học trường Đại học Sư phạm, khoa Toán thầy cô giáo tạo điều kiện tốt cho em học tập nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin cảm ơn anh, chị, bạn học viên lớp cao học Toán-K17 Đại học Sư phạm Thái Nguyên giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm suốt thời gian viết luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè cổ vũ, động viên tơi q trình làm luận văn Mặc dù cố gắng chắn luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong đóng góp ý kiến thầy, cô giáo, bạn đồng nghiệp, bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Thái Nguyên, tháng năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG I HAI ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA NEVANLINNA 1.1 Hàm phân hình Định nghĩa 1.1 Điểm a gọi điểm bất thường cô lập hàm f ( z ) hàm f ( z ) chỉnh hình lân cận a, trừ điểm Điểm bất thường lập z  a hàm f ( z ) gọi a) điểm bất thường khử tồn giới hạn hữu hạn f ( z ) z dần đến a b) cực điểm f ( z ) lim f ( z )   z a c) điểm bất thường cốt yếu không tồn lim f ( z ) z a Hàm f ( z ) chỉnh hình tồn mặt phẳng phức  gọi hàm nguyên Như vậy, hàm ngun hàm khơng có điểm bất thường hữu hạn Hàm f ( z ) gọi hàm phân hình miền D   hàm chỉnh hình D, trừ số điểm bất thường cực điểm Nếu D   ta nói f ( z ) phân hình  , hay đơn giản, f ( z ) hàm phân hình Nhận xét Nếu f ( z ) hàm phân hình D lân cận điểm z  D, f ( z ) biểu diễn dạng thương hai hàm chỉnh hình Với phép tốn cộng nhân hàm số thông thường lớp hàm nguyên phân hình, tập hợp hàm nguyên tạo thành vành gọi vành hàm nguyên, kí hiệu A ( ) Tập hợp hàm phân hình  tạo thành trường gọi trường hàm phân hình, kí hiệu M ( ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.2 Điểm z0 gọi cực điểm cấp m>0 hàm f ( z ) lân cận z0 , hàm f ( z )  h( z ) , h( z ) hàm chỉnh ( z  z0 ) m hình lân cận z0 h( z0 )  Tính chất 1.1 Nếu f ( z ) hàm phân hình D f ( z ) hàm phân hình D Hàm f ( z ) f ( z ) có cực điểm điểm Đồng thời, z0 cực điểm cấp m>0 hàm f ( z ) z0 cực điểm cấp m+1 hàm f ( z ) Nhận xét Hàm f ( z ) khơng có q đếm cực điểm D Tính chất 1.2 Cho hàm f ( z ) chỉnh hình  , điều kiện cần đủ để f ( z ) điểm bất thường khác ngồi cực điểm f ( z ) hàm hữu tỷ 1.2 Công thức Poisson – Jensen Định lý 1.1 Giả sử f ( z ) hàm phân hình hình trịn  z  R , 0 R, có khơng a (  1,2, , M ) ; cực điểm điểm b (  1,2, , N ) hình trịn (mỗi khơng điểm cực điểm tính số lần bội nó) Khi đó, z  rei ;(0  r  R), f ( z)  0,  ; ta có : log f ( z )  2 2 i  log f (Re ) M R ( z  a )  1 R  a z   log R2  r d R  Rrcos(   )  r N   log  1 R( z  b ) R  b z Hệ 1.1 Trong giả thiết Định lý, đồng thời f  z   0,  , ta có : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn log f (0)  2 2 M a  1 R f (Re ) d   log  log i N   1 b R Khi f     cơng thức thay đổi chút Thật vậy, f    f  0   hàm f ( z ) có khai triển lân cận z  dạng : f  z   C z   (  ) R f  z  Xét hàm   z   z Ta thấy     0,  , đồng thời   Rei ,     f   Từ ta có : 2  log f  Re log C  2 i M a  1 R  d   log N   log v 1 bv  log R R Nhận xét Giả sử f ( z ) hàm phân hình miền G Ta gọi cấp hàm f ( z ) điểm z0  G , kí hiệu ord z0 f , số nguyên m cho hàm f  z   g  z  z  z0  m chỉnh hình khác khơng z0 Ví dụ 1.1 (1) z0 điểm cấp k f  z   ord z0 f  k  k   (2) z0 cực điểm cấp k f  z   ord z0 f  k (3) Tại z0 hàm f ( z ) chỉnh hình, khác  ord z0 f  Cơng thức Poison – Jensen viết dạng : log f  z   2 2  log f  Re i  R2  z Rei  z d   ord f  log R( z   ) , R2   z tổng lấy theo  hình trịn    R Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.3 Hàm đặc trƣng – Định lý thứ Định nghĩa 1.3 Giả sử x số thực dương, ta định nghĩa : log  x  max 0;log x Ta có : log x  log  x  log  , x x>1 : log x   log  x  log x 1 log   log   x x  x  1: log x   log x  1 log   log   log   log x x x x Như vậy, ta có 2 2 0 log f  Re  d  2 Đặt m  R, f   i 2 2 2 0 log f  Re  d  2  i 2  log  d f  Rei    log f  Re  d  i Giả sử f có cực điểm b (  1, N ) (mỗi cực điểm tính số lần bậc nó), khơng điểm a (  1, M )  z  R; n(t , f ) số cực điểm f  z  t N R R dt Đặt N  R, f    log   n(t , f ) b t  1 R  1 M   dt R   n  t,  Như vậy, N  R,    log a  f  t  f   1 Khi cơng thức Poisson – Jensen viết dạng : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  1  1 log f    m  R, f   m  R,   N  R, f   N  R,   f   f   1  1  m  R, f   N  R, f   m  R,   N  R,   log f    f   f  Đặt T  R, f   m  R, f   N  R, f  , (1.1)  1 Thì T  R, f   T  R,   log f    f  (1.2) T  R, f  gọi hàm đặc trưng Nevanlinna f Tính chất 1.3 (Tính chất hàm đặc trƣng) Giả sử f1  z  , , fl  z  hàm phân hình, ta có bất đẳng thức sau  l  l (1) m  r ,  f k  z     m  r , f k   log l  k 1  k 1  l  l (2) m  r ,  f k  z     m  r , f k   k 1  k 1 (3)  l  l N  r,  fk    N  r, fk   k 1  k 1 (4)  l  l N  r,  fk    N  r, fk   k 1  k 1 (5)  l  l T  r ,  f k   T  r , f k   log l  k 1  k 1 (6)  l  l T  r ,  f k   T  r , f k   k 1  k 1 Đặc biệt với hàm phân hình f ( z ) với a  C ta có : T  r , f   T  r , f  a   log  a  log Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.3) http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 1.2 (Định lý thứ nhất) Giả sử f ( z ) hàm phân hình hình trịn  z  R, R  0, a số phức tuỳ ý Khi ta có :     m  R,  N  R,    T  R, f   log f    a    a, R  , f  a f  a       a, R   log  a  log Nhận xét Từ định nghĩa hàm Nevanlinna ta thấy rõ ý nghĩa Định lý   thứ Hàm đếm N  R,  cho công thức : f  a     M R N  R,   log ,  a  f  a   1 a nghiệm phương trình f  z   a hình trịn z  R   Hàm xấp xỉ m  R,   f  a  2 2   log f  R ei  a  d Như vậy, f nhận nhiều giá trị gần a (tức f  R ei  a  nhỏ) hàm m lớn Như nói tổng vế trái Định lý thứ hàm “đo độ lớn tập hợp nghiệm phương trình f  z   a ” “độ lớn tập hợp f  z  nhận giá trị gần a” Trong vế phải đẳng thức Định lý thứ xem khơng phụ thuộc a Vì Định lý thứ cho thấy hàm phân hình f  z  nhận giá trị a (và giá trị gần a) số lần Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.4 Định lý 1.4 (Định lý thứ hai) Giả sử r số dương, f ( z ) hàm phân hình  ; a1, a2 , aq số phức phân biệt Khi ta có: q (q  1)T  r , f    N (r , av ) N  r ,    N1 (r )  S (r ) , v 1 q (q  1)T  r , f   N (r , f )   N (r , v 1 )  S (r ) f  av đó:  1 N1 (r )  N  r , '   N  r , f   N  r , f '   f  S (r )  log(T  r, f   log r ) N (r , f )   log r ; tổng lấy theo cực điểm b hàm b , b  r ; đồng thời cực điểm tính lần f a 1.5 Số khuyết Định nghĩa 1.4 Giả sử f ( z ) hàm phân hình  , a  Ta đặt:  (a )   (a, f )  lim với N (r , f )   log m( r , a ) N (r , a)   lim T  r; f  T  r; f  r ; tổng lấy theo cực điểm b hàm , b r; b f a đồng thời cực điểm tính lần (a)  (a, f )   lim  (a)   (a, f )  lim Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên N (r , a) T  r; f  N (r , a )  N (r , a ) T  r; f  http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 hàm nhỏ  f thoả mãn a   n , b   m , N  r , f  a, g  b  kí hiệu hàm đếm thu gọn tất không điểm chung f-a g-b Chứng minh f n a Nếu m rút gọn được, tồn hàm nhỏ  f thoả mãn f b f n  a  ( f   ) P( f ) f m  a  ( f   )Q( f ) , P(f), Q(g) đa thức f có bậc n-1 m-1 tương ứng Đặt P( f )  cn1 f n1  cn2 f n2   c1 f  c0 ci (i=0,…, n-1) hàm nhỏ f Bằng cách so sánh hệ số hai vế phương trình f n  a  ( f   ) P( f ) ta có cn-1=1, cj=  n-1-j ,j=0,1,…,n-2 a=  c0 , a=  n Hồn tồn tương tự ta có b=  m Giả sử N (r , f n  a, f m  b)  S (r , f ) , đặt z không điểm chung fn – a fm – b, tức f n ( z)  a( z)  f m ( z)  b( z)  z không điểm am – bn nghĩa am – bn  Do n,m nguyên tố nhau, nên tồn số nguyên s t thoả mãn sn+mt=1 Đặt  =as bt ta có a=  n b=  m  Ta tiếp tục chứng minh Định lý 2.7 Từ (2.1) ta có T(r,f)=T(r,g)+S(r,f) , đặt S(r)=S(r,f)=S(r,g) Phương trình (2.1) viết lại dạng f1+f2=cb2 – b1 (2.2) f1 = f n – m (f m+a1), f2 = - cgn – m (g m +a2) Nếu cb2 – b1  theo Định lý thứ hai Nevanlinna ta có : T (r , f1 )  N (r , f1 )  N (r ,1/ f1 )  N (r ,1/ f )  S (r , f1 ) Khi : (2.3)    1  1   nT (r , f )  N (r , f )  N  r ,   N  r , m   N  r,   N  r, m   S (r ) f f  a g g  a      1   Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 Suy nT (r , f1 )  (2m  3)T (r, f )  S (r ) (2.4) mâu thuẫn với n > 2m + Vậy c=b1/b2 phương trình (2.1) trở thành g m (hn  c)  (a1hnm  ca2 ) , (2.5) h = f / g Nếu h n  c g m  (a1hnm  ca2 ) hn  c (2.6) Nếu hàm hữu tỷ h phương trình (2.6) khơng rút gọn theo Bổ đề 2.1 ta có N (r , hn  c, hnm  ca2 / a1 )  S (r ) „hầu hết‟ (trừ số hữu hạn khơng điểm hn –c) có bội m Phương trình (2.6) T (r , g )  n T (r , h)  S (r ) Do c hàm nhỏ m h Theo Định lý thứ hai Nevanlinna ta có :   1  nT (r , h)  N (r , h)  N  r ,   N  r , n   S (r )  h  h c  2T (r , h)    N  r, n   S (r ) m  h c n      T ( r , h)  S ( r ) m  Dẫn tới n(m – 1)  2m , mâu thuẫn với điều kiện n > 2m + Nếu hàm hữu tỉ h phương trình (2.6) rút gọn tồn hàm nhỏ  h thoả mãn c = an ca2   nm a1 Do phương trình (2.6) viết lại dạng : a1 h1nm  , g  m n  h1  m (2.7) h1 = h/  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 Do n,m nguyên tố nhau, phương trình zn – m – =0 zn – =0 có nghiệm phân biệt ngoại trừ z = Cho rj, j=1,…,2n–m–2 tất nghiệm chúng Khi với điểm rj h1 có bội m Do theo quan hệ số khuyết h1 ta có : 1  1   (2n  m  2)   m (2.8) m  3m  tức n  mâu thuẫn với điều kiện n > 2m + 2( m  1) Khi m  hn  c Từ phương trình (2.5) suy hnm  ca2 Do hm = a1/a2 a1  Hệ 2.2 Cho số nguyên n m với n > 2m + (m  2) nguyên tố nhau, hàm hữu tỉ a1, a2, a3 a4 (  0), phương trình sau : f n  a1 f nm  a2 g n  a3 g nm  a4  (2.9) khơng có nghiệm phân hình siêu việt f g Định lý 2.8 Giả sử a1, a2, a3 hàm phân hình a1  a3  Nếu ba số nguyên dương (n,m,k) thoả mãn k>1,mk(m+2)/(k – 1) n2k+1 Khi tồn hàm khơng phân hình f g với a hàm nhỏ chúng, thoả mãn phương trình sau : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 P(f) = a P(g) (2.12) Chú ý: Điều kiện n>2k+1 Định lý 2.9 cần thiết Ví dụ 2.2 Giả sử P(z)= - + z2 hàm f  e2 z  2ae z  a e2 z  2e z  a ; g  a  e2 z e2 z  a thoả mãn phương trình (2.12) hàm hữu tỉ khác a Định lý 2.10 Giả sử phương trình (2.12) mà a(z) hàm phân hình khác hằng, P(z) đa thức có bậc n có dạng : P( z)  ( z  z1 )n1 ( z  z2 ) (2.13) z1 z2 số phức phân biệt, cặp nghiệm phương trình (2.12) viết dạng : f  z1  ( z2  z1 )h(a  hn1 ) ( z2  z1 )(a  hn1 ) ; g  z  a  hn a  hn h hàm phân hình tuỳ ý cho a(z) hàm nhỏ h Nếu hàm nhỏ a(z) phương trình (2.12) thay ae ta có định lý sau : Định lý 2.11 Giả sử a(z) hàm phân hình khác hằng, P(z) đa thức có bậc n với cơng thức (2.11) Nếu k>1 n>4k+2 với hàm nguyên  phương trình sau : P(f) = ae P(g) (2.14) khơng có cặp nghiệm phân hình f g chấp nhận thoả mãn a hàm nhỏ f g Các Định lý 2.8, 2.9, 2.10, 2.11 nói điều kiện để phương trình hàm khơng có nghiệm phân hình chấp nhận khác khơng , chứng minh chi tiết định lý xem [6] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 2.2 Sự phân tích hữu tỷ hàm phân hình Định nghĩa 2.6 Giả sử F  A / B   x  với A, B   x gcd  A, B   (ước chung lớn nhất) Ta đặt deg  F   max  deg  A  ,deg  B   Cho P   x Ta biểu thị   P  số số không phân biệt P Giả sử F  A / B với A, B   x gcd  A, B   Ta đặt   F      A  ,   B   Giả sử  , hàm từ   tới   Nếu    tồn hàm  khác từ   tới   tập hợp H   độ đo Lơbe không, thoả mãn lim   r  /  r   ,   r     r     r  (ta gọi  quan hệ r  ,rH thứ tự) Ta định nghĩa quan hệ thứ tự quan hệ hầu khắp nơi trừ tập có độ đo Lơbe khơng Nếu    tồn hàm  khác từ   tới   tập hợp H   độ đo Lơbe không, thoả mãn lim   r  /  r   , r  ,rH   r     r     r  (ta gọi  quan hệ tương đương) Định nghĩa 2.7 Cho E trường đóng đại số, ta đặt F  A / B, G  C / D  E  x  với A, B, C, D  E  x , gcd  A, B   gcd C, D   Gọi c1, , ck  E không điểm F ' Khi  F , G  gọi thoả mãn điều kiện M c1, , ck  E : (1) C D monic (đa thức luỹ thừa có bậc cao 1) (2) F  c j   F  cl  , j  l (3) deg  C   deg  D  , giả thiết F  c j   1, j  1, k Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 (4) Với j  1, k ta có G  d   F  c j  D  d   với không điểm d C '  F  c j  D ' Hơn nữa,  F,G gọi thoả mãn điều kiện M ' c1, , ck  E điều kiện (1-3) thoả mãn, điều kiện (4) thay điều kiện (4’): Điều kiện (4’), với j  1, k ta có G  d   F  c j  C  d  D  d   với không điểm d C '  F  c j  D ' Định lý 2.12 Giả sử f  M ( ) , b1, , bn  Khi :  n  1T  r , f    N  r , f n j 1  bj   N  r, f  Chứng minh Định lý 2.12 trình bày [3], [5], [7] Định lý 2.13 Giả sử F , G   x  thoả mãn điều kiện M c1 , , ck đặt p  deg  F  , q  deg  G  Giả sử tồn hai hàm f , g  A ( ) , thoả mãn F  f   G  g  kq  p Chứng minh Để chứng minh Định lý 2.13 trước hết ta chứng minh bổ đề sau : Bổ đề 2.2 Cho E trường đóng đại số, F  A / B, G  C / D   x  , gcd  A, B   gcd  C, D   , thoả mãn điều kiện M c1 , , ck , đặt q  deg  G  với j  1, k ta phân tích dạng : F  x  F c j    x  c j  R j  x , sj với s j  2, R j  c j   , : G  x   F c  D  x     x  b  , q j Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên l 1 j ,l http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 b j ,l qk phần tử khác Chứng minh Bổ đề 2.2 thể hiên [4] trường p-adic với đặc số p  , trường đóng đại số Bổ đề 2.3 (Bổ đề bản) Cho R   x  f  M ( ) đó, T  r , R  f    deg  R  T  r , f  Chứng minh Bổ đề 2.3 trình bày [3], [5], [7] Bổ đề 2.4 (Bổ đề bản) Cho E trường , giả sử F  A / B   x  , gọi c không điểm F’ thoả mãn F  c   c không điểm 1/F’ , với bội Chứng minh Bổ đề 2.4 trình bày [4] Bổ đề 2.5 Cho E trường đóng đại số, F  A / B, G  C / D  E  x  gcd  A, B   gcd  C, D   , thoả mãn điều kiện M’ c1 , , ck Khi 1/F,1/G thoả mãn điều kiện M’ c1 , , ck Chứng minh Theo Bổ đề 2.4, c1 , , ck không điểm 1/F’ Ta thấy điều kiện (13) rõ ràng thoả mãn 1/F,1/G Do ta cần thoả mãn điều kiện (4‟)   Cho u không điểm D '  1/ F  c j  C ' Suy u không điểm C '  F  c j  D ' , điều kiện (4‟) thoả mãn F,G Ta có F  c j   G  u  , 1/ F  c j   1/ G  u  Hơn từ điều kiện (4‟) ta có D  u  C  u   đối xứng C D  Bây ta tiếp tục chứng minh Định lý 2.13 Ta giả sử F  A / B, G  C / D , gcd  A, B   gcd  C, D   , C D monic Theo Bổ đề 2.2 với j  1, k ta phân tích dạng : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 19 F  x   F  c j  thành  x  c j  R j  x  , sj (2.1) với s j  2, R j  c j   , tương tự ta có : G  x   F c  D  x     x  b  q j (2.2) j ,l l 1 b j ,l qk phần tử khác Như ta có : F  f   F c j    f  c j  sj q Rj  f     g  b j ,l   G  g   F  c j  (2.3) D  g  l 1 Theo Định lý 2.12 ta có :  qk  1T  r , g    N  r , g  b j ,l   N  r , g  k q (2.4) j 1 l 1 Theo biểu thức (2.2), với j cố định ta có :     N r , G  g   F  c j  D  g    N  r , g  b j ,l  q (2.5) l 1 Bằng cách đặt g vào biểu thức (2.4) biểu thức (2.5) ta có :      qk  1T  r , g    N r , G  g   F  c j  D  g   N  r , g  k j 1 (2.6) Theo Bổ đề 2.3 ta có : T  r, g   p / qT  r , f  Giả sử R j  x   Aj  x  / B j  x  , suy deg  Aj   p  s j Áp dụng Bổ đề 2.3 ta có : N  r , R j  f    N  r , f   N  r , Aj  f    N  r , f    p  s j T  r , f   N  r , f  (2.7) Bây ta giả sử giả thiết Định lý 2.13 Vì f,g hàm nguyên mặt, A,B khơng có khơng điểm chung mặt, C,D khơng có Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 20 không điểm chung Từ (2.3), với j  1, k , không điểm D(g) cực điểm F(f) bậc, cực điểm Rj  f  bậc Do : N  r, R j  f  D  g   N  r, R j  f  Suy ra, theo biểu thức (2.6) biểu thức (2.7) với ý f ,g hàm nguyên, ta nhận :      N r, G  g   F  c j  D  g   N r,  f  c j  R j  f  D  g  sj     N r,  f  c j   N  r, R j  f   T  r , f   ( p  s j )T  r , f  Cộng đẳng thức theo j, theo biểu thức (2.6) ta có :  k   j 1   qk  1T  r , g   T  r , f   k 1  p    S j  Mặt khác theo Bổ đề 2.3 ta có : T  r, f   q / pT  r , g  Do : k    qk  1 pT  r , f   qT  r , f   kp    s j  1  j 1   Vì T  r, f  khơng giới nội, ta thấy : k   qk  p  q kp     s j  1    j 1   Do :  s k j 1 j  1  p Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 Theo giả thiết k    s j  1 nên suy kq  p k  j 1 Định lý 2.14 Giả sử F  A / B, G  C / D   x  với gcd(A,B)=gcd(C,D)=1, C D monic, thoả mãn điều kiện M c1 , , ck , đặt p  deg  F  , q  deg  G  Giả sử tồn hai hàm f , g  M ( ) , thoả mãn   F  f   G  g  kq  p   k  D   Chứng minh Bây ta giả sử có giả thiết Định lý 2.14 Ta tìm thấy số h  cho F  c j   h  0, j  1, k Giả sử   x   F  x   h,  x   G  x   h ta có :   f     g   , thoả mãn giả thiết Định lý 2.14 , F , G thay tương ứng Do ta giả sử F  c j   0, j  1, k mà khơng tính tổng quát, ta có : N  r, R j  f  D  g   N  r, R j  f   N  r, D  g  Do đó, theo biểu thức (2.6) biểu thức (2.7) ta có :      N r, G  g   F  c j  D  g   N r,  f  c j  R j  f  D  g   sj    N r ,  f  c j   N  r , R j  f    N  r , D  g   (2.8) Giả sử, t    D  u 1  u  t  số không điểm phân biệt D t Ta có : N  r , D  g      r , g   u   tT  r , g  u 1 Do đó, theo biểu thức (2.8) ta có :     N r , G  g   F  c j  D  g   T  r , f    p  s j T  r , f     D T  r , g  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 22 p  D      p   s j  1  T  r, f  q   Cộng biểu thức theo j, theo biểu thức (2.6) ta có : k    qk  1T  r , g   T  r , f   k 1  p    S j  j 1   Do : k  kp  D    qk  1 pT  r , f   qT  r , f   kp    s j  1   q j    Do T  r, f  không giới nội, nên ta có : k   qk  p  q kp     s j  1  kp  D     j 1   Do : qk  q   s j  1  p  k  D   1 k  j 1 Định lý 2.15 Giả sử F  A / B, G  C / D   x  với gcd(A,B)=gcd(C,D)=1 C D monic, thoả mãn điều kiện M’ c1 , , ck , đặt p  deg  F  , q  deg  G  Giả sử tồn hai hàm f , g  M ( ) , thoả mãn   F  f   G  g  kq  p   k   G   Chứng minh Bây ta giả sử có giả thiết Định lý 2.15 Do điều kiện M’, áp dụng Bổ đề 2.5 ta thay F , G 1/F , 1/G tương ứng Vì chúng thoả mãn điều kiện M’ Do ta có qk  p  k  C   1 , nên qk  p  k  G   1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 Nhận xét Định lý 2.14 2.15 tầm thường C D có bậc khơng có khơng điểm bội, hay  deg  C  ,deg  D   nhỏ nhiều so với max  deg  C  ,deg  D   x2  x2 Ví dụ 2.3 Cho f  x   sin x, g  x   cos x, F  x   , G  x   Khi x x 1 F  f   G  g    cot x , f , g  A ( ) Theo Định lý 2.13, ta có q=p=2, k phải Thực điều F '  x   x3 khơng có khơng điểm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 KẾT LUẬN Luận văn trình bày sở lý thuyết Nevanlinna áp dụng để tìm nghiệm phân hình phương trình hàm với hệ số khác phân tích hữu tỷ hàm phân hình phức Cụ thể : + Trình bày số điều kiện để phương trình hàm khơng có nghiệm phân hình khác khơng + Trình bày lại số lớp phương trình tồn nghiệm phân hình chấp nhận + Trình bày số điều kiện để hàm phân hình có phân tích Những kết trình bày theo báo P Li and C.-C Yang, Eayerhofer – Escassut Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [ ] H.H.Khoái, Bài giảng Lý thuyết Nevanlinna [ ] H.T Phương, Bài giảng Giải tích p-adic Tiếng Anh [ ] A.I Markushevich Theory of Functions of a complex Variable, Vol II Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J , U.S.A 1965 [ ] E Mayerhofer Rational Decomposition of p-adic Meromorphic Functions, SCMJ, 2004, [ ] I Laine Nevanlinna Theory and Complex Differential Equations, Walter de Gruyter, Berlin, New York [ ] P Li and C.-C Yang, Admissible solutions of functional equations of Diophantine type (Preprint) [ ] R Nevanlinna Le théorème de Picard-Borel et la theorie des functions méromorphes Gauthiers-Villars, Paris 1929 [ ] P Li and C.-C Yang, Meromorphic solutions of functional equations with nonconstant coefficients Proc Japan Acard., 82, ser A (2006) [ ] Alain Escassut and E Mayerhofer Rational Decomposition of Complex Meromorphic Function Complex Variables, Vol.49, No.14,15November 2004, pp 991-996 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương I : Hai định lý Nevanlinna …………………… ……… 1.1 Hàm phân hình ……………………………………………………… 1.2 Cơng thức Poisson – Jensen ……………………………………….….4 1.3 Hàm đặc trưng – Định lý thứ …………………………….6 1.4 Định lý thứ hai ………………………………………… ……9 1.5 Số khuyết ………………………………………………………….….9 Chương II :Nghiệm phân hình phương trình hàm với hệ số khác phân tích hữu tỷ hàm phân hình phức ………… … ….11 2.1 Nghiệm phân hình phương trình hàm với hệ số khác hằng….….11 2.2 Phân tích hữu tỷ hàm phân hình phức ……… ….… .… ….16 KẾT LUẬN …………………………………………………………………24 TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………………… 25 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... hàm với hệ số khác phân tích hữu tỷ hàm phân hình phức ………… … ….11 2.1 Nghiệm phân hình phương trình hàm với hệ số khác hằng? ??.….11 2.2 Phân tích hữu tỷ hàm phân hình phức ……… ….… .… ….16 KẾT LUẬN... số khác phân tích hữu tỷ hàm phân hình phức Cụ thể : + Trình bày số điều kiện để phương trình hàm khơng có nghiệm phân hình khác khơng + Trình bày lại số lớp phương trình tồn nghiệm phân hình chấp... dụng lý thuyết hệ động lực Mục đích luận văn trình bày sở lý thuyết Nevanlinna áp dụng tìm nghiệm phân hình phương trình hàm với hệ số khác phân tích hữu tỷ hàm phân hình phức Sau q trình nghiên