PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ CỦA HÀM PHÂN HÌNH VÀ ĐẠO HÀM CỦA NÓ

Hai định lý cơ bản của Nevanlinna

Công thức Poison – Jensen

Giả sử hàm f(z) là một hàm phân hình trong hình tròn {z ≤ R}, với R > 0, có M không điểm aμ (μ = 1, 2, , M) và N cực điểm bν (ν = 1, 2, , N) nằm trong hình tròn đó Mỗi không điểm hoặc cực điểm được tính một số lần tương ứng với bội của nó.

Khi đó, nếu z  re i  ; 0    r R    , f z   0, ; ta có:

+ Bước 1: Trước tiên, giả sử rằng hàm f z   không có không điểm và cực điểm trong  z  R  Ta chứng minh công thức cho trường hợp z 0

Theo giả thiết f z   chỉnh hình và khác 0 trong  z  R  nên log f z   là hàm chỉnh hình trong hình tròn đó Theo định lý Cauchy ta có:

Lấy phần thực hai vế ta được:

+ Bước 2: Xét trường hợp z re i  ,r 0.

Theo công thức Cauchy ta có:

R R z  r R nên điểm đó nằm ngoài hình tròn, do đó:

Lấy phần thực hai vế ta được công thức cần chứng minh đối với trường hợp hàm f z   chỉnh hình và khác không

+ Bước 3: Giả sử f z   không có không điểm và cực điểm trong

   R  nhưng có thể có không điểm và cực điểm trên biên  R

(*) Nhận xét: f z   chỉ có hữu hạn không điểm, cực điểm trên biên

Chứng minh Giả sử f z   có vô hạn không điểm, cực điểm trên  R

Do  R compact, tồn tại  0 là điểm giới hạn của tập hợp các không điểm suy ra f 0

(+) Giả sử f z   có vô hạn cực điểm trên   n

Suy ra  0 là bất thường cốt yếu  f    không phân hình

Giả sử  0 là một không điểm hoặc cực điểm cấp k trong lân cận  0 ; f    có khai triển:

   0     ; f     g  g  chỉnh hình khác 0 trong lân cận  0 ;

  0 log f  log  trong lân cận  0

Với mỗi  0 là không điểm, cực điểm, ta vẽ vòng tròn tâm  0 bán kính

Xét C  : Hợp các cung tròn bán kính  nằm bên trong    R  thay tích phân trên C,  R tại lân cận  0 bởi cung C 

Suy ra trên chu tuyến mới f z   không có không điểm, cực điểm Áp dụng được bước 2

Tích phân trên chu tuyến mới khác tích phân trên C    R  một đại lượng là: 1 1 log  2   0 log 

Vậy cho  0 ta được công thức cần chứng minh

+ Bước 4: Trường hợp tổng quát

 dễ thấy       0, bên trong hình tròn  R, nên ta áp dụng được công thức đã chứng minh trong bước 3

Mặt khác, các hàm trong hai dấu tích chính là các hàm thực hiện ánh xạ hình tròn  Rlên hình tròn đơn vị, nên môđun của chúng bằng 1 khi  R

Từ đó, nếu  Re i  thì      f   

Từ công thức của hàm     ta được công thức Poisson-Jensen cho trường hợp tổng quát

Trong những giả thiết của Định lý, đồng thời nếu f   0   0, , ta có:

0 log 0 1 log Re log log

Khi f   0  0 hoặc công thức trên thay đổi chút ít Thật vậy, nếu f   0  0 hoặc f   0   hàm f z   có khai triển tại lân cận z 0 dạng:

Ta thấy    0   0, , đồng thời khi   Re , i       f    Từ đó ta có:

0 log 1 log Re log log log

(*) Nhận xét: Giả sử f z   là hàm phân hình trong một miền G nào đó Ta gọi cấp của hàm f z   tại điểm z 0G, ký hiệu z 0 ord f , là số nguyên m sao cho hàm    

  chỉnh hình và khác không tại z 0

(1) z 0 là 0 điểm cấp k của f z   ordz 0 f k k  0

(2) z 0 là cực điểm cấp k của f z    ordz 0 f  k

(3) Tại z 0 hàm f z   chỉnh hình, khác 0  z 0 ord f 0 Công thức Poisson – Jensen có thể viết dưới dạng:

0 log 1 log Re ord log

 , trong đó tổng lấy theo mọi  trong hình tròn    R 

Hàm đặc trưng – Định lý cơ bản thứ nhất

Giả sử x là số thực dương, ta định nghĩa:

Ta có: 1 logx log x log x

1 1 1 1 log Re log Re log

Giả sử hàm số f có n cực điểm b, với mỗi cực điểm được tính theo bậc của nó, và có M không điểm a trong miền z < R Số cực điểm của f trong miền z < t được ký hiệu là n t f(z).

Khi đó công thức Poisson – Jensen được viết dưới dạng:

T R f được gọi là hàm đặc trưng Nevanlinna của f

1.2.2 Một số tính chất đơn giản của hàm đặc trưng

Giả sử f z 1  , , f n   z là các hàm phân hình, ta có các bất đẳng thức sau đây:

    Đặc biệt, với mọi hàm phân hình f z   và mọi a  C ta có:

1.2.3 Định lý cơ bản thứ nhất

Giả sử f z   là hàm phân hình trong hình tròn  z  R R  ,  0, a là số phức tùy ý Khi đó ta có:

Thật vậy, từ (1.1) và (1.2) ta có:

Từ (1.3) ta nhận được đẳng thức cần chứng minh

Từ định nghĩa các hàm Nevanlinna ta thấy rõ ý nghĩa của định lý cơ bản thứ nhất Hàm đếm 1

  được cho bởi công thức :

   , trong đó a  là các nghiệm của phương trình f z    a trong hình tròn z R

Nếu hàm f nhận nhiều giá trị gần a, thì hàm m sẽ lớn hơn Tổng trong vế trái của định lý cơ bản thứ nhất thể hiện "độ lớn của tập hợp nghiệm phương trình f(z) = a" và "độ lớn tập hợp tại đó f(z) gần bằng a" Ngược lại, vế phải của đẳng thức trong định lý cơ bản được xem là không phụ thuộc vào a.

Vì thế định lý cơ bản thứ nhất cho thấy rằng hàm phân hình f z   nhận mỗi giá trị a (và giá trị gần a ) một số lần như nhau.

Định lý cơ bản thứ hai

1.3.1 Định lý ( Bất đẳng thức cơ bản)

Giả sử f z   là hàm phân hình khác hằng số trong hình tròn  z  r  ;

1, , q ; 2 a a q , là các số phức phân biệt Khi đó ta có:

     , trong đó N r 1  0, được cho bởi:

( Để đơn giản ta giả thiết: f ' 0     0, ) Để chứng minh bất đẳng thức cơ bản trên ta chứng minh một số bổ đề sau

Giả sử g z   là hàm phân hình trong hình tròn  z  r  , g   0   0, khi đó ta có:

Với các giả thiết của định lý, ta có:

Thật vậy với mọi  ta có :

Nếu tồn tại  thỏa mãn thì v là duy nhất Vì nếu ngược lại: ; v 3 f a q

1 1 1 log log log 2 log log log 2 q v v

Từ bổ đề một ta có:

  Định lý được chứng minh

Có thể chỉ ra rằng N r 1  0 Thật vậy, giả sử b là một cực điểm cấp k của hàm f z   trong đĩa  z  r 

Khi đó đại lượng log r b được tính k lần trong tổng N r f   , Mặt khác, b là cực điểm cấp  k  1  của đạo hàm f '   z Do đó, đại lượng log r b được tính

 k  1  lần trong tổng N r f  , '  Từ đó suy ra: 2 N r f   ,  N r f  , '   0

Từ bất đẳng thức cơ bản ta có Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna

Giả sử r là một số thực dương, f z   là hàm phân hình trong ;

1, , q a a là các số phức phân biệt Khi đó ta có:

Từ bất đẳng thức cơ bản ta có:

Cộng vào hai vế đại lượng    

Từ Định lý cơ bản thứ nhất, ta thấy với mọi v1, 2, ,q;

Giả sử f z   là hàm phân hình trên mặt phẳng phức  , a , ta đặt

 b ; tổng lấy theo mọi cực điểm b của hàm, b r; đồng thời mỗi cực điểm chỉ được tính một lần

 được gọi là số khuyết của giá trị a

 được gọi là chỉ số bội của giá trị a

1.3.6 Định lý (Quan hệ số khuyết)

Giả sử f z   là hàm phân hình trên  , khi đó tập hợp các giá trị a mà

  cùng lắm là đếm được, đồng thời ta có:

Từ định nghĩa suy ra rằng:      a   a     a

Chọn dãy   r n , r n   sao cho S r   n  O  log T r f  n ,  

Từ Định lý cơ bản thứ hai, với mọi tập hợp gồm q số phức phân biệt

Bất đẳng thức trên có thể viết lại như sau:

Nếu b là một cực điểm cấp k của hàm f(z) trong tập hợp {z ≤ r_n}, thì log r_n b xuất hiện k lần trong công thức tính N_r(n, ∞) Đồng thời, vì b là cực điểm của f'(z) cấp (k + 1), nên log r_n b cũng xuất hiện (k + 1) lần trong công thức tính N_r(f'(n)).

Mặt khác, giả sử b là nghiệm bội k của phương trình: f z  a v với v nào đó

Khi đó, đại lượng logr n b tham gia k lần trong công thức tính tổng

Vì b là không điểm cấp  k  1  của hàm f '   z nên nó là cực điểm cấp  k  1  của hàm 1

' f Do đó, tham gia  k  1  lần vào công thức tính tổng 1

  , với N 0   f ' là tổng có dạng log r n

 b lấy theo mọi không điểm b của f ' mà không là nghiệm của bất kỳ phương trình f z  a v nào, 1 v q

Chia hai vế cho T r f  n ,  ta được:

Ta cần chứng minh tồn tại tập hợp các giá trị a sao cho    a  0, cùng lắm là đếm được, đồng thời

  có không quá 2n phần tử

Suy ra, A cùng lắm là đếm được

Định lý được chứng minh

Giả sử f g là các hàm phân hình khác hằng số sao cho tồn tại 5 điểm ,

1, 2, 3, 4, 5 a a a a a để f  1   a j  g  1   a j ; j  1,5 Khi đó, f  g hoặc f g là , hằng số

(*) Nhận xét: Số 5 không thể giảm

(b là nghiệm của phương trình f z    a chỉ tính một lần)

    Định lý cơ bản thứ 2, áp dụng cho f a a a a a; , 1 2 , 3 , 4 , 5

  chứa các số dạng log r b , trong đó b là một trong các nghiệm của phương trình f a j

Giả sử, b là nghiệm bội k của phương trình f a j với j nào đó

Suy ra, tham gia  k  1  lần trong 1

  trong đó N 0   f ' là tổng tính theo các nghiệm của f '0 mà không là nghiệm của f a j

Xét N r f  , '   N r f   , : Mỗi cực điểm cấp k của f là cực điểm cấp k 1 của

Tương tự với hàm g, ta cũng có:

Theo định lý cơ bản thứ nhất, ta có:

( vì nếu số hạng log r b được tính trong  N j   r thì f b    a j với j nào đó

Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó

Sự phân phối giá trị của các hàm phân hình

Giả sử f z   là hàm phân hình khác hằng số trên C

Ta định nghĩa S r f   , là một đại lượng xác định thỏa mãn

S r f  T r f khi r  ; có thể trừ đi một tập E của r có độ đo hữu hạn

Giả sử, a z a z a z      , 0 , 1 , là các hàm nhỏ của f, tức là các hàm thỏa mãn:

Cho l là một số nguyên, f là hàm phân hình khác hằng số trên  và:

Xét trường hợp    z  f   l   z , chứng minh bằng phép quy nạp với l

Nếu f z   có cực điểm tại z 0 cấp k, thì f   l   z có cực điểm tại z 0 cấp k l và k    l  l 1  k

Cộng các bất đẳng thức (*), (**) ta được:

Như vậy trong trường hợp này (1.5) được chứng minh

  , khi r , trừ một tập hợp E của r có độ đo hữu hạn

Vậy định lý được chứng minh cho trường hợp    z  f   l   z

Trường hợp tổng quát, ta chú ý rằng:

Nếu f z   có cực điểm cấp p tại z 0 và a z v   có cực điểm cấp không quá q tại z 0 thì    z có cực điểm tại z 0 cấp không vượt quá p l q và

Vậy Định lý được chứng minh

Từ định lý trên ta có một số kết quả sau

Giả sử f z   là hàm phân hình khác hằng số trên  và    z (khác hằng số) là hàm cho bởi ở định lý (2.1.2) Khi đó:

  là hàm đếm các không điểm của  '   z mà không phải là các không điểm của    z  1

Theo định lý cơ bản thứ hai cho hàm    z  f z   tại 3 điểm 0,1, ta có:

Ngoài ra, tại một cực điểm của    z cấp l ,  '   z cấp l  1, các cực điểm này chỉ xuất hiện tại cực điểm của f z   hoặc của a z v  

Hơn nữa , tại một không điểm của    z  1 cấp l ,  '   z có không điểm cấp 1 l , vì vậy:

Ta có: S r  ,      T r  ,       T r f  ,  , trừ ra một tập hợp E của r có độ đo hữu hạn

Do đó, cùng với (1.6), (1.7) suy ra:

Vậy định lý được chứng minh

Giả sử f z   là hàm phân hình và siêu việt trên 

(*) Để chứng minh định lý ta chứng minh bổ đề sau:

  xác định trong định lý 2.1.3 và

N r f N r f được ký hiệu là hàm N tương ứng cực điểm đơn và cực điểm bội, mỗi cực điểm chỉ tính duy nhất một lần, thì ta có:

Khi đó tại một cực điểm đơn z 0 của f z   , ta có:

Lấy vi phân hai vế l lần ta được kết quả:

 Lấy vi phân tiếp 2 vế ta thu được:

Vì vậy, g z   0  0, Nhưng g z '   có không điểm tại z 0 cấp ít nhất là l

Sử dụng công thức Poisson-Jensen cho  

        , vế trái đẳng thức trên là :

  là hàm đếm các không điểm của g' mà không phải là các không điểm của g

Từ các kết quả trên ta có :

Các không điểm và cực điểm của g z   chỉ có thể xuất hiện tại các cực điểm bội của f z  , hoặc các không điểm của    z  1, hoặc các không điểm của

 khác với không điểm của    z  1 Do đó :

Ngoài ra, theo định lý 2.1.2 ta có:

Từ (1.9), (1.10), (1.11) suy ra điều phải chứng minh

Sử dụng định lý 2.1.3 với    z  f   l   z và trong N r f   , các cực điểm bội được tính ít nhất 2 lần, ta có:

        , kết hợp với bổ đề 2.1.5 ta có kết quả :

Thế bất đẳng thức này vào định lý 2.1.3 ta được bất đẳng thức của định lý 2.1.4

Bây giờ, ta giả sử w , w 1 2 là các số phức, thỏa mãn w 2 0

Sử dụng định lý 2.1.4 cho F z   ta thu được :

           Nếu phương trình f z  w ,1 f   l   z w2 chỉ có hữu hạn nghiệm thì :

Vì vậy f z   là hàm hữu tỉ, mâu thuẫn giả thiết

Suy ra, định lý được chứng minh.

Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó

Nếu n ( 3) là một số nguyên thì   f f n ' có tất cả các giá trị khác không

(*) Tuy nhiên vấn đề đặt ra là giá trị phân phối của ff '  a khi a  a z   là một hằng số khác không thỏa mãn điều kiện: T r a   ,  S r f   ,

Ta gọi hàm phân hình a  a z   là một hàm nhỏ của f nếu T r a   ,  S r f   ,

2.2.2 Định lý ( xem {[ 12 ] và [ 11 ]}, Zhang )

   thì ff 'a là vô cùng khi a    0,  là hàm nhỏ của f

2.2.3 Định lý ( xem {[ 12 ] và [ 11 ]}, Zhang )

Nếu 2   0; f      ; f   1 thì ff '  a là vô cùng khi a    0,  là hàm nhỏ của f

Tuy vậy, trong định lý C điều kiện 2   0; f      ; f   1 có thể dễ dàng thay thế bởi điều kiện yếu hơn: 2   0; f      ; f   1

Nếu f là đa thức và f hạn chế bậc thì ff 'a là vô cùng

Nếu a    0,  là một hàm nhỏ của f thì ít nhất một ff 'a và ff 'a là vô cùng

Cho m là một số nguyên dương Ta ký hiệu N r a f  , ;  m  ,

N r a f m là hàm đếm các a điểm của f Định nghĩa tương tự với N r a f  , ;  m  , N r a f  , ;  m  , N r a f  , ;  m  , và

Nếu N là số lượng không điểm của hàm f(k) mà không phải là không điểm của hàm f, và mỗi không điểm của f(k) được tính theo số bội của nó, thì hàm đếm các không điểm này có thể được biểu diễn như sau: f(k) ≠ 0.

Từ định lý cơ bản thứ nhất và định lý Milloux ta có:

Cho     f n 0   f   k n 1 , khi n 0    2 , n 1 và k là các số nguyên dương, sao cho: n n 0  0   1 1 k  n n 0 1 n 0 n 1 0

Chứng minh Đầu tiên ta chú ý  Cf 4,10   

T r f S r f CT r S r , và T r f  ,  n 0  1 k n T r f  1   , S r f  , , khi C là hằng số

Nếu a (không bằng 0) là một hàm nhỏ của f, thì a cũng đồng thời là hàm nhỏ của ψ và ngược lại Điều này dẫn đến việc áp dụng định lý cơ bản của Nevanlinna cho ba dãy hàm.

Bây giờ, từ bổ đề ta có :

Nếu z 0 là một phần tử của f p, và z 0 là phần tử của  , với

Vì N r  , ;     N r  , ;  f  và S r   ,   S r f   , , từ (1), (3) và (4) ta có:

  Định lý được chứng minh

(*) Dưới đây, ta chứng minh định lý 2.2.5 khi định lý được phát biểu lại như sau :

Cho F  ff   k , với k là một số nguyên dương, thì với mọi hàm nhỏ a của f

Ta có, a 2 cũng là một hằng số nhỏ của f , ta thấy n 0  n 1 2

  Định lý được chứng minh.