Luận văn thạc sĩ phân tích hàm nguyên và hàm phân hình

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Chu ĐÉc Hi¼p PHÂN TÍCH HÀM NGUN VÀ HÀM PHÂN HÌNH LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - 2013 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Chu ĐÉc Hi¼p PHÂN TÍCH HÀM NGUN VÀ HÀM PHÂN HÌNH Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 60.46.01.02 LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: GS TSKH Hà Huy Khối LèI CAM ƠN Trưóc trình bày n®i dung cna khóa lu¾n, em xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói GS.TSKH Hà Huy Khối, ngưịi thay t¾n tình hưóng dan đe em có the hồn thành lu¾n văn Em xin bày to lịng biet ơn chân thành tói tồn the thay giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên, Đai HQ c Quoc Gia H Nđi ó day bao em tắn tỡnh suot q trình HQc t¾p tai khoa, đ¾c bi¾t PGS.TS Nguyen Đình Sang, ngưịi thay ln giúp đõ có nhung ý kien đóng góp quý báu q trình HQc t¾p nghiên cúu Em xin cam ơn thay phan bi¾n giúp đõ rat nhieu q trình hồn thành lu¾n văn Nhân d%p em xin đưoc gui lòi cam ơn chân thành tói gia đình, ban bè ln bên em, cő vũ, đ®ng viên, giúp đõ em suot q trình HQc v thnc hiắn luắn ny H Nđi, ngày 09 tháng 12 năm 2013 HQc viên Chu ĐÉc Hi¼p Mnc lnc Lài cam ơn Lài ma đau Kien thÉc chuan b% 1.1 Hàm chinh hình m®t bien 1.1.1 Đ%nh nghĩa 1.1.2 Các tính chat ban cna hàm chinh hình 1.2 Hàm nguyên 1.3 Hàm phân hình 10 1.4 Hàm nguyên to 12 1.4.1 M®t so đ%nh nghĩa .12 1.4.2 Hàm gia nguyên to 12 1.4.3 Hàm nguyên to 13 Phõn tớch nghiẳm nguyờn cua mđt vài phương trình vi phân đai so 16 2.1 Đ¾t toán 16 2.2 M®t so bő đe 18 2.3 Phõn tớch nghiắm nguyờn cna mđt vi phng trình vi phân đai so 19 Ket lu¼n 27 Tài li¼u tham khao 28 LèI Me ĐAU Khi nghiên cúu hàm ngun hàm phân hình, ngưịi ta ý vi¾c phân tích chúng thành nhung hàm hop Đieu ny hon ton tng tn nh viắc phõn tớch mđt so nguyên thành thùa so nguyên to (đ%nh lý ban cna so HQc) Cách phân tích v¾y, khác vói trưịng hop so HQc, khơng nhat Tuy nhiên, nhieu van đe tương tn so HQc đưoc đ¾t Hưóng nghiên cúu nêu dan đen nhung khái ni¾m hàm nguyên to, hàm gia nguyên to Lĩnh vnc nghiên cúu nhung tính chat cna hàm ngun to gia ngun to, đ¾c trưng hóa phân lóp nhung hàm nguyên to gia nguyên to tro thành m®t lĩnh vnc thịi sn cna giai tích phúc, đưoc nhieu nhà tốn HQc the giói quan tâm Ban lu¾n văn có muc đích trình bày khái ni¾m hàm nguyên to gia nguyên to, m®t vài ket qua gan hưóng nghiờn cỳu ny Nđi dung chớnh cna luắn oc viet theo báo “Factorization of entire solutions of some algebraic differential equations” đăng tap chí Journal of Mathematical analysis and applications năm 2006 Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 Hàm chinh hình m®t bien 1.1.1 Đ%nh ngha Gia su l mđt mo C Cho u : Ω → C z = x + iy −→ u(z) = u(x, y) u ∈ C1(Ω) Ta có: dz = dx + idy, dz = dx − idy u ∈ C1(Ω) nên ∂u ∂u = du = dx + dy ∂x ∂y ∂u Σ ∂u + dz + i 2 ∂y Đ¾t ∂u = ∂ z ∂u ∂u ∂x ∂u + ∂ x ∂u i ∂y ∂x Σ ∂u ∂ z = ∂u ∂u − i ∂y ∂ x ∂u − i ∂y Σ dz ∂u Σ ∂u Khi đó: ∂u dz Ta có đ%nh nghĩa sau du ∂z ∂z dz + = Đ%nh nghĩa 1.1 Neu u ∈ C1(Ω) ∂u = 0, ∀z ∈ Ω ta nói rang u ∂z hàm chinh hình Ω T¾p hop tat ca hàm chinh hình Ω ký hi¾u H(Ω) Cho K l mđt compact C, neu ton tai mđt t¾p mo W ⊂ C cho K ⊂ W f ∈ H(W ) ta nói rang f hàm chinh hình K 1.1.2 Các tính chat ban cua hàm chinh hình Tính chat MQI hàm u ∈ H(Ω) kha vi vô han Ω Hơn nua, neu u ∈ H(Ω) đao hàm uJ thu®c H(Ω) Tính m®t compact bat kỳ, K ⊂ Ω, vói MQI lân c¾n mo W chat ⊂ Ω cnaCho K K Khilàđó, vóit¾p MQI hàm chinh hình u ∈ H(Ω) ton tai hang so cj , j = 0, 1, (khơng phu thu®c u) cho ∂j u (j) sup ∂z j (z)| ≤ cj ||u||L1 (W ) , (j) u u | z∈K = Tính chat Tőng cna chuoi lũy thùa ∞ Σ u(z) = anzn n=0 m®t hàm chinh hình phan cna đưịng trịn h®i tu ngưoc lai, neu ∞ f ∈ H(V (z0)) Khi Σ f (z) = cn(z − z0) n n=0 đó: Tính chat Cho u : C → C hàm chinh hình, neu u b% ch¾n u hàm hang Tính chat (Nguyên lý mơ đun cEc đai) Neu f hàm chinh hình khác hang m®t mien D liên tuc D |f| đat cnc đai ∂D Tính chat Gia su f hàm chinh hình D, liên tuc D khơng tri¾t tiêu D, |f| đat cnc tieu ∂D 1.2 Hàm nguyên Đ%nh nghĩa 1.2 Hàm f (z) chinh hình tồn m¾t phang phúc C đưoc GQI hàm nguyên Hàm nguyên f (z) khai trien đưoc thành chuoi lũy thùa: Σ ∞ f (z) =n cnz n=0 Ví du: nΣ =0 ez n z , = sin z nΣ =1 (−1 n! ∞ n−1 z2n−1 (2n − 1)! ∞ = ) M®t hàm ngun mà khơng ton tai giói han z → +∞ đưoc GQI hàm ngun siêu vi¾t Các hàm ngun khơng phai hàm nguyên siêu vi¾t chi nhung đa thúc Như v¾y đa thúc khai trien đưoc thành chuoi lũy thùa huu han Bây giò ta đ %nh nghĩa cap cna m®t hàm nguyên Cho f (z) m®t hàm nguyên Ta đ%nh nghĩa hàm Mf (r) = max| f (z) |z|=r | Theo nguyên lý môđun cnc đai, neu f khác hang so Mf (r) hàm tăng theo r Đ%nh M®tdương hàm tnguyên f (z) đưoc GQI có cap huu han neu ton tai nghĩa m®t so1.3 nguyên cho: Gia su Khi F (ξ) nghi¾m siêu vi¾t (2.3) (2.2)rang fF (ξ) = f (g(x)) theo đ%nh nguyên lý A %nh lý Bcna ta cú the hoắc ket luắn mđt hm huu ty hoắc g l mđt a thỳc Van đe đ¾t có the biet thêm ve hàm f g? Muc đích cna chương này, chương cna lu¾n văn chúng minh m®t so tính chat cna f g sau b sung mđt so ieu kiắn oi vúi phng trỡnh (2.3) phương trình (2.2) 2.2 M®t so bo đe Đe chúng minh tính chat cna hàm f g dưói đây, trưóc het giói thi¾u bon bő đe mà ta se su dung Vi¾c chúng minh bon bő đe có the tìm đưoc tài li¾u tham khao Bo đe 2.1 Cho F l mđt hm nguyờn siờu viắt khụng tuan hon Khi F nguyên to neu chs neu F E - nguyên to Bo đenghi¾m 2.2 Cho p(z , z2 , z3 ) đa thúc theo ba bien z1 , z2 z3 Khi bat kỳ phân hình cua phương trình vi phân cap 1: p(z, f, f J ) = đeu có cap tăng huu han J Bo Cho F m®t bat hàmkỳngun có C, b¾ccác huuphương han, trình đao (z) có vơđeso2.3 nghi¾m Gialàthiet so phúc sauhàm đongF thài thóa mãn:  =C   F J (z) =  F (z) chs có huu han nghi¾m Khi F (z) E - nguyên to trái Bo đe 2.4 Cho f1 , f2 , , fn g hàm nguyên h1 , h2 , , hn hàm phân hình cho bat thúc: n Σ T (r, hj ) ≤ KT (r, g) j=1 đúng, vái K m®t hang so Gia thiet rang fj hj (j = 1, 2, , n) thóa mãn f1 (g(z))h1 (z) + f2 (g(z))h2 (z) + + fn (g(z))hn (z) ≡ Khi tonbang tai hai hapm®t đa thúc j} {qj} (j = 1, 2, , n) khơng đongđó thài t¾p hai{pt¾p : p1(g(z))h1(z) + p2(g(z))h2(z) + + pn(g(z))hn(z) ≡ f1 (z)q1 (z) + f2 (z)q2 (z) + + fn (z)qn (z) ≡ Phõn tớch nghiắm nguyờn cua mđt vi phng 2.3 trình vi phân đai so Xét phương trình vi phân đai so in −1 J jn −1 (ξ)f inđó (f Jn )jn là+ so bn−1 ) + + b0 (ξ)f i0 (f J )j0 = b(ξ) (2.4)bnTrong tn(ξ)f nhiên, i(f s ≥ 0, js ≥ 0, is + js > (0 ≤ s ≤ n) so nguyên bi (ξ) ƒ= (0 ≤ i ≤ n) nhung đa thúc theo ξ Bài toán đ¾t phân tích nghi¾m ngun cna phương trình này, tù giúp tìm sn nguyờn to hoắc gia nguyờn to cna mđt lúp cỏc hàm nguyên Chúng ta se chúng minh hai đ%nh lý ban Đ%nh lý 2.5 Gia su rang phương trình (2.4) thóa mãn đieu ki¾n deg bn(ξ) < deg bn−1(ξ) < < deg b0(ξ) Gia su F (ξ) nghiắm nguyờn siờu viắt cua (2.4) Khi ú mđt v chs m®t ba trưàng hap sau (1) F (ξ) m®t hàm nguyên to (2) F (ξ) có nhân tu trái q(ξ) có dang: q(ξ) = c(ξ − a)k + b a, b ∈ C, c ƒ= 0, k ∈ Z k ƒ= (3) F (ξ) có m®t nhân tu phai đa thúc p(ξ) cho deg p(ξ) > deg p|(deg bs + jt) − (deg bt + js) (2.5) vái hai so nguyên s, t đó, ≤ s ƒ= t ≤ n Chúng minh.hoàn Đieu khang đ%nh 1: Nghiắm F (z) l mđt hm nguyờn siờu viắt không tuan Giađa suthúc ngưoc (z)0là≤tuan chu Khi tù gia thiet ve h¾ lai so bFj(z), j ≤hồn n devói thay cókỳ tonτtai so ngun 0< k0 < k1 < < kn cho : bn(z + k0τ ) bn(z + k1τ ) bn−1(z + k0τ ) b0(z + k0τ ) bn−1(z + k1τ ) b0(z + k1τ ) = q(z) bn(z + knτ ) Bây giị ta xét h¾: bn−1(z + knτ ) b0(z + knτ ) in jn i0 j0 J J b (z + = b(z + τ )f (z)(f (z)) + + b 0(z + k τ )f (z)(f (z))  nk k τ)  bn (z + k1 τ )f in (z)(f J (z))jn + + b0 (z + k1 τ )f i0 (z)(f J (z))j0 = b(z + k1 τ )   i j i j J J bn (z + kn τ )f n (z)(f (z)) n + + b0 (z + kn τ )f (z)(f (z)) = b(z + kn τ ) lu¾n đưoc f in (z)(f J (z))jn hàm huu ty Đieu tráiTù vóiđây gia chúng thiet ftalàket hàm siêu vi¾t J khang đ%nh 2:cóNeu (ξ) có vơ thúc han phai nghi¾m hmieu nguyờn to hoắc F () mđtFnhõn tu a p()thỡ saoho¾c cho F (ξ) deg p|(deg bs + jt) − (deg bt + js) vói hai so nguyên s, t ≤ s ƒ= t ≤ n Trưóc het ta thay h¾ phương trình :   F (ξ) = C   J F (ξ) = chi có huu han nghi¾m vói MQI C ∈ C dang cna phương trình (2.4) nhị gia thiet cna đ%nhket lý lu¾n 2.5 Tù bő đe 2.2 ta suy cap cna F (ξ) huu han tù bő đe 2.3giị ta có F (ξ) E -xét nguyên Bây cònthe hai trưòng hop ta can thêm.to trái Trưòng Neu (ξ)là E -ngun ngunsiêu to phai tuan F (ξ) Enhị - nguyên to, khanghop đ%nh F F(ξ) hàm vi¾t Khi khơng hồn, vào bő đe 2.1 ta suy F (ξ) ngun to Trưịng khơng phai E -fnguyên phai Khi F (ξ) có the phânhop tích2.FNeu (ξ) F=(ξ) f (p(ξ)), hàmtongun siêuđó vi¾t p(ξ) đa thúc deg p ≥ Tù có bn [f (p)]in [f J (p)pJ ]jn + bn−1 [f (p)]in −1 [f J (p)pJ ]jn −1 + + b0 [f (p)]i0 [f J (p)pJ ]j0 = Tù thúc bő đe 2.4 ta suy ton tai đa thúc p1, p2, , pn+1 cho : bn pn (p)(pJ )jn + bn−1 pn−1 (p)(pJ )jn −1 + b0 p0 (p)(pJ )j0 − bn+1 = 0, ta thietm®t bn+1so (ξ)hang, = b(ξ) Trong thúc J jn trên, phai có gia nhat giavàsu jbn+1p=(p)(p ) ƒ=đong Donhat phai ton tai nhat hai so nguyên dương s, t (0 ≤n s nƒ= t ≤ n + 1) cho deg bs ps (p)(pJ )js = deg bt pt (p)(pJ )jt , nghĩa (deg ps + js − deg pt − jt)deg p = (deg bt + js) − (deg bs + jt) Do deg p|(deg bt + js) − (deg bs + jt) Đieu khang đ%nh đưoc chúng minh đ%nhtu3.trái Neudang F J (ξ) == c(ξ chi có m®t k so huu han nghi¾m ho¾cĐieu F khang (ξ) có nhân p(ξ) − a) + b, a, b, c ∈ C, c ƒ= k ∈ Z, k = hoắc F () cú mđt nhõn tu phai đa thúc p(ξ) cho J (2.5) Vì F (z) chi có huu han khơng điem, ton tai m®t đa thúc p(z) khơngJ đong nhat bang m®t so ngun khơng phai hang so α(z) cho F (z) = p(z)eα(z) Vì v¾y, khơng mat tőng quát, ta có : ∫z (2.6) F (z) p(t)eα(t)dt = Gia F (z) phân hop tích can hóa đưoc F (z) f :(g(z)) Khi theo đ %nhthiet lý B,rang cócóbathe trưịng khao=sát (1) f hàm huu ty cịn g m®t hàm phân hỡnh siờu viắt (2) f l mđt a thỳc cũn g l mđt hm nguyờn siờu viắt (3) g l mđt a thỳc Neu ieu kiắn (2.5) ỳng thỡ chỳng ta có the chúng minh rang : deg g|(deg bt + js) − (deg bs + jt) vói s, thop nào2đó ≤ s ƒ= t ≤2.n+ phương đưoc su dung trưòng cna(0khang đ%nh Bây1) giòbang se pháp xét hai trưòng hop khác: Trưòng hop Neu f có cnc điem w0, g khơng the nh¾n giá tr% w0 gz = w0 + eu(z) vói u(z) m®t hàm ngun khơng phai hang so Hơn nua g m®t hàm ngun vói giá tr% Picard huu han w0, f khơng the có Q1 , Q cnc điem khác ngồi w0 Do f (w) = 1(w) m®t (w − w0)k đa thúc vói Q1(w0) ƒ= k ≥ m®t so tn nhiên Tù đieu tù bő đe 2.4 có z ∫ p(t)eα(t)dt F (z) = Q1(w0 + eu(z))e−ku(z) Do : = QJ1 (w0 + eu(z) )uJ (z)e−(k−1)u(z) − kQ1 (w0 + eu(z) )uJ (z)e−ku(z) − p(z)eα(z) ≡ Q1(w) đong nhat bang C đoi vói m®t hang so C (ƒ= 0) Như vắy F (z) cú mđt nhõn tu trỏi C f (z) = (z − )k w0 Trưòng hop f (w) khơng có cnc điem, túc f (w) m®t đa thúc neu deg f (w) = 1, ta có đieu can chúng minh Chúng ta gia thiet deg f (w) ≥ Nhưng tù (2.6), ta có z ∫ p(t)eα(t)dt = F (z) = f (g(z)) Vì v¾y f (g(z))g(z) = p(z)eα(z) , tù đieu ta suy rang f J (w) = (w − w1 )k−1 đoi vói m®t w1 thu®c C k = deg f (w) Do : f (w) = k (w )k + C − w1 vói C ∈ C Đây nhung can mong muon chi Bang cách ket hop trưòng hop trưòng hop ta thay rang đieu khang đ%nh đưoc chúng minh Bây giò tù đieu khang đ%nh ta suy đ%nh lý 2.5 Đ%nh lý 2.6 Xét phương trình (n) + an−1 (ξ)f (n−1) + + a0 (ξ)f = a(ξ) (2.7) n (ξ)f a0(ξ),aa 1(ξ), , an−1(ξ), a n (ξ) nhung đa thúc khơng đong nhat bang thóa mãn đieu ki¾n deg an(ξ) ≤ deg an−1(ξ) ≤ ≤ deg a0(ξ) Neu mđt nghiắm nguyờn siờutuyen viắt tớnh cua thỡ (2.7) v flà(ξ) = g(p(ξ)) vái m®t fđa(ξ) thúclàp(ξ) khơng phai hàm ho¾c j ≤ n, deg p|(deg aj + i) − (deg + j) vái ho¾c 0≤i deg p|(deg a + i) − (deg ai) vái ≤ i ≤ n Chúng su f (z)vói nghi¾m siêu vi¾t phương trình gia su fminh (z) Gia = g(p(z)) g l mđtnguyờn hm nguyờn siờucna viắt no ú v (2.7) p(z) m®t đa thúc Neu = 1, thìpđ%nh minh vóideg giapthiet deg ≥ lý đưoc chúng minh, the dưói ta se chúng Trưóc het ta chúng minh rang, vói bat kỳ n ≥ 1, f (n) = (g(p))(n) = g (n) (p)Un,n + g (n−1) (p)Un,n−1 + + g J (p)Un,1 Σ n = g (j) (p)Un,1 j=1 e n,j đa thúc vi phân cna p vói bat kỳ ≤ i ≤ n Un,j mđt aUthỳc oi vúi bien z Nh vắy de dng kiem tra đưoc rang deg Un,j = max{0, jdeg p − n} (2.8) vói bat kỳ ≤ j ≤ n Do đó, deg Un,n ≥ deg Un,n−1 ≥ ≥ deg Un,1 Vì rang : n Σ i f = a(z) f (i) i=0 có : n Σ Σ = g (j) (p)Ui,j j=1 i i=1 j=1 Do : (i) Σ g (j) (p)Ui,j + a0 g(p) − a(z) = n n Σ Σ g (j) (p)i= Ui,j + a0 g(p) − a(z) = M¾t khác tù (2.8) có, vói j < n j= (2.9) deg Uj,j = jdeg p − j ≥ max{0, jdeg p − (j + 1)} = deg Uj+1,i ≥ max{0, jdeg p − n} = deg Un,j Đieu vói gia thiet cna đ%nh lý n Σ deg ( Ui,j ) = deg (aj Uj,j ) = deg aj + jdeg p − n (2.10) i=j Cùng vói (2.9) bő đe 2.4, suy rang ton tai đa thúc q0, q1, , qn+1 (Mà không phai tat ca đa thúc đeu đong nhat bang 0) cho n Σ j= n Σ i= qj (p) Ui,j + a0 q0 (p) + aqn+1 (p) = (2.11) Ket hop (2.10) (2.11) ta có the ket lu¾n rang ho¾c ton tai hai so nguyên s t, ≤ s ƒ= t ≤ n cho : deg qs.deg p + deg as + s deg p − s = deg qt.deg p + (deg at + tdeg p t), hoắc cú mđt so so nguyờn khác s, ≤ s ≤ n, cho deg qs.deg p + (deg as + s deg p − s) = deg qn+1.deg p + deg a Do : deg p|(deg at + s) − (deg as + ho¾c t), deg p|(deg a + s) − deg as đ%nh lý đưoc chúng minh KET LU¾N Luắn ó trỡnh by oc mđt so van e sau: ã Mđt so tớnh chat c ban cna hm nguyờn v hm phõn hỡnh ã Khỏi niắm hm nguyờn to v gia nguyờn to ã Phõn tớch nghiắm cna m®t so lóp phương trình vi phân đai so TÀI LIfiU THAM KHAO Tieng Vi¼t [1 ] Hà Huy Khối, Giai tích phúc, NXB KHCNVN (sap in) Tieng Anh [2 ] A.A.Goldberg (1956), On single-valued solutions of first-order differential, Ukrain.Mat.Zh.8, 254-261 [3 ] Baker, I.N (1962), Permutable Entire functions, Math.Z.79,96 [4 ] C.T.Chuang, C.C.Yang (1990), Fix-points and Factorization of Meromorphic Functions, World Scientific, Singapore [5 ] F.Gross (1972), Factorization of Meromorphic Functions, US Government Printing Office [6 ] F Gross; C.-C Yang; C Osgood (1973), Primeable entire functions, Nagoya Math J.; Vol 51, 123-130 [7 ] L.W.Liao, C.C.Yang (2000), On the growth and factorization of entire functions of algebraic differential equations, Ann Acad Sci Fenn.Math.25 73-84 [8 ] L.W.Liao, C.C.Yang (2004), On factorization of entire functions of bounded type, Ann Acad Sci Fenn.Math.29 345-356 [9 ] I.N.Baker and F.Gross (1969), On factorazing entire functions, Proc.London Math, pp 69-76 [10 ] I.N.Baker and F.Gross (1996), Further results on factorization of entire functions, Proc.Symp.Pure Math., La Jolla, CA, pp 30-35 [11 ] L.M Zhu, D.G.Yang, X.L Wang (2003), On the growth of transcende- tal entire solutions of algebraic differential equations, J Southeast Univ (English Ed.) 19(1)(2003) 98-102 [12 ] X Wang; C.-C Yang (2006) “Factorization of entire solutions of some algebraic differential equations” J Math Anal Appl 324, 373-380 ... gm(z) hàm đa thúc Khi hàm h(z) = f)n(z đưoc GQI hàm huu ty gm(z ) Hàm huu ty hàm phân hình có huu han cnc điem Như v¾y hàm huu ty có the phân tích thành tích phân thúc đơn gian 1.4 1.4.1 Hàm nguyên. .. điem hàm l? ?phân m®t hình hàm có huuđiem ty z = ∞ bat thưịng khu đưoc ho¾c cnc Cap cna hàm phân hình: log T (r, ρ = limr→+∞ Kieu cna hàm phân hình: f ) log r T (r, f ) σ = limr→+∞ rρ , T hàm đ¾c... (z) hàm huu ty) Đ%nh nghĩa h(z) hàm nguyên nguyên neu mQI phân tích 1.11 có dang trênđưoc kéo GQI theolàcác hàm f (z) to hay(gia g(z) hàmto)tuyen tính (đa thúc trù f hàm huu ty) 1.4.2 Hàm gia nguyên