Bài toán cauchy cho phương trình vi phân hàm bậc nhất tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Huề BÀI TỐN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Huề BÀI TỐN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT TUYẾN TÍNH Chun ngành: Mã số: Tốn giải tích 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN CHÍ LONG Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin kính gởi lời cảm ơn sâu sắc chân thành tới TS NGUYỄN CHÍ LONG – Khoa Toán Tin – Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ bảo thầy thời gian làm luận văn Tôi xin gởi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy tơi suốt khóa học Xin cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin, Phịng Sau Đại học – Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện cho thời gian học trường Xin gởi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý phản biện cho tơi hồn thành luận văn cách hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè ln quan tâm động viên giúp tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, trình viết luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý Q Thầy Cơ bạn đọc nhằm bổ sung hoàn thiện đề tài TP Hồ Chí Minh, 30 tháng 09 năm 2015 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH 1.1 Giới thiệu toán 1.2 Sự tồn nghiệm toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính 1.3 Hệ phương trình vi phân hàm với toán tử Volterra 18 1.4 Tính xấp xỉ nghiệm tốn biên tổng quát 23 1.5 Sự tồn nghiệm hệ phương trình vi phân hàm với đối số lệch 31 Chương BÀI TOÁN CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT TUYẾN TÍNH 38 2.1 Giới thiệu toán .38 2.2 Sự tồn nghiệm tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm bậc tuyến tính .38 2.3 Sự tồn nghiệm hệ phương trình vi phân hàm với đối số lệch 49 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 MỘT SỐ KÝ HIỆU 1 x + x ) , [= x ]− ( ( x − x) 2 x ]+ [0, +∞ ) , [= •  tập hợp số thực, = + • 1, , n )  n không gian vectơ cột n chiều x = ( xi )i =1 với xi ∈  ( i = n chuẩn: n x = ∑ xi i =1 •  n×n khơng gian ma trận X = ( xik )i ,k =1 cấp n × n với xik ∈  ( i, k = 1, , n ) n chuẩn: X = n ∑x i , k =1 ik {( x ) ∈  : x ≥ (i= 1, , n )} = {( x ) ∈  : x ≥ ( i, k= 1, , n )} •  n+= •  n+×n n n i i =1 i n nìn ik i , k =1 ik n nìn ã Nếu x, y ∈ y n X , Y ∈  n×n x ≤ y ⇔ y − x ∈ yy +, X ≤ Y ⇔ Y − X + ã Nu x = nìn v X ( xik )i ,k =1 ∈ = x (= xi )i = , X ( xik )i ,k ( xi )i =1 ∈  n= = n n n n 1 t ∈ I hàm đặc trưng I 0 t ∉ I • χI (t ) =  • det ( X ) định thức ma trận X • X −1 ma trận nghịch đảo X • r ( X ) bán kính phổ X • E ma trận đơn vị • θ ma trận khơng • C ( I ,  n ) không gian Banach hàm vectơ liên tục x : I →  n với chuẩn: { = x C max x ( t ) : t ∈ I • C ( I ,  + ) ={ x ∈ C ( I ,  ) : x ( t ) ≥ 0, t ∈ I } } •  ( I , D ) , với D ⊂  , không gian hàm liên tục tuyệt đối x : I → D C • Nếu = x • ( xi )i =1 ∈ C ( I ,  n ) n ( x C = xi ) n C i =1 L ( I ,  ) không gian Banach hàm khả tích Lebesgue p : I →  với chuẩn: p L = ∫ p ( s ) ds I • L ( I ,  + ) ={ p ∈ L ( I ,  ) : p ( t ) ≥ 0, t ∈ I } • Lα ( I ;  n ) với ≤ α < +∞ không gian hàm vectơ x : I →  n với thành phần khả tích bậc α I chuẩn: x • Nếu = x • ( xi )i =1 ∈ Lα ( I ;  n ) n Lα = (∫ α x ( t ) dt I x Lα = ( xi Lα ) ) 1α n i =1 L ( I ;  n×n ) khơng gian ma trận hàm khả tích X : I nìn ã= Nu X ( xik )i ,k =1 : I →  n×n n thì: ( max { X ( t )} = max { xik ( t )} t∈I t∈I ) n i , k =1 n ess sup { X ( t )} =  ess sup { xik ( t )}  t∈I  t∈I i ,k =1 • Nếu Z ∈ C ( I ;  n×n ) ma trận hàm với cột z1 , , zn g : C ( I ;  n ) → L ( I ;  n ) tốn tử tuyến tính g ( Z ) hiểu ma trận hàm với cột g ( z1 ) , , g ( zn ) • I tập hợp tốn tử tuyến tính bị chặn l : C ( I ,  ) → L ( I ,  ) • I = {l ∈ I , l : C ( I ,  + ) → L ( I ,  + )} • Cho l ∈ I , ta định nghĩa: def T ( x )( t ) = ∫ t a def l ( x )( s ) ds, ϕ ( x )( t ) = x ( t ) exp T (1)( t )  = l ( x )( t ) l ( x )(= t ) , l k +1 ( x )( t ) l k (T ( x ) ) ( t ) , k ∈  def def l1 (ϕ ( x ) ) ( t ) − l (1)( t ) T (ϕ ( x ) ) ( t )  exp ( −T (1)( t ) ) G ( x )( t ) =   def MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các phương trình vi phân hàm xuất từ kỉ 18 cơng cụ tốn học cho tốn vật lý hình học Tuy nhiên cuối kỉ 19 chúng biết đến áp dụng cụ thể chưa có nghiên cứu cách hệ thống chúng Đầu kỉ 20, quan tâm dành cho phương trình vi phân hàm tăng lên, đặc biệt ứng dụng khí, sinh học kinh tế Ở thời điểm đó, nhà tốn học theo hướng nghiên cứu xây dựng nên lý thuyết định tính cho phương trình vi phân hàm lý thuyết cịn tồn ngày Trong thập kỉ 70, người ta ý nhiều đến việc xây dựng lý thuyết tốn biên phương trình vi phân hàm Các cơng cụ giải tích hàm tơpơ công cụ hiệu để nghiên lĩnh vực Tuy nhiên việc nghiên cứu toán biên cụ thể cho phương trình vi phân hàm thành cơng phần Vẫn cịn nhiều khó khăn việc nghiên cứu phương trình vi phân hàm phương trình tuyến tính Trong năm gần nỗ lực nghiên cứu thành công vài trường hợp cho số toán biên phương trình vi phân hàm Đặc biệt cơng trình tác giả Kiguradze I., Půža B., Hakl R Lomtatidze A điều kiện phức tạp tính giải giải lớp rộng toán biên cho phương trình vi phân hàm tìm Với lý chọn đề tài làm nội dung nghiên cứu luận văn nhằm học tập phát triển đề tài theo hướng nghiên cứu tác giả Mục đích nghiên cứu Trong luận văn chúng tơi nghiên cứu tính giải giải nghiệm toán biên tổng qt, tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm bậc tuyến tính áp dụng cho hệ phương trình vi phân hàm với đối số lệch Đối tượng phạm vi nghiên cứu Lý thuyết tốn biên cho hệ phương trình vi phân hệ phương trình vi phân hàm Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu Khi nghiên cứu toán biên tổng quát tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm bậc tuyến tính đạt nhiều kết cụ thể cho hệ phương trình vi phân với đối số lệch Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn trình bày lại kết nghiên cứu nhà toán học Robert Hakl, Alexander Lomtatidze, Bedřich Půža, Brno, Kiguradze I [5] [6] Luận văn gồm chương Chương 1: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính Nội dung chương nghiên cứu tồn nghiệm toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính phương trình vi phân đối số lệch Ngồi cịn xem xét tính xấp xỉ nghiệm toán biên tổng quát Chương 2: Bài tốn Cauchy cho phương trình vi phân hàm tuyến tính bậc Chương xây dựng số điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm tốn Cauchy cho phương trình vi phân hàm bậc tuyến tính Sau áp dụng kết cho phương trình vi phân với đối số lệch Chương BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH 1.1 Giới thiệu toán Trên đoạn I = [ a, b ] xét hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính: dx ( t ) = p ( x )( t ) + q ( t ) dt (1.1) l ( x ) = c0 (1.2 ) với điều kiện biên : p : C ( I ;  n ) → L ( I ;  n ) l : C ( I ;  n ) →  n tốn tử tuyến tính bị chặn, q ∈ L ( I ;  n ) , c0 ∈  n Điều kiện (1.2 ) bao gồm trường hợp đặc biệt: điều kiện đầu: x ( t0 ) = c0 với t0 ∈ I (1.3) điều kiện biên tuần hoàn : x (b) − x ( a ) = c0 (1.4 ) Nghiệm toán (1.1) , (1.2 ) hàm vectơ liên tục tuyệt đối: x : I →  n thỏa (1.1) hầu khắp nơi I thỏa (1.2 ) Bài toán tồn nghiệm hệ phương trình vi phân : dx ( t ) = P ( t ) x (t ( t ) ) + q0 ( t ) dt (1.5) thỏa mãn điều kiện : x ( t ) = u ( t ) , t ∉ I , l ( x ) = c0 (1.6 ) 44 t u (t ) = ∫ ∗ lˆk ( u )( s ) ds ⇔ t Từ bất đẳng thức cuối ta dễ dàng thu được: u C ≤ u ∫ lˆ (1)( s ) ds b C t∗ k Do đó: ( 2.23) ∫ lˆ (1)( s ) ds ≥ b t∗ k Hơn nữa, lấy tích phân (2.14) từ a đến c , ta được: γ ∫ lˆ (1)( s ) ds ≥ −γ ( a ) > c C a k Do đó: ∫ lˆ (1)( s ) ds > c a k Từ bất đẳng thức cuối với (2.22) (2.23) ta có: ∫ b a ∗ c t b  l k (1)( s ) ds = ∫ l k (1)( s ) ds + ∫ l k (1)( s ) ds + ∫ ∗ l k (1)( s ) ds ≥ a c t Điều mâu thuẫn với (2.15)  Định lý 2.4  ( I ,  ) cho điều kiện (2.13) Cho G ∈ I tồn c ∈ ( a, b ) ,và γ ∈ C bất đẳng thức: γ ' ( t ) ≤ G ( γ )( t ) , với t ∈ I ( 2.24 ) ∫ G (1)( s ) ds ≤ ( 2.25) b a thỏa mãn Khi tốn ( 2.1) , ( 2.2 ) có nghiệm Chứng minh Cho u nghiệm toán (2.4), (2.5) Có thể kiểm tra trực tiếp hàm: v (t ) = u ( t ) exp ( −T (1)( t ) ) , t ∈ I nghiệm toán: = v ' ( t ) G= ( v )( t ) , v ( a ) Thật Với v ( t ) =u ( t ) exp ( −T (1)( t ) ) , t ∈ I suy ra: 45 • v′= ( t ) u′ ( t ) exp ( −T (1)( t ) ) − u ( t ) T (1)( t ) ′ exp ( −T (1)( t ) ) (  t = l ( u )( t ) − u ( t ) ∫a l (1)( s ) ds  ) ′  exp ( −T (1)( t ) )  = l ( u )( t ) − u ( t ) l (1)( t )  exp ( −T (1)( t ) ) • ϕ ( v )( t ) = v ( t ) exp ( −T (1)( t ) ) = u ( t ) T (ϕ = ( u )( t ) ( v ) ) ( t ) T= ′ ( s ) ds u ( t ) )( s ) ds ∫ u= ∫ l ( u= t t a a l ϕ v t − l t T ϕ v t  exp ( −T (1)( t ) ) Khi G ( v )( t ) =  ( ( ) ) ( ) ( )( ) ( ( ) ) ( )  def ( ) l0 T (ϕ ( v ) ) ( t ) − l (1)( t ) T (ϕ ( v ) ) ( t )  exp ( −T (1)( t ) ) =   ( ) l T (ϕ ( v ) ) ( t ) − l (1)( t ) T (ϕ ( v ) ) ( t )  exp ( −T (1)( t ) ) =   = l ( u )( t ) − l (1)( t ) u ( t )  exp ( −T (1)( t ) ) = v′ ( t ) Và v ( a )= u ( a ) exp ( −T (1)( t ) )= Theo (2.24), (2.25) định lý 2.3, toán có nghiệm tầm thường nên v ≡ Do u ≡  Cuối cùng, đưa định lý tồn nghiệm phương trình (2.1), thỏa mãn điều kiện đầu: u ( t0 ) = , với t0 ∈ I ( 2.26 ) Định lý 2.5 l0 − l1 , l0 , l1 ∈ I cho l0 , l1 toán tử Volterra tương ứng với điểm b Hơn Cho l =  ([t , b ] ; ( 0, +∞ ) ) thỏa mãn bất đẳng thức: tồn γ ∈ C γ ' ( t ) ≥ l0 ( γ )( t ) , với t ∈ ( t0 , b ) Khi tốn ( 2.1) , ( 2.26 ) có nghiệm Để chứng minh định lý 2.5 ta xét bổ đề mệnh đề sau: Bổ đề 2.6 ( 2.27 ) 46 Cho phương trình ( 2.4 ) có nghiệm dương, c ∈ I toán : = u '(t ) l= ( u )( t ) , u ( c ) ( 2.28) có nghiệm tầm thường Khi đó, t0 ∈ I toán = u '(t ) l= ( u )( t ) , u ( t0 ) ( 2.29 ) có nghiệm tầm thường Chứng minh Giả sử ngược lại, tồn t0 ∈ I \ {c} cho tốn (2.29) có nghiệm không tầm thường u Rõ ràng: u (c) ≠ ( 2.30 ) ( u ( c ) = u nghiệm toán (2.28) nên u ≡ ) Gọi uc nghiệm dương phương trình ( 2.4 ) , tức là: uc ( t ) > , t ∈ I Đặt: u (t ) = uc ( t ) u0 ( c ) − uc ( c ) u0 ( t ) , t ∈ I Khi u nghiệm tốn (2.28) Thật vậy: = u ( t ) uc ( t ) u0 ( c ) − uc ( c ) u0 ( t ) ⇒ u′ (= t ) uc′ ( t ) u0 ( c ) − uc ( c ) u0′ ( t ) ⇔ = u ′ ( t ) l ( uc ) ( t ) u0 ( c ) − uc ( c ) l ( u0 ) ( t ) ⇔ u′ ( t = ) l ( u0 ( c ) uc − uc ( c ) u0 ) ( t ) ⇔ u′ ( t ) = l ( u )( t ) u ( c ) = uc ( c ) u0 ( c ) − uc ( c ) u0 ( c ) = theo giả thiết bổ đề u ≡ Đặc biệt u ( t0 ) = theo (2.30) ta có: ( 2.31) 47 = u= ( t ) uc ( t ) u0 ( c ) − uc ( c ) u0 ( t ) suy uc ( t0 ) = , mâu thuẫn với (2.31)  Cuối cùng, ta phát biểu mệnh đề sau Mệnh đề 2.7 Cho l ∈ I toán tử Volterra tương ứng với điểm b Khi đó, với t ∈ I v ∈ C ( I ,  ) thỏa mãn bất đẳng thức: v ( s ) ≥ 0, t ≤ s ≤ b Khi ta có: l ( v )( s ) ≥ 0, t < s < b Chứng minh định lý 2.5 Gọi l0 l hạn chế toán tử l0 l không gian C ([t0 , b ] ;  ) thấy toán: = u ' ( t ) l= ( u )( t ) , u ( t0 ) ( 2.32 ) có nghiệm tầm thường Xem xét tính chất tốn tử Volterra l tương ứng với điểm b , toán: = u ' ( t ) l= ( u )( t ) , u ( b ) có nghiệm tầm thường Theo bổ đề 2.6, điều kiện đủ để phương trình: u ' ( t ) = l ( u )( t ) có nghiệm dương Cho u0 nghiệm toán: = u ' ( t ) l= ( u )( t ) , u ( b ) Ta thấy rằng: u0 ( t ) > 0, t0 ≤ t ≤ b ( 2.33) Giả sử ngược lại (2.33) bị vi phạm Khi tồn a1 ∈ [t0 , b ) cho: u0 ( t ) > 0, a1 < t < b, u0 ( a1 ) =0 Đặt: ( 2.34 ) 48    u (t )  λ max  : a1 ≤ t ≤ b  v= = ( t ) λγ ( t ) − u0 ( t ) , t0 ≤ t ≤ b  γ (t )    Khi đó: v ( t ) = λγ ( t ) − u0 ( t ) ≥ u0 ( t ) γ (t ) γ ( t ) − u0 ( t ) = , với a1 ≤ t ≤ b ( 2.35) Và: v ( a1 ) =λγ ( a1 ) − u0 ( a1 ) =λγ ( a1 ) >0 ( 2.36 ) Tồn c ∈ ( a1 , b ] cho: ( 2.37 ) v (c) = Từ (2.31), (2.35) mệnh đề 2.7 dễ thấy v ' ( t ) ≥ l0 ( v )( t ) , với a1 < t < b Thật Với a1 < t < b Ta có: v′ ( t ) λγ ′ ( t ) − u0′ ( t ) = ≥ l l0 ( γ )( t ) − l ( u0 ) ( t ) ( ) = l l0 ( γ )( t ) − l0 − l1 ( u0 ) ( t ) = l l0 ( γ )( t ) − l0 ( u0 ) ( t ) + l1 ( u0 ) ( t ) = l0 ( lγ − u0 ) ( t ) + l1 ( u0 ) ( t ) = l0 ( v )( t ) + l1 ( u0 ) ( t ) ≥ l0 ( v )( t ) Từ đây, bao gồm l0 ∈ I , bất đẳng thức (2.35) mệnh đề 2.7, ta có: v ' ( t ) ≥ 0, a1 < t < b Điều mâu thuẫn với (2.35) – (2.37) Bây cho u nghiệm toán: = u '(t ) l= ( u )( t ) , u ( t0 ) Dễ thấy u nghiệm tốn (2.32) đó: u (= t ) 0, t0 ≤ t ≤ b 49 u nghiệm tốn: u '(t ) l= = ( u )( t ) , u ( b ) Vì thế, theo tính chất toán tử Volterra l điểm b , ta có u ≡  2.3 Sự tồn nghiệm hệ phương trình vi phân hàm với đối số lệch Hệ 2.8 Cho p ( t ) ≤ , với t ∈ I ess sup {∫ t (t ) a p (s) ∫ t (t ) a } p (ξξ ) d ds : t ∈ I < ( 2.38) Khi tốn ( 2.10 ) , ( 2.2 ) có nghiệm Chứng minh = Cho t ∗ ess sup {t ( t ) : t ∈ I } l toán tử xác định bởi: l ( v )( t ) =− p ( t ) v (t ( t ) ) , a < t < t ∗ Khi với a < t < t ∗ ta có: l1 ( v )( t ) = l (Tv )( t ) = l (Tv )( t ) = − p ( t ) Tv (t ( t ) ) t (t ) a p ( s ) v (t ( s ) ) ds ( ) = p (t ) ∫   a,τ ∗  ;  thỏa mãn ( 2.1 ) hầu khắp nơi Do đó, từ (2.38) định lý 2.1 tồn u0 ∈ C   ∗  a,τ  điều kiện (2.2) Dễ dàng kiểm tra hàm: u0 ( t )  u (t ) =  t ∗ + t u ( )  ∫t ∗  p ( s ) u0 (t ( s ) ) + q ( s ) ds Là nghiệm toán ( 2.10 ) , ( 2.2 ) Thật Ta có: u ′ ( t ) a ≤ t ≤t∗ u′(t ) =  ∗  p ( t ) u0 (t ( t ) ) + q ( t ) t ≤ t ≤ b a ≤ t ≤t∗ t∗ ≤ t ≤ b 50 ⇒= u′ ( t ) p ( t ) u0 (t ( t ) ) += q ( t ) u0′ ( t ) a ≤ t ≤ b = u ( a ) u= c (a) Suy u ( t ) nghiệm toán ( 2.10 ) , ( 2.2 ) Do (2.38) định lý 2.1 nên u ( t ) nghiệm toán ( 2.10 ) , ( 2.2 ) Chú ý 2.9 Theo định lý 1.2 [ 2] rằng: Nếu p ( t ) ≤ , với t ∈ I hoặc: ess sup {∫ ess sup {∫ t (t ) a } ( 2.39 ) } ( 2.40 ) p ( s ) ds : t ∈ I < hoặc: b t (t ) p ( s ) ds : t ∈ I ≤ tốn ( 2.10 ) , ( 2.2 ) có nghiệm Chúng ta đưa ví dụ cho thấy điều kiện (2.38) xảy từ điều kiện (2.39) (2.40) a 0,= b 1, n số tự nhiên cho: Cho=  2n+ ( n + 1)   n+1  + n   12  2n+ ( n + 1)  > < c <  n+1  + n   12 Đặt: p ( t ) =−c, < t < 1  n t (t ) =  t n  0 , bất đẳng thức γ ' ( t ) ≤ l ( γ )( t ) , t ∈ I đúng, l tốn tử xác định bởi: l ( v )( t ) = p ( t ) v (t ( t ) ) def Thật vậy.Ta có: = γ (t ( t ) ) ∫ t (t ) a + ε − ε p ( s ) ds − ε ≥= ⇒ p ( t ) ≤ p ( t ) γ (t ( t ) ) ⇔ γ ′ ( t ) = p ( t ) ≤ p ( t ) γ (t ( t ) ) = l ( γ )( t ) Từ (2.42), ta thấy giả thiết định lý 2.3 thỏa mãn k = Khi tốn ( 2.10 ) , ( 2.2 ) có nghiệm Chú ý 2.11 Các điều kiện (2.41) (2.42) hệ 2.10 tối ưu khơng thể làm yếu Chính xác hơn, bất đẳng thức nghiêm ngặt (2.41) thay bất đẳng 52 thức không nghiêm ngặt, bất đẳng thức (2.42), viết + ε thay dù ε > bé tùy ý Thật vậy: Chọn c ∈ ( a, b ) hàm p ∈ L ( I ;  + ) cho: = ∫ p ( s ) ds 1, ∫ p ( s ) ds < c b a a Đặt: t= ( t ) c, t ∈ I Khi điều kiện (2.42) thỏa mãn, ess inf {∫ t (t ) a } p ( s ) ds : t ∈ I = toán: = u′ ( t ) p= ( t ) u (t ( t ) ) , u ( a ) ( 2.43) có nghiệm khơng tầm thường: = u (t ) ∫ p ( s ) ds, t a t∈I Theo định lý [3], tồn q ∈ L ( I ,  ) cho toán ( 2.10 ) , ( 2.5 ) khơng có nghiệm, có vơ số nghiệm Cho ε > bé tùy ý Chọn c ∈ ( a, b ) p ∈ L ( I ;  + ) cho: ε + , ∫ p ( s ) ds = ∫ p ( s ) ds = c b a c Và đặt: c b t (t ) =  Dễ thấy ∫ p ( s ) ds < + ε b a , , a