TIỂU LUẬN " KẾT HỢP MÁY TÍNH BỎ TÚI VÀ MAPLE GIẢI GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG " pdf

VIỆN TOÁN HỌC MÔN HỌC: GIẢI TÍCH SỐ TIỂU LUẬN KẾT HỢP MÁY TÍNH BỎ TÚI VÀ MAPLE GIẢI GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Người thực hiện: Phạm Thị Thuỳ

VIỆN TOÁN HỌC

MÔN HỌC: GIẢI TÍCH SỐ

TIỂU LUẬN KẾT HỢP MÁY TÍNH BỎ TÚI VÀ MAPLE GIẢI GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

Người thực hiện: Phạm Thị Thuỳ

Lớp: Cao học K19 - Viện Toán

HÀ NỘI – 2012

Để nghiên cứu phương trình vi phân, người ta thường không giải trực tiếp phương trình, mà sử dụng hai phương pháp: phương pháp định tính và phương pháp giải gần đúng - tìm nghiệm dưới dạng xấp xỉ

Để giải gần đúng phương trình vi phân, người ta thường dùng phương pháp giải tích và phương pháp số - tìm nghiệm xấp xỉ dưới dạng các giá trị số

của nghiệm tại một số điểm trên đoạn (a,b) và kết quả được cho dưới dạng

bảng, như phương pháp đường gấp khúc Euler, phương pháp Runge-Kutta, Nhằm minh họa cho khả năng sử dụng máy tính điện tử để giải phương trình vi phân, có thể thể hiện phương pháp Euler và phương pháp Runge-Kutta

trên máy tính điện tử khoa học Casio fx-570 ES và trên chương trình Maple qua

một số ví dụ được trình bày dưới đây

1.1 Bài toán Cauchy của phương trình vi phân cấp một

Một phương trình vi phân cấp một có thể viết dưới dạng giải được

 

y  f x y mà ta có thể tìm được hàm y từ đạo hàm của nó Tồn tại vô số nghiệm thoả mãn phương trình trên Mỗi nghiệm phụ thuộc vào một hằng số tuỳ ý Khi cho trước giá trị ban đầu của y là y0 tại giá trị đầu x0 ta nhận được một nghiệm riêng của phương trình Bài toán Cauchy (hay bài toán có điều kiện đầu) tóm lại như sau: Cho x sao cho bxa, tìm y(x) thoả mãn điều kiện

   

 /

, , , ,

n n

khoa học Casio fx-570 ES hoặc lập trình trên Maple

Dưới đây trình bày cách giải bài toán Cauchy cho một phương trình vi phân bằng phương pháp Euler, Euler cải tiến và phương pháp Runge-Kutta với

các bước nội suy khác nhau trên máy tính khoa học Casio FX-570 ES và trên Maple

Bài 1: Sử dụng phương pháp Euler, phương pháp Euler cải tiến và phương pháp

Rungge-Kutta với độ dài bước h = 0,1 và h = 0,5 để tìm xấp xỉ nghiệm của

phương trình dy x2 y2

dx   thoả mãn điều kiện ban đầu y(0) = 0 trên đoạn  0;1

Giải: Phải tìm nghiệm của phương trình dy x2 y2

dx   với điều kiện ban đầu x0 =

Thực hiện phép lặp (1.2) trên Casio fx -570ES:

y  h f x y y  x y y :

Trong quy trình này, ta đã dùng ô nhớ để chứa giá trị xn và dùng ô nhớ

để chứa giá trị của yn

Đưa kết quả vào ô nhớ :

Trở về công thức ban đầu (1.2): Bấm phím

Đưa kết quả vào ô nhớ :

Trở về công thức ban đầu:

Thực hiện phép lặp (1.2) trên Maple:

Trong Maple, để tìm các giá trị yi theo công thức lặp ta có thể sử dụng mặc

định (option) remember (nhớ) Mặc định này của Maple cho phép nhớ các giá trị

cũ để tính yn, mà không cần tính lại giá trị yn-1

Trước tiên ta khởi động chương trình Maple nhờ lệnh restart:

[>y:=proc(n) option remember;

Ta thấy kết quả này hoàn toàn trùng lặp với kết quả tính trên máy tính

khoa học Casio fx-570 ES

Để so sánh các kết quả này với nghiệm chính xác, ta dùng lệnh dsolve (giải

phương trình vi phân) để tìm nghiệm chính xác như sau:

Vào gói công cụ Detools (công cụ Phương trình vi phân):

Dùng lệnh array (lập mảng) để tạo bảng nhằm so sánh giá trị gần đúng (tính theo

công thức Euler) và giá trị đúng của nghiệm (tính theo công thức nghiệm):

[> array([seq([n,y(n),evalf(subs(X=n/10,Y(X)))],n=0 10)]

Khai báo thủ tục tính giá trị yn theo công thức Euler:

[> y:=proc(n) option remember;

[> y(n-1)+h*f(x(n-1),y(n-1));

[> end;

y := pro c (n) o pti o n remember; y( n1 )hf( x( n1 ), y( n1 ) ) e nd pro c

Vào gói công cụ Phương trình vi phân DEtools:

2h  và dùng lệnh CACL để tính giá trị của yn)

(Trong công thức này, ta đã dùng ô nhớ để chứa giá trị xn và dùng ô nhớ

để chứa giá trị của yn

Lặp lại quy trình với thay đổi duy nhất là khi máy hỏi X? (A?) thì khai báo các

giá trị tiếp theo: 0.1 (0.2); 0.2 (0.3); 0.3 (0.4); …; 0.9 (1.0) ta sẽ được bảng giá

trị tính toán như sau: (trùng với kết quả tính trên Maple đến chữ số cuối cùng)

Tính toán trên Maple :

Khai báo thủ tục tính giá trị yn theo công thức Euler cải tiến:

[> y:=proc(n) option remember;

Vào gói công cụ Phương trình vi phân DEtools:

cho kết quả tốt hơn phương pháp Euler với h=0.05

Tương tự, ta cũng đi tính xấp xỉ nghiệm nhờ phương pháp Euler cải tiến trên

Maple khi h=0,05 như sau

Khởi động chương trình:

[> restart;

Khai báo vế phải của phương trình (hàm f ):

Khai báo thủ tục tính giá trị yn theo công thức Euler cải tiến:

[> y:=proc(n) option remember;

2 2

3

2 2

,

0.10.1

,

0.10.1

Hoàn toàn tương tự (với thay đổi duy nhất trong chương trình là khai báo lại bước nội suy h=0.05), ta có thể tính theo phương pháp Runge-Kutta với số bước n=20 (h=0.05) như sau

Tính toán trên máy tính bỏ túi Casio FX-570MS bằmg phương pháp Euler:

Khai báo công thức:

yn  h f x  n1, yn1  yn1

Với h = 0.1: Ta thực hiện các thao tác sau trên máy tính:

Dùng để tính giá trị của yn:

Máy hỏi: X? Khai báo: 0 và bấm phím

Máy hỏi: Y? Khai báo: 1 và bấm phím (Kết quả: 1)

Đưa kết quả vào ô nhớ :

Trở về công thức ban đầu:

Quy trình:

Tính tiếp:

Máy hỏi: X? Khai báo: 0.1 và bấm phím

Máy hỏi: Y? Bấm phím (Kết quả: 1,005)

Đưa kết quả vào ô nhớ :

Trở về công thức ban đầu:

Lặp lại quy trình với thay đổi duy nhất là khi máy hỏi X? thì khai báo các giá trị tiếp theo: 0.2; 0.3; 0.4; …;1.0 ta sẽ được bảng giá trị tính toán như sau:

Máy hỏi: X? Khai báo: 0 và bấm phím

Máy hỏi: Y? Khai báo: 1 và bấm phím (Kết quả: 1)

Đưa kết quả vào ô nhớ :

Trở về công thức ban đầu:

Quy trình:

Tính tiếp:

Máy hỏi: X? Khai báo: 0.05 và bấm phím

Máy hỏi: Y? Bấm phím (Kết quả: 1,00125)

Đưa kết quả vào ô nhớ :

Trở về công thức ban đầu:

Lặp lại quy trình với thay đổi duy nhất là khi máy hỏi X? thì khai báo các giá trị tiếp theo: 0.1; 0.15; 0.2; …; 0,95; 1.0 ta sẽ được bảng giá trị tính toán như sau:

10 0,50 1,070848337 20 1,00 1,297301178

Để so sánh các kết quả này với nghiệm chính xác, ta dùng lệnh dsolve (giải

phương trình vi phân) trên Maple như sau:

Vào gói công cụ Detools (công cụ Phương trình vi phân):

Phương pháp Euler với số bứơc lặp nhiều hơn cho kết quả chính xác hơn;

Tính toán trên máy tính bỏ túi Casio FX-570MS bằmg phương pháp Euler cải tiến:

Khai báo công thức

Máy hỏi: X? Khai báo: 0 và bấm phím

Máy hỏi: Y? Khai báo: 1 và bấm phím

1/2 (

Máy hỏi: A? Khai báo: 0.1 và bấm phím (Kết quả: 1.0025)

Đưa kết quả vào ô nhớ :

Trở về công thức ban đầu:

Quy trình:

Tính tiếp:

Máy hỏi: X? Khai báo: 0.1 và bấm phím

Máy hỏi: Y? Bấm phím

Máy hỏi: A? Khai báo: 0.2 và bấm phím

Đưa kết quả vào ô nhớ :

Trở về công thức ban đầu:

Lặp lại quy trình với thay đổi duy nhất là khi máy hỏi X? (A?) thì khai báo các giá trị tiếp theo: 0.3 (0.4); 0.4 (0.5); 0.5 (0.6); …; 0.9 (1.0) ta sẽ được bảng giá trị tính toán như sau:

27

Dùng để tính giá trị của yn:

Máy hỏi: X? Khai báo: 0 và bấm phím

Máy hỏi: Y? Khai báo: 1 và bấm phím

Máy hỏi: A? Khai báo: 0.05 và bấm phím

Đưa kết quả vào ô nhớ :

Trở về công thức ban đầu:

Quy trình:

Tính tiếp:

Máy hỏi: X? Khai báo: 0.05 và bấm phím

Máy hỏi: Y? Bấm phím

Máy hỏi: A? Khai báo: 0.1 và bấm phím

Đưa kết quả vào ô nhớ :

Trở về công thức ban đầu:

Lặp lại quy trình với thay đổi duy nhất là khi máy hỏi X? (A?) thì khai báo các giá trị tiếp theo: 0.1 (0.15); 0.15 (0.2); 0.2 (0.25); …; 0.95 (1.0) ta sẽ được bảng giá trị tính toán như sau:

CALC

KẾT LUẬN

Tính toán theo các phương pháp khác nhau và các công cụ khác nhau cho phép chúng ta hình dung rõ hơn các kết quả lí thuyết, đồng thời cũng cho chúng ta thấy rõ hơn các điểm mạnh điểm yếu của mỗi phương pháp khi thực hiện cụ thể trên máy tính

Chúng ta cũng nhận thấy rằng, việc thực hành tính toán giải phương trình

vi phân trên máy tính, thậm chí trên máy tính điện tử khoa học (giá rẻ, thao tác đơn giản), rất dễ dàng, hoàn toàn có thể thực hiện được

29