Bài toán rẽ nhánh đối với một số lớp phương trình elliptic phi tuyến

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI VN HI BI TON R NHNH I VI MT S LP PHNG TRèNH ELLIPTIC PHI TUYN LUN VN THC S TON HC H Ni, 2016 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI VN HI BI TON R NHNH I VI MT S LP PHNG TRèNH ELLIPTIC PHI TUYN LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s : 60 46 01 02 Ngi hng dn khoa hc TS Nguyn Hu Th H NI, 2016 Li cm n Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti TS Nguyn Hu Th, ngi ó nh hng chn ti v tn tỡnh hng dn tụi cú th hon thnh lun ny Tụi cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti cỏc Thy Cụ phũng Sau i hc, cựng cỏc Thy Cụ giỏo dy lp thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, Ban giỏm hiu Trng i hc S phm H Ni ó giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc Nhõn dp ny tụi cng xin c gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố ó luụn ng viờn, c v, to mi iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc v hon thnh lun H Ni, thỏng nm 2016 Tỏc gi Vn Hi Li cam oan Tụi xin cam oan, di s hng dn ca TS Nguyn Hu Th, lun Thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti Bi toỏn r nhỏnh i vi mt s lp phng trỡnh elliptic phi tuyn c hon thnh bi nhn thc ca bn thõn tỏc gi Trong quỏ trỡnh nghiờn cu thc hin lun vn, tỏc gi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng nm 2016 Tỏc gi Vn Hi Mc lc M u 1 Kin thc chun b 1.1 1.1.1 Khụng gian Banach 1.1.2 Khụng gian Lp () , (1 p +) 1.1.3 a ch s 1.1.4 Khụng gian C k () 1.1.5 Khụng gian Wk,p () 1.1.6 Khụng gian W0k,p () 1.1.7 Khụng gian Hăolder Mt s bt ng thc 10 1.2.1 Bt ng thc Hăolder 10 1.2.2 Bt ng thc Hardy 11 1.3 Nguyờn lý cc i Stampacchia 11 1.4 nh lý hi t 12 1.5 nh lý hm ngc tng quỏt 12 1.2 Mt s khụng gian hm ii 1.6 nh lý hm n 12 Bi toỏn r nhỏnh i vi phng trỡnh elliptic phi tuyn 18 2.1 2.2 2.3 nh lý r nhỏnh c bn 19 Tớnh cht nh tớnh ca nghim cc tiu gn im r nhỏnh 23 R nhỏnh i vi phng trỡnh logictics ton khụng gian 28 2.3.1 Giỏ tr chớnh xỏc ca tham s nhỏnh 29 2.3.2 R nhỏnh i vi nghim 32 Kt lun 44 Ti liu tham kho 45 M u Lớ chn ti Vic nghiờn cu phng trỡnh phi tuyn núi chung v phng trỡnh vi phõn o hm riờng phi tuyn núi riờng ó v ang l mt ht sc cn thit ca gii tớch hin i Trong cỏc mụ hỡnh ca bi toỏn thc t nhiu trng hp yờu cu chỳng ta cn phi nghiờn cu cỏc phng trỡnh vi phõn o hm riờng dng elliptic (thng l phi tuyn), mt cỏc bi toỏn ú l bi toỏn r nhỏnh Bi toỏn r nhỏnh c nghiờn cu u tiờn t th k th 18, ú l bi toỏn liờn quan ti s mt n nh ca truyn mng c phỏt hin bi Bernoulli v Euler vo khong nm 1744 T ú, bi toỏn ny ó v ang c quan tõm v phỏt trin nhiu ng dng Hỡnh hc, C hc Vai trũ ca bi toỏn r nhỏnh ó c Kielhăofer phõn tớch v ỳc kt ti liu [4] Vi mong mun c tip cn ti lý thuyt nh tớnh ca bi toỏn r nhỏnh i vi phng trỡnh elliptic phi tuyn c s hng dn ca Tin s Nguyn Hu Th, tụi ó thc hin ti lun ca mỡnh l: Bi toỏn r nhỏnh i vi mt s lp phng trỡnh elliptic phi tuyn 2 Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu tng quan v phõn tớch nh tớnh ca bi toỏn r nhỏnh i vi mt s lp phng trỡnh elliptic phi tuyn C th, lun trỡnh by v chng minh chi tit nh lý r nhỏnh, xem xột tớnh cht nh tớnh ca nghim cc tiu gn im r nhỏnh Trong lun cng trỡnh by r nhỏnh i vi phng trỡnh logistics ton khụng gian, quan tõm ti t tn ti v nht nghim cng nh s khụng tn ti nghim dng ca mt s phng trỡnh logistics Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu tng quan v bi toỏn r nhỏnh Trỡnh by v nh lý r nhỏnh c bn Kho sỏt nh tớnh cho mt s trng hp nghim ca bi toỏn r nhỏnh i vi mt s lp phng trỡnh elliptic phi tuyn i tng v phm vi nghiờn cu Mt s lp phng trỡnh elliptic phi tuyn Phng phỏp r nhỏnh i vi phng trỡnh o hm riờng Phng trỡnh Logistics Phng phỏp nghiờn cu Nghiờn cu lý thuyt, thu thp ti liu, c v phõn tớch, tng hp nhn c mt nghiờn cu v phõn tớch nh tớnh ca bi toỏn r nhỏnh i vi mt s lp phng trỡnh elliptic phi tuyn úng gúp ca ti Trỡnh by mt cỏch cú h thng v phõn tớch nh tớnh ca bi toỏn r nhỏnh i vi mt s lp phng trỡnh elliptic phi tuyn Chng Kin thc chun b (Nhng kin thc c bn c trỡnh by chng ny c trớch dn trc tip t cỏc ti liu tham kho [1] v [2].) Trong chng ny ta s trỡnh by mt s kin thc c bn cn thit s c s dng chng sau ca lun 1.1 1.1.1 Mt s khụng gian hm Khụng gian Banach a Mt dóy c bn (hay dóy Cauchy) khụng gian nh chun X l mt dóy xn X cho > 0, N cho n N, m N thỡ xn xm < b Khụng gian nh chun X nu mi dóy c bn u hi t ú X c gi l khụng gian nh chun y hay khụng gian Banach 31 S dng (2.16) v Bt ng thc Hăolder ta nhn c u2 V2 (x) u dx 2 |x|2(n1)/n dx dx 2(n1)/n |x| n2 n sn1 (2.18) |u|2 dx sn1 n ds BR 1/R n R C3 L2 (BR ) n2 C u |u|2 dx BR T tớnh compact v gi thit gi thit (2.12), dn n tn ti ph hu hn r (x1 ) , , B r (xk ) cho vi mi j k, ca t cỏc hỡnh cu úng B k nu |x xj | rj thỡ |x xj | 2(n1) n V2 (x) (2.19) T ú tn ti r > cho vi mi j k, nu |x xj | r thỡ |x xj | 2(n1) n V2 (x) k t A := kj=1 Br (xj ) Theo c lng trờn, bt ng thc Hăolder v phộp nhỳng Sobolev V2 (x)u dx k Br (xj ) u2 k |x xj | Br (xj ) 2(n1) n |x xj | dx 2(n1) n n 2 n dx u Br (xj ) C k Br r dx |x|n1 = C k sn1 |u|2 dx, BR |u|2 dx BR n2 |u|2 dx sn1 n ds =C n L2 (BR ) BR 32 vi mi j = 1, , k Vy nờn ta c |u|2 dx V2 (x) u2 dx C4 A (2.20) BR T (2.19) suy rng vi V2 L (\A) Thc s nu x \A thỡ tn ti j {1, , k} cho rj > |x xj | > r > Vỡ vy V2 (x) r 2(n1) n Do ú V2 (x) u2 dx r 2(n1) n \A |u|2 dx u2 dx C5 \A (2.21) BR Bõy gi, t cỏc bt ng thc (2.14), (2.17), (2.18), (2.20), (2.21) ta cú (R) C1 V1 Ln/2 (Rn ) + C2 + C3 R 2/n + C4 + C5 Chuyn qua gii hn R ta c C V1 2/n + C4 + C5 Ln/2 (Rn ) + C2 + C3 > Nh vy nh lý c chng minh 2.3.2 R nhỏnh i vi nghim Mc ớch ca ta l xỏc nh mt s thc > xỏc nh bi := lim (R) R S ny nú úng mt vai trũ quan trng i vi bi toỏn logistic giỏ tr riờng phi tuyn u = (V (x)) u f (u) Rn , u > Rn , lim u (x) = |x| (2.22) 33 Kt qu tn ti hay khụng tn ti nghim di õy ó chng t nh l im r nhỏnh ca bi toỏn (2.22) Mnh 2.1 Cho V l mt hm tha (2.12) v f tha gi thit (f1), (f2), (f3) Khi ú bi toỏn u = (V (x) u f (u)) Rn , (2.23) n u > R , cú ớt nht mt nghim vi mi > Chng minh Vi bt k R > 0, xột bi toỏn giỏ tr biờn u = (V (x) u f (u)) u>0 BR , u=0 trờn BR BR , (2.24) Trc tiờn ta chng minh bi toỏn (2.24) cú ớt nht mt nghim vi > (R) Tht vy hm u (x) = M l mt nghim trờn ca (2.24) vi M ln, iu ny cú t (f3) v tớnh b chn ca V Tip theo tỡm c nghim di dng ta xột bi toỏn cc tiu húa uH0 (BR ) |u|2 V (x) u2 dx BR Vỡ > (R) dn n giỏ tr riờng nh nht à1 l õm Hn na hm riờng tng ng e1 tha e1 V (x) e1 = à1 e1 BR , e1 > BR , e1 = trờn BR (2.25) 34 Khi ú hm u (x) = e1 (x) l nghim di ca bi toỏn (2.24) Tht vy, ta ch cn kim tra rng (e1 ) V e1 + f (e1 ) BR Ngha l, (2.25) à1 e1 + f (e1 ) BR (2.26) Nhng f (e1 ) = f (0) e1 + e1 o (1) , e Do ú, t f (0) = nờn mi quan h (2.26) tr thnh e1 (à1 + o (1)) 0, iu ú ỳng > nh, vỡ à1 < C nh > v mt dóy bt k R1 < R2 < ã ã ã < Rk < ã ã ã cỏc s dng cho Rk v (R1 ) < Gi s uk l mt nghim ca (2.24) BRk v s dng M cho f (M ) > V M L (Rn ) Lý lun trờn chng t rng ta cú th gi thit uk M BRk vi k Vỡ uk+1 l mt nghim trờn ca (2.24) vi R = Rk , nờn ta cú th gi s uk uk+1 BRk Do ú hm u (x) := lim uk (x) tn ti xỏc k n nh v dng R Nhng lp lun tớnh chớnh quy elliptic chun suy rng u l nghim ca bi toỏn (2.23) Mnh 2.2 Cho u l mt nghim bt k ca bi toỏn (2.22) Khi ú tn ti C > cho |u (x)| C|x|2n vi mi x Rn 35 Chng minh Gi s n l din tớch ca mt cu n v Rn Xột hm V + u l th v Newton v nh ngha v (x) = (n 2) n Rn V + (y) u (y) dy |x y|n2 Tớnh toỏn trc tip ta nhn c v = V + (x) u Rn Nhng vỡ (2.13) v u b chn nờn vi < n ta cú V + (y) u (y) C|y|2 , y Rn , v (x) C|x| , x Rn t w (x) = Cv (x) u (x), ú w (x) |x| Chn C ln cho w (0) > 0, iu ú dn n w (x) > 0, x Rn (2.27) Tht vy, gi s iu ngc li, ú xột x0 Rn l im cc tiu a phng ca w cú ngha l w (x0 ) < 0, w (x0 ) = v w (x0 ) Nhng w (x0 ) = CV + (x0 ) u (x0 ) + (V (x0 ) u (x0 ) f (u (x0 ))) < vi C > iu ny mõu thun s suy (2.27) T ú ta cú u (x) Cv (x) C|x| , vi x Rn Bõy gi, s dng li gi thit (2.13) ta c V + (x) u (x) C|x|22 , x Rn , 36 t ú dn n kt qu v (x) C|x|2 , vi x Rn v mi < n Xột N l s nguyờn ln nht cho N < n Lp li N + ln cỏc bc trờn ta c u (x) C|x|2n , x Rn Mnh ó c chng minh Mnh 2.3 Cho u l mt nghim ca bi toỏn (2.22) Khi ú V + u, V u, f (u) L1 (Rn ) v u H (Rn ) Chng minh Vi R > 0, xột hm trung bỡnh u (R) = n Rn1 u (x) d = BR n u (rx) d, B1 õy n l din tớch ca mt cu S n1 Khi ú u (rx) d B1 u (x) d = n Rn1 BR = u (x) dx n Rn1 BR u (R) = n Do vy n Rn1 u (R) = (V (x) u f (u)) dx BR V (x) u + f (u) dx V + (x) udx + = BR BR (2.28) 37 T Mnh 2.2, tn ti C > cho | u (x)| Crn+2 vi r > Vỡ vy, t (2.13) dn n |x|n dx C, V + (x) udx CA 1|x|r 1|x|r õy C khụng ph thuc vo r iu ny dn n V + u L1 (Rn ) Ngc li, gi s V u + f (u) / L1 (Rn ), ú t (2.28) dn n u (r) > nu r ln iu ú suy u (r) khụng hi t ti r , iu ny mõu thun vi Mnh 2.2 Vỡ vy V u + f (u) L1 (Rn ) Tip theo, khng nh u L2 (Rn ) ta ý ti gi thit (f1), gi thit ny dn n tn ti cỏc s dng a v cho f (t) > at, vi < t < at2 vi < t < Do ú f (t) > Do u gim v ti vụ cựng nờn {x Rn ; u (x) } l compact Vỡ vy, f (u) L1 (Rn ) thỡ u2 dx = RN u2 dx+ [u] u2 dx [u cho u (x) BR u (x) d |u|2 dx BR vi R R0 (2.29) 38 t A (R) = u (x) BR u (x) d, u2 (x) d, B (R) = (2.30) BR |u (x)|2 dx C (R) = BR Khi ú (2.29) cú th vit li thnh A (R) C (R) vi R R0 (2.31) Mt khỏc Bt ng thc Cauchy - Schwarz ta cú 2 A (R) u d BR BR u d B (R) C (R) S dng kt qu (2.31) ta c C (R) 4B (R) C (R) vi R R0 Do ú d + dr C (r) r dt B (t) 0 vi R R0 (2.32) r=R n Nhng vỡ u L (R ) kộo theo B (t) dt hi t Do ú R lim R dt = + B (t) (2.33) Mt khỏc, gi thit |u| / L2 (Rn ) dn n = R C (R) lim (2.34) Cỏc mi liờn h (2.32), (2.33), (2.34) dn n mõu thun vi iu ó gi s u / L2 (Rn )n trờn Vy mnh c chng minh 39 Mnh 2.4 Cho u v v l hai nghim phõn bit ca bi toỏn (2.22) Khi ú lim u (x) R BR v (x) d = Chng minh Nhõn (2.22) vi v l ly tớch phõn trờn BR ta c u ã vdx BR u BR v (x) d = (V (x) uv f (u) v) dx BR T Mnh (2.3), tn ti gii hn hu hn lim R u BR v d Nhng Bt ng thc Cauchy - Schwarz ta cú v u (x) d BR 1/2 1/2 2 |v| d u d BR (2.35) BR Vỡ u v |v| L2 (Rn ) nờn tớch phõn u2 + |v|2 d dx hi t BR Do ú u2 + |v|2 d = lim R (2.36) BR Kt hp vi (2.35), (2.36) ta nhn c iu phi chng minh nh lý sau cho ta cỏc kt qu v s tn ti v khụng tn ti hn na c xem nh l im r nhỏnh ca bi toỏn (2.22) nh lý 2.5 Cho V l mt hm tha iu kin (2.12), (2.13) v f tha gi thit (f1),(f2),(f3) Gi s tn ti A, > cho V + (x) A|x|2 vi x Rn Khi ú: (i) Bi toỏn (2.22) cú mt nghim nht vi mi > ; 40 (ii) Bi toỏn (2.22) khụng cú bt k nghim no vi mi Chng minh i) D thy > v V tha (2.13) thỡ bi toỏn (2.22) cú ớt nht mt nghim Tht vy, ta cú th kim tra e1 (x) nu x BR u (x) = nu x /B R vi R > v e1 tha (2.25) l mt nghim di ca bi toỏn (2.22) n l mt nghim trờn ca bi toỏn Tip theo ta thy u (x) = + |x| (2.22) Tht vy, u tha món: n + |x|2 4|x|2 u (x) = u (x) , + |x|2 x Rn T ú u l nghim trờn ca (2.22) nu n + |x|2 4|x|2 + |x|2 V (x) f n + |x|2 , x Rn Bt ng thc ny xut phỏt t (f3) v (2.13) vi n ln Cựng vi kt qu chng minh trờn ta nhn c khng nh v s tn ti nghim ca bi toỏn (2.22) xõy dng c tớnh nht ca nghim, ta gi s u v v l hai nghim ca (2.22) Khụng mt tớnh tng quỏt gi s u v, t iu ny dn n u = {u, v} l mt nghim trờn ca (2.22) v u xỏc nh nh trờn l mt nghim di Do ú ta ch cn xột mt cp cú th t tng ng gm nghim v v Vỡ u v v l cỏc nghim, t cụng thc Green ta cú u BR v u v d = uv BR f (v) f (u) dx v u 41 T Mnh 2.4, v trỏi hi t n R Vỡ vy, t (f1) v gi thit u v ta suy u = v Rn Vy nghim ca (2.22) l nht ii) Gi s ngc li, xột cho bi toỏn (2.22) cú nghim vi giỏ tr ny Khi ú |u|2 dx u d = u BR BR V (x) u2 f (u) u dx BR T Mnh 2.3 v Mnh 2.4 cho R ta c |u|2 dx < Rn V (x) u2 dx (2.37) Rn Mt khỏc s dng nh ngha := lim (R) v R |u|2 dx; u H01 (BR ) , (R) = BR V (x) u2 dx = , BR ta cú Rn vi C02 (Rn ) cho C nh C02 (Rn ) ||2 dx, V dx (2.38) Rn V dx > Rn cho v nu |x| (x) = nu |x| Vi mi n nh ngha n (x) = n (x) u (x), ú n (x) = |x| n Do ú n (x) u (x) n , vi x Rn Vỡ u H (Rn ) suy u L2n/(n2) (Rn ) Theo nh lý hi t tri Lebesgue ta c n u L2n/(n2) (Rn ) 42 Ta s chng minh n u L2 (Rn )n (2.39) Tht vy, xột n := {x Rn ; n < |x| < 2n} p dng Bt ng thc Hăolder ta c n u L2 (Rn ) (n 1) u (n 1) u L2 (Rn ) + u L2 (Rn ) + un L2n/(n2) (n ) ã n L2 (n ) (2.40) Ln (Rn ) Nhng vỡ |u| L2 (Rn ) v cng t nh lý hi t tri Lebesgue nờn ta cú lim (n 1) u n L2 (Rn ) = (2.41) Tip theo, ta thy n Ln (Rn ) = Ln (Rn ) (2.42) = (2.43) vỡ u L2n/(n2) (Rn ) nờn lim u n L2n/(n2) (n ) Cỏc mi liờn h (2.40)-(2.43) dn n (2.39) nh ta mong mun Vỡ V u2 L1 (Rn ) v V 2n V u2 nờn t nh lý hi t tri Lebesgue ta c lim n Rn V 2n dx = V u2 dx, Rn hay l lim n Rn V 2n dx = V u2 dx Rn Do ú t (2.37) v (2.44) suy tn ti n0 cho Rn V 2n dx > vi n n0 (2.44) 43 iu ny ngha l ta cú th vit (2.38) vi thay bi n C02 (Rn ) v sau ú s dng (2.39) v (2.44) ta c |u|2 dx Rn V u2 dx (2.45) Rn Mi liờn h (2.37) v (2.45) dn n s vụ lý, ú bi toỏn (2.22) khụng cú nghim nu nh lý ó c chng minh Kt lun chng Trong chng ny, ta ó nghiờn cu nh lý r nhỏnh c bn, trỡnh by nh tớnh ca nghim cc tiu gn im r nhỏnh Xem xột r nhỏnh i vi phng trỡnh logictics ton khụn gian Ta ó nghiờn cu s tn ti v nht nghim cng nh s khụng tn ti nghim dng ca mt s phng trỡnh logistics Nh vy r nhỏnh i vi mt s lp phng trỡnh Elliptic ó c ta nghiờn cu ni dung ca chng Kt lun Lun nhm trỡnh by mt cỏch cú h thng v phõn tớch nh tớnh ca bi toỏn r nhỏnh i vi mt s lp phng trỡnh elliptic phi tuyn C th, lun Trỡnh by v chng minh chi tit nh lý r nhỏnh thụng qua vic s dng cỏc kin thc ca Gii tớch hm Trỡnh by nh tớnh ca nghim cc tiu gn im r nhỏnh Xột r nhỏnh i vi phng trỡnh logistics ton khụng gian Quan tõm ti s tn ti v nht nghim cng nh s khụng tn ti nghim dng ca mt s phng trỡnh logistics Do iu kin v thi gian v trỡnh nghiờn cu cũn hn ch nờn lun khụng trỏnh nhng thiu sút, kớnh mong quý Thy Cụ v bn bố úng gúp ý kin v b sung bn thõn tỏc gi cng nh bn lun ny c hon thin hn! Tỏc gi xin chõn thnh cm n Ti liu tham kho [A] Ti liu ting Vit [1] Hong Ty(2003), Hm thc v Gii tớch hm, NXB i hc Quc gia H Ni [2] Trn c Võn (2003), Lý thuyt phng trỡnh Vi phõn o hm riờng, Nh xut bn i hc Quc Gia H Ni [B] Ti liu ting Anh [3] H Brezis (2011), Functional Analysis Sobolev spaces and Partial Differential Equations, Springer [4] H Kielhăofer (2003) , Bifurcation Theory An Introduction with Applications to Partial Differential Equations, Springer [5] Vicentiu D Rawdulescu (2008), Qualitative Analysis of Nonlinear Elliptic Partial Differential Equations, Hindawi Publishing Corporation [...]... một lân cận U của gốc tọa độ trong X2 sao cho với bất kỳ u1 ∈ B1 , λ ∈ B2 và g ∈ B3 , tồn tại duy nhất nghiệm u2 = ϕ (u1 , λ, g) ∈ U của phương trình F (u1 + ϕ (u1 , λ, g) , λ) = g Chương 2 Bài toán rẽ nhánh đối với phương trình elliptic phi tuyến (Những kiến thức trình bày trong chương này được trích dẫn trực tiếp từ các tài liệu tham khảo [4] và [5].) Cho f : R → R là một hàm lồi, dương, thuộc lớp. .. và thỏa mãn f (0) > 0 Xét bài toán −∆u = λf (u) trong Ω, (2.1) u = 0 trên ∂Ω, trong đó λ là tham số dương Chúng ta sẽ nghiên cứu nghiệm cổ điển của bài toán này, đó là hàm u ∈ C 2 (Ω) ∩ C Ω Như chúng ta đã biết, Định lý hàm ẩn là một công cụ mạnh trong các bài toán tìm nghiệm, chúng ta cũng sẽ thực hiện đối với bài toán (2.1) Đặt X = u ∈ C 2,α Ω ; u = 0 trên ∂Ω ; Y = C 0,α Ω với 0 < α < 1 19 Định nghĩa... Stampacchia đối với toán tử đối hữu hạn −∆ − λf (u (λ)) ta tìm được v ≥ u (λ) trong Ω (vii) Cho v là nghiệm ổn định khác, với λ < λ∗ Với lý do tương tự như trong (vi) nhưng đối với toán tử đối hữu hạn −∆ − λf (v), từ đó ta thu được u (λ) ≥ v Vậy ta được u (λ) = v 23 2.2 Tính chất định tính của nghiệm cực tiểu gần điểm rẽ nhánh Trong mục này, ta giả sử f (t) =a>0 t→∞ t lim Ta thừa nhận trong phần này một. .. tồn tại một lân cận I lớn nhất chứa gốc tọa độ và tồn tại duy nhất một ánh xạ u = u (λ) là nghiệm của bài toán và toán tử tuyến tính −∆ − λf (u (λ)) là song ánh Nói cách khác với mỗi λ ∈ I, bài toán (2.1) sẽ có nghiệm ổn định được xác định bởi Định lý hàm ẩn Đặt λ∗ := sup I ≤ +∞, ta ký hiệu λ1 (−∆ − a) là giá trị riêng thứ nhất của toán tử (−∆ − a) trong H01 (Ω), ở đây a ∈ L∞ (Ω) 2.1 Định lý rẽ nhánh. .. được xác định bởi f 1.1.3 L∞ (Ω) = inf C > 0 : |f (x)| ≤ C hầu khắp nơi trong Ω Đa chỉ số Ký hiệu đa chỉ số là một ký hiệu toán học đơn giản hóa các công thức tính toán nhiều biến Một đa chỉ số n− chiều là một bộ n− số nguyên không âm α = (α1 , α2 , , αn ) Tập tất cả các đa chỉ số n− chiều ký hiệu là Nn0 Cho đa chỉ số α, β ∈ Nn0 và x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , khi đó: α ± β = (α1 ± β1 , α2 ± β2 , ,... kiện đó cho ta thấy khi t → ∞ thì f tăng nhanh hơn ta với a > 1 Trong trường hợp này ta sẽ chứng minh bài toán (2.1) có một nghiệm yếu u∗ ∈ H01 (Ω) với điều kiện là λ = λ∗ Định lý 2.2 Giả sử f thỏa mãn điều kiện bổ sung sau: Cho số a > 0 và µ > 1 sao cho tf (t) ≥ µf (t) với mọi t ≥ a Khi đó ta có các kết quả sau: (i) Bài toán (2.1) có một nghiệm u∗ với điều kiện λ = λ∗ ; (ii) u∗ là giới hạn yếu trong... Định lý 1.6 tồn tại một hàm u (λ) thuộc lớp C 1 , hàm đó được xác định trên khoảng cực đại I sao cho F (u (λ)) = λf Đặc biệc u := u (1) là một nghiệm của phương trình F (u) = f Ta sẽ chứng minh I = R Thật vậy, ta có uλ (λ) = (Fu (u))−1 f, nên u là một ánh xạ Lipschitz trên I, nghĩa là I = R Định lý hàm ẩn được sử dụng để giải phương trình dạng F (u) = f , trong đó F ∈ C 1 (X, Y ) Một phương pháp đơn... minh định lý rẽ nhánh cơ bản sau đây Định lý 2.1 Giả sử f : R → R là một hàm lồi, dương trong C 2 sao cho f (0) > 0 Khi đó ta có các kết quả sau đây: (i) λ∗ < +∞; (ii) λ1 −∆ − λf (u (λ)) > 0; (iii) Ánh xạ I λ → u (x, λ) là tăng với mọi x ∈ Ω; (iv) Với mọi λ ∈ I và x ∈ Ω ta luôn có u (x, λ) > 0; (v) Bài toán (2.1) không có nghiệm với điều kiện λ > λ∗ ; (vi) u (λ) là nghiệm cực tiểu của bài toán (2.1);... (λ) thỏa mãn (2.1), bằng cách sử dụng định lý chính quy chuẩn cho phương trình elliptic, suy ra u (λ) → u∗ trong W2,p (Ω) nếu λ → λ∗ Mặt khác, bao hàm thức Sobolev W2,p ⊂ L∞ (Ω) nếu n < 2p, nên với n ≤ 9 thì u (λ) → u∗ trong L∞ (Ω) nếu λ → λ∗ Do vậy u∗ ∈ L∞ (Ω) , ∗ eu ∈ L∞ (Ω) Định lý đã được chứng minh 2.3 Rẽ nhánh đối với phương trình logictics trong toàn không gian Trong mục này, chúng ta quan... không tồn tại nghiệm dương của các bài toán logistic − ∆u = λ (V (x) u − f (u)) trong Rn , n ≥ 3 (2.11) 29 Ở đây V là một thế vị trơn, đổi dấu và f : [0; ∞) → [0; ∞) là một hàm trơn Phương trình dạng này xuất hiện khi nghiên cứu về mô hình tăng trưởng dân số Trong trường hợp này ẩn hàm u mô tả mật độ dân số, thế vị V cho ta tốc độ sinh của quần thể trong khi thừa số −f (u) chỉ ra mức tới hạn của quần