Lý thuyết chính quy cực đại và ứng dụng trong phương trình parabolic phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC TRỊNH ĐÌNH HÂN LÝ THUYẾT CHÍNH QUY CỰC ĐẠI VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THANH HÓA, NĂM 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HĨA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC TRỊNH ĐÌNH HÂN LÝ THUYẾT CHÍNH QUY CỰC ĐẠI VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60460102 Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Như Thắng THANH HĨA, NĂM 2015 i Lời cam đoan Tơi xin cam đoan kết nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu trung thực, tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình khác Người cam đoan Trịnh Đình Hân ii Lời cảm ơn Trong trình thực luận văn thạc sĩ, tác giả nhận giúp đỡ, tạo điều kiện nhiệt tình quý báu nhiều cá nhân, tập thể Lời tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Như Thắng tận tình hướng dẫn suốt trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn tồn thể thầy Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn, trường Đại học Hồng Đức tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian theo học, thực hoàn thành luận văn, cảm ơn giúp đỡ bạn bè, người thân đồng nghiệp thời gian làm luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng hồn thiện luận văn tất nhiệt tình lực mình, nhiên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đóng góp q báu thầy bạn Tác giả Trịnh Đình Hân iii Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức sở 1.1 Lí thuyết phổ tốn tử khơng bị chặn 1.2 Nửa nhóm giải tích sinh toán tử quạt 1.2.1 Toán tử quạt 1.2.2 Một số ví dụ tốn tử quạt 14 1.3 Sơ lược lí thuyết nội suy 19 1.3.1 Không gian nội suy thực 19 1.3.2 Nội suy toán tử 21 1.4 Một số không gian hàm 23 1.4.1 Các không gian L p -khả tích 23 1.4.2 Lí thuyết Calderon-Zygmund 25 1.5 Lớp tốn tử có lũy thừa ảo bị chặn 27 Chương Lí thuyết qui cực đại 29 2.1 Phát biểu vấn đề 29 2.1.1 Nửa nhóm giải tích 30 2.1.2 Tính độc lập p 32 2.2 Điều kiện cần điều kiện đủ 36 2.2.1 Tính quy cực đại không gian Hilbert 36 2.2.2 Không gian UMD 37 2.3 Tính chất R–bị chặn 40 iv 2.4 Tính quy cực đại khơng-ơtơnơm 42 2.4.1 Hệ số quy theo thời gian 43 2.4.2 Điều kiện đủ 46 2.4.3 Miền không đổi theo thời gian 47 Chương Ứng dụng lí thuyết quy cực đại phương trình parabolic phi tuyến 49 3.1 Bài toán giá trị ban đầu nửa tuyến tính 49 3.1.1 Tính tồn nghiệm 50 3.1.2 Tính 52 3.2 Tính nghiệm hệ Navier-Stokes khơng nén 54 3.3 Về lớp phương trình parabolic tựa tuyến tính 58 Kết luận 69 MỞ ĐẦU Trong lí thuyết phương trình đạo hàm riêng đại, việc nghiên cứu toán phi tuyến thường chuyển xét phương trình tuyến tính hóa tương ứng Nói riêng, phương trình parabolic trừu tượng nửa tuyến tính, tốn tuyến tính hóa tương ứng thường giải nhờ lí thuyết nửa nhóm giải tích Phương pháp quy cực đại công cụ hiệu theo lược đồ tổng quát nói Cho A tốn tử khơng bị chặn với miền xác định D(A) p ∈ (1, ∞) Liệu có tồn số C > cho với f ∈ L p (0, ∞; X), tồn nghiệm u ∈ H 1,p (0, ∞; X) ∩ L p (0, ∞; D(A)) toán Cauchy u0 + Au = f , u(0) = (1) thỏa mãn ước lượng u p + kAukL p (0,∞;X) ≤ kukL p (0,∞;X) ? L (0,∞;X) Lí thuyết quy cực đại thu hút quan tâm nhiều nhà toán học suốt 50 năm gần trình phát triển thúc đẩy nhiều lĩnh vực khác Chúng tơi kể đến vài khía cạnh tiếp cận lí thuyết quy cực đại tiêu biểu: Thứ nhất, −A sinh nửa nhóm T (t)t≥0 , đó, nghiệm u tốn Cauchy cho công thức biến thiên số: Z t u(t) = T (t − s) f (s)ds,t ≥ Do đó, tính chất quy cực đại chuyển câu hỏi tính bị chặn tốn tử R L p (0, ∞; X) Trong trường hợp −A sinh nửa nhóm giải tích, R có dạng tích chập với nhân hàm giá trị vectơ, có kì dị Việc nghiên cứu tính bị chặn tốn tử R không gian L p (0, ∞; X) dẫn đến lí thuyết tích phân kì dị Thứ hai,có thể áp dụng phép biến đổi Fourier theo biến thời gian câu hỏi tính quy cực đại chuyển câu hỏi họ M(t) = A(it + A)−1 nhân tử Fourier Cách tiếp cận thứ ba, sử dụng phương pháp tổng toán tử đề xuất Da Prato, định lí kiểu Dore-Venni, mở rộng Pruss-Sohr, xem [5] Mặt khác, thời gian gần đây, lí thuyết quy cực đại thu hút quan tâm số tác giả sử dụng để chứng minh tồn nghiệm cho toán Cauchy tốn tử Laplace-Beltrami đa tạp có điểm kì dị dạng nón, xem [10, 9], hay lí thuyết quy cực đại cho phương trình vi phân bậc phân số, xem [3] Vì lí đó, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu "lí thuyết quy cực đại ứng dụng phương trình parabolic phi tuyến" MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Mục đích luận văn nghiên cứu, tìm hiểu, giới thiệu phổ biến lí thuyết quy cực đại cơng cụ để nghiên cứu phương trình parabolic trừu tượng phi tuyến Nhiệm vụ nghiên cứu điều kiện đủ tính qui cực đại xét vài lớp phương trình đạo hàm riêng thỏa mãn điều kiện ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU • Đối tượng nghiên cứu: Lí thuyết quy cực đại ứng dụng phương trình parabolic tuyến tính phi tuyến • Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tính quy cực đại, điều kiện đủ để có tính quy cực đại ứng dụng phương trình parabolic trừu tượng ĐỊNH HƯỚNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trong luận văn này, chúng tơi tìm hiểu lí thuyết quy cực đại cơng cụ để nghiên cứu Để chứng minh tồn nghiệm tốn Cauchy, chúng tơi sử dụng phương pháp giải tích hàm lí thuyết nửa nhóm để đưa toán tổng toán tử áp dụng điều kiện đủ lí thuyết quy cực đại Thanh Hóa, tháng năm 2015 Trịnh Đình Hân Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương: Chương hệ thống lại kiến thức sở cần thiết cho chương sau Cụ thể, nhắc lại lí thuyết phổ tốn tử tuyến tính không bị chặn; không gian hàm không gian Sobolev, nửa nhóm giải tích tính chất nửa nhóm giải tích sinh tốn tử quạt Chương trình bày số kết tổng quát lí thuyết quy cực đại khơng gian Hilbert không gian UMD Chương nghiên cứu ứng dụng lí thuyết quy cực đại cho lớp phương trình parabolic phi tuyến {t ∈ R; kSb(t)kX > λ } Ta phân tích tập hợp sau : {t ∈ R; kSb(t)kX > với E = S λ λ } ⊂ E ∪ {t ∈ R \ E; kSb(t)kX > } 2 e (Q e k mặt kép Qk ) Theo phân tích Calderon-Zygmund, k∈N Q k ta có |E| ≤ 2λ −1 k f k1 Ta cần đánh giá độ đo tập {t ∈ R\E; kSb(t)kX > λ } Sử dụng giả thiết (2.6), đặt sk tâm Qk (k ∈ N) Ta có Z (1) kSb(t)kX dt ≤ R\E Z ∑ k Qk k∈N R\E (2) ≤ Z ∑ k∈N R\E Z k Z Qk k(t − s)bk (s)dskX dt (k(t − s) − k(t − sk ))bk (s)dskX dt 34 (3) ≤ Z ∑ ∼ k Z k∈N R\Qk (4) ≤ c ∑ kk(t − s) − k(t − sk )kL (X) kbk (s)kX dsdt (5) Z k∈N Qk Qk kbk (s)kX ds ≤ 2ck f k1 Bất đẳng thức (1) suy từ (2.5) từ việc t ∈ R\E t ∈ / supp bk = Qk Bất đẳng thức (2) suy từ R Qk bk = theo cách xây dựng bk Bất đẳng thức (3) e k hiển nhiên, bất đẳng thức (4) suy từ thực tế với t ∈ R\Q s ∈ Qk , ta có |(t − sk )| > 2|(t − s) − (t − sk )| Rồi ta áp dụng (2.6) Bất đẳng thức (5) suy từ phân tích Calderon-Zygmund Từ ta có : λ λ {t ∈ R; kSb(t)kX > } ≤ |E| + {t ∈ R \ E; kSb(t)kX > } 2 Z ≤ 2λ −1 k f kL1 (R;X) + λ kSb(t)kX dt ≤ R\E 2(1 + c) k f kL1 (R;X) λ Cùng với (2.7), ta suy