Một số ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TOÁN - TIN - NGUYỄN THỊ ĐỨC MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán học Phú Thọ, 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TOÁN - TIN - NGUYỄN THỊ ĐỨC MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán học NGƯỜI HƯỚNG DẪN: ThS TRẦN ANH TUẤN Phú Thọ, 2018 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài khoá luận Trong năm gần đây, nhờ phát triển mạnh mẽ lý thuyết kỹ thuật số ứng dụng khoa học sống hàng ngày mà lý thuyết phương trình sai phân tuyến tính ứng dụng thu hút nhiều quan tâm nghiên cứu nhà khoa học ngồi nước, thầy, giáo bạn sinh viên trường Đại học, Cao đẳng nước Phương trình sai phân tuyến tính khơng có ứng dụng Tốn học t mà cịn có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học như: Sinh học, Kinh tế, Hóa học,… Phương trình sai phân tuyến tính khơng phải bậc Đại học hay cao Đại học xuất mà phương trình sai phân xuất bậc Trung học phổ thơng kì thi học sinh giỏi Tốn thơng qua tốn hay khó dãy số, giới hạn, tích phân,… cho dạng phương trình sai phân tuyến tính hay sử dụng phương trình sai phân tuyến tính để giải Qua ta thấy phương trình sai phân tuyến tính cịn có ứng dụng giải toán sơ cấp để phục vụ cho việc giảng dạy Tốn học phổ thơng Phương trình sai phân ứng dụng quan trọng, khơng góp phần giải tốn dãy số mà cịn giúp giải số tốn khác như: phương trình hàm, đa thức, tích phân,… Chính mà nhiệm vụ nghiên cứu ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính nhiều thầy, cô giáo nhà khoa học giới quan tâm nghiên cứu Tuy nhiên nhiệm vụ cấp thiết quan trọng cần nghiên cứu, tìm tịi Việc tổng hợp có hệ thống kiến thức phương trình sai phân tuyến tính tổng hợp số ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính giúp người có thêm tài liệu để nghiên cứu phương trình sai phân tuyến tính, để từ mở rộng ứng dụng thực tiễn giảng dạy, đưa ứng dụng khoa học vào đời sống Đó lí em chọn nghiên cứu đề tài khoá luận “ Một số ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính ” Ý nghĩa khoa học thực tiễn 2.1 Ý nghĩa khoa học Khoá luận nêu số ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính Tốn học minh họa qua ví dụ cụ thể nêu số ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính Sinh học Kinh tế 2.2 Ý nghĩa thực tiễn Khoá luận tạo điều kiện cho việc dạy học Toán tốt hơn, đạt kết cao tài liệu tham khảo cho thầy cô bạn sinh viên ngành Sinh học, Kinh tế Mục tiêu khoá luận Minh họa số ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính Tốn học thơng qua ví dụ cụ thể nêu số ứng dụng phương trình sai phân Sinh học Kinh tế KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐẠT ĐƯỢC CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 1.1 Dãy số, hàm lưới sai phân 1.1.1 Dãy số Định nghĩa 1.1 *  Mỗi hàm số u xác định tập (hay tập * Cho hàm số u :  (hay u : ) xác định un  u  n  ) gọi dãy số vơ hạn, gọi tắt dãy số Kí hiệu un  hay  un  Như ta xem dãy số hàm đối số tự nhiên n Dãy  un  xác định tập có dạng khai triển là: u1 , u2 , , un , Ví dụ 1.1: Dãy số tự nhiên xác định un  n, n  Dạng khai triển  un  : 0,1,2,3, , n Ví dụ 1.2: Dãy số điều hoà xác định un  Dạng khai triển  un  : , n  2n * 1 1 , , , , , 2n 1.1.2 Hàm lưới Định nghĩa 1.2 Gọi đường lưới đường thẳng song song với trục toạ độ bị hạn chế miền D  0  x  1,  t  T  hệ trục Oxt Khi ấy: Các đường thẳng song song với trục Ot có phương trình: x  xm  mh Trong đó: m  0,1, 2, , M ; Mh  Các đường thẳng song song với trục Ox có phương trình: t  tn  n Trong đó: n  0,1, , N ; N  T Ta gọi: h bước lưới theo không gian,  bước lưới theo thời gian Giao điểm đường lưới x  xm t  tn gọi điểm lưới  m, n  Tập hợp điểm lưới  m, n  gọi lưới, kí hiệu h Hàm u  x, t  điểm lưới  m, n  có giá trị u  mh, n  kí hiệu umn   Tập hợp umn gọi hàm lưới 1.1.3 Sai phân Định nghĩa 1.3 Sai phân hữu hạn cấp hàm số x  n  hiệu xn1  xn , kí hiệu xn Vậy: xn  xn1  xn Định nghĩa 1.4 Sai phân hữu hạn cấp k hàm số  xn  sai phân sai phân cấp  k  1 hàm số  xn  (với k  ), kí hiệu  k xn Vậy:  k xn  ( k 1 xn )   k 1 (xn )   k 1 xn1   k 1 xn * Các tính chất: Tính chất 1.1 Mọi sai phân biểu diễn qua giá trị hàm số k Công thức:  ( k ) xn   (1)i cki xn k i , (với cki  i 0 k! ) i !(k  i )! Tính chất 1.2 Sai phân cấp hàm số tốn tử tuyến tính Cơng thức:  k  (axn  byn )  a  k  xn  b k  yn , (với a, b  , k  1,2, ) Tính chất 1.3 Sai phân cấp k đa thức bậc m là: i) Đa thức bậc m  k k  m ii) Hằng số k  m iii) Bằng k  m Tính chất 1.4 N   k  xn   k 1 xN 1   k 1 xi (với k  1,2, ) n i N Đặc biệt k  , ta có:  xn  xN 1  xi n i Tính chất 1.5 ( xn yn )  xn yn  yn1xn 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính 1.2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.5 Phương trình sai phân tuyến tính hệ thức tuyến tính sai phân cấp Dạng: F ( xn , xn ,   xn , ,  k  xn )  (1) Trong đó:   k  xn sai phân cấp k xn , k bậc phương trình sai phân Định nghĩa 1.6 Phương trình sai phân tuyến tính hàm xn hệ thức tuyến tính giá trị hàm xn điểm khác Dạng: Lh ( xn )  a0 xn k  a1xn k 1   ak xn  f n (2) Trong đó: a0 , a1 , , ak (với a0  0, ak  ) hệ số biểu thị số cho trước hay hàm số n ; h : khoảng cách mối, gọi bước lưới, h  xn1  xn ; Lh xn tốn tử tuyến tính tác dụng lên hàm số xn xác định lưới có bước lưới h ; f n hàm số biến n ; xn ẩn số cần tìm Định nghĩa 1.7 - Nếu f n  (2) gọi phương trình sai phân tuyến tính - Nếu f n  (2) gọi phương trình sai phân tuyến tính khơng - Nếu f n  : i) a0 , a1, ,a k số, a0  0, ak  (2) trở thành Lh ( xn )  a0 xnk  a1 xnk 1   ak xn  (3) gọi phương trình sai phân tuyến tính bậc k với hệ số ii) a0 , a1 , , ak hàm n (2) phương trình sai phân tuyến tính với hệ số biến thiên 1.2.2 Nghiệm Định nghĩa 1.8 Hàm số xn thoả mãn (2) gọi nghiệm phương trình sai phân tuyến tính (2) Định nghĩa 1.9 Hàm số xn thoả mãn (3) gọi nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính (3) với tập giá trị ban đầu x0 , x1 , , xk 1 ta xác định tham số C1 , C2 , , Ck để nghiệm xn trở thành nghiệm riêng (3), tức đồng thời thoả mãn (3) xi  xi , i  0, k  * Các tính chất: Định lí 1.1 Nghiệm tổng quát (2) là: xn  xn  xn* Trong đó: xn nghiệm tổng quát (3), xn* nghiệm riêng (2) Định lí Nghiệm tổng qt (3) có dạng: xn  C1xn1  C2 xn   Ck xnk Trong đó: xn1, xn , , xnk k nghiệm độc lập tuyến tính (3) C1 , C2 , , Ck số tuỳ ý Định lí 1.3 Xét phương trình đặc trưng: Lh  a0 k  a1 k 1   ak  (4) Trường hợp 1: Nếu (4) có k nghiệm thực khác 1 , 2 , , k hệ  n n n , , , k    hệ k nghiệm độc lập tuyến tính (3) Khi nghiệm tổng quát (3) xn  C11n  C22n   Ck kn Trong Ci số tuỳ ý ( với i  1, k ) Trường hợp 2: Nếu (4) có nghiệm thực  j bội s ngồi nghiệm  nj ta bổ sung thêm  s  1 nghiệm n nj , n 2 jn , , n s 1 nj nghiệm độc lập tuyến tính (4) k Khi xn   Ci in j i 1 s 1    C ij ni  nj i 0 Trong đó: C ij Ci số tuỳ ý b Trường hợp 3: Nếu (4) có nghiệm phức  j  r  cos   i sin   , tan   , a r   j  a  b ta lấy thêm nghiệm r n cos n , r n sin n k Khi đó: xn   Ciin  r n (C1j cosn  C 2j sin n ) j i 1 Trong đó: Ci , C1j , C 2j số tuỳ ý ( với i  1, k ) 1.2.3 Phương pháp tìm nghiệm riêng xn* * Phương pháp chọn (hệ số bất định) Trong số trường hợp đặc biệt hàm f n tìm xn* đơn giản Để xác định tham số dạng nghiệm ta dùng phương pháp hệ số bất định Trường hợp 1: Khi f n  Pm ( n) đa thức bậc m n, m  - Nếu (4) nghiệm   ; ta chọn xn*  Qm (n) - Nếu (4) có nghiệm   bội s ; ta chọn xn*  n sQm (n) Trường hợp 2: Khi f n   n Pm (n),   0, m  , Pm ( n) đa thức bậc m n - Nếu (4) có nghiệm thực khác  ; ta chọn xn*   nQm (n) - Nếu (4) có nghiệm    bội s ; ta chọn xn*  n s nQm ( n) Trường hợp 3: Khi f n   cosnx+  sinnx , (với  ,  số) Ta chọn: xn*  a cos nx  n sin nx Trường hợp 4: Khi f n  f n1  f n   f ns * Ta chọn: xn*  xn*1  xn*   xns Trong đó: xni* ứng với hàm f ni , i  1, s * Phương pháp biến thiên số Lagrange Nghiệm tổng quát là: xn  C1 (n) xn1  C2 (n) xn   Ck (n) xnk * Phương pháp đưa dạng tắc phương trình sai phân tuyến tính Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp k, k  3: xn k  a1 xn k 1  a2 xn k 2   ak xn  f n Trong đó: a1 , a2 , , ak hệ số; xn , , xn k ẩn; giá trị ban đầu x0 , x1 , , xk 1    Phương trình cho ln đưa dạng tắc: y n1  Ay n  f n Trong đó:  xnk  x   nk 1     y n1   ,        xn1       f n      fn    ,    0  a1 a2 1  0 A    0  xk 1  x   k 2     y0           x0   ak 1 ak   0   0      0 Với ma trận A tìm ma trận Q khơng suy biến cho QAQ-1 =  Trong  ma trận đường chéo Gioocđan     Thực phép đổi biến un  Qyn , Fn  Qf n ta được: 48 biến số phương trình riêng Sau kết hợp phương trình thành phương trình cao Trước hết ta nghiên cứu kĩ giả thiết toán đặt ra, giúp ích cho việc thu thập thông số số đặc trưng tốn, sau ta xác định biến số ta có: Hằng số đặc trưng: p  0,6 : Tần số đốt cuối sinh đốt q  0,4 : Tần số đốt cuối sinh hai đốt r  0,7 : Tần số đốt kề đốt cuối sinh đốt Những biến số: an : Số đốt cuối ngày sinh trưởng thứ n, n  bn : Số đốt kề đốt cuối ngày thứ n, n  * * Sn : Tổng số đốt ngày thứ n Ngày thứ n có số lượng đốt an Sau ngày, số lượng đốt cuối an1 Khi ta có phương trình: an1  an  an  bn 5 10 (3.8) Do đốt cuối ngày thứ n đốt kề cuối ngày thứ n + 1, nên ta có phương trình: bn1  an (3.9) Do tổng số đốt ngày thứ n + tổng tổng số đốt ngày thứ n số đốt ngày cuối sinh nên ta có phương trình: Sn1  Sn  an1 Từ (3.9)  bn  an1 vào (3.8) ta phương trình: 49 an1  an  an  an1 5 10 7  an1  an  an1 10  10an1  14a  7an1  Đây phương trình biết cách giải cho trước số đốt cuối ngày sinh trưởng a1 Trong trường hợp giả thiết chưa cho cụ thể p, q, r , ta có phương trình: an1  1  q  an  r.an1  (3.10) Sn1  Sn  an1 (3.11) Phương trình (3.10) phương trình sai phân tuyến tính cấp biết cách giải Giải phương trình ta tìm an , từ có kết số đốt cuối ngày sinh trưởng thứ n Sau tìm an ta suy an1 , phương trình (3.11) phương trình sai phân tuyến tính ẩn Sn với vế phải hàm n Việc giải (3.11) cho kết ẩn Sn Từ cho ta đáp số câu hỏi thứ nêu Do vậy, việc giải phương trình sai phân tuyến tính cho ta công thức xác định số đốt cuối tổng số đốt ngày sinh trưởng thứ n 3.1.4 Mơ hình sinh sản tế bào hồng cầu Đây toán liên quan đến số lượng hồng cầu lưu thông máu, vấn đề trình bày phương trình sai phân Trong hệ tuần hồn, tế bào hồng cầu bị phá hủy thay cách khơng đổi, tế bào mang oxi khắp thể nên số lượng chúng phải đảm bảo vài mức ổn định Giả sử rằng, hàng ngày lách lọc phá hủy số lượng tế bào định tủy xương sinh số lượng hồng cầu tương ứng với số lượng tế bào bị hơm trước Số tế bào ngày thứ n tính nào? Để tìm cách giải đáp câu hỏi ta dùng kí hiệu từ lập phương trình sai phân Các số đặc trưng: f  0,2 : Tỉ lệ phần trăm tế bào bị lách loại bỏ 50   0,95 : Hằng số sinh sản (Số lượng tế bào sinh chia cho số lượng tế bào đi) Các biến số: Rn : Số tế bào hồng cầu lưu thông ngày thứ n M n : Số tế bào hồng cầu tủy xương sinh ngày thứ n Theo chế sinh học nêu ta có: Số tế bào lưu thông ngày thứ n 1 = Số tế bào lưu thông ngày thứ n  Lượng tế bào bị lách loại bỏ ngày thứ n + Số tế bào hồng cầu xương tủy sinh ngày thứ n  Và: Số tế bào hồng cầu tủy xương sinh ngày thứ n 1 = Hằng số sinh sản  Lượng tế bào bị lách loại bỏ ngày thứ n Do ta có phương trình: Rn1  Rn  Rn  M n  Rn1  Rn  M n 5 Và M n1   f Rn  Từ (3.13)  M n  19 Rn 100 (3.12) (3.13) 19 Rn1 , vào (3.12) ta được: 100 19 Rn1  Rn  Rn1  100 Rn1  20 Rn  19 Rn1 100 Trường hợp tổng qt ta có phương trình sau: Rn1  1  f  Rn   f Rn1 (3.14) 51 Phương trình (3.14) phương trình sai phân tuyến tính cấp hai biết cách giải Giải phương trình ta tìm Rn , từ biết số tế bào ngày thứ n Ta tìm giá trị riêng phương trình (3.14) sau: 1,2  1  f   1  f 2  4 f Đối với tình trạng thái nội cân tế bào hồng cầu số lượng tế bào phải trì hàng ngày cách để đạt điều cho 1  (lúc   ) Từ phương trình (3.14) cho thấy có cách để trì lượng tế bào ổn định   Hơn nữa, việc giải tốn cịn cho ta thấy đáp ứng chậm chạp tủy xương dẫn đến số sai lệch quần thể tế bào hồng cầu Ngoài việc thành lập phương trình mơ tả riêng biệt, tập cho ta ví dụ phép phân tích phương trình sai phân 3.1.5 Dung tích khí lưu thông mức độ CO2 máu Trong máu ln có lượng khí CO2 khơng đổi sinh tốc độ trao đổi chất Khí CO2 khỏi phổi với vận tốc lưu thông dây thần kinh cảm thụ hóa học nằm cuống não điều khiển Trong thực tế, nhịp thở độ sâu lần thở (dung tích lần thở) kiểm soát đường sinh lí Đơn giản hóa vấn đề cách giả thiết thở xảy sau thời gian định dung tích Vn điều khiển nồng độ (lượng khí) CO2 máu khoảng thời gian trước Cn1 qui định Suy luận theo hai biến Cn Vn ta đưa đến phương trình sau: Lượng khí CO2 sau lần thở máu = Lượng khí CO2 trước lần thở máu  Lượng khí CO2 bị + Sự sinh CO2 ổn định trao đổi chất 52 Và: Dung tích khí lần thở thứ n = Dung tích khí xác định CO2 lần thở trước Đến đây, ta phải suy nghĩ dạng có số hạng chưa xác định giải phương trình thu cách nào? Câu hỏi đặt liệu mơ hình có giúp tiên đoán với tốc độ thở cho tốc độ trao đổi chất ổn định hay cịn thơng số khác dẫn đến dao động tốc độ thở Để đơn giản ta giả sử lượng CO2 tỉ lệ thuận với dung tích thở Vn  với số a  (Không phụ thuộc vào Cn ) Suy ra: lượng khí CO2 Vn Tiếp tục giả thiết lần thở thứ n có dung tích Vn tỉ lệ thuận với lượng khí CO2 máu khoảng thời gian trước Cn1 với số b  Suy ra: Vn  Cn1 Nếu gọi m  5.104 lượng khí CO2 sinh trao đổi chất ổn định máu, ta có phương trình sau: Cn1  Cn  Vn  5.104 (3.15) Vn  Cn1 (3.16) Thế (3.16) vào (3.15) ta phương trình sau: 2Cn1  2Cn  Cn1  103 (3.17) Phương trình (3.17) phương trình sai phân tuyến tính biết cách giải Giải phương trình tìm Vn ta biết nồng độ CO2 máu lần thở 53 Từ phương trình (3.16) với Cn tìm được, cho ta dung tích khí lưu thơng điều khiển nồng độ CO2 Vn máu lần thở sau Do vậy, việc gairi phương trình sai phân tuyến tính (3.17) cho ta biết cơng thức tìm dung tích khí lưu thơng mức độ khí CO2 máu lần thở tùy ý 3.2 Ứng dụng phương trình sai phân kinh tế 3.2.1 Mơ hình Cowbeb Trong số ngành, ví dụ ngành nông nghiệp, việc sản xuất kéo dài theo thời gian, nhiều định sản xuất tiến hành trước hàng hoá bán thị trường thời kì Khi định sản xuất bao nhiêu, nhà sản xuất vào giá hành, hàng hoá lại bán vào thời kì Điều có nghĩa lượng cung thời kì t + phụ thuộc vào giá thời kì t Nếu xét giá P lượng Q hàm số thời gian mơ hình cân thị trường có dạng: Qd ,t 1  Qs ,t 1 Qd ,t 1     Pt 1    Qs ,t 1     Pt    Phương trình xác định giá cân thị trường là:    Pt 1     Pt     Pt 1  Pt    Phương trình phương trình sai phân otonom tuyến tính dạng Yt 1  PYt  q Giá cân trường hợp xác định từ phương trình P    P   Từ suy ra: P     (3.18) 54   t Sử dụng công thức Yt  y  Y0  Y   P  ta tìm quỹ đạo thời gian sản phẩm:    Pt  P  P0  P       t  (3.19) Trong P0 giá thời kì xuất phát t  Biểu thức (3.19) cho thấy: - Với P0  P quỹ đạo thời gian giá thị trường dao động lên xuống    xung quanh giá cân P        - Điều kiện ổn định động giá cân là:  1     Tức quỹ đạo thời gian giá thị trường hội tụ đến mức giá cân đường cung phẳng đường cầu ( hệ số  biểu thị độ dốc đường cung hệ số  biểu thị độ dốc đường cầu ) Nếu    quỹ đạo thời gian giá trị trường ngày rời xa mức cân P 3.2.2 Mơ hình thị trường có hàng hố tồn đọng Trong mơ hình ta giả thiết giá xác định mức cân cung cầu thời kì, người bán khơng có hàng tồn đọng Sau mơ hình thị trường với giả thiết người bán có hàng tồn đọng Các giả thiết mơ hình: - Cả lượng cung Qs lượng cầu Qd không bị trễ hàm tuyến tính giá thời kì: Qdt     Pt Qst     P  ,     ,   - Giá điều chỉnh không theo quy tắc cân thị trường thời kì Việc đặt giá người bán đầu thời kì vào giá thời kì trước lượng hàng tồn kho thời kì thời kì trước Nếu theo mức giá thời kì trước mà hàng hố cịn tồn đọng người bán đặt mức giá 55 thấp cho thời kì ngược lại, lượng hàng hố khơng đủ bán người bán giả đặt mức giá cao - Lượng điều chỉnh giá từ thời kì sang thời kì khác tỉ lệ với lượng dư cung theo chiều ngược lại: Pt 1  Pt    Qst  Qdt     const >  Với giả thiết ta có phương trình Pt 1  Pt       Pt     Pt  Hay Pt 1  1        Pt       (3.20) Phương trình (3.20) phương trình sai phân otonom tuyến tính cấp Nghiệm phương trình là:   Pt  P  P0  P 1         Trong P  t   giá trị cân P0 giá thời kì xuất phát t    Điều kiện ổn định động là: 1                   0    3.2.3 Mơ hình Harrod Mơ hình Harrod sử dụng để giải thích động thái tăng trưởng kinh tế Các giả thiết mơ hình: - Tiết kiệm thời kì tỷ lệ với thu nhập thời kì đó: St  sYt số s gọi xu hướng tiết kiệm cận biên   s  1 - Đầu tư tỷ lệ với lượng thay đổi thu nhập quốc dân theo thời gian (nguyên lý gia tốc ): I t  a  aYt  Yt 1   a  0 - Đầu tư tiết kiệm thời kỳ: 56 I t  St Từ giả thiết nêu ta có: a Yt  Yt 1  sYt  Hay Yt  a Yt 1  as Phương trình tương đương với phương trình Yt 1  a Yt  as Từ suy quỹ đạo thời gian thu nhập t  a  Yt    Y0 as Do a  , thu nhập tăng không ngừng theo thời gian, khơng có giới hạn as khơng dao động lên xuống 57 KẾT LUẬN CHƯƠNG Chương cuối khố luận trình bày số ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính lĩnh vực sinh học kinh tế Qua ta thấy phương trình sai phân tuyến tính khơng có ứng dụng rộng rãi tốn học, mà cịn có ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học khác 58 KẾT LUẬN Khóa luận đạt số kết ban đầu sau: Nhắc lại kiến thức chuẩn bị cần thiết Đưa cách giải số dạng tốn tìm giới hạn dãy số, tìm số hạng tổng quát dãy số, tính tổng dãy số, giải hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một, giải tốn tích phân, giải tốn phương trình hàm nhờ ứng dụng phương trình sai phân Đưa ví dụ tốn áp dụng cụ thể cho dạng toán Đưa ứng dụng phương trình sai phân Sinh học Kinh tế 59 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hồng Hiển (2009), Một số tính chất phương trình sai phân ứng dụng, Luận văn thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh, Vinh [2] Nguyễn Huy Nghĩa (2009), Ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính sinh học, Luận văn thạc sĩ Toán học, Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Hà Nội [3] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp (2001), Phương trình sai phân số ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục [4] Nguyễn Tiến Tuấn (2015), Phương trình sai phân ứng dụng, Luận văn thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên (ĐHQG Hà Nội), Hà Nội [5] Bleckkman (1985), Toán học ứng dụng (người dịch Trần Tất Thắng), NXB Khoa học kỹ thuật i LỜI CẢM ƠN Trong thực tế, để đạt thành công ngồi nỗ lực thân, cịn nhận giúp đỡ dù hay nhiều từ người khác Bản thân em không ngoại lệ, từ bước chân vào giảng đường Đại học, em may mắn nhận quan tâm, giúp đỡ tận tình từ q thầy bạn bè Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến q thầy khoa Tốn – Tin trường Đại học Hùng Vương tận tâm truyền đạt vốn kiến thức quý báu cho chúng em suốt năm học tập trường tạo điều kiện giúp đỡ em để em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Trong q trình thực khóa luận, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo Trần Anh Tuấn, giảng viên khoa Toán – Tin trường Đại học Hùng Vương Thầy dành nhiều thời gian để tận tình hướng dẫn, bảo cho em, giúp em hồn thành khóa luận cách tốt Đồng thời thầy giúp em lĩnh hội nắm vững thêm nhiều kiến thức chuyên môn rèn luyện tác phong nghiên cứu khoa học Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kiến thức cịn hạn hẹp nên khóa luận em khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến từ phía thầy, giáo tồn thể bạn để khóa luận đầy đủ hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Phú Thọ, tháng 05 năm 2018 Sinh viên ii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC .ii MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài khố luận Ý nghĩa khoa học thực tiễn 2.1 Ý nghĩa khoa học 2.2 Ý nghĩa thực tiễn Mục tiêu khoá luận CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 1.1 Dãy số, hàm lưới sai phân 1.1.1 Dãy số 1.1.2 Hàm lưới 1.1.3 Sai phân 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính 1.2.1 Các định nghĩa 1.2.2 Nghiệm 1.2.3 Phương pháp tìm nghiệm riêng x *n 1.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp với hệ số 1.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp với hệ số 1.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp khơng với hệ số 1.3.3 Các ví dụ 10 1.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số 11 1.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp với hệ số 11 1.4.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai khơng với hệ số 12 KẾT LUẬN CHƯƠNG 13 iii CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH TRONG GIẢI TỐN 15 2.1 Tìm giới hạn dãy số 15 2.2 Tìm số hạng tổng quát dãy số 21 2.3 Tính tổng dãy số 27 2.4 Giải hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp 30 2.5 Giải tốn tích phân 33 2.6 Giải tốn phương trình hàm 36 KẾT LUẬN CHƯƠNG 43 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH TRONG CÁC LĨNH VỰC KHÁC 44 3.1 Ứng dụng phương trình sai phân sinh học 44 3.3.1 Sự phân chia tế bào 44 3.1.2 Sự sinh trưởng quần thể côn trùng 44 3.1.3 Sự sinh trưởng sinh vật phân đốt 47 3.1.4 Mơ hình sinh sản tế bào hồng cầu 49 3.1.5 Dung tích khí lưu thơng mức độ CO2 máu 51 3.2 Ứng dụng phương trình sai phân kinh tế 53 3.2.1 Mơ hình Cowbeb 53 3.2.2 Mơ hình thị trường có hàng hố tồn đọng 54 3.2.3 Mơ hình Harrod 55 KẾT LUẬN CHƯƠNG 57 KẾT LUẬN 58 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 ... thức phương trình sai phân tuyến tính tổng hợp số ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính giúp người có thêm tài liệu để nghiên cứu phương trình sai phân tuyến tính, để từ mở rộng ứng dụng. .. sai phân số tập tính tổng dãy số Phần bốn chương nêu phương pháp giải số hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp nhờ phương trình sai phân tuyến tính Phần năm chương nêu việc sử dụng phương trình. .. 2n).2n 1.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số 1.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số Định nghĩa 1.12 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số có dạng: