TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ──────── * ─────── BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN TOÁN KỸ THUẬT BS6004 CHỦ ĐỀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN & MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN H[.]
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ──────── * ─────── BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: TOÁN KỸ THUẬT BS6004 CHỦ ĐỀ: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN & MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Sinh viên thực : Hà Nội, tháng năm MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU…………………………… …… PHẦN NỘI DUNG BÁO CÁO…………………… CHƯƠNG 1: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN CHƯƠNG : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN PHẦN KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO PHẦN MỞ ĐẦU Tốn học nói chung tốn giải tích nói riêng có ứng dụng đa dạngtrong nhiều ngành khoa học khác nhau, đặc biệt khoa học kinh tế.Các nghiên cứu phân tích kinh tế mặt định lượng thường tiến hành thơng qua quy mơ kinh tế tốn Vì nhà nghiên cứu ngàycàng có nhu cầu sử dụng nhiều cơng cụ tốn học, đặc biệt cơngcụ giải tích Đề tài báo cáo đề cập đến số ứng dụng cực trị hàm nhiềubiến Việc tìm hiểu kiến thức hồn tồn cần thiết hữu ích.Giúp hiểu sâu cơng cụ giải tích, tối ưu hóa vận dụng tốt hơntrong thực tiễn giảng dạy toán cho đối tượng kinh tế Các nội dung đề cập đến báo cáo khơng qua hìnhthức mà gần gũi với tư kinh tế, với nhiều ứng dụng minh họa cụ thể,vẫn giữ tính xác, chặt chẽ mặt toán học Bài toán cực trị toán quan trọng giải tích tốn học vàcó nhiều ứng dụng khác toán học nhiềunhành khoa học khác như: kinh tế, khoa học cơng nghệ, …Để giải tốn cực trị hàm nhiều biến có nhiều phương phápkhác Mục đích báo cáo giới thiệu đưa phương phápgiải, cho bình luận đồng thời đưa số ứng dụng PHẦN NỘI DUNG BÁO CÁO CHƯƠNG 1: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN I Cực trị khơng có điều kiện 1.1 Định nghĩa Hàm số z=f(x,y) đạt cực trị M(x0,y0) Nếu điểm M(x,y) gần khác M, hiệu∆f=f(x,y)−f(x0,y0) có dấu khơng đổi - Nếu∆f < thìf(x0,y0) giá trị cực đại M0 điểm cực đại hàmz=f(x,y) - Nếu∆f >0 f(x0,y0)là giá trị cực tiểu M0 điểm cực tiểu hàm số z=f(x,y) Ví dụ: Hàm số w=x2 + y2 đạt giá trị cực tiểu điểm O(0, 0) Vì x2 + y2 >0với (x, y) thuộc cận điểm (0, 0) 1.2 Định lý a) Điều kiện cần Nếu hàm số z=f(x,y) đạt cực trị điểm M0(x0,y0) hàm số có đạo hàm riêng f’x(x0,y0)=f’y(x0,y0)=0 Điểm M0(x0,y0) thỏa mãn f’x(x0,y0)=f’y(x0,y0)=0 gọi điểm dừng Điểm dừng M0 khơng điểm cực trị hàm số →Nhận xét 1: Từ định lý ta suy ra: Hàm số đạt cực trị điểm dừng nó, nên để tìm điểm cực trị ta cần tìm số điểm dừng → Nhận xét 2: Một điểm điểm dừng hàm số chưa điểm cực trị Cho nên cần xétđiều kiện đủ để điểm dừng điểm cực trị b) Điều kiện đủ Giả sử z=f(x,y) có điểm dừng Mo có đạo hàm riêng cấp hai lân cận điểm M0 Đặt A= f } rsub {{x} ^ {2} ¿ (M0), B= f } rsub {xy ¿ (M0), C= f } rsub {{y} ^ {2} ¿ (M0) Khi đó: { A >0 { A 0 =>f(x,y) khơng có cực trị M0 − Nếu B2− AC=0 chưa có kết luận ( M0 điểm nghi ngờ) c) Qui trình giải tốn tìm cực trị hàm số z=f(x,y) Bài tốn: Tìm cực trị : z= f(x,y) miền D R2 Bước 1: Tìm điểm dừng, xét hệ: { f ' x =0 f ' y =0 =>Tọa độ M(x0, y0) Bước 2: Đặt A= f”x2 ; B= f”x ; C=f”y2 Bảng dấu B2-AC Dấu A Kết luận - - Cực đại - + Cực tiểu + Không cực trị Chưa kết luận Bước 3: Kết luận cực trị hàm số VD: z = - x 3+ y +6 x 2−9 x+ y Giải: - Tìm điểm dừng việc xét hệ: { f ' x =0 f ' y =0 { { x=3 ; x=1 −3 x +12 x−9=0 → → y=−1 y +8=0 Đặt A= f } rsub {{x} ^ {2}} =-6x+1 ¿ f } rsub {{y} ^ {2}} =24 {y} ^ {2 ¿ ; B= f } rsub {xy} = ¿ ;C= Ta có: B2-AC=0-(-6x+12).24y Với M1(3;-1) →A=-6 , C=2 B2-AC=0-(-6).24=144>0 →M1 không điểm cực trị Với M2(1;-1) →A=6 , C=24 B2-AC=0-6.24=-1440 →M2 điểm cực tiểu ZCT = -10 2.1 Định nghĩa Ta nói hàm số z=f(x,y) đạt cực đại ( cực tiểu) điểm M0(x0, y0) với điều kiện g(x,y)=0 Nếu tồn lân cận D điểm M0 cho f(M)f(M0)) với điểm M∈D , M≠M0, g(M)=0 2.2 Điều kiện có cực trị a) Điều kiện cần Giả sử M0(x0,y0) điểm cực trị hàm số z=f(x,y) với điều kiện g(x,y)=0 Trong f(x,y),g(x,y) hàm số có đạo hàm riêng liên tục Khi tồn số λ cho: ¿ (1) Số λ gọi nhân tử lagrange Hàm số L(x,y, λ ) = f(x,y) + λ g(x,y) gọi hàm Lagrange b) Điều kiện đủ Giả sử điểm M0(x0, y0) thỏa mãn (1) ứng với nhân tử λ Ta gọi M0 điểm dừng toán cực trị có điều kiện Ta chuyển tốn tìm cực trị hàm số z = f(x,y) với điều kiện g(x,y)=0 thành tốn cực trị khơng điều kiện hàm Lagrange Xét biểu thức : det H= g ' x g ' y L ' ' xy −¿ Khi đó: Nếu det(H(M0))>0 M0 điểm cực đại hàm số Nếu det(H(M0))0 →M(20,-4) điểm cực đại ZCĐ = 800 VD2: Tìm cực trị hàm số z = – 4x – 3y với điều kiện x2 + y2 = Giải Đặt g(x,y) = x2 + y2 – Xét hàm Lagrange L(x,y,λ) = - 4x – 3y + λ(x2 + y2 – 1) Tìm điểm dừng việc xét hệ: { ' L x =0 L'y =0 ' L λ=0 { −4 +2 λx=0(1) −3+2 λy=0(2) 2 x + y =1(3) Từ (1) (2) ta có : x= λ , y= λ thay vào (3) ta có : + =1 λ 4λ −¿> λ=± ¿ Với λ = x = , y= 5 5 Do M1 ( , ) −5 −4 −3 Với λ = x= , y= Do M2 ( −4 −3 , ) 5 Xét det H= g ' x g ' y L ' ' xy−¿ Trong g ' x =2 x , g ' y =2 y , L } rsub {xy} =0 , {L y =2 λ , L } rsub {{x} ^ {2}} =2 ¿ Do det H= -8λ( x 2+ y ¿ Vậy M1 det H = -20 < , hàm số đạt cực tiểu zct = M2 det H = 20 > , hàm số đạt cực đại zcđ = 11 ... 1: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN CHƯƠNG : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN PHẦN KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO PHẦN MỞ ĐẦU Tốn học nói chung tốn giải tích nói riêng có ứng. .. luận đồng thời đưa số ứng dụng PHẦN NỘI DUNG BÁO CÁO CHƯƠNG 1: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN I Cực trị khơng có điều kiện 1.1 Định nghĩa Hàm số z=f(x,y) đạt cực trị M(x0,y0) Nếu điểm... ra: Hàm số đạt cực trị điểm dừng nó, nên để tìm điểm cực trị ta cần tìm số điểm dừng → Nhận xét 2: Một điểm điểm dừng hàm số chưa điểm cực trị Cho nên cần xétđiều kiện đủ để điểm dừng điểm cực trị