Công thức tính tích phân hàm mũ, logarit đầy đủ, chi tiết nhất – toán 12

16 Công thức tính tích phân hàm mũ, logarit đầy đủ, chi tiết nhất 1 Lý thuyết Phương pháp đổi biến của hàm số chữa mũ và logarit thường gặp Dạng hàm số Đặt 1 f (ln x) dx x 1 t ln x dt dx x =  = 1 f[.]

16 Cơng thức tính tích phân hàm mũ, logarit đầy đủ, chi tiết Lý thuyết Phương pháp đổi biến hàm số chữa mũ logarit thường gặp Dạng hàm số f (ln x) dx  x f (a + bln x) dx  x x x  f (e )e dx Đặt t = ln x  dt = dx x t = a + bln x  dt = b dx x t = e x  dt = e x dx Phương pháp tích phân phần b b Cơng thức tích phân phần:  udv = uv | −  vdu b a a a Chú ý: Cần phải lựa chọn u d v hợp lí cho ta dễ dàng tìm v tích phân  vdu dễ tính  udv Ta thường gặp dạng chứa hàm số mũ, logarit sau: u = P ( x ) Dạng I =  P ( x ) eax +bdx , P(x) đa thức Ta đặt  ax + b dv = e dx u = ln ( mx + n ) Dạng I =  P ( x ) ln ( mx + n ) dx , P(x) đa thức Ta đặt  dv = P ( x ) dx sin x  x Dạng I =    e dx Ta đặt cos x   sin x  u =  cos x      x dv = e dx Thứ tự ưu tiên đặt u: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” dv = phần còn lại Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính tích phân sau: ln a) I = ex  (e b) I =  + 1) x dx ln x dx x + ln x e3 Lời giải ln a) I = ex  (e + 1) x dx Đặt t = e x +  t = e x +  e x dx = 2tdt Đổi cận: x =  t = 2; x = ln3  t = 2 2tdt dt Vậy I =  =  = − t t t 2 b) I =  e3 = −1 + 2 ln x dx x + ln x Đặt t = + ln x  + ln x = t  dx = 2tdt x ln x = t2 -1 Đổi cận: x =  t = 1; x = e3  t = 2 Vậy I =  (t − 1) t 2tdt = 2 ( t − 3t + 3t − 1)dt  t 3t  = 2 − + t − t 7 1  27 − 3.( 25 − 1)  388 = 2 + + ( 23 − 1) − 1 =   35   Ví dụ 2: Tính tích phân sau:  a) I =  esin x sin 2xdx ln(x + 1) dx x b) I =  Lời giải   0 a) I =  esin x sin 2xdx = 2 esin x sin x cos xdx u = sin x du = cos xdx Đặt   sin x sin x dv = e cos xdx  v = e Vậy I = 2sin xe = 2e − 2e  sin x o  sin x  −  esin x cos xdx = 2e − 2e + = ln(x + 1) dx x b) I =   dx  u = ln(x + 1) du = x + Đặt   dx dv =  v = − x2   x 2 dx x   I = − ln(x + 1) +  =  − ln + ln  + ln x (x + 1)x  x +1  1    1 =  − ln + ln  +   −  dx    x x +1 2 = − ln + ln + ln − ln = 3ln − ln 2 Vậy I = 3ln − ln ...Ví dụ 1: Tính tích phân sau: ln a) I = ex  (e b) I =  + 1) x dx ln x dx x + ln x e3 Lời giải ln a) I = ex ... 2 − + t − t 7 1  27 − 3.( 25 − 1)  388 = 2 + + ( 23 − 1) − 1 =   35   Ví dụ 2: Tính tích phân sau:  a) I =  esin x sin 2xdx ln(x + 1) dx x b) I =  Lời giải   0 a) I =  esin x