16 Công thức tính tích phân hàm mũ, logarit đầy đủ, chi tiết nhất 1 Lý thuyết Phương pháp đổi biến của hàm số chữa mũ và logarit thường gặp Dạng hàm số Đặt 1 f (ln x) dx x 1 t ln x dt dx x = = 1 f[.]
16 Cơng thức tính tích phân hàm mũ, logarit đầy đủ, chi tiết Lý thuyết Phương pháp đổi biến hàm số chữa mũ logarit thường gặp Dạng hàm số f (ln x) dx x f (a + bln x) dx x x x f (e )e dx Đặt t = ln x dt = dx x t = a + bln x dt = b dx x t = e x dt = e x dx Phương pháp tích phân phần b b Cơng thức tích phân phần: udv = uv | − vdu b a a a Chú ý: Cần phải lựa chọn u d v hợp lí cho ta dễ dàng tìm v tích phân vdu dễ tính udv Ta thường gặp dạng chứa hàm số mũ, logarit sau: u = P ( x ) Dạng I = P ( x ) eax +bdx , P(x) đa thức Ta đặt ax + b dv = e dx u = ln ( mx + n ) Dạng I = P ( x ) ln ( mx + n ) dx , P(x) đa thức Ta đặt dv = P ( x ) dx sin x x Dạng I = e dx Ta đặt cos x sin x u = cos x x dv = e dx Thứ tự ưu tiên đặt u: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” dv = phần còn lại Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính tích phân sau: ln a) I = ex (e b) I = + 1) x dx ln x dx x + ln x e3 Lời giải ln a) I = ex (e + 1) x dx Đặt t = e x + t = e x + e x dx = 2tdt Đổi cận: x = t = 2; x = ln3 t = 2 2tdt dt Vậy I = = = − t t t 2 b) I = e3 = −1 + 2 ln x dx x + ln x Đặt t = + ln x + ln x = t dx = 2tdt x ln x = t2 -1 Đổi cận: x = t = 1; x = e3 t = 2 Vậy I = (t − 1) t 2tdt = 2 ( t − 3t + 3t − 1)dt t 3t = 2 − + t − t 7 1 27 − 3.( 25 − 1) 388 = 2 + + ( 23 − 1) − 1 = 35 Ví dụ 2: Tính tích phân sau: a) I = esin x sin 2xdx ln(x + 1) dx x b) I = Lời giải 0 a) I = esin x sin 2xdx = 2 esin x sin x cos xdx u = sin x du = cos xdx Đặt sin x sin x dv = e cos xdx v = e Vậy I = 2sin xe = 2e − 2e sin x o sin x − esin x cos xdx = 2e − 2e + = ln(x + 1) dx x b) I = dx u = ln(x + 1) du = x + Đặt dx dv = v = − x2 x 2 dx x I = − ln(x + 1) + = − ln + ln + ln x (x + 1)x x +1 1 1 = − ln + ln + − dx x x +1 2 = − ln + ln + ln − ln = 3ln − ln 2 Vậy I = 3ln − ln ...Ví dụ 1: Tính tích phân sau: ln a) I = ex (e b) I = + 1) x dx ln x dx x + ln x e3 Lời giải ln a) I = ex ... 2 − + t − t 7 1 27 − 3.( 25 − 1) 388 = 2 + + ( 23 − 1) − 1 = 35 Ví dụ 2: Tính tích phân sau: a) I = esin x sin 2xdx ln(x + 1) dx x b) I = Lời giải 0 a) I = esin x