Công thức phép quay đầy đủ, chi tiết nhất toán lớp 11

Công thức về phép quay 1 Lý thuyết * Định nghĩa Cho điểm O và góc lượng giác  Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM’ = OM và góc lượng giác (OM; O[.]

Công thức phép quay Lý thuyết * Định nghĩa: Cho điểm O góc lượng giác  Phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M’ cho OM’ = OM góc lượng giác (OM; OM’)  gọi phép quay tâm O góc  Điểm O gọi tâm quay,  gọi góc quay phép quay Phép quay tâm O góc  biến điểm M thành M’ thường kí hiệu Q O,   OM  OM' Q O,    M   M'   OM,OM'      M’  O M * Tính chất: - Phép quay bảo toàn khoảng cách hai điểm - Biến đường thẳng thành đường thẳng - Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng - Biến tam giác thành tam giác - Biến đường trịn thành đường trịn có bán kính Cơng thức: x '   y  y'  x Phép quay tâm O, góc 900: QO;90 M  x; y   M'  x '; y'  Khi đó:  x '  y  y'   x Phép quay tâm O, góc -900: QO;90 M  x; y   M'  x '; y'  Khi đó:  x '   y  y'   x Phép quay tâm O, góc 1800: QO;180 M  x; y   M'  x '; y'  Khi đó:  Tổng quát: Phép quay tâm O, góc quay  : QO; M  x; y   M'  x '; y'   x '  x cos   ysin   y'  x sin   ycos  Khi đó:  Phép quay tâm I(a;b), góc quay  : Q I;  M  x; y   M'  x '; y'   x '  a   x  a  cos    y  b  sin   y'  b   x  a  sin    y  b  cos  Khi đó:  Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;5) a) Tìm tọa độ điểm B ảnh điểm A qua phép quay tâm O(0; 0) góc quay – 900 b) Tìm tọa độ điểm C ảnh điểm A qua phép quay tâm O(0; 0) góc quay 450 Lời giải a) Điểm B ảnh điểm A qua phép quay Q(O,-90o) Cách 1: Vẽ hình Dựa vào vẽ, ta suy B(5;1) Cách 2: Áp dụng công thức: x B  yA  Vậy B(5;1) y   x   B A Do Q(O,-90o)(A) = B nên  b) Điểm C ảnh điểm A qua phép quay Q(O,45o)  x c  x A cos   y A sin   yc  x A sin   y A cos  Áp dụng công thức tọa độ:   x c   1 cos 45  5sin 45  x c  3    yc   1 sin 45  5cos 45  yc  2   Vậy C 3 2;2 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 5x – 3y + 15 = Tìm đường thẳng d’ ảnh d qua phép quay tâm O(0;0) góc quay –900 Lời giải Đường thẳng d’ ảnh d qua phép quay Q(O,-90o) Cách 1: Do Q(O,-90o)(d) = d’ nên d'  d Do phương trình d’ có dạng: 3x + 5y + c = Lấy điểm M  3;0   d , gọi M'  x '; y'  d' ảnh điểm M qua phép quay Q(O,o 90 ) x '  yM   M '  0;3 y'   x   M Suy ra:  Do M'  0;3  d' nên 3.0 + 5.3 + c =  c  15 Vậy d’ có phương trình 3x + 5y – 15 = Cách 2: Với điểm M  x;y   d, M' x';y'  d' cho Q(O,-90o)(M) = M’ x '  y Khi ta có:  y '  x x   y '  y  x ' Do M  x; y   d nên ta có 5x – 3y + 15 =    y' – 3x ' 15   3x’  5y’ –15  Do M'  x '; y'  d' nên d ' có phương trình: 3x + 5y – 15 = Bài tập tự luyện Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1;-5) Tìm ảnh M qua phép quay tâm O, góc quay 900 A N(5;1) B N(5;-1) C N(1;5) D N(1;-5) Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 5x – 2y + = Viết phương trình đường thẳng d’ ảnh đường thẳng d qua phép quay tâm O, góc quay -1800 A d’: 5x – 2y + = B d’: 5x – 2y – = C d’: 2x – 5y – = D d’: 2x – 5y + = Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 + 6x + = Ảnh đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 900 là: A x2 + (y – 3)2 = B x2 + y2 + 6x – = C x2 + (y + 3)2 = D x2 + y2 + 6x – = Đáp án 1A, 2B, 3C ... điểm B ảnh điểm A qua phép quay tâm O(0; 0) góc quay – 900 b) Tìm tọa độ điểm C ảnh điểm A qua phép quay tâm O(0; 0) góc quay 450 Lời giải a) Điểm B ảnh điểm A qua phép quay Q(O,-90o) Cách 1:... dụng công thức: x B  yA  Vậy B(5;1) y   x   B A Do Q(O,-90o)(A) = B nên  b) Điểm C ảnh điểm A qua phép quay Q(O,45o)  x c  x A cos   y A sin   yc  x A sin   y A cos  Áp dụng công. .. đường thẳng d: 5x – 3y + 15 = Tìm đường thẳng d’ ảnh d qua phép quay tâm O(0;0) góc quay –900 Lời giải Đường thẳng d’ ảnh d qua phép quay Q(O,-90o) Cách 1: Do Q(O,-90o)(d) = d’ nên d''  d Do