Công thức về phép đối xứng tâm 1 Lí thuyết * Định nghĩa Cho điểm I Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho I là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứng[.]
Cơng thức phép đối xứng tâm Lí thuyết * Định nghĩa: Cho điểm I Phép biến hình biến điểm I thành nó, biến điểm M khác I thành M’ cho I trung điểm MM’ gọi phép đối xứng tâm I M I M' Điểm I gọi tâm đối xứng Phép đối xứng tâm I thường kí hiệu ĐI Từ định nghĩa suy ra: M’ = ĐI(M) IM' IM IM' IM * Tính chất: - Phép đối xứng tâm bảo tồn khoảng cách hai điểm - Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với - Biến vectơ thành vectơ - Biến tam giác thành tam giác - Biến góc thành góc - Biến đường trịn thành đường trịn có bán kính Cơng thức Trong hệ tọa độ Oxy, cho I(a;b) M(x;y) Ta có: ĐI(M) = M’(x’; y’) có biểu x ' 2a x thức tọa độ: y' 2b y M I M' x ' x y' y Với tâm đối xứng gốc tọa độ O(0; 0), ta có M’(x’; y’) = ĐO[M(x; y)] Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho điểm A(-2;3), đường thẳng d: x − 2y + = đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = a) Tìm ảnh điểm A qua phép đối xứng tâm O b) Tìm ảnh đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O c) Tìm ảnh đường tròn qua phép đối xứng tâm O Lời giải a) Gọi A’ ảnh A qua phép đối xứng tâm O Ta có: A’ = ĐO(A) suy A’(2; -3) b) Gọi d’ ảnh d qua phép đối xứng tâm O Ta có: d’ song song trùng với d Phương trình d’ có dạng: x − 2y + c = Lấy điểm M 5;0 d Gọi M’ ảnh M qua phép đối xứng tâm O, M' d' x ' x M M’(x’,y’) = ĐO(M) nên y' y M M’ d’ 2.0 c c 5 Vậy phương trình đường thẳng d’ là: x − 2y – = c) Đường trịn (C) có tâm I(1;-2) bán kính R = Gọi (C’) ảnh (C) qua phép đối xứng tâm O Khi (C’) có bán kính R = tâm I’ ảnh I qua phép đối xứng tâm O x ' x I 1 Ta có: I’(x’,y’) = ĐO(I) nên Suy I’(-1;2) y' y I Vậy phương trình đường trịn (C’): (x + 1)2 + (y - 2)2 = Ví dụ 2: Cho điểm I(3; -4) đường thẳng d: 5x + 2y – = Viết phương trình d’ ảnh d qua phép đối xứng tâm I Lời giải Cách 1: Vì d’ ảnh d qua phép đối xứng tâm I Nên d’ song song trùng với d Phương trình d’ có dạng: 5x + 2y + c = Lấy điểm M 1; 1 d Gọi M’ ảnh M qua phép đối xứng tâm I, M' d' x ' 2.3 x x ' 2x I x M ĐI(M) = M’(x’,y’) có tọa độ là: y' 2y I y M y' 4 1 7 M' d' 5.5 2. 7 c c 11 Vậy phương trình đường thẳng d’: 5x + 2y – 11 = Cách 2: Lấy M(x,y) thuộc d Gọi M’ ảnh M qua phép đối xứng tâm I, M' d' x ' 2.3 x x x ' M x '; 8 – y' ĐI(M) = M’ có tọa độ: y' y y y' Thay vào d ta được: 5(6 − x’) + 2(−8−y’) – = 5x ' 2y' 11 5x ' 2y' 11 Vậy phương trình đường thẳng d’ là: 5x + 2y − 11 = 4 Bài tập tự luyện Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép đối xứng tâm O(0; 0) biến điểm M(-3; 2) thành điểm M’ có tọa độ là: A M’(-4; 2) 3) B M’(2; -3) C M’(-2; 3) D M’(2; Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 3x – 2y – = Ảnh đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O có phương trình là: A 3x + 2y + = B -3x + 2y – = C 3x + 2y – = D 3x – 2y – = Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn (C') ảnh đường tròn (C): x2 + y2 = qua phép đối xứng tâm I(1;0) A (C'): (x – 2)2 + y2 = B (C'): (x + 2)2 + y2 = C (C'): x2 + (y + 2)2 = D (C'): x2 + (y – 2)2 = Đáp án 1B, 2B, 3A ... là: x − 2y – = c) Đường trịn (C) có tâm I(1;-2) bán kính R = Gọi (C’) ảnh (C) qua phép đối xứng tâm O Khi (C’) có bán kính R = tâm I’ ảnh I qua phép đối xứng tâm O x '' x I 1 Ta có: I’(x’,y’)... qua phép đối xứng tâm I Lời giải Cách 1: Vì d’ ảnh d qua phép đối xứng tâm I Nên d’ song song trùng với d Phương trình d’ có dạng: 5x + 2y + c = Lấy điểm M 1; 1 d Gọi M’ ảnh M qua phép đối. ..b) Gọi d’ ảnh d qua phép đối xứng tâm O Ta có: d’ song song trùng với d Phương trình d’ có dạng: x − 2y + c = Lấy điểm M 5;0 d Gọi M’ ảnh M qua phép đối xứng tâm O, M'' d'' x ''