Công thức cấp số nhân đầy đủ, chi tiết nhất toán lớp 11

Các công thức về cấp số nhân 1 Lý thuyết a) Định nghĩa Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một s[.]

Các công thức cấp số nhân Lý thuyết a) Định nghĩa: Cấp số nhân dãy số (hữu hạn vơ hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước với số khơng đổi q Số q gọi công bội cấp số nhân Nếu (un) cấp số nhân với cơng bội q, ta có cơng thức truy hồi: un = un-1 q với n  * Đặc biệt: - Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1; 0; 0; … 0; … - Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1; u1; … u1;… - Khi u1 = với q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0; … 0; … b) Số hạng tổng quát cấp số nhân (un) xác định công thức: un = u1 qn - với n  ,n  c) Tính chất Ba số hạng uk - 1, uk, uk + ba số hạng liên tiếp cấp số cộng u 2k  u k 1.u k 1 với k  d) Tổng n số hạng cấp số nhân xác định công thức: Sn  u1  u   u n  u1 1  q n  1 q Chú ý: Nếu q = cấp số nhân u1; u1; u1; … u1; Sn = n.u1 Cơng thức - Công thức truy hồi: un = un-1 q với n  * n-1 - Công thức số hạng tổng quát: un = u1 q với n  ,n  - Ba số hạng uk - 1, uk, uk + ba số hạng liên tiếp cấp số cộng u 2k  u k 1.u k 1 với k  - Tổng n số hạng đầu tiên: Sn  u1 1  q n  1 q Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3, q = – a) Tính số hạng thứ 25 cấp số nhân b) Số 49152 số hạng thứ cấp số nhân c) Tính tổng 100 số hạng cấp số nhân Lời giải a) Số hạng thứ 25 cấp số cộng: u25 = u1 q25-1 = 3.(– 2)24 = 3.224 b) Gọi số hạng thứ k số 49152, ta có uk = u1.qk-1 = 49152  3. 2    2  k 1 k 1  49152  16384   2  14  k  15 Vậy số 49152 số hạng thứ 15 cấp số nhân c) Tổng 100 số hạng đầu tiên: S100  u1 1  q n  1 q  1  (2)100    2    2100 u 20  8u17 u  u  272  Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn:  a) Tìm số hạng công bội cấp số nhân b) Tính tổng 100 số hạng cấp số nhân c) Tính tổng S = u1 + u3 + u5 +u7 +…+ u201 Lời giải a) Gọi d cơng sai cấp số cộng, ta có: 19 16  u 20  8u17 u1.q  8u1q    u  u  272   u1  u1q  272 u1.q16  q3     q      4 u  q    272 u  q  272       q    272 u   16   24 Vậy u1 = 16 q = b) Tổng 100 số hạng đầu tiên: S100  u1 1  q n  1 q  16 1  2100  1  16. 2100  1  2104  16 c) Dãy số (vn): u1; u3; u5; u7; … u201 cấp số nhân với số hạng u1 cơng bội q '  Dãy (vn) có u3  q2  u1 201    101 số hạng S  u1  u  u  u    u 201  16.1  4101  1  16 101   1 ... nhân (un) thỏa mãn:  a) Tìm số hạng cơng bội cấp số nhân b) Tính tổng 100 số hạng cấp số nhân c) Tính tổng S = u1 + u3 + u5 +u7 +…+ u201 Lời giải a) Gọi d công sai cấp số cộng, ta có: 19 16  u... 15 Vậy số 49152 số hạng thứ 15 cấp số nhân c) Tổng 100 số hạng đầu tiên: S100  u1 1  q n  1 q  1  (2)100    2    2100 u 20  8u17 u  u  272  Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (un)... = b) Tổng 100 số hạng đầu tiên: S100  u1 1  q n  1 q  16 1  2100  1  16. 2100  1  2104  16 c) Dãy số (vn): u1; u3; u5; u7; … u201 cấp số nhân với số hạng u1 công bội q '' 