Công thức tính tích phân hàm lượng giác đầy đủ, chi tiết nhất – toán 12

15 Công thức tính tích phân hàm lượng giác đầy đủ, chi tiết nhất 1 Lý thuyết Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản của hàm lượng giác Một số biến đổi lượng giác cơ bản Công thức hạ bậc hai 2 1 cos2a sin[.]

15 Cơng thức tính tích phân hàm lượng giác đầy đủ, chi tiết Lý thuyết Sử dụng công thức nguyên hàm hàm lượng giác Một số biến đổi lượng giác bản: Công thức hạ bậc hai sin a = − cos 2a cos2 a = + cos 2a Công thức biến đổi tích thành tổng cosa.cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)] sin a.sin b = − [cos(a + b) − cos(a − b)] sin a.cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)] Một số cách đổi biến tích phân chứa hàm lượng giác Dạng hàm số  f (cos x).sin xdx  f (sin x).cos xdx  f (tan x) cos x  f (cot x) sin  f (sin 2 x dx dx x;cos x).sin 2xdx Đặt t = cos x  dt = − sin xdx t = sin x  dt = cos xdx d cos x  dt = (1 + tan x)dx t = cot x  dt = − dx sin x  dt = −(1 + cot x)dx t = tan x  dt =  t = sin x  dt = sin 2xdx   t = cos x  dt = − sin 2xdx  f (sin x  cos x)(sin x cos x)dx t = sin x  cos x  dt = ( cos x sin x ) dx Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính tích phân sau:  a) I =  cos x sin xdx b) I =   sin 2x.sin 3xdx −   c) I =  cos 2xdx Lời giải  a) I =  cos x sin xdx Đặt t = cos x  dt = − sin xdx Đổi cận: x =  t = 1; x =  t=0 1 t5 4 = Vậy I =  t ( −dt ) =  t dt = 50 b) I =    sin 2x.sin 3xdx =  ( cos x − cos5x ) dx −  −  1 2 =  sin x − sin 5x  = 2  −   c) I =  cos 2xdx  + cos 4x  Ta có: cos 2x =   = (1 + 2cos 4x + cos 4x )   4 1 + cos8x  =  + 2cos 4x +  = ( + 4cos 4x + cos8x ) 4  Nên I =  ( + 4cos 4x + cos8x ) dx 0  1  3   3 =  3x + sin 4x + sin8x  =  + +  = 8  32 0 8  /3 Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I =  sin x dx + cos x Lời giải  /3 I=  sin x dx = + cos x  /3 − cos x 0 + cos x sin xdx Đặt t = cos x  dt = − sin xdx Đổi cận: x =  t = 1; x =  t= −t + 1 − t2 dt ( −dt) =  Khi I =  t + 2 + t 1 = ( −t + 4) − 3   dt =   − t + − dt t+2 t+2 1 2  t2  =  − + 2t − 3ln t +   1 5    =  − + − 3ln  −  − + − 3ln  2    = 5 − 3ln − + 3ln = + 3ln 8 5 Vậy I = + 3ln ... cos x)(sin x cos x)dx t = sin x  cos x  dt = ( cos x sin x ) dx Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính tích phân sau:  a) I =  cos x sin xdx b) I =   sin 2x.sin 3xdx −   c) I =  cos 2xdx Lời giải... ) dx 0  1  3   3 =  3x + sin 4x + sin8x  =  + +  = 8  32 0 8  /3 Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I =  sin x dx + cos x Lời giải  /3 I=  sin x dx = + cos x  /3 − cos x 0 + cos