Chương I Khối đa diện Công thức tính thể tích khối chóp đầy đủ, chi tiết nhất 1 Lí thuyết Định nghĩa hình chóp Hình chóp là một hình có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là những tam giác có chung[.]
Chương I Khối đa diện Cơng thức tính thể tích khối chóp đầy đủ, chi tiết Lí thuyết - Định nghĩa hình chóp: Hình chóp hình có mặt đáy đa giác mặt bên tam giác có chung đỉnh Đỉnh gọi đỉnh chóp - Có loại chóp phổ biến chóp tam giác chóp tứ giác Chóp tam giác Chóp tứ giác - Chú ý: + Đường cao hình chóp đường thẳng qua đỉnh vng góc với đáy + Hình chóp có cạnh bên chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy + Hình chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường trịn nội tiếp đa giác đáy + Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy chân đường cao chân đường vng góc kẻ từ đỉnh xuống cạnh đáy mặt bên + mặt bên vng góc với đáy giao tuyến chúng vng góc với đáy Cơng thức tính thể tích khối chóp Cho khối chóp có đường cao h Diện tích đa giác đáy S Khi thể tích V = h.S 3 Thể tích số khối chóp đặc biệt a Khối tứ diện đều: Là khối chóp có tất cạnh Tất mặt tam giác Chân đường cao trọng tâm đáy Bài tốn: Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính thể tích tứ diện ABCD Lời giải: Gọi G trọng tâm tam giác BCD Do ABCD tứ diện nên AG ⊥ ( BCD ) DG = a a AG = 3 SBCD a2 = Suy VABCD a a2 a3 = = 3 12 canh Vậy thể tích khối tứ diện là: V = 12 b Khối chóp tam giác - Là hình chóp có tất cạnh bên nhau, đáy tam giác Chân đường cao trọng tâm tam giác đáy Bài toán 1: Cho khối chóp S.ABC đều, đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên a Tính thể tích khối chóp Lời giải: Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có SG ⊥ ( ABC ) AG = a a 15 SG = 3 SABC = a2 a 15 a a VS.ABC = = 3 12 Bài toán 2: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B AB = a; BC = a Các cạnh bên tạo với đáy góc 60 Tính VS.ABC Lời giải: Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Do ABC vng B nên O trung điểm AC Ta có (SA, ( ABC ) ) = (SA,OA ) = SAO = 60 Áp dụng định lí pytago cho ABC ta AC = 2a SO = a a2 a2 a3 S ABC = VS.ABC = a = 2 c Khối chóp tứ giác - Là hình chóp có tất cạnh bên Đáy hình vng, chân đường cao tâm hình vng Bài tốn: Cho khối chóp S.ABCD đáy vng cạnh a Các cạnh bên dài 2a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Lời giải: Gọi O tâm hình vng ABCD Ta có SO ⊥ ( ABCD ) BD = a OD = a a 14 Áp dụng pytago cho SOD ta SO = 2 Diện tích ABCD a VS.ABCD a 14 a 14 = a = d Chóp tam giác có cạnh bên đơi vng góc - Giả sử cạnh bên có độ dài a, b c Khi thể tích khối chóp là: V = abc d Khối tứ diện gần - Là tứ diện có cặp cạnh đối Bài tốn: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a ; AC = BD = b AD = BC = c Tính thể tích khối tứ diện ABCD a + b − c ).( a + c − b ) ( b + c − a ) ( 12 Công thức tỉ số thể tích Bài tốn: Cho hình chóp S.ABC Trên cạnh SA, SB, SC lấy điểm A'; B'; C' VABCD = Khi tỉ số thể tích: VS.A ' B 'C ' SA ' SB' SC' = VS.ABC SA SB SC VD1 Cho hình chóp S.ABC tích 120 Trên cạnh SA, SB, SC lấy M, N, Q cho: MA = 2SM ; NB = 3SN QC = 4SQ Tính thể tích khối chóp S.MNQ? Lời giải: SM SN SQ = ; = = ; SA SB SC V SM SN SQ Áp dụng cơng thức tỉ số thể tích ta có: S.MNQ = = VS.ABC SA SB SC 60 Từ giả thiết ta có: Suy VS.MNQ = VS.ABC = 60 VD2 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B SA ⊥ ( ABC ) SA = 2a ; AB = a; BC = a Lấy M trung điểm SA N trung điểm SB a Tính thể tích khối chóp S.ABC b Tính thể tích khối đa diện Lời giải: a Diện tích ABC SABC a2 = a2 a3 = Suy VS.ABC = 2a 3 b Áp dụng cơng thức tỉ số thể tích ta có: a3 VS.MNC SM SN = = VS.MNC = VS.ABC SA SB 12 a3 - Chú ý: Khi áp dụng phương pháp tỉ số thể tích ta áp dụng cho khối chóp tam giác Nếu khơng khối chóp tam giác ta nên chia khối chóp cho thành khối chóp tam giác để dùng phương pháp thể tích Do VABCMN = VS.ABC − VS.MNC = VS.MNPQ = VS.MNP + VS.MPQ VS.MNP SM SN SP SM SN SP = VS.MNP = VS.ABC VS.ABC SA SB SC SA SB SC VS.MPQ VS.ACD = SM SP SQ SM SP SQ VS.MPQ = VS.ACD SA SC SD SA SC SD Luyện tập Dạng Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy Bài Cho hình chóp S.ABC đáy tam giác vuông B AC = a , CB = a SA vng góc với đáy SA = 2a Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài Cho hình chóp S.ABC đáy tam giác cạnh a SA vng góc với đáy Góc SC đáy 45 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy vng cạnh a SA vng góc với đáy góc (SBD) (ABCD) 60 Tính VS.ABCD Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình chữ nhật có AD = 2a ; AB = a Hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vng góc với đáy Khoảng cách từ A đến mp (SCD) a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Dạng Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy vng cạnh a Mặt bên SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang vuông A D Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết AD = a 3;CD = AB góc SC với đáy 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Dạng Khối chóp có cạnh bên Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh a Khoảng a cách từ A đến (SBC) Tính thể tích khối chóp S.ABC 19 Bài Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC Đáy ABC vuông B, AB = a; BAC = 60 M trung điểm SA Khoảng cách từ M đến (SBC) a 19 Tính thể tích khối chóp S.ABC 19 Dạng Tỉ số thể tích Bài Cho tứ diện ABCD Gọi B’ C’ trung điểm AB AC Tính thể tích khối tứ diện AB’C’D’ biết thể tích ABCD 100 Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy vng cạnh a SA vng góc với đáy Góc SC đáy 60 Lấy A’ SA cho SA ' = SA Mặt phẳng qua A’ song song với đáy cắt cạnh SB, SC, SD B’, C’, D’ Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ ... SA N trung điểm SB a Tính thể tích khối chóp S.ABC b Tính thể tích khối đa diện Lời giải: a Diện tích ABC SABC a2 = a2 a3 = Suy VS.ABC = 2a 3 b Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có: a3 VS.MNC... (SBC) a 19 Tính thể tích khối chóp S.ABC 19 Dạng Tỉ số thể tích Bài Cho tứ diện ABCD Gọi B’ C’ trung điểm AB AC Tính thể tích khối tứ diện AB’C’D’ biết thể tích ABCD 100 Bài Cho hình chóp S.ABCD... (SCD) a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Dạng Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy vng cạnh a Mặt bên SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD