12 Công thức tích phân từng phần đầy đủ, chi tiết nhất 1 Lý thuyết Định lí Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì b b b a a a u(x)v''''(x)dx u(x)v(x) u ''''(x[.]
12 Cơng thức tích phân phần đầy đủ, chi tiết Lý thuyết Định lí: Nếu u = u(x) v = v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] b b b b u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) − u '(x)v(x)dx , hay viết gọn udv = uv | − vdu b b a a a a a a Các dạng bản: b Giả sử cần tính I = P(x).Q(x)dx a Chú ý: Cần phải lựa chọn u d v hợp lí cho ta dễ dàng tìm v tích phân vdu dễ tính udv Ta thường gặp dạng sau: sin x Dạng I = P ( x ) dx , P ( x ) đa thức Ta đặt cos x Dạng I = P ( x ) e ax + b u = P ( x ) sin x dv = cos x dx u = P ( x ) P x dx , ( ) đa thức Ta đặt ax + b dv = e dx Dạng I = P ( x ) ln ( mx + n ) dx , P ( x ) đa thức Ta đặt u = ln ( mx + n ) dv = P ( x ) dx sin x x Dạng I = e dx Ta đặt cos x sin x u = cos x x dv = e dx Thứ tự ưu tiên đặt u: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” dv = phần còn lại ln x dv = Nghĩa có lnx hay logax chọn u = lnx hay u = log a x = ln a lại Nếu khơng có ln ; log chọn u = đa thức dv = cịn lại Nếu khơng có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác,… Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính tích phân sau a) I = x sin xdx u = x du = dx Đặt dv = sin xdx v = − cos x Vậy I = x sin xdx = ( − x cos x ) | + cos xdx 0 = + sin x | = b) I = ( 4x + 3) ln xdx 1 du = dx u = ln x Đặt x dv = ( 4x + 3) dx v = 2x + 3x 2x + 3x dx Vậy I = ( 2x + 3x ) ln x − x 2 = 14ln − − ( x + 3x ) 2 = 14ln − ( 22 + 3.2 ) − (12 + 3.1) = 14ln − c) I = (1 − x ) e x dx u = − x du = −dx Đặt x x dv = e dx v = e Vậy I = (1 − x ) e x 1 + e x dx = (1 − x ) e x + e x 1 0 = −1 + e − = e − Ví dụ 2: Tính tích phân I = ( x + cos5 x ) sin xdx Lời giải 0 Ta có I = x sin xdx + sin x.cos5 xdx = J + K u = x du = dx + Đặt dv = sin x.dx v = − cos x Khi đó: J = x sin xdx /2 = ( − x cos x ) + cos xdx = + ( sin x ) = + Đặt t = cos x dt = − sin xdx Đổi cận x = t = 0; x = t = Khi K = sin x.cos xdx = − t 5dt 1 t6 = t dt = = 0 Vậy I = + = 6 ...cịn lại Nếu khơng có ln ; log chọn u = đa thức dv = lại Nếu khơng có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác,… Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính tích phân sau a) I = x sin xdx u = x du = dx... (12 + 3.1) = 14ln − c) I = (1 − x ) e x dx u = − x du = −dx Đặt x x dv = e dx v = e Vậy I = (1 − x ) e x 1 + e x dx = (1 − x ) e x + e x 1 0 = −1 + e − = e − Ví dụ 2: Tính tích. .. Vậy I = (1 − x ) e x 1 + e x dx = (1 − x ) e x + e x 1 0 = −1 + e − = e − Ví dụ 2: Tính tích phân I = ( x + cos5 x ) sin xdx Lời giải 0 Ta có I = x sin xdx + sin x.cos5 xdx = J +