4 Công thức nguyên hàm đổi biến đầy đủ, chi tiết nhất 1 Lý thuyết Định lí 1 Nếu ( ) ( )f u du F u C= + và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì ( )( ) ( ) ( )( )f u x u '''' x dx F u x C= + Hệ quả[.]
4 Công thức nguyên hàm đổi biến đầy đủ, chi tiết Lý thuyết Định lí 1: Nếu f ( u ) du = F ( u ) + C u = u(x) hàm số có đạo hàm liên tục f ( u ( x )) u ' ( x ) dx = F ( u ( x )) + C Hệ quả: Nếu u = ax + b ( a ) ta có f ( ax + b ) dx = F ( ax + b ) + C a - Ở phương pháp người ta chia dạng sau: + Dạng 1:Hàm số cần tính tích phân có biến đổi biểu thức đạo hàm biểu thức đó: f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx Phương pháp giải: Bước 1: Đặt t = u ( x ) dt = u ' ( x ) dx Bước 2: Thay vào nguyên hàm ta f ( u ( x ) ).u ' ( x )dx = f ( t ) dt Đưa bảng nguyên hàm Bước 3: Sau thay trả lại biến x Dấu hiệu đặt: Dạng hàm số n f (ax + b) xdx m xn ax n +1 + b dx n f (ax + b) xdx n f (x).f (x)dx f (ln x) x dx f (a + bln x) x dx Đặt t = ax + b dt = a.dx t = ax n +1 + b dt = a(n + 1)x n dx t = ax + b dt = 2ax.dx t = n f (x) t n = f ( x ) nt n −1dt = f ' ( x ) dx trừ một số trường hợp đổi biến dạng t = ln x dt = dx x b t = a + bln x dt = dx x f (e )e dx f (cos x).sin xdx f (sin x).cos xdx x t = e x dt = e x dx x t = cos x dt = − sin xdx t = sin x dt = cos xdx d dt = (1 + tan x)dx cos x x 1 f (cot x) dx t = cot x dt = − dx dt = −(1 + cot x)dx 2 sin x sin x 2 t = sin x dt = sin 2xdx f (sin x;cos x).sin 2xdx t = cos x dt = − sin 2xdx f (sin x cos x)(sin x cos x)dx t = sin x cos x dt = ( cos x sin x ) dx f (tan x) cos t = tan x dt = dx Dạng 2: Đặt x = (t) ) f ( a + x )x f ( x − a )x f ( a − x x 2n dx 2 2n dx 2 2n dx x = a.sin t dx = a.cos t.dt adt cos t a a sin t x= dx = dt cos t cos t x = a.tan t dx = Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính nguyên hàm sau: a) I = 2x − 1dx b) I = x(x + 1)3 dx c) I = 2xdx x2 + Lời giải a) I = 2x − 1dx Đặt 2x − = t t = 2x − 2tdt = 2dx tdt = dx t3 Vậy I = t.td = t dt = + C = ( 2x − 1) 2x − + C 3 b) I = x(x + 1)3 dx Đặt t = x + dt = 2xdx dt = xdx t Vậy I = t dt = c) I = (x +C= + 1) +C 2xdx x2 + Đặt t = x + t = x + 3t 2dt = 2xdx 3t 3 Vậy I = dt = 3tdt = t + C = (x + 4) + C t 2 Ví dụ 2: Tính nguyên hàm sau: a) I = ln x dx x b) I = sin x cos xdx c) I = esin x cos xdx d) I = dx ex + Lời giải a) I = ln x dx x Đặt ln x = t dt = dx x Vậy I = tdt = t2 ln x +C= +C 2 b) I = sin x cos xdx Đặt t = sin x dt = cos xdx t5 sin x Vậy I = t dt = + C = +C 5 c) I = esin x cos xdx Đặt t = sin x dt = cos xdx Vậy I = e t dt = e t + C = esin x + C dx ex d) I = x = dx e + ex ( ex + ) Đặt t = e x dt = e x dx Khi đó: I = = 1 1 dt = − dt t ( t + 2) t t+2 1 t ln t − ln t + + C = ln +C 2 t+2 ex Vậy I = ln x + C e +2 ... adt cos t a a sin t x= dx = dt cos t cos t x = a.tan t dx = Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính nguyên hàm sau: a) I = 2x − 1dx b) I = x(x + 1)3 dx c) I = 2xdx x2 + Lời giải a) I = 2x −... t = x + 3t 2dt = 2xdx 3t 3 Vậy I = dt = 3tdt = t + C = (x + 4) + C t 2 Ví dụ 2: Tính nguyên hàm sau: a) I = ln x dx x b) I = sin x cos xdx c) I = esin x cos xdx d) I = dx ex +