3 Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất 1 Lý thuyết Định lí Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v'''' x dx u x v x u '''' x v x dx= −[.]
3 Công thức nguyên hàm phần đầy đủ, chi tiết Lý thuyết Định lí: Nếu hai hàm số u = u(x) v = v(x) có đạo hàm liên tục K u ( x ) v'( x ) dx = u ( x ) v ( x ) − u ' ( x ) v ( x ) dx Hay udv = uv − vdu Phương pháp: Cách 1: Sử dụng định lý Bước Chọn u, v cho f(x)dx = udv (chú ý dv = v'(x)dx) Sau tính v = dv du = u'.dx Bước Thay vào cơng thức tính vdu Chú ý Cần phải lựa chọn u dv hợp lí cho ta dễ dàng tìm v tích phân vdu dễ tính udv Ta thường gặp dạng sau sin x Dạng I = P ( x ) dx , P(x) đa thức Ta đặt cos x u = P ( x ) sin x dv = cos x dx u = P ( x ) Dạng I = P ( x ) eax +bdx , P(x) đa thức Ta đặt ax + b dv = e dx u = ln ( mx + n ) Dạng I = P ( x ) ln ( mx + n ) dx , P(x) đa thức Ta đặt dv = P ( x ) dx sin x sin x x u = Dạng I = e dx Ta đặt cos x cos x x dv = e dx Thứ tự ưu tiên đặt u: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” dv phần còn lại Nghĩa ln x dv = lại Nếu có ln hay logax chọn u=lnx hay u = log a x = ln a khơng có ln; log chọn u = đa thức dv = cịn lại Nếu khơng có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác,… Cách 2: Sử dụng bảng Loại 1: Ví dụ: x 3e x dx (Đạo hàm) (Nguyên hàm) u dv x + ex 3x2 ex 6x + ex ex ex Vậy x 3ex dx = x 3e x − 3x 2e x + 6xe x − 6e x + C Loại 2: Nguyên hàm lặp Ví dụ: cos xe x dx (Đạo hàm) (Nguyên hàm) u dv cos x + ex - sin x ex - cos x ex + (Dừng lại) Vậy cos xex dx = cos xex − ( − sin x ) e x + − cos xe x dx cos xe x dx = ( cos x + sin x ) e x 2 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính nguyên hàm a) I = xex dx b) I = x ln xdx Lời giải a) I = xex dx u = x du = dx Đặt x x dv = e dx v = e Theo cơng thức tính ngun hàm phần, ta có I = xex dx = xex − ex dx = xe x − e x + C b) I = x ln xdx dx du = u = ln x x Đặt dv = xdx v = x Theo cơng thức tính nguyên hàm phần, ta có: 1 1 I = x ln xdx = x ln x − xdx = x ln x − x + C 2 Ví dụ 2: Tính nguyên hàm sau: a) I = x cos xdx b) I = sin x.e x dx Lời giải a) I = x cos xdx u = x du = 2xdx Đặt dv = cos xdx v = sin x Theo cơng thức tính ngun hàm phần, ta có: I = x cos xdx = x sin x − 2xsin xdx Đặt K = 2xsin xdx = 2 xsin xdx u = x du = dx Đặt dv = sin xdx v = − cos x K = 2 xsin xdx = −2x.cos x + 2 cos xdx = −2x.cos x + 2sin x + C Vậy I = x sin x + 2x.cos x − 2sin x − C b) I = sin x.e x dx u = sin x du = cos xdx Đặt x x dv = e dx v = e Khi I = ex sin x − cos xe x dx = e x sin x − J u = cos x du = − sin xdx Tính J = cos xe x dx Đặt x x dv = e dx v = e Suy J = ex cos x + sin xe x dx = e x cos x + I Do I = ex sin x − J = e x sin x − ( e x cos x + I ) 2I = e x sin x − e x cos x Vậy I = x e sin x − e x cos x ) + C ( ... minh họa Ví dụ 1: Tính nguyên hàm a) I = xex dx b) I = x ln xdx Lời giải a) I = xex dx u = x du = dx Đặt x x dv = e dx v = e Theo cơng thức tính nguyên hàm phần, ta có I = xex... x Đặt dv = xdx v = x Theo công thức tính ngun hàm phần, ta có: 1 1 I = x ln xdx = x ln x − xdx = x ln x − x + C 2 Ví dụ 2: Tính nguyên hàm sau: a) I = x cos xdx b) I = sin... ex ex ex Vậy x 3ex dx = x 3e x − 3x 2e x + 6xe x − 6e x + C Loại 2: Nguyên hàm lặp Ví dụ: cos xe x dx (Đạo hàm) (Nguyên hàm) u dv cos x + ex - sin x ex - cos x ex + (Dừng lại) Vậy cos xex