LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC TOÀN QUỐC – EMPIRETEAM PAGE | 1 CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC FULL KIẾN THỨC + KỸ NĂNG CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Đạo[.]
CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC TOÀN QUỐC – EMPIRETEAM CHINH PHỤC 900+ ĐGNL 2022 CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM SIÊU HOT FULL KIẾN THỨC + KỸ NĂNG CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN CÁC CƠNG THỨC CẦN NHỚ CHƯƠNG NGUN HÀM – TÍCH PHÂN Đạo hàm hàm số sơ cấp (k)' = Đạo hàm hàm hợp u = u(x) ( kx ) ' = k (k số) ( x a ) ' = a.x a – (u a ) ' = a.u a – 1.u ' ' ' 1 = − x x ' x = − x u' 1 =− u u ' u' u = u ( ) ( ) ( sinx ) ' = cosx ( cosx ) ' = –sinx ( sinu ) ' = ( cosu ) ' = = tan x + cos x 1' − = − ( cot x + 1) ( cot x ) ' = sin x x)' ( tan= (e ) ' = e x ( a ) ' = a lna x x (k số) u' = u ' ( tan u + 1) cos u u' − = −u ' ( cot u + 1) ( cot u ) ' = sin u = u)' ( tan (e ) ' x u (a số) u '.cos u – u ' sin u = u '.e u a ( u ) ' = u’a u lna (a số) x ( log a | x |) ' = x.ln a u' u u' ( log a | u |) ' = u.ln a ( ln | x |) ' = ( ln | u |) ' = Tính chất đạo hàm ( u + v – w )=′ )′ ( u.v= u ′ + v′ – w′ u ′v + uv′ ( ku )′ (k số) = ku ′ ' ' u u ' v − uv' = ; =− 2 v v v v ∗ Công thức tính đạo hàm nhanh hàm hữu tỉ : CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC PAGE | CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC TOÀN QUỐC – EMPIRETEAM Dạng : y = (ab'−a' b) x + 2(ac'−a' c) x + (bc'−b' c) ax + bx + c ⇒ y’ = ( a ' x + b' x + c ' ) a ' x + b' x + c ' ax + bx + c dx + e ax + b Dạng : y = cx + d Dạng : y = ad x + 2ae.x + (be − dc) (dx + e) ad − cb ⇒ y’ = (cx + d ) ⇒ y’ = NGUYÊN HÀM Bảng nguyên hàm hàm số đơn giản u hàm số theo biến x, tức u = u ( x) *Trường hợp đặc biệt u =ax + b, a ≠ *Nguyên hàm hàm số đơn giản ∫ dx= x + C = k x + C , k ∫ k dx số α dx ∫ x= xα +1 + C , α ≠ −1 α +1 ∫ du= u + C = k u + C ∫ k.du α du ∫ u= x 1 ∫ − +C dx = x x 1 ∫ dx =− + C u u ∫ ∫ ∫ = dx ln x + C uα +1 +C α +1 du ∫ u= = dx x + C x ln u + C = du u + C u )α dx ∫ (ax + b= dx ∫ (ax + b)= ∫ ∫e ∫ e− x dx = −e− x + C ∫e | PAGE u du = eu + C −u du = −e−u + C ln ax + b + C a 1 = du ax + b + C a ax + b *Nguyên hàm hàm số mũ ∫ e x dx = e x + C (ax + b)α +1 +C a α +1 ax+b dx ∫ e= ax+b +C e a CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC TOÀN QUỐC – EMPIRETEAM x ∫ a dx = ax + C, < a ≠ ln a u ∫ a du = au +C ln a mx+n mx+n dx a a = + C, m ≠ ∫ m ln a *Nguyên hàm hàm số lượng giác 10 ∫ cos x.dx = sin x + C ∫ cos u.du = sin u + C 11 ∫ sin u.du = − cos x + C ∫ sin x.dx = 12 dx ∫ cos2 x= 13 tan x + C 1 sin(ax + b) + C a − cos(ax + b) + C ∫ sin(ax + b)dx = a )dx ∫ cos(ax + b= − cos u + C du ∫ cos2 u= dx ∫ cos2 (ax + b= ) tan u + C 1 − cot x + C ∫ sin x dx = 1 tan(ax + b) + C a dx = − cot g (ax + b) + C − cot u + C ∫ ∫ sin u du = a sin (ax + b) Một số ví dụ trường hợp đặc biệt *Trường hợp đặc biệt = u ax + b ∫ cos= kx.dx k sin kx + C ∫ sin kx.dx = − cos kx + C k ∫ ekx dx = ekx + C k x.dx ∫ cos= sin x + C , (k = 2) − cos x + C ∫ sin x.dx = ∫e x dx = e2 x + C (ax + b)α +1 ∫ (ax + b= )α dx +C a α +1 + 1)2 dx ∫ (2 x= ∫ dx ∫ 3x − 1= 1 ln ax + b + C = dx (ax + b) a 1 = du ax + b + C ∫ a ax + b +b dx eax+b + C ∫ eax = a mx+n mx+n du a ∫ a= + C, m ≠ m ln a ∫ cos(ax + b= )dx sin(ax + b) + C a 10 ∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C a 1 = 11 ∫ dx tan(ax + b) + C a cos2 (ax + b) Ví dụ ∫ ∫ (2 x + 1)2+1 + C = (2 x + 1)3 + C 2 +1 ln 3x − + C 1 = du 3x + + C = 3x + + C 3 3x + x+1dx e2 x+1 + C e2= 52 x+1 +C ln 1)dx sin(2 x + 1) + C ∫ cos(2 x += x+1dx ∫ 5= ∫ sin(3x − 1)dx =− cos(3x − 1) + C dx ∫ cos2 (2 x += 1) CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC tan(2 x + 1) + C PAGE | CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC TOÀN QUỐC – EMPIRETEAM 12 1 ∫ sin (3x + 1) dx =− cot(3x + 1) + C − cot(ax + b) + C ∫ sin (ax + b) dx = a *Chú ý: Những công thức chứng minh cách lấy đạo hàm vế trái tính phương pháp đổi biến số đặt u = ax + b ⇒ du = ?.dx ⇒ dx = ?.du HÀNG LOẠT DẠNG ĐẶC BIỆT CÁC EM NHỚ ĐƯỢC THÌ TUYỆT VỜI ƠNG MẶT TRỜI du u α+1 ∫ udv = uv − ∫ vdu ∫= ln u + C ∫ u α= + C, α ≠ −1 du u α +1 ∫ e u du= e u + C ∫ a u= du ∫ sin udu = − cos u + C au +C ln a ∫ cos udu = sin u + C ∫ tan = udu ln cos u + C ∫ cot udu = − ln cos u + C du u 10 ∫ = arcsin + C a a2 − u2 du u 11.= ∫ a + u a arctan a + C du u+a = 12 ∫ a − u 2a ln u − a + C du u −a 13.= ∫ u − a 2a ln u + a + C 14 ∫ u + a du = u + a du = u 15 ∫ du 17 ∫ u2 + a2 ∫ 19 a + u2 + a2 u + a − a ln +C u ( ) = ln u + u + a + C ( u du ) u a2 = u + a − ln u + u + a + C u2 + a2 ∫u 25 ∫ 27 ∫ u a4 u a − u du = 2u − a ) a − u + arcsin + C ( 8 a 2 a + a2 − u2 = − ln +C a u u a2 − u2 du | PAGE 20 ∫ 24 ∫ 26 u 2 a2 u − a du = u − a − ln u + u − a + C 2 ∫ u2 + a2 + a = − ln +C a u u u2 + a2 du u2 + a2 = − +C a 2u u2 + a2 du u2 22 ∫ a − u du = 23 ) u + a du u2 + a2 = − + a ln a + u + a + C u2 u 18 ∫ du u 21 ∫ = +C 2 2 a u a + (u + a ) ( u a2 u + a + ln u + u + a + C 2 16 u du u a2 u = − a − u + arcsin + C 2 2 a a −u ∫u 28 ∫ u a2 u a − u + arcsin + C 2 a du = − a2 − u2 + C a u a2 − u2 u2 − a2 du = u u − a − a cos a +C u CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC TOÀN QUỐC – EMPIRETEAM 29 ∫ 31 ∫ 32 ∫ − u2 − a2 u2 − a2 = + ln u + u − a + C du u u u du u 2 a2 = u − a + ln y + u − a + C 2 2 u −a (u du −a ) 30 ∫ 34 u du a + bu ) − 4a ( a + bu ) + 2a ln a + bu + C ( 2b du b a + bu 36 ∫ = − + ln +C u ( a + bu ) au a u ∫ a + bu= 38 ∫ du u ( a + bu ) 1 a + bu = − ln +C a ( a + bu ) a u 40 ∫ u a + budu = ( bu − 2a ) 15b ( a + bu ) u −a = ln u + u − a + C du u2 − a2 31 ∫ = +C a 2u u2 u2 − a2 udu 33 ∫ = ( a + bu − a ln a + bu ) + C a + bu b u = − +C u −a a u2 − a2 du du a + bu 35 ∫= ln +C a ( a + bu ) a u 37 ∫ 39 ∫ udu a = + ln a + bu + C 2 ( a + bu ) b ( a + bu ) b u du ( a + bu ) = 1 a2 + − − 2a ln a + bu a bu b a + bu udu = bu − 2a ) a + bu + C ( a + bu 3b 43 ∫ sin udu =( u − sin 2u ) + C 41 ∫ +C u du = 8a + 3b u − 4abu ) a + bu + C ( 15b a + bu 44 ∫ cos udu =( u + sin 2u ) + C 42 ∫ 45 ∫ tan udu = tan u − u + C 47 ∫ sin udu = − ( + sin u ) cos u + C 49 ∫ tan udu = tan u + ln cos u + C n −1 51 ∫ sin n udu = − sin n −1 u cos u + sin n − udu ∫ n n n n −1 n −2 53.= ∫ tan udu n − tan u − ∫ tan udu 46 ∫ cot udu =− cot u − u + C 48 ∫ cos3 udu = + cos u ) sin u + C ( 50 ∫ cot udu = − cot u − ln sin u + C n −1 n n −1 n −2 52 = ∫ cos udu n cos u.sin u + n ∫ cos udu Cụ thể với n lẻ tách, cịn n chẵn hạ bậc −1 n n −1 n −2 54.= ∫ cot udu n − cot u − ∫ cot udu 55 ∫ sin au.sin budu = sin ( a − b ) u 2(a − b) − sin ( a = b) u +C 2(a − b) cos ( a − b ) u cos ( a + b ) u 56 ∫ sin au.cos budu = − − +C (a − b) (a + b) 57 ∫ u sin udu = sin u − u cos u + C 58 ∫ u cos udu =cos u + u sin u + C −u n cos u + n ∫ u n −1 cos udu + C 59 ∫ u n sin udu = 60 ∫ u n cos = udu u n sin u − n ∫ u n −1 sin udu 62 ∫ sin au.e du = bu 61 ∫ cos ax.e dx = ( b sin au − a cos au ) ebu + C a +b CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC bx ( a.sin ax + b.cos ax ) ebx + C a + b2 63 ∫ ln ( au= ) du u ln ( au ) − u + C PAGE | CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC TOÀN QUỐC – EMPIRETEAM ln ( au ) du 64 ∫= ln ( au ) ) + C ( u 66 ∫ ln ( u + a )= du u ln ( u + a ) + 2a.arctan u − 2u + C a 68 ∫ u ln ( au + b ) du = bu b − u + u − ln ( au + b ) + C 2a 2 a 70 ∫ ue u du = ( u − 1) eu + C u au 71 ∫ u.eau du =− e +C a a 2 73 ∫ u.e − au du = − e − au + C 2a u n eau n n −1 au 72 ∫ u e du =− ∫ u e du + C a a n b 65 ∫ ln ( au + b ) du = u + ln ( au + b ) − u + C, a ≠ a 67 u+a 2 du u ln ( u − a ) + a.ln − 2u + C ∫ ln ( u − a )= u −a au 69 ∫ eau= du e +C a au I - PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ A Phương pháp biến đổi số thuận t = v ( x ) b f ( x ) dx ∫= Tính tích= phân I a b ∫ g ( v ( x ) )v ( x ) dx ' a Bước 1: Đặt t = v ( x ) , v ( x ) có đạo hàm liên tục đổi cận Bước 2: Biểu thị f ( x ) dx theo t dt: f ( x ) dx = g ( t ) dt Bước 3: Tính I = v( b ) ∫ g ( t ) dt v( a ) Nếu phân tích ta áp dụng trực tiếp = I b b a a b f ( x ) dx ∫ g ( v ( x )= )v ( x ) dx ∫ g ( v ( x ) )d (v ( x )) ∫= ' a B Phương pháp biến đổi số nghịch x = u ( t ) Bước 1: Đặt = x u ( t ) , t ∈ [α ; β ] cho u ( t ) có đạo hàm liên tục đoạn [α ; β ] , f ( u ( t ) ) xác định đoạn [α ; β ] và= u (α ) a= ;u (β ) b Bước 2: Biểu thị f ( x ) dx theo t dt: f ( x ) dx = g ( t ) dt β Bước 3: Tính I = ∫ g ( t ) dt α C Phương pháp biến đổi số u ( x ) = g ( x, t ) β 1 Dạng 1: I = ∫ f ( ln x ) dx đặt u = ln x ⇒ du = dx x x α | PAGE CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC TOÀN QUỐC – EMPIRETEAM β 1 Dạng 2: I = ∫ f ln ( ln x ) u ln ( ln x ) ⇒ = du dx dx đặt u = ln x ⇒ du = dx hoặc= x x ln x x ln x α β Dạng 3: I = ∫ f ( e x ) e x dx đặt u = e x ⇒ du = e x dx α Nếu hàm số dấu tích phân có dạng = t a.e x + b ta giải theo hướng đặt a.e x + b β Dạng 4: I = ∫ f [ cos x ] sin x dx đặt u = cos x ⇒ du = − sin dx α b Dạng 5: I = ∫ f [sin x ] cos xdx đặt u = sin x ⇒ du = cos xdx a Để tính tích phân dạng ∫ a.sin x + b.sinx dx ta đổi biến cách đặt= t c + d cosx b sin x Dạng 6: I = ∫ f sin xdx= đặt u x cos a β β = I Hoặc: tan ( ax + b ) ⇒ = du u ∫ f tan ( ax + b ) (1 + tan ( ax + b ) ) dx đặt= α Dạng 8: I = Hoặc: = I sin x du = sin xdx ⇒ sin xdx cos x −du = u ∫ f tan ( ax + b ) cos ( ax + b ) dx đặt= α = Dạng 7: I β c + d cosx dx cos ( ax + b ) tan ( ax + b ) ⇒ = du dx cos ( ax + b ) 1 cot ( ax + b ) ⇒ du = − dx ∫ f cot ( ax + b ) sin ( ax + b ) dx đặt u = sin ( ax + b ) α 2 β cot ( ax + b ) ⇒ du = − dx ∫ f cot ( ax + b ) (1 + cot ( ax + b ) ) dx đặt u = sin ( ax + b ) α 2 β Dạng 9: I = sin x + cos x ⇒ du = − ( sin x − cos x ) dx ∫ f ( sin x + cos x )( sin x − cos x ) dx đặt u = α Dạng 10: Tính I = β Hoặc: I = ∫ α β ∫ α a2 − x2 a − x dx , ( a > ) dx , ( a > 0) π π Đặt = x a sin t ⇒ dx= a cos t , với t ∈ − ; 2 (Biến đổi để đưa bậc hai dạng A2 tức a − a sin x = a cos x = a cos x π π t = α ' ∈ − ; x = α 2 Đổi cận: ⇒ π π x = β ' t = β ∈ − ; 2 CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC PAGE | CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC TOÀN QUỐC – EMPIRETEAM π π π π Chú ý: t ∈ − ; ⇒ α ' , β ' ∈ − ; ⇒ cos t > 2 2 β ⇒ I = ∫ a − x dx = I = 2 α β' ∫ α 2 a − a sin t a cos tdt = a ' β' ∫ cos α tdt ' Đến ta hạ bậc tính bình thường β Hoặc: I ∫= dx = a2 − x2 α TỔNG QUÁT: Tính I = β ∫ α a −u β' ∫ α' β' a cos t dt = a − a sin t ( x )dx , ( a > ) ∫ dt α' β hoặc: I = ∫ α a − u2 ( x) dx , ( a > ) Tương tự: Đặt u ( x ) = a sin t Dạng 11 : Môt số dạng khác: - Nếu hàm dấu tích phân có dạng: a π π t ∈ − ; dx = cos tdt b 2 a − b x hay a − b2 x t a − b2 x2 = a cos t = - Nếu hàm dấu tích phân có dạng: b x − a hay ta đặt: x = a − b2 x2 ta đặt: x = b2 x − a a - Nếu hàm dấu tích phân có dạng: x ( a − bx ) ta đặt: x = sin t b β ∫ α Dạng 12: = I β a + x dx , ( a > ) I = ∫ α a2 + x2 a sin t với b a b sin t dx Đặt x = a tan t Dạng 13: I = a+x a−x Ví dụ : Tính tích phân sau: I = ∫ 3− x dx 1+ x Giải: Đặt= t 3− x −x + −8tdt ⇒= t2 ⇒= x −1 ⇒ = dx 1+ x x +1 (t + 1) t +1 x = t = Đổi cận: ⇒ x = t = Khi đó: I = −8t dt t dt = ∫ (t + 1)2 ∫1 (t + 1)2 | PAGE CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC TOÀN QUỐC – EMPIRETEAM π π = = t tan u , u ∈ − ; ⇒ dt (tan u + 1)du Đặt 2 π u = t = Đổi cận: ⇒ t = u = π π π π π 4 3 tan u ( tan u + 1) du tan udu ⇒ I= 8∫ = = sin udu = ∫ ∫ ∫ (1 − cos 2u )du (tan u + 1) π π tan u + π π π π =( 4u − 2sin 2u ) π3 = − + Chú ý: Phân tích I = ∫ 3− x 1+ x t dx , đặt = + x tính nhanh β Dạng 14: I = ∫ ( x − a )( b − x )dx α 2a ∫ Ví dụ: Tính tích phân sau: = I x − a dx , ( a > ) a Đặt x − a =⇒ t x x −a a dx =dt ⇒ xdx = x − a dt =tdt a tdt đặt x = ⇒ I= ∫ t dt a a t + a − a dt a dt 2 = = t + a dx = − ∫0 t + a ∫0 ∫0 t + a t + a2 t + a2 Dạng 15 : Nếu hàm số dấu tích phân có dạng f ( x ) = với n =1;2;3; …thì ta 2 n (a + b x ) ⇒ dx = a π π tan t với t ∈ − ; b 2 β Dạng 16: Tính tích phân: I = ∫ f ( x n +1 )x n dx đặt u = x n +1 ⇒ du =( n + 1) x n dx α Dạng 17: Tính tích phân : I = ∫ f Dạng 18: Tính tích phân: = I ( x) x dx đặt u = ∫ f ( ax + b )dx x ⇒ du = x dx đặt u = ax + b ⇒ du = adx KĨ THUẬT TÁCH THÀNH TÍCH - Thực chất phương pháp biến đổi số ta tách cách khôn khéo đế đặt - Thơng thường có số dạng sau đây: CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC PAGE | CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC TOÀN QUỐC – EMPIRETEAM β a I = ∫ f ( x n +1 ) x n dx đặt t = x n +1 ⇒ dt = ( n + 1) x n dx α Ví dụ 1: (ĐH Kiến Trúc – 1997) Tính tích phân sau: I =∫ x5 (1 − x3 ) dx = 168 HD: −dt Đặt: t = − x3 ⇒ dt = −3 x dx ⇒ dx = 3x 1 6 t7 t8 I= t − t dt = t − t dt = ( ) ( ) 3 − ∫0 ∫0 = 168 Ví dụ 2: (ĐH TK2 - A2003) Tính tích phân: = I ∫x − x dx Cách 1: Đặt = t 1 − x2 1 1 I = ∫ t (1 − t )dt = t − t = 15 3 2 Cách 2: Đặt t = − x Cách 3: Đặt t = x π ∫ sin t cos tdt Cách 4: Đặt x= cos t ⇒ I= Cách 4.1 Đặt sin t = u cos ⇒ tdt = du ⇒ I = ∫ u (1 − u )du π ∫ sin t (1 − sin t )d (sint ) Cách= 4.2 I 2 π π π π 12 − cos 4t 12 12 Cách 4.3 I = ∫ sin 2t costdt = ∫ cos tdt = ∫ cos tdt = − ∫ cos 4t cos tdt 40 40 80 80 Cách 5: I = 1 1 (1 − x − 1) − x d (1 − x ) = (1 − x ) d (1 − x ) = − ∫ − x d (1 − x ) ∫ ∫ 20 20 20 KĨ THUẬT NHÂN Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I = ∫ dx x + x3 Giải: Ta có: ∫x dx + x3 10 | PAGE =∫ x dx x3 + x3 CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC TOÀN QUỐC – EMPIRETEAM 2tdt Đặt: t = + x3 ⇒ t =1 + x3 ⇒ 2tdt =3 x dx ⇒ x dx = t = x = ⇒ Đổi cận: x = t = Khi đó: dx = I ∫= x 1+ x x dx dt = ∫1 x3= ∫ 3 t −1 1+ x 1 ∫ t − − t + dt 1 −1 +1 t −1 ln t − − ln t + ) = ln ln ln ln ln = − = = ( t +1 2 +1 2 −1 = ( Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I = ∫ Giải: dx ∫0 x + x = +1 I = ∫x = x3 x3 ∫ ( x + 1dx − ∫ x dx= ( x +1 + x ∫x x + x2 + x2 + − x x3 )( ) ) ∫ dx = x2 + − x ) x5 x + 1.xdx − = x3 ( ) x2 + − x dx = ( x2 + − x2 ) ∫(x x + 1.xdx − ∫x Đặt: t = x + ⇒ dt = xdx = x 0= t Đổi cận: ⇒ = x 1= t Khi đó: = 2 1 2 2 2 32 2 t dt = ∫ t − t dt = ∫ t dt − ∫ t dt = t − t 2 1 21 21 2 2 2 2 − − += − + = + 5 3 15 15 15 KĨ THUẬT CHIA - Thực chất phương pháp biến đổi số hay phương pháp phân tích: - Một số dạng: = I β 1 dx đặt t = x ± ⇒ dt = 1 dx x x ∫ f x ± x 1 x α CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC PAGE | 11 CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA ) x + − x dx J J= ∫ ( t − 1) ) −1 dx 2 ( CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC TỒN QUỐC – EMPIRETEAM Ví dụ: (ĐHTN – 2001) Tính tích phân sau: I = 1+ x2 + π = ∫1 x − x + dx Giải: 1+ 2 x +1 Ta có: = ∫1 x − x + dx 1+ x = dx ∫1 x −1+ x 1+ 1+ ∫ 1 1 + x dx 1 x − +1 x 1 ⇒ dt = 1 + dx x x x = t = Đổi cận: + ⇒ t = x = Đặt: t = x − dt 1+ t Khi đó: I = ∫ Đặt: t = tan u ⇒ dt =(1 + tan u ) du u = t = Đổi cận: ⇒ π t = u = π dt Khi đó:= I ∫ = 1+ t π + tan u du ∫0 + tan u= 4 du ∫= π π u= 4 KĨ THUẬT BIẾN ĐỔI TỬ SỐ CHỨA ĐẠO HÀM Ở MẪU SỐ x3 dx x + Ví dụ : Tính tích phân sau: I = ∫ Giải: 1 x3 x3 Ta có: ∫ dx = ∫0 + x dx 1+ x ( ) π π Đặt: x =tan t ⇒ x3 dx = (1 + tan t ) dt với t ∈ − ; 2 t = x = Đổi cận: ⇒ π x = t = π x Khi đó: I ∫ dx = = 1+ x 12 | PAGE π π 1 + tan t 14 π dx dt dt = t = = = ∫0 + x ∫ ∫ + tan t 40 16 ( ) x CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC TOÀN QUỐC – EMPIRETEAM KĨ THUẬT CHỒNG NHỊ THỨC ( x − 1)99 Ví dụ: Tính tích phân sau: I = ∫ ( x + 1)101 dx HD: 99 99 dx 7x −1 7x −1 7x −1 Phân tích: I ∫= = d ∫ x + ( x + 1) 2x + 2x + 0 100 1 7x −1 = ⋅ 100 x + 1 2100 − 1 = 900 KĨ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN LIÊN KẾT π sin x Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I = ∫ sin x + cosx dx Giải: x = π t = Đặt: x = − t ⇒ dx =−dt Đổi cận: π ⇒ 2 x = t = Khi đó: π π π π sin − t 2 cos t cos x 2 I= dt = dt dx −∫ = ∫ ∫ cos t + sin t cos x + sin x π π π 0 sin − t + cos − t 2 2 π Vậy I + I = I = ∫ π sin x + cos x dx = sin x + cos x ∫ dx = π π π ⇒I= x 2= π sin x dx 3 sin x + cos x Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I = ∫ Giải: CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC PAGE | 13 CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC TOÀN QUỐC – EMPIRETEAM x = π π t = Đăt x = − t ⇒ dx =−dt Đổi cận: ⇒ π x = t = Khi đó: π π π sin − t 2 cos t cos3 x 2 I= dt = dt −∫ = ∫0 cos3 t + sin t ∫0 cos3 x + sin x dx π π π sin − t + cos − t 2 2 π π 3 sin x + cos x Vậy I + I = I = ∫ dx = sin x + cos x 2 ∫ dx = π π π x 2= ⇒I= 1 ex e− x dx J = x −x ∫0 e x + e− x dx e +e Ví dụ 3: Tính tích phân sau: I = ∫ Giải: Ta có I + J= ∫ dx= d ( e x + e− x ) e2 + x −x −1 = ln e + e = ln e + e − ln = ln ( ) ∫0 e x + e− x 2e 1 e x − e− x I − J= ∫ x dx= −x e +e Từ suy ra:= I 1 2e e2 + 1 1 J + ln và= + ln 2 2 2e e + MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ 1 m n ∫ x (1 − x ) dx = ∫ x (1 − x ) dx 1.Ta ln có : n m 2.Chứng minh f (x) hàm lẻ liên tục đoạn [− a, a ] : a ∫ f (x )dx = I= −a 3.Cho a > f ( x ) hàm chẵn , liên tục xác định R Ta có : f (x ) ∫−α a x + dx = ∫0 f (x )dx α α 4.Cho hàm số f ( x ) liên tục [0,1] Ta ln có : π π π ∫ x f (sin x )dx = ∫ f (sin x )dx 0 5.Cho hàm số f ( x ) liên tục,xác định , tuần hoàn R có chu kì T Ta ln có : a +T ∫ a 14 | PAGE T f ( x )dx = ∫ f ( x )dx CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC TOÀN QUỐC – EMPIRETEAM Nếu hàm số f ( x ) liên tục,xác định , tuần hoàn R có chu kì T , ta ln có : T T ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx − T II-TÍCH PHẦN HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI, MAX – MIN b Muốn tính I = ∫ f ( x ) dx ta xét dấu f ( x ) đoạn [a, b] , khử trị tuyệt đối a b Muốn tính I = ∫ max[ f ( x ), g ( x )]dx ta xét dấu f ( x ) − g ( x ) đoạn [a, b] a b Muốn tính I = ∫ min[ f ( x ), g ( x )]dx ta xét dấu f ( x ) − g ( x ) đoạn [a, b] a Hoặc ta đưa dấu giá trị tuyệt đối ( áp dụng cho khoảng nghiệm) IV- NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ VÔ TỈ Trong phần nầy ta nghiên cứu trường hợp đơn giản tích phân Abel Dạng 1: ∫ R(x, ) ax + bx + c dx ta xét dạng hữu tỷ a > − ∆ 2ax + b → ax + bx + c = 1 + 4a − ∆ ∆ < ∫ R(x, ) ) ∫ S (t , ax + bx + c dx = + t dt Tới , đặt t = tan u ax +b t= −∆ a < − ∆ 2ax + b Dạng 2: → ax + bx + c = 1 − 4a − ∆ ∆ < ∫ R(x, ) ∫ S (t , ax + bx + c dx = t= ) − t dt Tới , đặt t = sin u ax + b −∆ a > ∆ 2ax + b Dạng 3: → ax + bx + c = − 1 4a − ∆ ∆ > ∫ R(x, ) ∫ S (t , ax + bx + c dx = t= Dạng (dạng đặc biệt) : ax + b ) t − dt Tới đây, đặt t = sin u ∆ ∫ (αx + β ) dx ax + bx + c ∫ = CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC t= αx + β dt αt + µt + ζ PAGE | 15 CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC TOÀN QUỐC – EMPIRETEAM Một số cách đặt thường gặp : ∫ S (x, ∫ S (x, ) + x )dx − a )dx a − x dx đặt x = a cos t 0≤t ≤π a2 đặt x = a tan t − ∫ S (x, x2 2 đặt x = a cos t t≠ π π ax + bx + c = t ( x − x0 ) ; ax0 + bx0 + c = đặt d x bx c S x ax + + , ∫ ax + bx + c = ± a x ± t ; a>0 ) ( ∫ S x, m ax + b cx + d đặt t = m ax + b cx + d ; ad − cb ≠ V-TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Cho hai hàm số u v có đạo hàm liên tục đoạn [a, b] , ta có : b b ∫ udv = [uv] − ∫ vdu a b a a Trong lúc tính tính tích phân phần ta có ưu tiên sau : *ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit phải đặt u = ln x hay u = log a x *ưu tiên : Đặt u = ?? mà hạ bậc Nhớ “NHẤT LỐC, NHÌ ĐA, TAM LƯỢNG, TỨ MŨ" * - KỸ THUẬT TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN THEO SƠ ĐỒ ( x − a ) cos x Câu 1: Một nguyên hàm ∫ ( x − 2) sin xdx = − + sin x + 2017 tổng S= ab +c b c A S = 14 B S = 15 C S = D.S = 10 16 | PAGE CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC TOÀN QUỐC – EMPIRETEAM Giải Sơ đồ giải Đạo hàm Nguyên hàm x-2 (+) sin3x (-) − cos x − sin x a = cos x sin x Theo sơ đồ ta có I =− ( x − 2) + + C ⇒ b =3 ⇒ S =ab + c = 15( B) c = Câu : Biết ∫ x e dx = ( x x A.6 + mx + n)e x + C Giá trị mn B.4 Giải Ta có sơ đồ Đạo hàm C.0 D.-4 Nguyên Hàm x2 (+) ex 2x (-) ex (+) ex ex I = x e x − xe x + 2e x + C = ( x − x + 2)e x ≡ ( x + mx + n)e x + C Vây m = −2 ⇒ ⇒ mn = − 4( D) n = a 15 a 4− x Câu : Biết I = I = phân số tối giản, − ln − c, Với a,b,c ∈ N * ∫0 x.ln + x dx = b b khẳng định sau A a + b = 2c B a + b = 3c C a + b = c CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC D a + b = 4c PAGE | 17 CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC TỒN QUỐC – EMPIRETEAM Giải Ta có sơ đồ Đạo hàm 4− x ln 4+ x x − 16 Nguyên Hàm x (+) x − 16 ( kỹ thuật thêm bớt phần) (-) a = x − 16 − x 1 15 Vậy ta có I = − x =− ln − ⇒ b =5 ⇒ a + b =2c (C ) ln 4+ x 0 c = Với hàm logarit ta đạo hàm đến mà tích cột trái cột phải tính nguyên hàm dừng a b b Câu : Biết I = ln − với a, b, c∈ * tối giản Tính S = ab + c ∫1 ( x + x) ln xdx = c c A.806 B.559 Giải Ta có sơ đồ Đạo hàm lnx x C.1445 C.1994 Nguyên Hàm (+) x2 + x (-) x3 x + a = 14 x3 x x x 14 55 Ta có I = + ln x − + = ln − ⇒ b = 55 ⇒ S = ab + c = 806 ( A) 36 c = 36 π Câu 5: Cho I = e x sin xdx ∫= A c − a − b = a − beπ Chọn đáp án c B c − a − b = Giải Ta có sơ đồ Đạo hàm C c − a − b = 12 Nguyên Hàm e2 x 3cos 3x (+) (-) −9sin 3x (+) e2 x sin 3x 18 | PAGE D c − a − b = e2 x CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC TOÀN QUỐC – EMPIRETEAM π π e 3e 2x Vậy I = sin − cos − x x e sin xdx ∫0 2x 2x I a = π e2 x 3e x − 2eπ sin x − cos x = ⇒I= ⇒ b = ⇒ ( A) 13 13 0 c = 13 Với dạng có hai hàm tuần hồn, ta đạo hàm ( nguyên hàm) đến hàm lượng giác quay ban đầu dừng VI - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN a Cơng thức tính diện tích : • Cho hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [ a; b ] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b là: b S = ∫ f ( x) dx a • Cho hai hàm số y = f ( x) y = g ( x) liên tục đoạn [ a; b ] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , y = g ( x) hai đường thẳng x = a , x = b là: = S b ∫ f ( x) − g ( x) dx a b Cơng thức tính thể tích : • Cho hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [ a; b ] Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , trục Ox ( y = ) hai đường thẳng x = a , x = b quay xung quanh trục Ox b tạo thành khối trịn xoay tích là: V = π ∫ [ f ( x) ] dx a c Thể tích vật thể d Bài tốn vật lí e Tính tổng CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC PAGE | 19 CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC TOÀN QUỐC – EMPIRETEAM f Tính độ dài dây cung 20 | PAGE CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA ... ad − cb ⇒ y’ = (cx + d ) ⇒ y’ = NGUYÊN HÀM Bảng nguyên hàm hàm số đơn giản u hàm số theo biến x, tức u = u ( x) *Trường hợp đặc biệt u =ax + b, a ≠ *Nguyên hàm hàm số đơn giản ∫ dx= x + C = k... 0 c = 13 Với dạng có hai hàm tuần hồn, ta đạo hàm ( nguyên hàm) đến hàm lượng giác quay ban đầu dừng VI - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN a Cơng thức tính diện tích : • Cho hàm số y = f ( x) liên tục đoạn... phải tính nguyên hàm dừng a b b Câu : Biết I = ln − với a, b, c∈ * tối giản Tính S = ab + c ∫1 ( x + x) ln xdx = c c A.806 B.559 Giải Ta có sơ đồ Đạo hàm lnx x C.1445 C.1994 Nguyên Hàm (+) x2