Ở đây biến muốn tìm điều kiện của biến y thì chúng ta cần suy ra từ phương trình 2 nhưng khó khan nên chúng ta phải nghĩ hướng khác.. Ở đây chúng ta có thể phân tích thành nhân tử nên th[r]
(1)Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com WWW.TOANMATH.COM Sử dụng phương pháp đánh giá để giải hệ phương trình I Lý thuyết Các bất đẳng thức quan trọng • Bất đẳng thức Cosi Với n số thực không âm a1 , a , a , ., a n ta có a1 + a + a + + a n ≥ n n a1.a a a n Dấu xảy a1 = a = a = = a n • Bất đẳng thức Bunhiacoxky Với sô (a1 ; a ; ;a n ) và ( b1 ; b ; ; b n ) ta có: (a12 + a 22 + + a 2n )(b12 + b22 + + b2n ) ≥ (a1b1 + a b2 + + a n bn )2 Dấu xảy • a1 a a = = = n b1 b bn Bất đẳng thức Svacxo a2 a a2 a (a + a + a + + a n ) Với b1 , b2 bn > ta có: + + + n ≥ b1 b2 b3 bn b1 + b + b3 + + b n Dấu xảy khi: a1 a a a = = = = n b1 b b3 bn Các bất đẳng thức phụ cần ghi nhớ - Với a, b > ta có: - Với ab ≥ thì 1 Dấu xảy a = b + ≥ a b a+b 1 Với ab ≤ thì bất đẳng thức đổi chiều + ≥ 2 1+ a 1+ b + ab Dấu xảy a = b = II Các Ví dụ và bài tập tự luyện Ví dụ 1: (Đề tuyển sinh đại học khối A- 2014) x 12 − y + y (12 − x ) = 12 Giải hệ phương trình sau x 8x y − − = − (2) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 3; ≤ y ≤ 12 Với số thực a, b ta có: (a − b) ≥ ⇔ a + b2 ≥ ab 2 x 12 − y ≤ x − y + 12 Áp dụng ta được: 12 − x + y y (12 − x ) = y 12 − x ≤ Nên x 12 − y + y (12 − x x ≥ ) ≤ 12 đó: (1) ⇔ y = 12 − x ( ) Thay vào (2) ta được: x − 8x −1 = 10 − x ⇔ x − 8x − + 1− 10 − x = ( x + 3) = (3) ⇔ ( x − 3) x + 3x + + + 10 − x Do x ≥ ⇒ x + 3x +1 + ( x + 3) + 10 − x > đó (3) ⇔ x = ⇒ y = ( Thỏa mãn ) Vậy nghiệm hệ phương trình là: ( x; y) = (3;3) 1 + = (1) 2 + 2x + 2xy + 2y Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: ( x, y ∈ Z) x (1− 2x ) + y (1− 2y) = ( 2) Lời giải 0 ≤ x ≤ Điều kiện: 0 ≤ y ≤ Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxky ta có: 1 ≤ + (*) + 2 1 + 2x + 2y + 2x + 2y Dấu xảy ⇔ + 2x = + 2y ⇔ x = y Ta lại có: (3) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2 ( x − y) ( 2xy −1) 1 + − = ≤0 2 + 2x + 2y + 2xy (1 + 2x )(1 + 2y )(1 + 2xy) ⇒ 1 + ≤ (**) 2 + 2x + 2y + 2xy Dấu xảy và x = y Từ (*) và (**) ta suy 1 1 + ≤ ⇔ + ≤ + 2xy + 2x + 2y + 2xy + 2x + 2y Dấu xảy và x = y Khi đó (1) ⇔ x = y xuống phương trình (2) ta được: x (1− 2x ) + x (1− 2x ) = ± 73 ± 73 ⇔x= ⇒y= 36 36 ± 73 ± 73 ; 36 36 Vậy nghiệm hệ phương trình đã cho là: ( x; y) = x − 3x + = y3 + 3y Ví dụ 3: Giải hệ phương trình x − + x − 3x + y + = x − 3y Lời giải Nhận xét: Nhìn vào phương trình đầu hệ ta có cảm giác là sử dụng hàm số đại diện t − 3t cần có điều kiện biến Ở đây biến muốn tìm điều kiện biến y thì chúng ta cần suy từ phương trình khó khan nên chúng ta phải nghĩ hướng khác Ở đây chúng ta có thể phân tích thành nhân tử nên thử theo hướng đó xem x ≥ Điều kiện: x − 3x + y + ≥ Ta có: (4) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com PT (1) ⇔ x − 3x = ( y + 1) − 3( y + 1) ⇔ x − ( y + 1) = 3( x − y −1) ⇔ ( x − y −1) x + x ( y + 1) + ( y + 1) = 3( x − y −1) y = x −1 y = x −1 ⇔ ⇔ x2 x + + x ( y + 1) + ( y + 1)2 = x + x y + + y + = ( ) ( ) 4 y = x −1 ⇔ x + y + 1 = x + 2 x x 3 Với x ≥ ⇒ x ≥ mà + y + 1 ≥ nên x + + y + 1 ≥ 4 x = 2 x = x ⇔ Do đó x + + y + 1 = ⇔ không thỏa mãn điều kiện x + y + = y = −2 Với y = x −1 xuống phương trình (2) ta được: x − + x − 3x + x + = x − 3x + x ≥ + ⇔ x − + ( x −1)( x − 2x −1) = x − 3x + (*) Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có: x −1 x − ≤ x2 −3 2 ⇒ x − + ( x −1)( x − 2x −1) ≤ x2 − x − 2 ( x −1)( x − 2x −1) ≤ x2 −3 ⇔ x − 6x + ≥ ⇔ ( x − 3) ≥ Mặt khác: x − 3x + ≥ 2 x − = Khi đó VP (*) ≥ VT (*) nên (*) ⇔ x − 2x −1 = x −1 ⇔ x = ⇒ y = x ≥ + Vậy nghiệm hệ phương trình là: ( x; y) = (3; 2) (5) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x + xy + y x + y3 + =2 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình (x, y ∈ Z) − x + 2x + + xy = Lời giải Điều kiện: −1 ≤ x ≤ Ta có các bất đẳng thức sau: x + xy + y ≥ ( x + y)2 ⇔ ( x − y)2 ≥ 3 x + y ≥ ( x + y) Khi đó ta suy ra: x + xy + y x + y3 2= + ≥x+y⇔ x+y≤2 2 − x ≤ − x Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có: 2.2 2x + ≤ 2x + ⇔ − x + 2x + ≤ Và : xy ≤ ( x + y) ≤ đó thì: − x + 2x + + xy ≤ x = y Dấu xảy khi: 2 − x = ⇔ x = y = 2x + = Thử lại vào hệ phương trình thỏa mãn Vậy nghiệm hệ đã cho là: x = y = 2x −1 + 6y + = 3x + + y + 8y (1) Ví dụ 5: Giải hệ phương trình x x 2x + 3y + = 3x + y (2) Lời giải x ≥ Điều kiện: y ≥ Ta có: (2) ⇔ 2x − 3x + = −3 ( ) y −1 ≤ (6) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Mà 2x − 3x + ≥ ⇔ (2x + 1)( x + 1) ≥ đúng với x ≥ Do đó: 2x − 3x + ≥ −3 ( 2 ) y −1 dấu xảy x = y = Thay lại vào phương trình (1) thỏa mãn Vậy nghiệm hệ là: x = y = 3 x − y + + y − x = x−y+4 Ví dụ 6: Giải hệ phương trình x + 2x −1 = − y − (x, y ∈ Z) Lời giải y ≥ x x − y + ≥ Điều kiện: x ≥ y ≥ y − x = a ⇔ −a = x − y Đặt a ≥ Biến đổi phương trình (1) − a + 2a = 3 4−a ⇔ − a − a + 2a − a = 3 ⇔ − 3a − a + 2a − a = (*) Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có: − 3a − a ≤ 10 − 4a = − 2a ⇒ − 3a − a + 2a − a ≤ 2 2a − a ≤ 2a + 2 − a = − 3a ⇔ a = ⇒ y − x = ⇔ y = x +1 a = − a Khi đó (*) ⇔ Thay xuống phương trình còn lại ta x + 2x −1 = − x −1 ⇔ x + 2x −1 + x −1 − = (7) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Xét hàm số: f ( x ) = x + 2x −1 + x −1 − 1 + > mà f (1) = nên x = là nghiệm 2x −1 x −1 Ta có: f '( x ) = 2x + Vậy nghiệm hệ phương trình là x = 1, y = Ở các Ví dụ trên chúng ta thấy sử dụng phương trình hệ để đánh giá Chúng ta xét Ví dụ sau 1 2 + = 4x + y 4y + x 2(x + y)2 + x + y Ví dụ 7: Giải hệ phương trình x y −1 + y x −1 = x + 4(y −1) (mathlinks.vn) Lời giải Điều kiện: x ≥ 1; y ≥ Khi đó sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 4x + y + 4y + x ≥ (4x + y)(4y2 + x) Suy 2 2(x + y) + x + y ⇔2 ≥ (4x + y)(4y2 + x) (4x + y)(4y2 + x) ≥ ( x + y)2 + x + y ⇔ (4x + y)( 4y + x) ≥ ( x + y) + x + y 2 ⇔ 16x y + 4(x + y ) + xy ≥ ( x + y) + ( x + y) + ( x + y) 1 ⇔ ( x − y) + x + y + 6xy − 3(x + y) ≤ 2 3 1 ⇔ ( x − y) ( x + y) − 3(x + y) + 4xy + ≤ ⇔ x = y Bởi vì với x, y ≥ ta có 1 2 ( x + y) − 3(x + y) + 4xy + ≥ (x + y) − 3(x + y) + + > 4 Thay y = x vào phương trình thứ hai hệ ta được: (8) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x + 4(x −1) 2x x −1 = 2 ⇔ x − 4x x −1 + 4(x −1) = ( ) ⇔ x − x −1 = ⇔ x = x −1 ⇔ x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) = (2; 2) x − y = 6(1− xy) 6 Ví dụ 8:Giải hệ phương trình x + 2(x + y ) = + 2(x + y ) x + xy + y (mathlinks.vn) Lời giải Điều kiện: xy > Ta có: 2(x + y6 ) 2(x + y )(x − x y + y ) = ≥ 2(x + y ) 2 2 x + xy + y x + xy + y Thật vậy, ta chứng minh x − x y + y ≥ x + xy + y 2 ⇔ 9x − 9x y + 9y ≥ ( x + xy + y ) ⇔ ( x − y) (4x + 7xy + 4y ) ≥ Từ phương trình thứ hai hệ suy − x ≥ 2(x + y ) (1) Từ phương trình đầu hệ sử dụng bất đẳng thức AM –GM ta có x − y = − xy ≥ − 3(x + y) ⇒ 2x + y ≥ (2) Cộng theo vế (1) và (2) ta được: x + y ≥ 2(x + y ) ⇔ x = y ⇒ x = y = Vậy nghiệm hệ đã cho là x = y = 2xy x + = x + y (1) x − 2x + Ví dụ 8: Giải hệ phương trình ( x, y ∈ Z) 2xy = y + x ( 2) y + y − 2y + Ý tưởng: Đây là hệ phương trình đối xứng loại nên nghiệm bài toán là x = y làm theo cách thông thường thì khó khăn vì có xuất bậc Chúng ta thử kết hợp phương trình lại với xem nào Khi cộng vế lại với (9) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2 thì vế trái xuất 2xy và vế phải xuất x + y đến đây ta nghĩ tới việc đánh giá tiếp phương trình hình thành đó Lời giải Với x = ⇒ y = thỏa mãn hệ phương trình Với x, y ≠ Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được: 1 = x + y + x + y x + y + 2xy + x − 2x + y − 2y + 1 = x + y (3) ⇔ 2xy + x − 2x + y − 2y + Suy xy > Mặt khác ta có: 1 = ≤ 2 x − 2x + ( x −1) + 1 ⇒ + ≤1 3 1 x − 2x + y − 2y + = ≤ y − 2y + ( y −1)2 + 1 2 ⇒ 2xy + ≤ 2xy ≤ x + y (4) x − 2x + y − 2y + Từ (3) và (4) suy x = y = Thử lại thỏa mãn Vậy nghiệm hệ phương trình đã cho là: ( x; y) = (0; 0) , (1;1) 2x =y x + 2y Ví dụ 9: Giải hệ phương trình = z ( x, y, z ∈ Z) y + 2z =x z + Lời giải Ta thấy x = y = z = là nghiệm hệ phương trình Nếu x, y, z ≠ thì x, y, z > đó nhân vế hệ phương trình ta có: 8x y z = xyz ⇔ ( x + 1)( y + 1)(z + 1) = 8xyz 2 ( x +1)( y +1)(z +1) (10) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: ( x + 1)( y + 1)(z + 1) ≥ x 2 y 2 z = xyz = 8xyz ( x, y, z > 0) x, y, z > ⇔ x = y = z = ( thỏa mãn) 2 x = y = z = Dấu xảy ⇔ Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y; z ) = (0;0;0) , (1;1;1) ( x −1)2 + y = x ( 2x +1) Ví dụ 10: Giải hệ phương trình 3x − x + = y x + x Lời giải Điều kiện: x, y > ( x −1)2 + y = x ( 2x +1) ( x −1)2 + y = x ( 2x +1) ⇔ Ta có: HPT ⇔ 2 6x − 2x +1 = 2y x + x 5x + ( x −1) = 2y x + x Mặt khác 2.4x.( 2x + 1) ≤ ⇒ ( x −1) + y ≤ 2x + + 4x + = 2x + 2x + ⇔ 2x − 4x + + 2y ≤ 2x + ⇔ 2x − 6x + + 2y ≤ 2 Lại có theo cosi thì 5x + ( x −1) = 2y x + x ≤ y + x + x ⇔ 5x − 3x + 1− y2 ≤ Kết hợp lại ta được: 2 (5x − 3x + 1− y ) + 2x − 6x + + 2y ≤ ⇔ ( 2x −1) ≤ ⇔ x = ⇒y= 2 1 2 Vậy nghiệm hệ phương trình là: ( x; y) = ; − 8x + 1− 2x = y + x 4xy Ví dụ 11: Giải hệ phương trình x 4x = 2y + − y Lời giải Điều kiện: y > , từ phương trình đầu ⇒ < x ≤ Phương trình đầu tương đương: 2x (1− 4x ) + x (1− 2x ) = y + 4y (11) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: y + 1 ≥ y =1 4y 4y Khi đó ta có: 2x (1− 4x ) + x (1− 2x ) ≥ ⇔ 2x (1− 2x ) ( ) + 2x + 2x ≥ ⇔ 2x (1− 2x ) ≥ + 2x − 2x ⇔ 2x (1− 2x ) ≥ + 4x − 2x (1 + 2x ) ⇔ 4x + 2x − 2x (1 + 2x ) + ≤ ⇔ ( ) 2x (1 + 2x ) −1 ≤ ⇔ 2x (1 + 2x ) = x = −1 − ⇔ 2x (1 + 2x ) = ⇔ 4x + 2x −1 = ⇔ x = −1 + Đối chiếu điều kiện ta có: x = −1 + −1 + ; Thử lại thỏa mãn Vậy nghiệm hệ phương trình là: ( x; y) = 3 2 x + y = xy 2( x + y ) Ví dụ 12: Giải hệ phương trình: 4 x + x −1 = 9( y −1) 2x − Lời giải Điều kiện: x ≥ Từ PT ( 2) ⇒ y ≥1 Thậm chí bạn biết sử dụng BĐT đánh giá PT( ) thì việc làm điều đó không ít thời gian Áp dụng BĐT Cauchy ta có: x + y3 = ( x + y)( x − xy + y ) ≥ xy ( x − xy + y ) Mà x − xy + y ≥ 2 ( x + y) ⇔ ( x − y) ≥ (luôn đúng) Suy x + y ≥ xy 3 ( x + y) 4 = xy (x + y) = xy ≥ xy 2xy ( x + y2 ) = xy 2( x + y2 ) Đẳng thức xảy nên x = y Thay vào PT2 ta được: ( x + y2 + 2xy) ≥ (12) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x + x −1 = ( x −1) 2x − Ta có: PT ⇔ 2x + ⇔2 ( ( x −1)( x +1) = 9( x −1) x −1 ) x + + x −1 = ( x −1) x −1 ⇔ x +1 = (9x −11) x −1 ⇔ ( x + 1) = (9x −11) ( x −1) ⇔ x = Vậy HPT đã cho có nghiệm suy x = y = ***Ngoài cách trên, ta còn có cách khác khá để đưa PT( ) x = y , bạn gặp khó khăn (và thực là bạn gặp khó khăn) việc chứng minh từ PT( ) , ý tưởng đơn giản mà chất nó là PP Liên hợp gợi ra: ta cần nhân tử ( x − y) , tạo sau: PT( ) ⇔ x + y3 − xy ( x + y) = xy ( x + y ) − ( x + y) 2 ( x + y ) − ( x + y) ( x − y) xy ⇔ ( x − y) ( x + y) = xy ⇔ ( x − y ) ( x + y) = 2( x + y ) + ( x + y) ( x + y ) + ( x + y) 2 xy =0 ⇔ ( x − y) ( x + y) − 2 2( x + y ) + ( x + y) xy Do ( x + y) ≥ 4xy > xy (vì x, y ≥ ) ⇒ x + y − ( x + y ) + ( x + y) >0 Nên x = y ( x + 1) − 8x = 2y −1 − 2(1) Ví dụ 13: Giải hệ phương trình: ( 2) y + = −9x + 3x + Lời giải y ≥ Điều kiện: −9x + 3x + ≥ Từ ( ) ta có: VP (1) ≤ 2y −1 + 1− = 2y − ≤ y + 1− = y −1 mà y −1 = −9x + 3x +1 − ≤−9x + 3x +1 ++1− = −9x + 3x (từ (2) ) ⇒ (x + 1) − 8x ≤ −9x + 3x ⇔ ( x +1) ≤ −x + 3x −x + 3x ≥ (*) ⇔ ( x + 1)3 ≤ (−x + 3x)2 (**) (**) ⇔ x + 3x + 3x +1 ≤ x − 6x + 9x ⇔ 9x − 6x +1 ≤ (13) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2 ⇔ (3x −1) ≤ ⇔ (3x −1) = ⇔ 3x −1 = ⇔ x = ± thỏa mãn Khi đó: y = 1( t / m) ;1 Vậy HPT có nghiệm: ( x; y) = ± Kết hợp (*) thấy x = ± 4x − 2y + + 6y − 2x + = Ví dụ 14: Giải hệ phương trình: (1) ( 2) x + y − 2x − 4y + = Lời giải 4x − 2y + ≥ 6y − 2x + ≥ 2 4x − 2y + = ( x + 1) + (3 − y) Từ (2) ta có: 6y − 2x + = ( − x )2 + ( y + 1)2 Điều kiện: thay vào ( ) ta được: 2 2 ( x +1) + (3 − y) + (2 − x ) + ( y +1) = 5(*) Đặt u = ( x + 1;3 − y) và v = ( − x; y + 1) ta có: u + v = (3;4) Sử dụng BĐT u + v ≥ u + v ta được: 2 2 ( x +1) + (3 − y) + (2 − x ) + ( y +1) ≥ 32 + 42 ⇒ VT (*) ≥ VP (*) nên (*) xảy và u = kv (k > 0) ⇔ x +1 − y − 4x = ⇔ 4x + 3y = ⇔ y = − x y +1 − 4x − 4x Thay vào (2) ta có: x + − 2x − +1 = x = 3 −1 ⇔ 25x + 10x − 26 = ⇔ 3 + x = − 3 −1 29 −12 ⇒y= (t/m ĐK) 15 3 +1 21 + 12 ** Với x = − ⇒y= (t/m ĐK) 15 3 −1 29 −12 3 +1 21 + 12 ;− ; ; Vậy HPT có nghiệm ( x; y) = 15 15 ** Với x = (1) x − x + = −y + 5y − Ví dụ 15: Giải hệ phương trình: ( 2) −x + y + = −2y + 8y − (14) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải −y + 5y − ≥ Điều kiện: −2y + 8y − ≥ Một dạng hệ đáng lưu ý: (*) Từ ( ) ta có: x − x + = −y + 5y − ≤ −y + 5y − + ⇒ x + y − x − 5y + ≤ −2y + 8y − + = −y + 4y Từ ta có: −x + y + = −2y + 8y − ≤ (**) ⇒ y − x − 3y + ≤ ( 2) (*) Cộng vế theo vế các BĐT và (**) ta được: x = 2 x + 2y − 2x − 8y + ≤ ⇔ ( x −1) + 2( y − 2) ≤ ⇔ y = Thử lại: t/m Vậy HPT có nghiệm ( x; y) = (1;2) ***Một bài HPT đánh giá khó có loại, loại dựa vào quan hệ tương đối giá trị các biến, tức là bạn phải dựa cào giá trị đặc biệt biến hệ để đánh giá, dạng thứ là hệ chế tác từ BĐT, chúng thường dễ phân biệt khó chứng minh, là bài toán chế tác uyển chuyển, khó đoán, để minh họa, tôi xin lấy vd: b (3 − a − b) − a b Ví dụ 16: Giải hệ phương trình: 2 a + b + a = 3b ( )( ) b − a + (3 − a ) a = Lời giải Một bài toán sử dụng PP đánh giá đặc sắc: Điều kiện: a ≥ 0; b ≥ Ta làm việc với PT( ) Nhận thấy dấu hiệu đặc biệt: b (3 − a − b) và (3 − a ) a Nên bung PT và ghép để có (3 − a − b) a và đặc lượng − a − b , và đó, bài toán thực bắt đầu Đặt a = x, b=y ( ) Biến đổi PT( ) ⇔ y − x − y − xy ( y − x ) + (3 − x ) x = ⇔ x y + y − x − y + (3 − x − y ) x − xy − x − y Đặt − a − b = z ⇒ x y + y z + z x − xyz = với x + y2 + z = 2 2 2 Ta chứng minh: P = x y + y z + z x − xyz ≤ với x, y, z ≥ và x + y + z = Thật vậy: Thật vậy: (15) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Giả sử x ≥ y ≥ z Ta có: z ( x − y)( y − z) ≥ ⇔ yz ≥ y z + z x − xyz ⇒ P ≤ y (z + x ) = y (3 − y ) = y (3 − y ) = y − y2 − y2 ≤ 2 ≤2 − y − y + y + 2 27 =2 Đẳng thức xảy và x = y = z = ⇒ a = b = Vậy HPT có nghiệm a = b = x y x + y + y + + x = y + + + x + Ví dụ 17: Giải Hệ phương trình: x + x − y = Lời giải Điều kiện: x, y ≥ Ta chứng minh kết tổng quát, kết thường sử dụng vào chế tác HPT với phương thức đánh giá, sau đây tôi xin giới thiệu cách nhanh, đơn giản: x y z x+k y+k z+k + + ≥ + + y z x y+k z+k x +k Sử dụng phương pháp S – S: Không tính tổng quát, giả sử z = {x, y,z} ( x − y) ( x − z)( y − z) x y z Ta có: + + − = + y z x xy zx Và ( x − y) ( x − z)( y − z) x+k y+k z+k + + −3 = + y+k z+k x+k (x + k )( y + k ) ( x + k )(z + k ) BĐT cần chứng minh 1 1 x − y + − x − z y − z ≥ ⇔ − ( ) )( ) zx ( x + k )(z + k )( xy ( x + k )( y + k ) Theo giả thiết ta có ( x − z)( y − z) ≥ Ta có: 1 1 − ≥ và − ≥ ∀k ≥ xy ( x + k )( y + k ) zx ( x + k )(z + k ) Từ đó BĐT chứng minh! Áp dụng trực tiếp vào bài toán suy x = y = Vậy HPT có nghiệm x = y = ( x + 1) − 8x = 2y −1 − Ví dụ 18: Giải hệ PT: y + = −9x + 3x + Lời giải (16) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 2(1 + ( 2y −1) ) (x + 1) − 8x = 2.1 2y −1 − ≤ − = 2y − 2 3 ⇔ (x + 1)3 − 8x − 2y + ≤ 0( ) y + = 2.1 −9x + 3x + ≤ 2(1 + ( −9x + 3x +1) ) = −9x + 3x + 2 ⇔ 9x − 3x + y2 −1 ≤ (2) ⇔ x − 3x + (x + 1)3 + y − 2y + ≤ 0( ) Xét f ( x ) = x − 3x + (x + 1)3 có f '( x ) = 3x − + x + 1.2x = x = (nhân) 2 2 2 ⇔ (x −1) = x (x + 1) ⇔ −2x + = x ⇔ x = − (loai) 1 (3) ⇒ f (x) ≥ f = ⇔ VT ≥ ;1 Vậy HPT có nghiệm ( x; y) = Lấy (1) cộng (2): y + (4x −1) = 4x(8x + 1) 40x + x = y 14x −1 Ví dụ 19: Giải hệ phương trình : Lời giải Điều kiện : x ≥ 14 y + 16x − 8x + = 4x(8x + 1) HPT đã cho viết lại thành: 80x + 2x = 2y 14x −1 Cộng vế theo vế hai phương trình ta : (y2 − 2y 14x −1 +14x −1) + 96x − 20x + = 4x(8x +1) ⇔ (y − 14x −1) + 96x − 20x + = 4x(8x +1) 1 Ta có : VT( ) ≥ 96x − 20x + = 3(8x −1) + 8x + 1 ≥ (8x + 1) 2 = (16x + 8x + + 2) ≥ 16x(8x + 1).2 = 4x(8x + 1) = VP (1) 1 Đẳng thức xảy và ( x; y) = ; (1) (17) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 4x = 4y + − 2y Ví dụ 20: Giải hệ phương trình y − 8x + 1− 2x = + x 4xy x Lời giải − 8x ≥ x 2y + (1) ⇒x>0 Ta có: PT ⇔ 4x = 4y + + 2y Điều kiện: y ≥ 0; x ≠ 0; x ≤ ; Áp dụng BĐT Cauchy ta có: VT ( 2) = 1 2 − 8x + 1− 2x = − 8x + 2x −1 ≤ 2x x x 1 1 2 y y 1 ≤ 4 + − 8x + 2x + −1 = mà VP(2) = + ≥2 = 2x x x x 4xy x 4xy x ⇒ VT ≥ VP −1 + ⇒y= −1 + ; Vậy HPT có nghiệm ( x; y) = Đẳng thức xảy và x = Ví dụ 21: Giải HPT: 2 x 8y − + y 8x − = 24( x + y + 4) 2 11x − 6xy + 3y = 12 − x − Lời giải Biến đổi PT2 ta được: PT(2) ⇔ (3x − y − 2) + 2( x + y ) = ⇒ 2( x + y ) ≤ ⇒ x + y ≤ 2(*) Suy ≥ x + y ≥ ( x + y) ⇒ x + y ≤ 2 Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz ta có: x 8y − + y 8x − ≤ (x + y2 )(8y − + 8x − 5) ≤ 6(x + y2 ) (vì x + y ≤ ) (1) 2 2 2 2 Từ PT ⇒ 24( x + y + 4) ≤ 6( x + y ) ⇔ 24( x + y + 4) ≤ 36( x + y ) ⇔ ( x + y − 2) 3( x + y ) + 4 ≥ ⇔ x + y ≥ Kết hợp Dấu xảy ⇔ x = y = (*) ⇒ x + y2 = (18) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com (1) x ( x − 3) + ( x + 1)( y −1) = 3x − Ví dụ 22: Giải hệ phương trình: x + x + + y − y + = x − xy + y ( ) Lời giải Điều kiện: x ≥ Đây là bài toán chào mừng ngày 20 – 11 trường THPT chuyên Hà Tĩnh, và nhìn vào dạng phương trình (2) ta nghĩ đến việc sử dụng BĐT Véc-tơ Đó là kĩ thuật mặt phản xạ: Cách 1: Áp dụng BĐT Véc-tơ ta có: 2 2 1 3 1 3 x + x + + y − y + = x + + + − y + ≥ (1 + x − y) + 2 2 2 Từ PT (2) ⇒ x − xy + y ≥ (1 + x − y) + ⇔ x − xy + y ≥ x + y + + 2x − 2y − 2xy ⇔ xy − 2x + 2y − ≥ ⇔ ( x + 1)( y − 2) ≥ Mà x ≥ ⇒ y ≥ Khi đó: VT (1) ≥ x + 1 ( 3x + 1) + + 1 ≥ 3 (3x + 1).1.1 = 3x + 3 Suy VT (1) ≥ x + ≥ 3x + > 3x − = VP (1) Áp dụng BĐT Cauchy ta có: x + = Suy PTVN Cách 2: Tôi tiến hành đánh giá nghiệm HPT trên, đây là phương án khá tối ưu cho hệ dạng “nửa ” Từ PT(2) ⇒ ( x + x + 1) + ( y − y + 1) + x + x + y − y + = x − xy + y ⇒ x − y + xy + + x + x + y − y + = ⇒ x − y + xy + ≤ ⇒ ( x −1)( y +1) < (1) Mà x ≥ ⇒ x −1 > ⇒ y +1 < ⇒ y < ⇒ ( x +1)( y −1) < Cũng từ PT(2) ⇒ ⇔ ⇔ ( ) ( ) y − y + + y = x − xy + y − ( x − y) x + x +1 − x + ( x + x + 1) − x ( y − y +1) − y (x − xy + y2 ) −(x − 2xy + y ) x + x +1 + x x +1 x + x +1 + x + + y2 − y +1 + y 1− y y − y +1 + y = = x − xy + y + ( x − y) xy x − xy + y + ( x − y) Do x > và y < ⇒ y − y + > y = y ≥ y ⇒ y − y + + y > và dễ thấy: x + x + + x > 0; x − xy + y2 + ( x − y) > 0; xy < (2) Từ đó suy ( x +1)(1− y) < (19) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Từ (1) và (2) suy PTVN! Tuy nhiên đánh giá kết (2) là ý nghĩ trực quan tôi lúc đánh giá nghiệm, trông thì khá cồng kềnh nó tự nhiên Nếu kết hợp với kết từ sử dụng BĐT Véc-tơ thì cho đánh giá đẹp hơn: y ≥ và y < Đó là mấu chốt bài toán! Nhận tiện đây, với dạng PT PT2 ta còn có hướng đi, triệt để nhiều ko cần thiết quá thì ko nên dùng đến: 6 ( x −1) − (2x − 3) 2y = 2y x −1 Ví dụ 23: Giải Hệ phương trình: x − x + + y − y + = x + xy + y Lời giải Bình thường sử dụng BĐT véc-tơ để đánh giá qua nghiệm, nghiệm ( x; y) = (2;2) , từ đó suy ( x − 2)( y − 2) ≤ Vì cố gắng đánh giá ( x − 2)( y − 2) ≥ qua PT1, có thể đặt lại ẩn cho x −1 và 2y cho đẹp chẳng hạn Tuy nhiên PT1 suy y ≥ và tồn nghiệm x < nên ko thể đánh giá qua nghiệm Khi đó sử dụng kết sau, mạnh cần: Điều kiện: x ≥ (*) Ta có: PT2 ⇔ x − x + y − y + = xy + x + y − xy = a Đặt x + y = b ( xy + x + y − ≥ 0) ta được: PT ( ) ⇔ a + b − 2a − ab + a − b +1 = a + b − * 2 ⇔ 4(a + b − ab − a − b +1) = (a + b − 2) ⇔ 3(a − b) = ⇔ a = b ⇔ xy = x + y Dễ thấy x = không phải nghiệm hệ! Xét x ≠ : Từ đó ta có: y = Thay vào PT1 ta được: ( x −1) − (2x − 3) 2x 2x x −1 = x −1 x −1 ( PT ⇔ ( x −1) x −1 − (2x − 3) 2x = 2x ⇔ ( x −1) ⇔ ( x −1) x x −1 ) ( x −1 −1 = (2x − 3) 6( x −1) 2( x − 2) (2x − 3) x−2 = = (2x − 3) ⇔ ( x − 2) − x −1 + 2x + 2x + x −1 + Ta có: x ≥ nên < x −1 +1 < 2x + và ( x −1) > (2x − 3) và ( x −1) ≥ Nên 6( x −1) x −1 + > (2x − 3) 2x + Từ đó x = ⇒ y = ∀x ≥ ) 2x − (20) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy HPT đã cho có nghiệm ( x; y) = (2;2) x + y −1 + x − y = Ví dụ 24: Giải hệ PT: ( x − y + 1)( x − 2y + 1) y = Lời giải Điều kiện: x ≥ y ≥ Đặt x = a; y −1 = b; x − y = c , HPT đã cho trở thành: a, b, c ≥ a + b + c = a − b b − c c − a = (*) )( )( ) ( Giả sử c = min{a,b,c} Khi đó ta có: a + b = − c ≤ Đặt P = (a − b )(b − c )(c − a ) , ta chứng minh P ≤ Thật vậy: Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 2 2 2 P = (a − b ) (b − c ) (c − a ) ≤ a b (a − b ) (a + b) ≤ 5a b (a − b) ≤ 5 4.ab + (a − b)2 (a + b)2 ≤ ≤ 5 ≤ ⇒ P ≤ +1 −1 ; ;0 Thử lại thấy không t/m Dấu “=” xảy nên (a;b;c) = Vậy HPT Vô nghiệm Bài tập bổ sung: a + b = 24 Giải hệ phương trình (x ∈ Z) = + a + b a + 3b 3a + b ( ) x + 32 − x − y = −3 Giải hệ phương trình ( x ∈ Z) x + 32 − x + 6y = 24 y = −x + 3x + Giải hệ phương trình ( x ∈ Z) x = 2y − 6y − (21) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com − xy ( xy + 2) = x + x y3 + Giải hệ phương trình (x ∈ Z) 2 3 − x + y + ( xy + 2) = y + x y + x ( x − 3)3 = + y3 + 3y Giải hệ phương trình ( x, y ∈ Z) 3 x − = y + 8y x + xy = 3y − y xy Giải hệ phương trình ( x ∈ Z) (2 − x ) y2 + =1 1+ y 1 + − x Giải hệ phương trình 2x + 4y − ( x + y) −1 = y x xy ( x, y ∈ Z) x + 1)2 + xy + 3x + 2y + − 2x x ( y + 3) = x + y + ( 2 x 8y − + y 8x − = 24 ( x + y + 4) Giải hệ phương trình ( x, y ∈ Z) khó) 2 11x − 6xy + 3y = 12x − 4y (22)