CHUYÊN ĐỀ ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ VÀO GIẢI HỆ PT

LƢƠNG ĐỨC KHIÊM –KHÓA 49 THÂN TẶNG CÁC EM 99ER CHUYÊN ĐỀ HỆ PT CHUYÊN ĐỀ ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ VÀO GIẢI HỆ PT Trong ta tìm hiểu phương pháp đánh giá để giải hệ phương trình mà thường sử dụng đề thi, là:  Phương pháp đánh giá hàm số  Phương pháp đánh giá bất đẳng thức I Phƣơng pháp đánh giá hàm số Ta vận dựng nội dung kết quả:” Hàm số f (t ) đơn điệu chiều khoảng (a;b) tồn u, v  (a; b) f (u)  f (v)  u  v ” 1.Một số dạng sử dụng phƣơng pháp hàm số a.Dạng 1:Hệ chứa ax  (ax)2  1 by  (by)2  1  (1) dạng liên hợp  Do   (by)2   (by)2  by  by  (by)2   by   ax  (ax)2  1 by  (by )    (by)   by     1 (1)    (by )   by     ax  (ax)2  1   (by)2   (by)   f (ax)  f (by)     Xét hàm số f (t )  t  t  xác định liên tục R có: f '(t )   t t 1  t2 1  t t 1  0, t  R t 1  t t 1  t2  t t 1  t t t 1 0 Do hàm số f (t ) đồng biến R Suy ra: f (ax)  f (by) ,ax=-by.Đã có mối quan hệ x y Lƣu ý:Ngoài phương pháp hàm số ta dừng phương pháp liên hợp tương tự kết Trên bước đường thành công dấu chân kẻ lười biếng Tài liệu a tổng hợp tự đánh lời giải a , em có cách khác cmt ib cho a nhé! LƢƠNG ĐỨC KHIÊM –KHÓA 49 THÂN TẶNG CÁC EM 99ER CHUYÊN ĐỀ HỆ PT Ví dụ số 1:Giải hệ phương trình sau:  x3  y  y 5 x  (1) (3 x  19 x )( y  1 y ) 1(2) ( Trích đề thi HSG Lâm Đồng năm 2014)  Lời giải: y  5x   Do y   y  y  y  y   y  nên liên hợp (2) được: (2)  (3x   x ) y 1  y   3x   (3x)  ( y)   ( y)  f (3x)  f ( y) Xét hàm số f (t )  t  t  R.Có f '(t )   t Vì: t 1  t t 1  t2  t t 1  t t t 1 t 1  t2 1  t t 1  0, t  R  Do hàm số f (t ) đồng biến R Suy ra: f (3x)  f ( y)  3x   y  y  3x vào (1) ta được:     (1)  8x3  x  x  (3)Đặt x  cos t ; t  0; (3)  2(4cos3 t  3cos t )  2cos t   2cos3t  2(1  cos t )  cos t t t    cos 3t  cos 3t  cos (t  0;   cos  0) 2  2  3t  2t  k 2  t  k 45   t   k 4 (k  Z ) Vì t  0;      3t   k 2  t => t=0 Với t=0 suy x=1 nên y=-3 Trên bước đường thành công dấu chân kẻ lười biếng Tài liệu a tổng hợp tự đánh lời giải a , em có cách khác cmt ib cho a nhé! LƢƠNG ĐỨC KHIÊM –KHÓA 49 THÂN TẶNG CÁC EM 99ER CHUYÊN ĐỀ HỆ PT Kết luận: Hệ phương trình cho có nghiệm (x;y)=(1;-3) Nhận xét: Ngoài phương pháp hàm số ta liên hợp sau: (2)  3x   x   3x  y  y 1  y x2  y  x2   y  y   y  3x  y   x   y    (3x  y)(1  3x  y  3x   y Do:   x2   y Ví dụ số 2:Giải hệ phương trình sau:   3x  y  x2   y )0 3x   x   y  y  x2   y 0 ( x  1 x )( y  1 y ) 1(1) x   22 3 x  y 8(2) ( Trích đề thi HSG tỉnh Nam Định năm 2013)  Lời giải:Điều kiện:  Do x  2 22 3 x   2  x  22 y   y  y  y  y   y  , nên liên hợp (1) được: (1)  x   x  y 1  y  (  y )   (  y )  x   x  f ( x)  f (  y ) Xét hàm số f (t )  t  t  R.Có f '(t )   Vì: t 1  t t 1  t2  t t 1  t t t 1 t t 1  t2 1  t t 1  0, t  R  Do hàm số f (t ) đồng biến R Suy ra: f ( x)  f ( y) x=-y vào (2)  x   22  3x  x  Trên bước đường thành công dấu chân kẻ lười biếng Tài liệu a tổng hợp tự đánh lời giải a , em có cách khác cmt ib cho a nhé! LƢƠNG ĐỨC KHIÊM –KHÓA 49 THÂN TẶNG CÁC EM 99ER CHUYÊN ĐỀ HỆ PT   14     x   ( x  )    22  3x  ( x  )   x  x  3   3    3 x   ( x  4)   3 22  x  (14  x)   3( x  x  2) 4( x  x  2)  x2  x     3( x  x  2)  x   ( x  4) 22  x  (14  x)  ( x  x  2)(   3)  x   ( x  4) 22  x  (14  x)   x2  x   Do:   x 1 y 1 & xy2 22      0,  2;  3 x   ( x  4) 22  3x  (14  x)  Kết luận nhé: b.Hệ chứa đa thức bậc 3:a1x3+b1x2+c1x+d1=a2y3+b2y2+c2y+d2 (1) Về nguyên tắc tổng quát ta sử dụng đồng thức để xây dựng hàm đặc trung dạng: f (t ) =mt3+nt, tức biến đổi: (1)  m(ax  b)3  n(ax  b)  m(cy  d )3  n(cy  d )  f (ax  b)  f (cy  d ) Từ chứng minh hàm số f (t ) đơn điệu chiều miền D Suy ra: f (ax  b)  f (cy  d )  ax  b  cy  d vào phương trình lại Lƣu ý:Đối với phương trình đơn giản ta dùng CASIO để tìm a,b.Ngoài miền D  D1  D2 , với D1,D2 miền ax+b cy+d Ví dụ số 1:Giải hệ phương trình sau:  x3  y3 3 x  x 3 y   0(1)  x 3 3 y  y 3 x   0(2) ( Đề thi HSG Hà Nội năm 2014) Trên bước đường thành công dấu chân kẻ lười biếng Tài liệu a tổng hợp tự đánh lời giải a , em có cách khác cmt ib cho a nhé! LƢƠNG ĐỨC KHIÊM –KHÓA 49 THÂN TẶNG CÁC EM 99ER CHUYÊN ĐỀ HỆ PT Phân tích:Nhận thấy (1) có dạng đa thức bậc theo x theo y độc lặp với nhau.Do ta viết: x3  3x2  x   y3  y(i) Vì đa thức theo y đơn giản nên chọn hàm số đặc trưng theo nó., tức xây dựng hàm số f (t )  t  3t hai vế Khi viết: (ax  b)3  3(ax  b)  y3  y (ii).Khi có cách tìm a,b sau: Cách 1:Khai triển đồng nhất, tức VTii= a3 x3  3a2bx2  (3ab2  3a) x  b3  3b so sánh hệ số với (i), a=b=1 hay viết (1) (x+1)3+3(x+1)=y3+3y Cách 2:Sử dụng Casio nhập 1000 gán vào A: A:1000 -> A(1000 shift STO A), nhập X3+3X2+6X+4=A3+3A bấm shift SOLVE cho ta X=999=1000-1tuwcs ta viết (1) (x+1)3+3(x+1)=y3+3y f(x+1)=f(y).Do hàm số đặc trưng f(t)=t3+3t đồng biến R nên suy x+1=y ta có lời giải sau:  Lời giải:Điều kiện 2  x  2; 1  y  (1) (x+1)3+3(x+1)=y3+3y f(x+1)=f(y) Xét hàm số f(t)=t3+3t tập R có f’(t)=3t2+3>0, t R Do hàn số f(t) đồng biến R.Suy f(x+1)=f(y)  y=x+1 Thế vào (2) ta được:  x  3x   x  , suy ra:y=1 Kết luận:So sánh điều kiện ta nghiệm hệ phương trình (x;y)=(0;1) Ví dụ số 2:Giải hệ phương trình sau:  x3  y3  y 3 x  2 0(1) x  1 x 3 y  y   0(2) (Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015-THPT Ngô Gia Tự-Bắc Ninh) Phân tích:Thấy (1)  x3-3x-2=y3-3y có x, y độc lập nên nghĩ đến phương pháp sử dụng hàm số đặc trưng : f (t )  t  3t Nếu nhạy bén, em viết ngay: (1)  ( x  1)3  3( x  1)2  y3  y f(x+1)=f(y).Nhưng hàm đặc trưng hai vế f(t)=t3-3t2.không đơn điệu chiều R.Khi cần tìm điều kiện cho x+1 y hợp hai điều kiện miền D xét với hy vọng f(t) đơn điệu chiều D Thật vậy,, từ (2) có điều kiện: 1  x  1;0  y  nên suy điều kiện sau: x  1 D1  0;2 ; y  D2  0;2  D  D1  D2 Lúc ta có f’(t)=3t2-6t=3t(t-2)  Nên hàm số đặc trưng f(t) nghịch biến  0; 2  Lời giải:Điều kiện 1  x  1;0  y  (1)  ( x  1)3  3( x  1)2  y3  y f(x+1)=f(y) Trên bước đường thành công dấu chân kẻ lười biếng Tài liệu a tổng hợp tự đánh lời giải a , em có cách khác cmt ib cho a nhé! LƢƠNG ĐỨC KHIÊM –KHÓA 49 THÂN TẶNG CÁC EM 99ER CHUYÊN ĐỀ HỆ PT Xét hàm số f(t)=t3-3t2  0; 2 có f’(t)=3t2-6t=3t(t-2)  với thuộc  0;2  Do hàm số đặc trưng f(t) nghịch biến  0; 2 Suy ra:f(x+1)=f(y)  y=x+1và vào phương trình (2), ta được: (1)  x   x  2( x  1)  ( x  1)    x   x    (1  x )   x     x2    x0 Suy ra: y=1 Kết luận nhé:  a1x b1x c1xd1 (a2 y b2 ) c2 y d2 c.Dạng 3: Có phƣơng trình dạng:  ( a1x b1 ) c1x  d1 ( a2 y b2 ) c2 y  d2 Khi ta biến đổi phương trình mà bám sát vào thức để xây dựng hàm số đặc trưng Sau số ví dụ minh họa: Ví dụ số 1:Giải hệ phương trình sau:  y3 12 y  25 y 18(2 x 9) x  (1) x 1 3 x 14 x 8  y  y (2) (Đề thi thử THPT QG 2015-THPT Nghi Sơn-Thanh Hóa) Phân tích:Nhận thấy từ :(1)  y3  12 y  25 y  18  [2( x  4)2  1] x  hay ta có: (1)  y3  12 y  25 y  18  2( x  4)3  x  Sử dụng CASIO gán 1000  A nhập vào hình biểu thức: 2X3+12X2+25X+18=2A3+A bấm shift SOLVE, X=998=1000-2 , nghĩa ta viết (1)  2( y  2)3  ( y  2)  2( x  4)3  x   f ( y  2)  f ( x  4) với hàm đặc trưng f (t )  2t  t đồng biến R nên ta có lời giải chi tiết sau: 1  Lời giải: Điều kiện: x  ; 2  10  y  2  10 (1)  2( y  2)3  ( y  2)  2( x  4)3  x   f ( y  2)  f ( x  4) Xét hàm số f (t )  2t  t R có f '(t )  6t   0; t  R Trên bước đường thành công dấu chân kẻ lười biếng Tài liệu a tổng hợp tự đánh lời giải a , em có cách khác cmt ib cho a nhé! LƢƠNG ĐỨC KHIÊM –KHÓA 49 THÂN TẶNG CÁC EM 99ER CHUYÊN ĐỀ HỆ PT Do hàm số đồng biến R Suy ra: f ( y  2)  f ( x  4)  y   x   x  y  y; y  2 Thế vào phương trình (2)  3x    x  3x  14 x   0(3) Do sử dụng CASIO tìm x=5 nghiệm phương trình (3), nên ghép số liên hợp sau: (3)  ( 3x   4)  (1   x )  x  14 x   3( x  5) x 5   (3x  1)( x  5)  3x     x  ( x  5)(   3x  1)  3x     x  x   y 1  Kết luận:Hệ phương trình cho có tập nghiệm (x;y)=(5;1) Ví dụ số 2:Giải hệ phương trình sau:  y3  y  x 1 x 3 1 x (1)  y  x  y  7(2) (Đề thi thử THPT QG năm 2015-THPT Trần Phú-Thanh Hóa) Phân tích:Nếu chuyển vế phân tích 1 x làm nhân tử (1) có dạng bản, tức 3 có: (1)  y  y  (3  x)  x  y  y  [2(  x )  1]  x  y3  y  2(  x )3   x hai vế có dạng hàm đặc trưng f (t )  2t  t đơn điệu R.Ta có lời giải sau:  Lời giải:Điều kiện: x  1; 3  y 2  y3  y  2(  x )3   x  f ( y)  f (  x ) Xét hàm số f (t )  2t  t R.Có: f '(t )  6t   0; t  R Do hàm số f(t) đồng biến R Suy ra: f ( y)  f (  x )  y   x  y   x;0  y  Trên bước đường thành công dấu chân kẻ lười biếng Tài liệu a tổng hợp tự đánh lời giải a , em có cách khác cmt ib cho a nhé! LƢƠNG ĐỨC KHIÊM –KHÓA 49 THÂN TẶNG CÁC EM 99ER CHUYÊN ĐỀ HỆ PT Thế vào phương trình (2)  x   x  x  1(3) Phương trình (3) dạng: ax  b  cx  dx  e , có nhiều hướng giải.Sau anh trình bày cho em hướng giải liên hợp, lũy thừa, đặt ẩn phụ, đưa dạng A2=B2 Hƣớng 1:Sử dụng chức TABLE CASIO, tìm nhân tử x2-4x+1  x 32 Do x   x    x    x   x2  x 10  x   vào (3)  không thỏa mãn nên xét x   x    x  x   , Ta có: 2( x  x  1) 0 (3)  2( x  x  1)  [2 x   x  5]   ( x  x  1)  2x   4x  2  1   4x    2x 2x   4x   x  12   x 1    x 1 y  Kết luận: Hƣớng 2:Lũy thừa lên sau biết nhân tử x  x  (3)   x2 6 x 10 x4 6 x3 8 x2  x 10   x2 6 x 10 ( x2  x 1)( x  x 1) 0     2 xx2 4 x6x1010  x    y      x2 2 x10 Hƣớng 3:Đặt 2a   x    a 12 a 9 x 5 x2 6 x 1 a 3   a 3a 1 x x 3 x 1 a  x2  a  2( x  a)   ( x  a)(x  a  2)   x  a & x   a  3 Với a=x, suy ra: x   x  ; Vô nghiệm x  0;   2 Trên bước đường thành công dấu chân kẻ lười biếng Tài liệu a tổng hợp tự đánh lời giải a , em có cách khác cmt ib cho a nhé! LƢƠNG ĐỨC KHIÊM –KHÓA 49 THÂN TẶNG CÁC EM 99ER CHUYÊN ĐỀ HỆ PT  x 12 x    x   x 1  Với a=2-x, suy ra:   x 1 y  Hƣớng 4:Nhân vế phương tình (3) cho , ta được: (3)  x   x2  12 x   ( x   1)2  (2 x  2) Đến em giải tiếp  2.Một số kĩ làm xuất hàm đặc trƣng a.Chia để xuất hàm đặc trưng Trong số trường hợp, biến x, y chưa độc lập vế,ta cần chia để chúng độc lập sau chia chúng chưa độc lập xác định hàm đặc trưng vế.Ta xét số ví dụ sau: Ví dụ số 1:Giải hệ phương trình sau:  y3 (4 x 1)  2( y 1) y 6(1) y x (2  x 1)  y  y 1(2) (Đề thi HSG tỉnh Quảng Nam năm 2015) Phân tích:Từ (2) chia vế cho y2>0, độc lập x,y vế nên khả sử dụng hàm cao.Thật (2)  x  x (2 x)   1  ( )  với hàm đặc y y y trưng f (t )  t  t t  có lời giải chi tiết anh sau:  Lời giải:Điều kiện y  Do y=0 không nghiệm phương trình nên ta xét y>0, từ (2) để hệ phương trình có nghiệm x>0 y (2)  x  x (2 x)2    1 ( )   f (2 x)  f ( ) y y y Xét f (t )  t  t t  (0; ) Có f '(t )   t   2 t2 t 1  0; t  Trên bước đường thành công dấu chân kẻ lười biếng Tài liệu a tổng hợp tự đánh lời giải a , em có cách khác cmt ib cho a nhé! LƢƠNG ĐỨC KHIÊM –KHÓA 49 THÂN TẶNG CÁC EM 99ER CHUYÊN ĐỀ HỆ PT 1 Do f(t) đồng biến (0; ) Suy ra: f (2 x)  f ( )  x  y y Thế vào (1) ta được(1)  y  y  2( y  1) y   0(3) Sử dụng CASIO, ta tìm y=1 nghiệm phương trình(3) quan sát vế trái (3) có khả dương nên anh sử dụng đạo hàm để giải Xét hàm số f ( y)  y  y  2( y  1) y  (0; ) có: y2 1 f '( y )  y  y  y   0; y  y Do f(y) hàm số đồng biến (0; ) Do phương trình f(y)=0 có tối đa nghiệm.Mà f(1)=0 =>y=1 nên x  Kết luận nhé: b.Kết hợp phương trình phương pháp cộng để tạo hàm số đặc trưng Trong nhiều toán, ta cần kết hợp phương trình tìm hàm đặc trưng.Vấn đề cần xác định cộng, trừ, lấy phương trình cộng n lần phương trình kia, xác định giá giá trị n dáu hiệu sao? Để áp dụng tốt sau anh giải cho em số ví dụ giải theo cách anh làm, anh phân tích cho em số thủ thuật phương pháp hiệu Ví dụ số 1:Giải hệ phương trình sau:  x  x  x  3 y  y  (1) x  y 3 x  y 1 0(2) (Đề thi HSG tỉnh Tuyên Quang năm 2015) Phân tích:Nhận thấy (2) phưng trình bậc hai biệt số delta không số phương nên không phương pháp số biến thiên Quan sát (1),(2) độc lập theo x,y vế không tìm hàm đặc trưng.Khi e nên nghĩ đến việc kết hợp phương trình để tạo hàm đặc trưng.Viết hệ sau: Trên bước đường thành công dấu chân kẻ lười biếng Tài liệu a tổng hợp tự đánh lời giải a , em có cách khác cmt ib cho a nhé! LƢƠNG ĐỨC KHIÊM –KHÓA 49 THÂN TẶNG CÁC EM 99ER CHUYÊN ĐỀ HỆ PT   x  x  x  3 y  y  x 3 x 1 y 3 y cộng vế phương trình với ta được: x2  x   x2  x   y  y   ( x  1)2  ( x  1)2   y  y  Đến đây,nếu viết f ( x  1)  f (y) khó khăn cho việc xét hàm: f (t )  t  t  , t f '(t )  2t  chưa khẳng định dáu tìm điều kiện x-1 y nên t 1 2 dài dòng.Nhưng xét f (( x  1) )  f ( y ) hàm đặc trưng f (t )  t  t  với f '(t )    0, t  đồng biến khoảng xét t 1  Lời giải:Lấy phương trình (1) cọng với phương trình (2) ta được: x2  x   x2  x   y  y   ( x  1)2  ( x  1)2   y  y   f (( x  1)2 )  f ( y ) Xét hàm số f (t )  t  t   0;   có f '(t )    0, t  t 1 Do f(t) đồng biến  0;   2 2 Suy ra: f (( x  1) )  f ( y )  (x 1)  y  y  x  1& y   x Với y  x  , vào (2) x  y 2 Với y   x , vào (2 ) ta được: x  y 4 Kết luận em! Chú ý:Cách anh lấy hàm đặc trƣng ví dụ , quan trọng ! Trên bước đường thành công dấu chân kẻ lười biếng Tài liệu a tổng hợp tự đánh lời giải a , em có cách khác cmt ib cho a nhé! LƢƠNG ĐỨC KHIÊM –KHÓA 49 THÂN TẶNG CÁC EM 99ER CHUYÊN ĐỀ HỆ PT Ví dụ số 2:Giải hệ phương trình sau:  x x  y y  xy  y  y  x  20(1) x  y 5 x  xy  y  0(2) ( Đề thi HSG tỉnh Bắc Ninh năm 2015) Phân tích:Nếu cộng hai phương trình cho ta triệt tiêu đại lượng xy độc lập x,y vế, tức biến đổi: (1)+(2): x x  3x  x   y y  y hay ( x )3  3x  x   ( y )3  y gán 1000  A vào CASIO,rồi nhập phương trình :X3+3X2+4X+2=A3+A, với X= x bấm shift SOLVE cho ta X=999=1000-1 3 hay X=A-1 nên viết ( x  1)  ( x  1)  ( y )  y Xét hàm đặc trưng sau: f (t )  t  t; t  R đồng biến R  Lời giải:Điều kiện x  0; y  3 Lấy (1)+(2) ta được: ( x )  3x  x   ( y )  y 3  ( x  1)  ( x  1)  ( y )  y  f ( x  1)  f ( y ) Xét hàm số: f (t )  t  t; t  R Có f '(t )  3t   0, t  R Do f(t) đồng biến R Suy ra: f ( x  1)  f ( y )  x   y , vào (2) ta được: (2)  x  x   x   y  Kết luận nhé! c.Một số phép biến đổi tương đường để xây dung hàm đặc trưng Đối với dạng nguyên tắc nào, mà tùy thuộc vào đặc điểm toán ta tìm dạng hàm đặc trưng nhé! Lên dạng cần biến đổi em , lên anh không làm ví dụ đây, phần tập tự luận anh cung cấp toán hay phần này.Mong em cố gắng  ! Trên bước đường thành công dấu chân kẻ lười biếng Tài liệu a tổng hợp tự đánh lời giải a , em có cách khác cmt ib cho a nhé! LƢƠNG ĐỨC KHIÊM –KHÓA 49 THÂN TẶNG CÁC EM 99ER CHUYÊN ĐỀ HỆ PT II.Phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình bất đẳng thức cổ điển Thông thường ta sử dụng phươngnày vào hệ có dạng quen bất đăng thức cổ điển dùng máy tính tìm nghiệm mà dùng phương pháo bình phương, đặt ẩn phụ ẩn, ẩn, lượng giác , dùng hàm mà không nghĩ đến đánh giá BĐT cho anh .Ý tưởng xử lý:  Lựa chọn phương trình biến đổi f(x;y)=a mà dùng BĐT đánh giá f(x;y)  a f(x;y)  a  Sử dụng phương pháp cộng trừ mà ta thu f(x;y)=g(x;y) mà ta dễ chứng minh f(x;y)  a g(x;y)  a Lúc mối quan hệ x,y điều kiện để xảy dấu”=”, tức t phải giải hệ f(x;y)=b;g(x:y)=a !  Lƣu ý: 1)Đôi cần nhìn nhận tương đồng BĐT cổ điển( bất đẳng thức phụ) để nhìn đáng giá thật hợp lý 2)Đối với phương trình vừa mang tính tương đối vừa mang tính chất đẳng cấp thường biến nhau, tức x=y.Từ dựa đoán điểm rơi tách ghép hợp lý để sử dụng đánh giá phù hợp 3)Các BĐT cổ điểm thường sử dụng dạng : Bất đẳng thức Cô si o Với a,b  a+b  ab Dấu “=” xảy a=b o Với a,b,c  a+b+c  3 abc Dấu”=” cảy a=b=c Bất đẳng thức Bunnhiacopxki: o Với a,b,x,y ta có:  ( ax by )2 (a b2 )( x  y ) ax by  (a  b2 )( x  y ) a b Dấu “=” xảy khi:  x y o Với x,y,z ta có:  ( ax by  cz )2  (a b2  c2 )( x  y  z ) ax by  cz  (a b2  c2 )( x  y  z ) a b c Dấu “=” xảy khi:   x y z o Với a,b,c số thực x,y,z số dương thỏa mã: Trên bước đường thành công dấu chân kẻ lười biếng Tài liệu a tổng hợp tự đánh lời giải a , em có cách khác cmt ib cho a nhé! LƢƠNG ĐỨC KHIÊM –KHÓA 49 THÂN TẶNG CÁC EM 99ER CHUYÊN ĐỀ HỆ PT a b c (a  b  c) a b ( a  b)      x y z ( x  y  z) x y ( x  y) 2 2 Bất đẳng thức vecto: u  v  u  v Dấu “=” xảy vecto hướng Ví dụ số 1:Giải hệ phương trình sau:  x 12  y  y (12  x ) 12(1) x3 8 x 1 y  (2) (Đề thi khối A năm 2014) Phân tích:Từ phương trình (1) ta thấy bóng dáng BĐT Cô si viết ngược dạng: ab  a  b Do  y  12 nên 12  x2  nên áp dụng BĐT Cô-Si được: y  12  x 2 y (12  x )  (1’).Còn x 12  y  x (12  y) chưa khẳng định x có 2 u  v2  (u  v)2  dương hay không.Nhưng ta có BĐT quen thuộc dạng: uv  x  12  y với u,v.Nghĩa x 12  y  (2’).Khí (1’)+(2’) ta có: x 12  y  y(12  x )  12 dấu “=” xảy (1’), (2’) phải đồng thời xảy ra, từ tìm mối quan hệ x,y y=12-x2 có lời giải   Ngoài ra, nhìn vào phương trình (1) ta thấy dáng quen BĐT Bunnhi,dạng 2 2 là: ax  by  (a  b )( x  y ) nghĩa từ (1) ta có: (1)  x 12  y  y(12  x )  (12  x  x )(12  y  y)  12 dấu”=” xảy x 12  x   khi: 12  y y  0 x  y 12  x Từ ta có lời giải   Lời giải 1:Sử dụng BĐT Cô-si BĐT phụ ! y 12  x   y (12 x2 )  2  x 12  y  y (12  x )  12  Ta có: x 12 y  x 12 y   2 Dấu “=” xảy khi:   0 x  y 12  x2 Trên bước đường thành công dấu chân kẻ lười biếng Tài liệu a tổng hợp tự đánh lời giải a , em có cách khác cmt ib cho a nhé! LƢƠNG ĐỨC KHIÊM –KHÓA 49 THÂN TẶNG CÁC EM 99ER CHUYÊN ĐỀ HỆ PT Thế vào (2) ta đƣợc : x3  x   10  x  x3  x   2(1  10  x )   ( x  3)( x  3x  1)      ( x  3)  x  3x   0  10  x  10  x   2( x  9)   x   y  ;Do  x  3x       0, x  0;2   10  x  Kết luận nhé!  Lời giải 2:Sử dụng BĐT Bunnhiacopxki 2 (1)  x 12  y  y(12  x )  (12  x  x )(12  y  y)  12 x 12  x   Dấu “=” xảy khi: 12  y y  0 x  y 12  x Thế (2) làm tƣơng tự nhƣ lời giải bên ! Nhận xét: Sauk hi vào (2) x  8x   10  x sử dụng CASIO nhập vào bấm shift SOLVE miền 0;  , chẳng hạn shift SOLVE x=-1, nghiêm bị vi phạm nên tiếp tục ấn shift SOLVE 2, thu x=3, nghiệm thỏa mãn liên ghép số liên hợp thỏa mãn phhuwong pháp giải bên Ví dụ số 2:Giải hệ phương trình sau:  x2  y 1 2( x  y )(1) x (2  y )  y (2 x )  2(2) ( Đề thi thử HSG thầy Nguyễn Văn Khái-THPT Lục Nam) Phân tích: phương trình (2) có dáng vẻ BĐT Cô-si cụm căn,rồi cộng lại, điều kiện:  x (2  y )  y (2  x ) 0 chưa khẳng định hạng tử ticchs dương nên chưa áp dụng được.Khi cần làm chặt miền điều kiện để áp dụng BĐT Cô- si.Quan sát (1) có dạng đẳng thức nên ta biến đổi (1) sau: (1)  ( x  1)  ( y  1)   2  ( x 1)2 1 ( y 1)2 1   00 xy22 Từ hạng tử tích dương áp dụng BĐT Cô-Si nha   Lời giải:Điều kiện:  x (2  y )  y (2  x ) 0 Trên bước đường thành công dấu chân kẻ lười biếng Tài liệu a tổng hợp tự đánh lời giải a , em có cách khác cmt ib cho a nhé! LƢƠNG ĐỨC KHIÊM –KHÓA 49 THÂN TẶNG CÁC EM 99ER CHUYÊN ĐỀ HỆ PT (1)  ( x  1)  ( y  1)   Từ  Ta có:   x  2 y y  2 x y (2  x )  x (2  y )   ( x 1)2 1 ( y 1)2 1   00 xy22  x(2  y)  y(2  x)  Dấu “=” xảy khi:  x  2 y y  2 x  x  y  ,và kết hợp (1) ta đƣợc hệ   x y 2  x y 2   xy  sau:  x2  y 3    Theo hệ thức Viet ta có x,y nghiệm phƣơng trình:X +2X+ =0 Các em suy nghiệm cho anh nhé!   ĐÂY LÀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP VÀ VÍ DỤ ANH GIẢI THEO CÁCH CỦA ANH NHA, EM NÀO CÓ CÁCH KHÁC MONG CÁC EM GÓP Ý NHÉ!  BÀI TẬP VỀ CÁC DẠNG TRÊN ANH SẼ GỬI CHO CÁC EM 1-2 NGÀY NỮA, TÀI LIỆU NÀY, CÁC EM ĐỌC HƢỚNG DẪN TRÊN VÀ THỬ LÀM LẠI CHO ANH Trên bước đường thành công dấu chân kẻ lười biếng Tài liệu a tổng hợp tự đánh lời giải a , em có cách khác cmt ib cho a nhé!