I.LỜI NÓI ĐẦU Phương trình-Hệ phương trình-Bất đẳng thức có mối quan hệ chặt chẽ với nhau.Đây cũng chính là những phần quan trọng nhất của đại số.Nó thường xuyên xuất hiện trong kì thi t[r]
(1)Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ Giải Phương Trình Vô Tỷ Bằng Phương Pháp Đánh Giá Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình WWW.TOANMATH.COM (2) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com I.LỜI NÓI ĐẦU Phương trình-Hệ phương trình-Bất đẳng thức có mối quan hệ chặt chẽ với nhau.Đây chính là phần quan trọng đại số.Nó thường xuyên xuất kì thi tuyển sinh Đại Học (THPT QG) hay các kì thi HSG.Ta cần có phương trình,hệ phương trình để dự đoán điểm rơi BĐT hay quá trình sáng tác Bất đăng thức nảy sinh nhu câu tìm nghiệm Phương trình-Hệ phương trình-Bất đẳng thức.Qua có thể nói việc giải tốt PT-HPT là quan trọng.Nhiều bài toán PT-HPT-BĐT là che dấu BĐT nào đó.Chúng ta cần phải linh hoạt sử dụng BĐT vào giải PT-HPT.Vì không dùng đúng thì dẫn đến kết không mong muốn.Giải PT phương pháp đánh giá chính là kết hợp tuyệt vời BĐT và PT Đã có nhiều tài liệu,sách viết PT.Tuy vậy,những bài viết Giải PT phương pháp đánh giá chưa đề cập toàn diện cách giải hay là phương pháp sáng tác.Vì vậy,trong tài liệu này đề sau vào cách giải PT phương pháp đánh giá (Một phương pháp hay và khó GPT) Hy vọng nó là tài liệu hay giúp cho các bạn hiểu rõ Phương pháp này Trong tài liệu này có ba mục: Mục 1:Nhắc lại số BĐT hay dùng giải phương trình,phương pháp giải PT vô tỷ phương pháp đánh giá Mục 2:Một số ví dụ và cách sáng tác phương trình phương pháp đánh giá Mục 3:Tổng hợp bài tập Sai sót là điều không thể tránh khỏi bài viết này,vì xin trân trọng đón nhận góp ý và nhận xét các bạn và thầy cô Mọi ý kiến thắc mắc gửi vào gmail:xuanhung312000@gmail.com (3) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Các thành viên tham gia viết chuyên đề Chủ biên:Đinh Xuân Hùng (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình) Các thành viên tham gia viết chuyên đề: 1.Nguyễn Khánh Trường (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình) 2.Hoàng Trung Hiếu (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình) 3.Vũ Minh Hạnh (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình) 4.Tống Đức Khải (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình) 5.Nguyễn Thị Thu Trang(Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình) 6.Bùi Thị Thùy Linh (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình) 7.Phạm Thị Phương Loan (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình) 8.Đào Thị Thanh Huyền (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình) 9.Lê Anh Quang (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình) Xin cảm ơn cô Ngô Thị Hoa (Cô giáo chủ nhiệm Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình) đã hướng dẫn các ví dụ Phương Pháp Giải PT đánh giá.Cô chính là người khởi xướng việc viết chuyên đề này ♥ Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình♥ (4) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com II Nhắc lại số BĐT hay dùng giải phương trình,phương pháp giải PT vô tỷ phương pháp đánh giá Các BĐT hay dùng [1].Bất đẳng thức AM-GM Cho n số thực dương a1 , a2 , , an ta luôn có BĐT a1 a2 an n.n a1.a2 an Dấu “=” xảy a1 a2 an [2].Bất đẳng thức Cauchy-Schwar (C-S) Cho số a1 ; a2 ; ; an và b1 ; b2 ; ; bn ta luôn có BĐT (a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) a1b1 a2 b2 an bn a a a Dấu “=” xảy n b1 b2 bn Một hệ bất đẳng thức Cauchy-Schwar hay dùng: an2 a1 a2 a n a22 b2 bn b1 b2 bn b1 a1 2 Với điều kiện b1 ; b2 ; ; bn là các số dương Dấu “=” xảy a a1 a2 n b1 b2 bn [3].Bất đẳng thức Minkowski (Hay còn gọi là phương pháp tọa độ) Cho số a1 ; a2 ; ; an và b1 ; b2 ; ; bn ta luôn có BĐT a12 a 22 a n2 b12 b22 bn2 Dấu “=” xảy a1 b1 2 a2 b2 2 an bn 2 a a1 a2 n b1 b2 bn [4].Bất đẳng thức Holder Với m dãy số dương a1,1 ; a1, ; ; a1,n , a 2,1 ; a 2, ; ; a 2,n , , a m,1 ; a m, ; ; a m.n ta có m n n , j m , j j 1 i 1 i 1 m Dấu “=” xảy m dãy đó tương ứng tỉ lệ.Bất đẳng thức Cauchy-Schwar là hệ trực tiếp bất (5) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com đẳng thức Holder với m=2 Với a,b,c,x,y,z,m,n,p là các số thực dương ta có: a b c x y z m n p axm byn czp 3 Đây chính là hệ hay dùng BĐT Holder m=3 Phương pháp giải f ( x) g ( x) Thông thường ta đánh giá sau f ( x) C ( C ) f ( x) g ( x) C g ( x ) C ( C ) Hoặc đánh giá trực tiếp f ( x) g ( x); f ( x) g ( x) Từ đó tìm dấu “=” xảy đẳng thức (tức là giá trị biến để thỏa mãn điều kiện xảy dấu bằng) Ngoài số bài ta có thể sử dụng điều kiện nghiệm để đánh giá Đôi tôi muốn hét to với giới tôi may mắn làm tôi làm bạn với bạn, đôi tôi muốn im lặng, sợ đó đem bạn rời khỏi tôi -Khuyết danh Ở đâu đó có người mơ nụ cười bạn, đâu đó có người cảm thấy có mặt bạn là đáng giá, vì bạn cô đơn, buồn rầu và ủ rũ, hãy nhớ ràng có đó, đâu đó nghĩ bạn Somewhere there's someone who dreams of your smile, somewhere there's someone who finds your presence worthwhile, so when you are lonely, sad and blue, remember there is someone, somewhere thinking of you Khuyết danh ♥ Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình♥ (6) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com III Một số ví dụ và phát triển phương trình vô tỷ phương pháp đánh giá Ví dụ 1.Giải phương trình: x x (1) Tập xác định 4;6 Bình luận: Đây là bài toán có nhiều cách giải (Bình phương vế,liến hợp,…) ta thử trình bày bài toán qua phương pháp đánh giá xem sao? Bài làm Áp dụng BĐT C-S cho số x ; x và (1;1) ta có: (1 1)(6 x x 4) ( x x ) Đẳng thức xảy x x x x x 5(TM ) 6 x x4 Từ (1)(2) x mà x x x x Dấu xảy x=5(2) Vậy x=5 Nhận xét: Tại mình lại đưa bài toán này làm ví dụ đầu tiên?Vì mình muốn nói đến ưu điểm,nhược điểm phương pháp đánh giá Ưu điểm:Cách giải nhanh,gọn nhẹ,không phải tính toán vất vả Nhược điểm:Không phương pháp giải PT vô tỷ khác thì phương pháp đánh giá không phải bài nào dùng được.Bạn nào không tỉnh táo để sử dụng thì chắn dễn đến việc thiếu nghiệm không dẫn đến kết mong đợi.“Trăm nghe không thấy” thử làm bài PT tương tự Ví dụ nào Giải phương trình: x x TXĐ 1;4 Áp dụng BĐT C-S cho số x ; x và (1;1) ta có: Dấu xảy x x x 3(TM ) x x (4 x x 1)(1 1) x x 10 x x 10 ?? Đến đây thì làm tiếp đây nhỉ?Vì vế nhỏ 10 và phương trình còn xót nghiêm x=0 Đúng là cùng dạng mà bài dùng phương pháp đánh giá để giải dẫn đến việc không giải thiếu nghiệm Chú ý:Dạng phương trình: a x m b n x P (với a,b,m,n là các số bất kì).P có thể là số có thể P=f(x) (7) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com -Đầu tiên chúng ta dùng máy tính Casio (cách nhẩm nào các bạn biết ) để nhẩm nghiệm -Nếu PT có nghiệm thì chúng ta sử dụng phương pháp đánh giá còn không mình khuyên các bạn đừng sử dụng nhé! -Cách làm:Tương tự VD1 Ví dụ 2.Giải phương trình: x x x 10 x 27 (1) TXĐ 4;6 Bình luận VD2 với VD1 có đặc điểm chung đó là cùng có ( x x ) vế trái và có nghiệm là 5.Nhưng bài này dùng phương pháp bình phương liên hợp thì PT VD2 chắn khó xử lí so với VD1.Tại chúng ta không dùng phương pháp đánh giá nhỉ?(Dạng PT vừa nêu trên mà) Thử nhé! Bài làm Áp dụng BĐT C-S cho số x ; x và (1;1) ta có: (1 1)(6 x x 4) ( x x ) Đẳng thức xảy x x x x x 5(TM ) 6 x x4 mà x x x x Dấu xảy x=5(2) Xét hiệu: x 10 x 27 ( x 5) x 10 x 27 Dấu xảy x=5(3) Từ (1)(2)(3) x Vậy x=5 Nhận xét:Đó chính là ưu điểm sử dụng phương pháp đánh giá để giải phương trình Vô tỷ Ví dụ 3.Giải phương trình: x 11x 36 x 18 27 x 54 (1) ĐKXĐ: x Bình luận Phương trình này có số mũ vế khá là to.Nhưng cái hay chính là phương trình này có nghiệm là và bên vế trái tách thành 3.3.3.( x 2) Sao chúng ta không thử sử dụng BĐT AM-GM nhỉ? Bài làm Áp dụng BĐT AM-GM cho số không âm 3;3;3 và (x-2) ta được: 3.3.3.( x 2) x x Dấu “=” xảy khi x x 5(TM ) x 27 x 54 Dấu “=” xảy x=5 (2) Xét hiệu: x 11x 36 x 18 x ( x 5) ( x 1) 0x TXĐ x 11x 36 x 18 x (3) Dấu “=” xảy x=5 (8) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Từ (1)(2)(3) x Chú ý:Cách sáng tác PT dạng này: Ta xét hai BĐT có cùng dấu “=” xảy chẳng hạn x=3 và x 1 ta có: (4 x 4) 2 (4 x 4) x 13 (1) Và x 3x x 27 ( x 3) ( x 3) 0(2) 4 4 Với x 1 thì dấu “=” (1) và (2) cùng xảy và x=3 Từ (1)(2) và x 3x x 27 ( x 13) x 3x 8x 40 ta bài toán sau: Ví dụ 3.1.Giải phương trình sau: x 3x 8x 40 4 x (1) ĐKXĐ: x 1 Lời giải: Áp dụng BĐT AM-GM cho số không âm ;2 ;2 ; (4 x 4) ta được: 4 (4 x 4) x 13 (2) Dấu “=” xảy x 16 x 3(TM ) 4.2 4.2 4.(4 x 4) Xét hiệu: x 3x x 27 ( x 13) x 3x 8x 40 ( x 3) ( x 3) x 3x x 27 x 13 Dấu “=” xảy x=3(3) Từ (1)(2) x Vậy x=3 Nhận xét:Với cách sáng tác trên bạn sáng tác nhiều bài PT dạng này Ví dụ 4.Giải phương trình: 4x 4x (1) ĐKXĐ: x Lời giải: là nghiệm PT (1) 4x 1 Với x thì x x 1( KTM ) 2 4x Vậy x= Ta thấy x Nhận xét Đây là dạng PT hay gặp.Và cách giải chung nó là dự đoán nghiệm sau đó sử dụng phương pháp đánh giá để giải Tổng quát: x x0 là nghiệm ta cần chứng minh với x x0 x x0 không thỏa mãn.Để Ta có thể đưa kết luận x x0 là nghiệm Ví dụ tương tự: Ví dụ 4.1.Giải phương trình: x x x TXĐ:D=R (9) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải: Ta thấy x=-2 là nghiệm phương trình Thật vậy: VT VP x 1 Với x>-2 x x x x 1 0( KTM ) x x 1 Với x<-2 x x x x 1 0( KTM ) x Vậy x=-2 là nghiệm phương trình Ví dụ 4.2.Giải phương trình: 3x x x 3x 5x x 3x (1) 3x x x 2 x ĐKXĐ: x 37 3x x x 3x Chú ý:Đối với bài mà ĐKXĐ khó giải thì tốt không nên giải ra.Chỉ cần tìm nghiệm Thay lại là Lời giải: PT (1) 3x 5 x 2( x 2) x 3x x x 3( x 2) Ta thấy x=2 là nghiệm PT (1) Với x>2 thì VT 3x x x 3x x x 3( x 2) VP( KTM ) Với x<-2 thì VT 3x x x 3x x x 3( x 2) VP( KTM ) Vậy x=2 là nghiệm phương trình Ví dụ 5.Giải phương trình: x x 2( x 3) x (1) ĐKXĐ: x Bình luận:Ý tưởng khai thác yếu tố hình học ẩn chứa bài toán chỗ vế trái phương trình cho dạng x 1.1 ( x 3).1 từ đó giúp ta nhớ đến biểu thức tọa độ tích vô hướng hai vectơ (10) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com mặt phẳng tọa độ Oxy Bài làm u ( x 3) x u ( x 3; x 1) Đặt v (1;1) v Theo bất đẳng thức: u v u v ta có: x ( x 3) 2( x 3) x (2) Từ (1)(2) u v u v Điều này xảy và u; v cùng phương hay u k v (k 0) x 1 k x x 5(TM ) x k x 1 x x x 10 k Vậy x=5 Nhận xét Thực chất phương pháp trên là BĐT Minkowski mà thôi.Tuy bài toán trên trình bày với phương pháp tọa độ Oxy thì trông vừa đẹp vừa ngắn.Nếu bạn sử dụng BĐT Minkowski thì các bạn phải có thêm bước chứng minh nhé Xây dựng bài toán từ tính chất cực trị hình học Dùng tọa độ vec-tơ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy.Cho các vec-tơ: u ( x1 ; y1 ), v ( x2 ; y2 ) đó ta có: • u v u v ( x1 y1 ) ( y1 y ) x12 y12 x22 y 22 Dấu xảy và hai vec-tơ u; v cùng hướng x1 y1 k Chú ý tỉ số phải dương x2 y • u v u v cos u v Dấu xảy và cos u v u k v (k 0) Sử dụng tính chất đặc biệt tam giác • Nếu tam giác ABC là tam giác thì với điểm M tùy ý trên mặt phẳng tam giác,ta luôn có (11) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com MA MB MC OA OB OC với O là tâm đường tròn.Dấu xảy và chi M trùng O •Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý mặt phẳng thì MA+MB+MC nhỏ và chi điểm M nhìn các cạnh AB,AC,BC cùng góc 120 Đến đây các bạn tự sáng tác nhiều bài GPT sử dụng tính chất cực trị hình học Một số ví dụ tương tự: Ví dụ 5.1.Giải phương trình: x x x ( 1) x x ( 1) x Bài làm TXĐ:D=R Phương trình (1) (2 x 1) 12 ( 3x 1) ( x 1) ( 3x 1) ( x 1) (1) u (1;1 x) Chọn v ( 3x 1; x 1) u v w (3;3) u v w w (1 x; x 1) Ta có: u v w u v w (2 x 1) 12 ( 3x 1) ( x 1) ( 3x 1) ( x 1) (2) Dấu “=” xảy u ; v ; w cùng hướng Từ (1)(2) u ; v ; w cùng hướng x k v k u x k (1 x) k , l 0 x 0(TM ) v l w x l (1 x) x l ( x 1) Vậy x=0 Ví dụ 6.Giải phương trình: 13 x x x x 16 (1) (Đề thi Olympic Toán 30/04/2011) ĐKXĐ: x Bài làm Ta có: 13 x x x x (12) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x x 13 x x 13 = x x x x 2 13 x 4(1 x ) x 4(1 x ) 16 (BĐT AM-GM cho hai số dương) 4 3 x x 4 4 x x (TM )( 2) 13 x x x x 16 Dấu “=” xảy 5 x 1 x Từ (1)(2) x Vậy phương trình có nghiệm x Nhận xét Nếu các bạn đọc lời giải thì hẳn nghĩ bài toán này khá dễ.Đúng mình đồng ý với ý kiến các bạn.Tuy nhiên quá trình tìm lời giải thì lại khác.Đây là quá trình khá khó và phải sử dụng đến các ẩn ; để tìm lời giải hoàn chỉnh.Sau đây mình xin ý tưởng làm bài này: Với số dương ; 13( 1) x 13 13 x x 13 x (1 x ) 2 2 9( 1) 9 x x x (1 x ) 2 13( 1) 9( 1) 13 13 x x x x x 2 2 2 2 Để có điều cần chứng minh tức là VT 16 thì ta cần chọn các số dương , cho x x 2 x x 13( 1) 9( 1) 0 2 2 13 16 2 2 Vậy là ta đã tìm ; Khi đó cần thay ; vào là (như lời giải bên trên).Các bạn hoàn toàn có thể sáng tác PT giải theo bài toán này (những dạng PT giải theo cách này thường hay và khó) (13) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ví dụ 7.Giải phương trình: x x 10 x x x (1) ĐKXĐ: x Bình luận PT trên là dạng PT lồng căn.Đối với dạng PT này cách tối ưu là giải phương pháp đánh giá.Vì hầu hết các phương pháp bình phương,liên hợp,ẩn phụ tối với bài này không Bình phương thì số mũ PT sau bình phương hết là quá to.Liên hợp có thể giúp ta tìm nghiệm còn bên thì quá kho xử lý.Ẩn phụ thì khó phát để tìm ẩn phụ thích hợp PT trên có nghiệm x=-1 càng khiến cho ta tin PT trên hoàn toàn giải phương pháp đánh giá.Vậy thử nhé! Bài làm Áp dụng BĐT AM-GM cho hai số không âm x và ta được: x 2.2 x Dấu “=” xảy x 2x x 1(TM ) 2x 2x x x 10 x x x 10 x x x 10 x x x x x 10 x x x Dấu “=” xảy x=-1 (2) Áp dụng BĐT AM-GM cho hai số không âm x và ta được: x 2.2 x Dấu “=” xảy x x 1(TM ) 2(7 x) x x 2(7 x) x x x x x Dấu “=” xảy x=-1(3) Xét hiệu: 16( x x 4) (7 x) 15( x 1) Dấu “=” xảy x=-1 16( x x 4) (7 x) mà 16( x x 4) 0;7 x x x x Dấu “=” xảy x=-1(4) Từ (1)(2)(3)(4) x 1 Vậy phương trình có nghiệm x=-1 (14) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ví dụ 8:Giải phương trình: 2 x 1 ĐKXĐ: x x x9 Bài làm Áp dụng BĐT C-S ta có: x x ( x 9) VT 2 x 1 ( x 9) VP x 1 x 1 1 x x 1 Dấu xảy 2 x 1 x 1 x x 1 2 2 x 1 Vậy phương trình có nghiệm x Ví dụ 9.Giải phương trình: x x 8 x 1 x (TM ) x 7 1 3 3 x3 2 ĐKXĐ: x 3 Điều kiện phương trình có nghiệm là x>0 Bình luận:Lại là kiểu ‘căn lồng căn’.Và đã nói phương pháp tốt để giải loại PT này chính là phương pháp đánh giá.Thử thôi! Bài làm Đặt a 1 3 x thì ta có hệ phương trình 2 3 a 2 x 2 a x 1 3 a 3 x Mà f (t ) t là hàm đồng biến trên (0;) 2 nên suy a x a x Hay x x Đặt b x ta có hệ phương trình 2 x b 2b x Giả sử x a x 2a Giả sử x b b x b x (15) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com b x Hay x x 4x x x 1(TM ) x ( KTM ) Vậy phương trình có nghiệm x=1 Ví dụ 10.Giải phương trình: 2x x 3x 2x 2x x x Bình luận:Đối với bài này ta sử dụng đánh giá ít gặp f ( x) g ( x) f ( x) a.h( x) g ( x) b.h( x) f ( x) g ( x) h ( x ) Với số a,b dương Bài làm Biến đổi phương trình thành: x x 3x x 2( x 2) x 3x 2( x 2) 2 x Sử dụng đánh giá trên ta có x 3x x 2 2( x 2) Thử lại x=-2 là nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x=-2 Đó là số Ví dụ để làm rõ phương pháp đánh giá giải phương trình vô tỷ.Hy vọng ví dụ trên phần nào giúp các bạn có thể hiểu và vận dụng phương pháp đánh giá giải phương trình Để các bạn có thể nắm rõ luyện kĩ thì mình xin nêu số Bài tập và các lời giải tóm tắt "Nhân cách người thầy là sức mạnh có ảnh hưởng to lớn học sinh, sức mạnh đó không thể thay sách giáo khoa nào, câu chuyện châm ngôn đạo đức, hệ thống khen thưởng hay trách phạt nào khác." - Usinxki - ♥Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy ♥ (16) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com IV.Bài tập và lời giải tóm tắt Giải các phương trình sau: 1) x x x2 8x 24 2)16x4 + = 4x2 x 3) x7 2x 2x x 1 4) x x2 x x2 x 1 x2 x 1 5) 3x x x x x 2 (7 x x 4) 6) x3 3x2 8x 40 4 x 7) 27 x 24 x 28 27 1 x6 8) x y y x xy 9) x x x x x x 10) x2 x 2x x x 2 11) x x x x 12) x x x 13) x 28 23 x 23 x x 14) x2 3x x 15) 6 3 x 2x 16)Tìm nghiệm nguyên dương PT sau: 1 1 1.2 2.3 3.4 x x 1 4 x 4 4 x 5 (17) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 17) x x 18) x 5x 14 x x x x 19) x + 8x = 4x4 -3x2 + 5x 20) x2 2x x2 4x x2 6x x2 16x 64 21) x x 22) x 23) x x 24) x2 2x x3 4x 25) x6 3x4 26) x2 x 4x x 4x 2 27) x2 4x 12 x2 2x x2 28) x2 x x x2 x 29) x2 2x 2x 1 3x2 4x 30) 25 x(2 x 9) x 31) x x x x 32) x x2 x2 33) 2x2 1 x x 1 x2 34) x x2 x x3 3x 35) x x2 x x x (18) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2 x x 1 x 1 x 36) 37) x 1 (x ) x x Lời giải Tóm tắt 1) ĐKXĐ : 2 x6 Áp dụng bất đẳng thức Bunhia copxki ta có: x2 6 x 2 x x VT 1 Mà VT VT 2 Ta có x 8x 24 x VP Mà VP VP 2 2 x2 6 x Từ 1 và VT VP 2 x 4 0 x4 Vậy x=4 là nghiệm phương trình đã cho 2) Ta có 16 x4 + >0 x Nên từ (1) x> Áp dụng bất đẳng thức Cauchuy ta có: 16 x4 + = 3 2.4 x(4 x 1) x x 16 x4 + - 4x -4x -3 0 16 x4 - 4x -4x +2 (2 x 1)2 (2 x x 1) 2x -1 = x = (thỏa mãn x> 0) 3) ĐKXĐ : x Ta thấy x =2 là nghiệm phương trình (1) Ta chứng minh đây là nghiệm (thỏa mãn ĐKXĐ) (19) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x2 x x 1 2 * Nếu x >2 thì x 1 1 8 8 x 1 VT (2) x x 2.22 2.2 VP (3) Từ (2) và (3) Vô lý * Nếu x thì VT ; VP < Pt (1) 1 Vô lý Vậy x = là nghiệm phương trình đã cho 4) x x2 x x2 x 1 x2 x 1 (1) ĐKXĐ: x 2 Đặt t = x 1 t Phương trình (1) trở thành: t t 2t 2t 1 Từ (2) 2t t (2) Bình phương vế (2) ta được: t t t t 4t 2t 1 t 2t 2t 1 1 2t 1 t t t 1 Vì t nên t tt Ta có: t 1 2t 1 2t 1 (3) (4) 2t 1 2 Từ(3), (4), (5) 5) (5) t 1 x 1 x2 (thỏa mãn ĐKXĐ) (20) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 3x x x x x 2 (7 x x 4) (1) x 1 ĐKXĐ x Áp dụng bất đăng thức Bunhiacopxki ta có: ( 3x2 1 x2 x x x2 )2 (2 + x2)(3x2-1+x2-x+x2+1) = ( 2+ x2)(5x2-x) VT2 VT < x 5x x (2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: (7 x x 4) = (5x2 – x +(x2+2).2) (7 x x 4) VP x 5x 2 x 5x 2 x 2.5x 2 x x x (3) x2 2 3x x x Từ (2) và (3) VT = VP x 2 5x x 2( x 2) x = -1 Vậy x = -1 là nghiệm phương trình đã cho 6) ĐKXĐ x 1 x3 3x x 40 = 4 x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 4 x = 4 4.4.4( x 1) x x 13 x3 3x 8x 40 x 13 x3 3x x 27 (x-3)2(x-3) (x-3)2 ( x+3> x 1 ) x -3 = x = ( thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy x =3 là nghiệm phương trình đã cho 7) 27 x 24 x 28 27 28 27 và x60) 1 x (điều kiện : 27 x 24 x 3 (21) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 24 81x 72 x 28 3(9 x 4) 1 (9 x 4)2 3(9 x 4) 2 1 Điều kiện: x x Đặt x y Khi đó (1) trở thành; 24 y2 3y y2 3y 1 2 1 6y 3 Sử dụng bất đẳng thức cô si ta được: 6 y y2 y2 ( y 6) 4 y 4( 4) ( y 2) 0 3 Ta lại có ( y 6)2 nên y y y4 thỏa mãn điều kiện ban đầu Từ đó x 9 Thử lại x là nghiệm phương trình đã cho Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 6y 8) x y 1 y x 1 y 1 x xy ĐK x y 1 y x 1 3xy xy x y xy y x x x y y 1 y x x 1 Do y 1 1 y y y x 1 x 1 x x 1 1 y Dấu “=” xảy y = 2 Dấu xảy x = Vậy nghiệm PT là x=y=2 9) x2 x 1 x2 x x2 x 2 1 x x 1 x x x 2 (1) 2 x x Ta có ĐK: x x (22) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Khi đó áp dụng: Ta có: a a 1 " " a x2 x x2 x x2 x 1 x2 x 2 x2 x 1 x2 x x Mặt khác: x x x 1 x x x 1 x 1 x Vậy x2 x x2 x x2 x x x2 x x x 1 x 1 x 1 Vậy x=1 là nghiệm phương trình 10) x2 x x3 x x 2 x2 x ( x x 1)(2 x 1) 2 (1) Ta có x2 - x + > với x suy ĐK x 1 Áp dụng BĐT cho hai số x2 – x + > 0; 2x + > Ta có: ( x x 1)(2 x 1) x2 x x x2 x 1 2 Dấu “=” xảy x2 – x + = 2x +1 x2 – 3x = x = ™ x=3 ™ Vậy S = 0;3 11) x2 (ĐK : x4 2) (x 0) x x x3 x2 2 x x 1 x4 x4 x x2 x 1 Ta cã: x Dấu xảy x x x 4 (1) x2 x x (1 ) x x x x x x 4.2 x x 16 Mặt khác: 4 4 2 2 x x Dấu “=” xảy x = 4 16 2 2 4 (2) (23) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Từ (1)(2) x 12) x 1 x x3 Giải: Nhận thấy x=0 là nghiệm phương trình +Nếu x<0 thì x 1; x 2; x Vậy VP <1; VT>1 nên phương trình vô nghiệm + Nếu x>0 thì VP<1; VT>1 nên phương trình vô nghiệm Vậy x=0 là nghiệm phương trình 13) x 28 23 x 23 x x Hướng dẫn: TXĐ: x Nhận thấy x=2 là nghiệm Dễ thấy:1 x<2 thì phương trình vô nghiệm x>2 phương trình vô nghiệm Vậy x=2 là nghiệm PT 14) Giải phương trình: x2 3x x HD:ĐK: x 1;2 (1) PT x2 3x x (2) Từ (2) ta có: x 1 x 1 x 1 x (3) 15) Từ (1) và (3) Ta có x = vào (2) thoả mãn Vậy x = HD: ĐK: x < Bằng cách thử, ta thấy x = Ta cần chứng minh đó là nghiệm là nghiệm phương trình và 4 3 x 2x Tương tự với < x < 2: 6 3 x 2x Thật vậy:Với x < : Vậy x=3/2 là nghiệm phương trình 6 3 x 2x (24) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 16) HD:ĐK: x (1) 1 1 x 1 4 x 5 x x (*) Ta có: VP(*) = x x (2) Ta có: Từ (1) và (2) ta có:x = là nghiệm 17) HD: ĐKXĐ: x x Giả sử x là nghiệm phương trình.Khi đó: x x Do đó: x Mũ hai vế PT ta được: x x x 12 x x VT x x (6 x 1) 12 x VP(x ) PTVN 19) HD: ĐKXĐ:x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 4x 11 2x 8x 8x 2x x 1 8x x 4x4 – 3x2 +5x 4x 4x4 – 3x2 +x x( x 1)(2 x 1)2 4x 1 (2x-1)2 (do x(x+1) > x 2x – 1= x= Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 20) Ta có: x2 x x2 x x2 6x x2 16x 64 x 1 x x x Có: x x x x -x-1-x-2+x+3+x+8=8 (25) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x x 1 x x 2 Dấu”=” xảy x x 3 x x 8 -3 x -2 Vậy nghiệm phương trình là : S={x -3 x -2 } 21) x (ĐKXĐ: x ) 22) +Dễ thấy x=1 là nghiệm phương trình +xét x>1 Ta có x x > x +xét x<1 Ta có x x < x Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=1 (điều kiện: x>0) x 8x2 x 8x2 8x2 1 1 1 1 8x2 x x x x x 8x 4 23) 1 1 23 2 5 x x x x x x x x x 1 x 8 x 32 x x x 45 x Thử lại thấy x thỏa mãn phương trình đã cho Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 4 x x (điều kiện : x ) Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta được: 1 8x 2x 2 4x Dấu “=”xảy và x 1x 16 8 x (26) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thử lại: x thỏa mãn 16 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 16 24) x2 2x x3 x (điều kiện x ) Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta được: 1 x x2 x2 x 4 x( x 4) 2 2 x 2x x 4x Suy ra: ( x 2)2 Ta lại có ( x 2) 0, x nên x x Thử lại x là nghiệm phương trình Vậy phương trình đã cho có nghiệm x x3 3x 25) x6 3x4 1(điều kiện: 3x và x ) x 3x x +dễ thấy với x thì (thỏa mãn điều kiện ẩn) x 1 +nếu x thì x6 x6 Và 3x4 3x4 Do đó: x6 3x4 +nếu x thì x6 x6 Và 3x4 3x4 Do đó: x6 3x4 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x1 và x2 1 26) x2 x x2 x x2 (điều kiện: x R ) Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có: x2 x 9 x2 4x x2 4x x Dấu “=” xảy và khi: x x x 4 9( x x 9) x2 x Tương tự ta có: x x x Dấu”=” xảy và khi: x x x (27) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x2 Do đó: x x x x Dấu”=” xảy và x 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 27) x2 4x 12 x2 2x x2 (điều kiện: x x 12 và x x ) Ta thấy: x2 x 12 ( x2 x 3) x Nên ( x x 12 x x 3)2 x x 12 ( x x 3) ( x x 12)( x x 3) ( x 2)( x 6) (3 x)( x 1) (3 x)( x 1)( x 2)(6 x) ( x 1)(6 x) ( x 2)(3 x) (3 x)( x 1)( x 2)(6 x) ( ( x 1)(6 x) ( x 2)(3 x)) x x 12 x x Lại có: x Do đó; x2 4x 12 x2 2x x2 ( ( x 1)(6 x) ( x 2)(3 x)) x x0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 28) x2 x x x2 x (điều kiện: x x và x x hay x ) Áp dụng bất đẳng thức cô- si ta được: x2 x 1.( x x) x x2 ( x x ).1 2 Suy ra: x2 x x x2 x x x Dấu “=” xảy và khi: là hệ vô nghiệm x x Vậy phương trình đã cho vô nghiệm (28) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 29) x 2 x x x 1 3x x (điều kiện: x 2 ) x x 1 x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwars(hay bu-nhi-a) ta được: x x x 1 ( x 1)(( x 2) x 1) x x x 1 ( x 1)(3x 1) x x x 1 ( x 1)(3x 1) 1 x Dấu”=”xảy và : x x x x x x 1 x 1 là thỏa mãn phương trình đã cho 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x Ta thấy x 30) 3 25 x(2 x 9) x (điều kiện: x ) x 25 x (2 x 9) x 3 25 x (2 x 9) x x x Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta được: x x (2 x 9) 3 25 x (2 x 9) 31) Dấu”=”xảy và khi: 5x2 x2 x Thử lại thấy x là nghiệm phương trình đã cho Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x1 và x2 x 2x2 x (điều kiện: x x ) Ta có x x ( x 1)(1 x) 1 x Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta được: x x x 2x2 1 x 2x x2 2 2 (29) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Dấu”=” xảy và x Thử lại x là nghiệm phương trình đã cho Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=0 32) x x2 x2 (điều kiện : x 1) Từ điều kiện ẩn ta có thể thấy: x x2 1 x2 Dấu đẳng thức xảy và x 1 33) x2 1 x x 1 x2 ( điều kiện : x ) ta thấy x không là nghiệm phương trình đã cho nên chia hai vế cho x ta lại có x2 x 1 2 x x x2 1 dấu đẳng thức xảy và x x2 2x 1 dấu đẳng thức xảy và x x x2 1 2x 1 dấu đẳng thức xảy và x x x Ta thấy x thỏa mãn phương trình đã cho Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x Dó đõ 34) x x2 x x3 3x (điều kiện: x ) x ( x x 1) x x x 1 ( x 1)2 x x x 1 ( x 1)2 x x x 1 ( x 1)2 ( x 1) ( x 1)2 ( x 1) ( x 1)2 ( x 1) Từ điều kiện xác định suy ra: ( x 1)2 x x x 1 Dấu đẳng thức xảy và x 35) ( x 1) ( x 1) Ta thấy x=1 thỏa mãn phương trình đã cho Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x x x2 x x x (điều kiện x 1 ) (30) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x 2x 2x x2 x 1 x x2 x2 x x 2x 2x x2 x 1 x ( x 1)(3 x 2) x 2x 2x x2 x 1 Từ điều kiện ẩn x ta có 2x x2 x Ta xét các trường hợp : 1 x ( x 1)(3x 2) 1 x thì ta có : 0 x 2x 1 2x x2 x Th2: x thay vào phương trình đã cho thỏa mãn 1 x ( x 1)(3 x 2) 0 Th3: x thì ta có: x 2x 1 2x x2 x Th1: Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x Hãy thử làm ý tương tự trên x x 3x x 36) 2 x x x (điều kiện: x ) 1 x 2 x x 1 x 1 x Dấu đẳng thức xảy và x (thỏa mãn phương trình đã cho) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x Dễ dàng chứng minh được: 37) x2 1 ( x ) (điều kiện: x và ) x x x Dùng bất đẳng thức bunhiacopski dễ dàng chứng minh được: x x2 1 2 x x 1 x x2 x x Và x x2 Dấu”=” xảy và khi: 1 x 1(thỏa mãn phương trình đã cho) 2 x x Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x Mời các bạn tự giải các bài tập sau: x3 11x2 25x 12 x2 x 1 13 x x 16 x (31) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x2 x x 2( x 0) x2 x x x x 2x x2 x x x x3 x x x2 x4 x4 x( x x ) x “Loss leaves us empty - but learn not to close your heart and mind in grief Allow life to replenish you When sorrow comes it seems impossible - but new joys wait to fill the void.” _Pam Brown _ Sự mát khiến chúng ta trống rỗng - hãy học cách không để đau khổ đóng lại trái tim và tâm hồn mình Hãy để đời đổ đầy lại bạn Dưới đáy u sầu, dường điều đó là không thể - niềm vui chờ đợi để lấp đầy khoảng trống Love begins with a smile, grows with a kiss, and ends with a teardrop Tình yêu bắt đầu với nụ cười, lớn lên với nụ hôn, và kết thúc giọt nước mắt Khuyết danh _ "Các bài giảng giáo sư, cho dù có đầy đủ, xúc tích đến đâu, có chứa chan tình yêu tri thức thân giáo viên đến đâu, thì thực chất, mà nói, đó chẳng qua là chương trình, là lời dẫn để điều chỉnh trật tự nhận thức sinh viên Người nào biết ngồi nghe giáo sư giảng thân mình lòng không cảm thấy khát khao đọc sách, thì có thể nói tất điều người nghe giảng trường đại học tòa nhà xây trên cát mà thôi." - I.A Gontcharov - ♥Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy ♥ (32) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com V.Lời Kết Lần đầu tiên mình xin cảm ơn các bạn các thầy cô giáo đã đọc tài liệu này.Hy vọng nó là tài liệu hay phương pháp sử dụng kĩ thuật đánh giá giúp người có thêm cho mình phương pháp mạnh giải phương trình Mặc dù đã dành nhiều thời gian trau truốt chuyên đề Tuy vậy,tài liệu có thể gặp sai sót ví dụ,bài tập,lời giải.Mong người thông cảm và góp ý vào gmail nhóm Chúc người luôn mạnh khỏe và thành công Thay mặt, ĐINH XUÂN HÙNG CHÚC MỌI NGƯỜI MỘT NĂM MỚI 2016 HẠNH PHÚC VUI VẺ,AN KHANG,THỊNH VƯỢNG Happy New Year-2016 Cấm hình thức lưu tài liệu chưa có cho phép Một số tài liệu tham khảo: [1].Chinh phục phương trình-Bất phương trình-Lovebook [2].Sáng tạo phương trình,bất phương trình,hệ phương trình [3].Tạp chí toán học và tuổi trẻ Một số trang web học tập hay [1].Diễn đàn Toán học: http://diendantoanhoc.net/forum/index [2].Diễn đàn K2pi: http://k2pi.net.vn/ [3].Diễn đàn BoxMath: http://boxmath.vn/forum/ [4].Diễn đàn THPT: http://diendanthpt.16mb.com/index.php Và công cụ tốt cho các bạn nhẩm nghiệm phương trình https://www.wolframalpha.com/examples/Math.html Mình xin kết thúc chuyên đề đây.Mong nhận nhiều ủng hộ các bạn TRY YOUR BEST AND YOU WILL SUCCEED ♥Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy ♥ (33)