Phương pháp: Thông thường để chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau, ta thuờng dùng hai phương pháp sau: Phương pháp 1: Đặt ƯCLN của chúng là d => mỗi số đều chia hết cho d, sau đó ta tìm[r]
(1)Phương pháp: Thông thường để chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau, ta thuờng dùng hai phương pháp sau: Phương pháp 1: Đặt ƯCLN chúng là d => số chia hết cho d, sau đó ta tìm cách chứng minh d = Ví dụ: Chứng minh hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng Giải: Gọi hai số lẻ liên tiếp là 2n + và 2n + (n N) Ta đặt (2n + 1, 2n + 3) = d Suy 2n + d; 2n + d Vậy (2n + 3) – ( 2n + 1) d hay d, suy d { ; } Nhưng d vì d là ước các số lẻ Vậy d = 1, điều đó chứng tỏ 2n + và 2n + là hai số nguyên tố cùng Phương pháp 2: Ta dùng phương pháp phản chứng Giả sử điều cần chứng minh là sai, Từ đó ta tìm cách suy mâu thuẩn với giả thiết phản chứng huặc mâu thuẩn với chân lý có trước Ví dụ: Cho (a, b) = Chứng minh ab và a + b nguyên tố cùng Giải: Giả sử a + b và ab không nguyên tố cùng Do đó a + b và ab phải có ít ước số chung nguyên tố d: a + b d (1) ab d (2) Vì d là số nguyên tố nên từ (2), ta có: (2) a d b d Nếu a d Từ (1) b d Như a và b có ước số chung nguyên tố d, trái với giả thiết Nếu b d Từ (1) a d Như a và b có ước số chung nguyên tố d, trái với giả thiết Vậy, (a,b) = thì ab và a + b nguyên tố cùng Bài tập Bài 1: chứng minh hai số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng Giải: Gọi hai số nhiên liên tiếp là n và n + 1(n N ) Đặt (n, n + 1) = d n d; n + d Do đó (n + 1) – n d hay d suy d = n và n + là hai số nguyên tố cùng Bài 2: Cho a là số tự nhiên lẻ, b là số tự nhiên chứng minh các số a và ab + nguyên tố cùng Giải: Giả sử a và ab + cùng chia hết cho số tự nhiên d( d ) Như thì ab chia hết cho d, đó hiệu (ab + 4) – ab = 4cũng chia hết cho d Suy d có thể 1, hay Nhưng a không chia hết cho và vì a lẻ Vậy d nên các số a và ab+ nguyên tố cùng Bài 3:Cho a, b nguyên tố cùng Chứng minh an + bn và ab nguyên tố cùng Giải: Giả sử an + bn và ab không nguyên tố cùng (3) Ta suy an + bn và ab phải có số chung nguyên tố d : an + bn d (1) ab d (2) Vì ab d, d nguyên tố nên ta có: a d b d Nếu a d an d Ta lại có an + bn d suy bn d Vì bn d, d nguyên tố, nên b d Như a và b có ước số chu ng nguyên tố d, mâu thuẫn giả thiết Nếu b d: Tương tự Vậy: an +bb = và an + bn và ab nguyên tố cùng Bài tập tương tự Cho a,b,c nguyên tố cùng Chứng minh : ab + bc + ca , a + b + c, abc nguyên tố cùng Cho (a,b) = Chứng minh 5a +3b và 13a + 8b nguyên tố cùng Cho a,b nguyên tố cùng Chứng minh an và b nguyên tố cùng Chứng minh với n khác thì số 3n + và 4n + nguyên tố cùng Tr ương Phươc Hai (4)