(Böôùc naøy coù theå boû qua neáu laøm baøi khoâng kòp thôøi gian) 4.. Baøi 3.61 Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå moãi phöông trình sau coù boán nghieäm phaân bieät :.. a) Chöùng minh phö[r]
(1)Chương III :
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
§1.Khái niệm phương trình, phương trình bậc ẩn.
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
Phương trình ẩn
Là mệnh đề chứa biến x có dạng f(x) = g(x), x gọi ẩn số, f(x) vế trái;
g(x) vế phải
Điều kiện xác định (ĐKXĐ) phương trình điều kiện cho ẩn x để biểu thức hai vế
có nghóa
Mỗi số x0 thoả mãn ĐKXĐ cho f(x0) = g(x0) mệnh đề đúng, nghiệm
cuûa phương trình Một phương trình có tập nghiệm rỗng gọi phương trình vô nghiệm
2 Phương trình tương đương (PTTĐ), phương trình hệ (PTHQ) Cho hai phương trình (PT): f1(x) = g1(x) (1) & f2(x) = g2(x) (2)
+ PT (2) (PTHQ) PT (1) , kí hiệu f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x) tập nghiệm (1) tập tập nghiệm (2)
+ Hai phương trình (1) (2) tương đương, kí hiệu f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x), tập nghiệm (1) (2)
3 Phép biến đổi tương đương
Định lý : Gọi D ĐKXĐ PT f(x) = g(x) h(x) biểu thức xác định xDthì
a) f(x) = g(x) f(x) + h(x) = g(x) + h(x)
b) f(x) = g(x) f(x) h(x) = g(x) h(x) , h(x)
, xD4.Phương trình bậc ẩn
+ Phương trình bậc ẩn có dạng ax + b = 0, x ẩn số, a, b
R ; a
0 x gọilà ẩn a, b hệ số
+ PT ax + b = với a
0 có nghiệm x = -b/a5.Giải biện luận phương trình ax + b = 0
Neáu a
0, PT có nghiệm x = -b/a Nếu a = 0, b
0, PT vô nghiệm Nếu a = 0, b = 0, PT có nghiệm x
RB CÁC VÍ DỤ GIẢI TỐN
Bài 3.1 Các cặp PT sau có tương đương khoâng ? a) 2x + = – 3x vaø
1
2
x x x
x
b) 2x + = – 3x vaø 2x + +
4
2
x = – 3x +
2
(2)Bài 3.2 Giải phương trình :
a) 2x – + x 1 1 x 1 ; b) 6
x x
x Bài 3.3 Cho phương trình bậc với tham số m : 3mx – = 2(m – x) m(4x – 1) = 5x +
Xác định giá trị m để hai phương trình có nghiệm chung ài 3.4 Giải phương trình sau :
a)
3 10
3
3
2
x x
x
; b) 1 2 11 ( 43 1)
x x x x x
x x
x x
c)
87 1919 81
1925 75
1931
x x x
; d) x651x633 x615x597 Bài 3.5 Giải biện luận phương trình với ẩn số x :
a) m2(x-1) = 9x + 3m ; b) 3
m x
m mx
c)
3
m x
x x
m x
; d) mx1 3xm Baøi 3.6 Giải biện luận phương trình theo hai tham soá a, b :
a) 2 2 2 2
b x
x a x b
b x a x
; b) a b
b x a x b a
ab x
Bài 3.7 Tìm giá trị tham số cho phương trình :
a) ( 1)
m x
x
m vô nghiệm b) 25
m x
x
m có vô số nghiệm
c) m(m 1)x 1 m2
có nghiệm
C BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 3.8 Các cặp PT sau có tương đương không ? a) 3x + = 2x + vaø 3x + +
1
x = 2x + + 1
x
b) 3x +1 = 2x + vaø 3x +1 + 13
x = 2x + +
x
Bài 3.9 Giải biện luận phương trình sau theo tham số ( x ẩn số) 1a) 2( 2) (7 ) 3(2 1)
m x x
x
m ; 1b) 2( 1) 2(5 2)
mx x
x m
2a)
2
x m mx
; 2b)
2
(3)3a) 2
x
x m x
x
; 3b) 13
x x m x x
4a) 2
m x
n x n x
m x
; 4b) 1
x m x m x
x
5a) 1 11( 1)1 1
m x
m x
mx m
; 5b) 2 1 1( 2)2 1
m x
m mx
m x
6a) m2x 3n m(3x n)
; 6b) m2x mn2(mx n)
7a) xm x m2 ; 7b)
1
x
x m x
x
Baøi 3.10 Giải biện luận phương trình theo hai tham soá a, b : a)
1 ) ( 1
1
2
x x a x
b x
ax ; b) a(x 1)b(2x1)x2
Bài 3.11 Xác định m để phương trình sau vơ nghiệm :
a)
2
1
x x x
m x
; b) 2
1
x m x x
x
Bài 3.12 Tìm a b để phương trình sau có tập nghiệm R :
a) a(x 2)x3b(2x1) ; b) a(x 1)b(2x1)x2 Bài 3,13 Tìm m số ngun để phương trình sau có nghiệm :
a) 1
3 ) (
2 )
1 (
x x m x
m x m
; b) 9
2 )
3 (
3 ) (
x m x m x
x m
Bài 3.14 Tìm m để phương trình sau có nghiệm âm : a) 2( 1)
x m
x
m ; b) 2( 1)
x m
x m
§2 Phương trình – hệ phương trình bậc hai ẩn số
(4)Phương trình bậc hai ẩn số
+ Phương trình bậc hai ẩn số có dạng : ax + by = c (1) , a, b, c số biết với a.b
; x, y hai ẩn số+ Cặp số (x0 ; y0) thoả mãn ax0 + by0 = c (x0 ; y0) gọi nghiệm (1) + + Phương trình bậc hai ẩn số có vơ số nghiệm, biểu diễn nghiệm mặt phẳng toạ độ
đường thẳng ax + by = c
2 Giải biện luận phương trình ax + by = c (1)
a) Nếu a
, b
0, phương trình (1) có vơ số nghiệm Cơng thức nghiệm tổng qt phươngtrình : x R y y R
b ax c
x
, ; a
by -c ,
; .
Tập nghiệm (1) biểu diễn mặt phẳng toạ độ đồ thị hàm số : x bc
b a
y Còn gọi đường thẳng ax + by = c
b) Nếu a = , b
0, phương trình có dạng by = c Công thức nghiệm tổng quát :x R
b c
x
; ;
Tập nghiệm biểu diễn mặt phẳng toạ độ đường thẳng song song với trục hồnh cắt trục tung điểm có tạo độ
b c ;
0 .
c) Nếu a
, b =0, phương trình có dạng ax = c Công thức nghiệm tổng quát :y y R
a c
; ;
Tập nghiệm biểu diễn mặt phẳng toạ độ đường thẳng song song với trục tung cắt trục hồnh điểm có tạo độ
;0
a c
d) Neáu a = 0, b = 0, c
0 hệ vô nghiệme) Nếu a = b = c = cặp số (x ; y) , xR; yR nghiệm phương trình 3.Hệ phương trình bậc hai ẩn số
+ Hệ hai phương trình bậc hai ẩn (x y) có dạng : (I) :
)2(
)1(
2 2
1 1
c
y
b
x
a
c
y
b
x
a
trong (1) (2) phương trình bậc hai ẩn
+ Kí hiệu :
122
1
22
11
baba
ba
ba
(5)
122
1
22
11
bcbc
bc
bc
D
x
;122
1
22
11
caca
ca
ca
D
y
Ta có qui tắc Crame để giải hệ (I) sau :a) Nếu D
hệ (I) có nghiệm (x0 ; y0) xác định bỡi công thức :D D y D D
x x y
0
0 ;
b) Nếu D = va ø Dx
(hoặc Dy
0) hệ (I) vơ nghiệmc) Nếu D = Dx = Dy = hệ (I) có vơ số nghiệm tập nghiệm (1) (2) 4.Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn.
Gọi d1 đường thẳng a1x + b1y = c1 d2 đường thẳng a2x + b2y = c2
Hệ (I) có nghiệm d1 d2 cắt Hệ (I) vô nghieäm d1 // d2
Heä (I) có vô số nghiệm d1
d2
B CÁC VÍ DỤ GIẢI TỐN
Bài 3.15 Giải phương trình bậc hai ẩn biểu diễn nghiệm mặt phẳng toạ độ : a) 4x – 3y = ; b) -3x + 2y =
Bài 3.16 Giải biện luận theo tham số m phương trình bậc hai ẩn số x y : a) (3m - 2)x + (m+1)y = m – ; b) (m2 – 1)x + (m+1)y = m2 – m -2
Bài 3.17 Cho k số thực xác định Hãy tìm phương trình bậc hai ẩn x, y cho cặp số
3 ;
2 k k nghiệm phương trình đó.
O x y
d 1
d2 O x
y
2
1
d
d
O x y
(6)Bài 3.18 Giải hệ phương trình : a)
8
2
3
1
3
5
y
x
y
x
; b)
0
3
4
5
0
4
2
3
y
x
y
x
c)
20
29
1
1
3
5
2
1
5
3
4
y
x
y
x
; d)
15
8
1
2
2
15
29
1
2
2
y
y
x
x
y
y
x
x
e)
1
3
3
2
y
x
x
y
x
; g)
10
3
2
11
3
2
6
2
3
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Bài 3.19 Cho hệ phương trình : (I)
1
3
2
)2
(
m
my
x
m
y
x
m
; m tham số Với giá trị m hệ (I) có nghiệm Tìm nghiệm
Bài 3.20 Cho hệ phương trình : (I)
m
y
m
x
m
y
x
m
6
)4
(
)2
(
; m tham số Với giá trị m hệ (I) có vơ số nghiệm Viết cơng thức nghiệm hệ trường hợp
Bài 3.21 Giải biện luận theo tham số a hệ phương trình (I)
2
)1
(
3
)
2(
6
ay
x
a
y
a
ax
Trong trường hợp hệ (I) có nghiệm nhất, tìm hệ thức x y độc lập với tham số a
Bài 3.22 1) Cho hệ phương trình với tham số m : (I)
m
y
m
x
m
y
mx
6
)1
(
2
2
(7)2) Cho hệ phương trình với tham số m : (I)
m
m
y
x
m
m
y
x
m
2
1
2
)1
(
2
2
Tìm giá trị nguyên m để hệ (I) có nghiệm ngun C BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 3.23 Giải biện luận theo tham số m phương trình bậc hai ẩn số x y : a) (2m - 3)x + (m-1)y = m + ; b) (m2 – 4)x + (m-2)y = m2 + m -6
Bài 3.24 Cho k số thực xác định Hãy tìm phương trình bậc hai ẩn x, y cho cặp số
2 ;
2 k k nghiệm phương trình đó.
Bài 3.25 Giải hệ phương trình :
a)
5
3
4
3
2
y
x
y
x
; b)
3
5
2
2
7
2
3
y
x
y
x
c)
1
9
4
3
3
2
y
x
y
x
y
x
y
x
; d)
3
2
1
2
2
1
1
6
5
1
2
1
1
3
y
x
y
x
y
x
y
x
e)
9
5
5
3
y
x
y
x
; g)
3
4
3
1
2
2
3
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Bài 3.26 Giải biện luận hệ phương trình sau (ẩn số laø x vaø y) 1a)
1
2
)6
2(
4
4
m
y
x
m
m
my
x
; 1b)
2
1
2
my
x
(8)2a)
2
)2
(
3
2
)1
(3
my
x
m
y
m
x
m
; 2b)
1
2
)1
(
my
x
m
y
x
m
3a)
m
y
m
mx
m
n
my
nx
4
2
; 3b)
2
n
y
nx
m
my
x
4a)
m
y
n
m
x
n
m
n
y
n
m
x
n
m
)
(
)
(
)
2(
)
2(
; 4b)
mn
my
nx
n
m
ny
mx
2
2
Bài 3.27 1) Cho hệ phương trình :
0
2
)1
(
0
3
6
)2
(
y
m
mx
my
x
m
a) Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m
b) Giả sử (x;y) nghiệm hệ ,tìm hệ thức x y độc lập đối với m
2) Cho hệ phương trình :
2
)1
(
9
)
2(
6
my
x
m
y
m
mx
a) Giaûi biện luận hệ phương trình theo tham số m
b) Giả sử (x;y) nghiệm hệ ,tìm hệ thức x y độc lập đối với m
Bài 3.28 Tìm m số nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm (x;y) với x, y số ngun Lúc tìm (x;y) :
1a)
0
4
)2
(
2
0
2
)1
3(
)1
(
y
m
x
m
y
m
x
m
; 1b)
0
1
2
0
3
m
my
x
m
y
mx
2a)
1
2
2
1
2
m
my
x
m
y
mx
; 2b)
1
3
2
m
y
x
m
y
mx
(9)
3
1
2
y
x
n
y
mx
vaø
3
3
2
2
y
x
m
y
x
Bài 3.30 Tìm m để hệ sau có nghiệm :
0
0
1
0
1
m
y
x
my
x
y
mx
§3 Phương trình bậc hai ẩn số
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Cơng thức nghiệm
Phương trình bâïc hai (một ẩn x) có dạng ax2 + bx + c = (1) a, b, c số biết gọi hệ số ; x ẩn số
Đặt b2 4ac
' b'2ac với b2b'
biệt thức (1)a) Nếu > (’> 0), phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt tính bỡi cơng thức :
a b x a
b x hay a
b x a
b
x ' ; ' '
2 ;
2
'
1
b) Nếu = (’= 0), phương trình (1) có nghiệm kép tính bỡi cơng thức :
x1 = x2 = -b/2a ( hay x1 = x2 = -b’/a)
c) Neáu < (’< 0), phương trình (1) vô nghiệm
2 Định lý Vi-et ứng dụng
Định lý : Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a
0) có nghiệm x1 x2 tổng tích nghiệm phương trình laø : S = P x x aca b x
x1 ; Ứng dụng :
* Nhẩm nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a
0) (1)- Nếu (1) có hệ số thoả mãn a + b + c = có nghiệm x1 = nghiệm x2 = c/a
- Nếu (1) có hệ số thoả mãn a - b + c = có nghiệm x1 = -1 nghiệm x2 = -c/a
* Tìm hai số biết tổng tích chúng
Nếu hai số có tổng S có tích P số nghiệm phương trình : x2 -Sx + P =
* Phân tích tam thức bậc hai thành thừa số
Neáu f(x) ax2 bx c x x1 x x2 f(x) a(x x1)(x x2)
3.Giải biện luận phương trình ax2 + bx + c =
(10)và biện luận phương trình đượpc tiến hành sau :
Bước 1: xét trường hợp a = (nếu a có chứa tham số ) (giả sử tham số m)
Từ a = m = … thay giá trị m vào b c Phương trình bx + c = với b, c số biết Có hai khả sau xảy :
Nếu b = c
0 ( 0x + c = với c
0) phương trình vơ nghiệm Nếu b = c = (0x + = ) phương trình có vơ nghiệm x
TXĐ Bước 2: Xét trường hợp a
m
… Tính biệt số b2 4ac (hay'b'2ac) (Chú ý dấu ’như nhau) Biện luận theo dấu (hoặc ’) :
- Nếu < phương trình vô nghiệm
- Nếu = phương trình có nghiệm kép x0 = -b/2a (hoặc x0 = -b’/a)
- Nếu > phương trình có hai nghiệm phân biệt tính theo cơng thức :
a b x a
b x hay a
b x a
b
x ' ; ' '
2 ;
2
'
1
Bước 3: Tóm tắt lại kết (Bước bỏ qua làm không kịp thời gian) 4 Dấu nghiệm số phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0
Nếu ac < x1 < < x2 (gt x1 < x2 ) (tức phương trình có nghiệm trái dấu) Nếu ac > ta tính phương trình có hai nghiệm dấu (tức x1.x2 > 0)
Đặt S = x1 + x2 (= -b/a) ; P = x1.x2 (= c/a > 0)
-Nếu S > < x1 < x2 (phương trình có hai nghiệm dương) -Nếu S < x1 < x2 < (phương trình có hai nghiệm âm) Tóm tắt mục sau :
Neáu P < 0 x1 < < x2
Neáu
0
0
0
S
P
< x1 < x2 ; Neáu
0
0
0
S
P
x1 < x2 < 5 Moät số phương trình qui cách giải phương trình bậc haia) Phương trình trùng phương dạng ax4 + bx2 + c = (a
0) (1)-Đặt ẩn phụ y = x2 , điều kiện y
-Viết phương trình theo y ay2 + by + c = (2)
Bảng tóm tắt nghiệm (2) suy nghiệm tương ứng (1) sau :
Phương trình trung gian
ay2 + by + c = 0 Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0
0 < y1 < y2 x1,2 y1 ; x3,4 y2 y1 < < y2 x1,2 y2
y1 = < y2 x = vaø x1,2 y2 < y1 < y2 xo
b) phương trình dạng (xa)(xb)(xc)(xd)kvới a,b,c,d,k
R (1) (11)
x2(ab)xab
x2 (cd)xcd
k đặt ẩn phụ t = x2 + mx ta thuphương trình bậc hai theo t Giải tìm nghiệm t0 giải PT x2 + mx = t0 để tìm x. B CÁC VÍ DỤ GIẢI TỐN
Bài 3.31 Giải phương trình sau : a) 25 1 153 41
x x x
x
; b)
x x
x x
x
x
4
2
2
c) (x3)(x4)(x5)(x6)120 ; d) 2 3 2 2 3 3
x x x
x e) 2
x
x ; g)
x
x
Bài 3.32 Cho phương trình : (m2-4)x2 – 2(m+2)x + = ; m tham số a) Với giá trị m phương trình có nghiệm ?
b) Với giá trị m phương trình vơ nghiệm ? Bài 3.33 Giải biện luận phương trình với tham số m :
a) (m+1)x2 – 2(m+2)x + m -3 = ; b) (m+1)x2 - (2m+1)x + m-2 = 0 Bài 3.34 Cho hai phương trình chứa tham số m :
x2 + mx + = vaø x2 + 2x + m =
a) Xác định m để hai phương trình có nghiệm chung
b) Xác định m để phương trình (x2 + mx + 2)( x2 + 2x + m) = có nghiệm phân biệt. Bài 3.35 Cho hai phương trình : x2 + mx + n = x2 + px + q = thoả mãn điều kiện : mp2(qn) Chứng minh có hai phương trình có nghiệm
Bài 3.36 Không giải nhẩm nghiệm phương trình :
a) 3x2 – 10x + = ; b) 45x2 + 2007x + 1962 = 0 Baøi 3.37 Lập phương trình bậc hai có nghiệm :
a) Lớn nghiệm phương trình 2x2 + x -3 = 2. b) Lớn nghiệm phương trình x2 + px + p = p/2. Bài 3.38 Rút gọn phân thức :
a) A =
2
3
2
x x
x x
; B =
15
6
2
2
x x
x x
Bài 3.39 Giả sử x1,x2 hai nghiệm phương trình 2x2 – 11 x + 13 = Khơng giải phương trình , tính giá trị biểu thức sau :
a) A = 3 x
x ; b) B = x14 x24
c) C = 4 x
x ; d) D =
12
2 2
1 1 1 x
x x x x x
(12)Bài 3.40 Biểu diễn qua p, q :
a) Tổng lập phương hai nghiệm phương trình x2 + px + q = b) Hiệu lập phương hai nghiệm phương trình x2 + px + q = Bài 3.41 Xác định m để phương trình : (m + 2)x2 + 2(m + 3)x + m -1 = 0
a) Có hai nghiệm trái dấu b) Có nghiệm dương Bài 3.42 Xác định m để phương trình :
a) 5x2 + mx - 28 = có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức 5x1 + 2x2 =
b) x2 - 4x + m2 + 3m = có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức 4( )
2 2
1 x x x
x Bài 3.43 Cho a, b, c ba số thực không đồng thời
a) Chứng minh phương trình sau ln ln có nghiệm : a
x b
(x c)b(x c)(x a)c(x a)(x b)0 (1)b) Hãy tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm
Bài 3.44 Cho phương trình : x2 – 2(m+4)x + m2 - = (1) ; m tham số a) Với giá trị m phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ? b) Tìm hệ thức x1 x2 không phụ thuộc m
c) Tìm giá trị m để A = x1 + x2 - 3x1.x2 đạt giá trị lớn d) Tìm giá trị m để B =
2 2
1 x x x
x đạt giá trị nhỏ
C BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 3.45 Giải phương trình sau : a) 15 35 53
x x x
x
; b)
x x
x x
x
x
2
2
3 1
c) (x 1)(x1)(x4)(x6)144 ; d) 3
x x x
x
e) x4 8x2 90 ; g) 2x4 7x2 60
Bài 3.46 Cho phương trình : (m2 -1)x2 – 2(m+1)x + = ; m tham số c) Với giá trị m phương trình có nghiệm ?
d) Với giá trị m phương trình vơ nghiệm ? Bài 3.47 Giải biện luận phương trình với tham số m :
a) (m2 -1)x2 – 2(m+1)x + = ; b) (m+2)x2 + 2(3m - 2)x + m + = 0 c) mx2 + 2x + = ; d) (m2 - 5m - 36)x2 - 2(m + 4)x + = 0
(13)Bài 3.49 Tìm m n để hai số m, n nghiệm phương trình x2 + mx + n = 0.
Bài 3.50 Cho a,b nghiệm phương trình x2 + px + = b, c nghiệm phương trình x2 + qx + = Chứng minh : (b - a)(b - c) = pq - 6.
Bài 3.48 Cho hai phương trình x2 + p1x + q1 = (1) x2 + p2x + q2 = (2) biết p1p2 = 2(q1 + q2). Chứng minh có hai phương trình cho có nghiệm
Bài 3.51 Cho hai số ; nghiệm phương rình x2 + px + q = Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm số ( )2&( )2
Bài 3.52 Cho phương trình x2 + 4x + m + = (1)
a) Định m để (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn hệ thức 2
1 2 2
1
x x x x
b) Định m để phương trình (1) có nghiệm âm
c) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm dương x1 phương trình : (m+1)x2 + 4x + = có nghiệm dương
1
1 x
Baøi 3.53 Cho phương trình 2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + = 0.
Gọi x1,x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị lớn biểu thức : A = x1x2 2(x1x2)
Bài 3.54 Giả sử x1,x2 nghiệm phương trình x2+2mx+4=0 Hãy tìm giá trị m để xảy đẳng thức :
2
1 2
2
1
x x x
x
Bài 3.55 Tìm giá trị a để hiệu hai nghiệm phương trình : 2x2-(a+1)x+a+3=0 1. Bài 3.56 Hãy tìm giá trị k để nghiệm phương trình :2x2-(k+2)x+7=k2 trái dấu nghịch đảo giá trị tuyệt đối
Bài 3.57 Giả sử a,b hai số thoả mãn a > b > Khơng giải phương trình abx2 - (a+b)x +1 = Hãy tính tỉ số tổng hai nghiệm hiệu hai nghiệm phương trình
Bài 3.58 Tìm giá trị m để phương trình : a) 2( 1)
m x m
x có hai nghiệm âm b) ( 2) 2
x mx m
m có hai nghiệm dương
Bài 3.59 Giải biện luận phương trình : ( 1) 2(2 1)
x m x
m
(14)a) (m+ 3)x4 - 3(m -1)x2 + 4m = b) (m -1)x4 + (2m -3)x2 + m -1 = 0
Bài 3.62 Cho phương trình : x2 - 2(m-1)x + m2 - 3m + = (1)
a) Xác định m để (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 nghiệm gấp đôi nghiệm b) Xác định m để 20
2
1 x
x
c) Xác định m để biểu thức 2 x
x đạt giá trị nhỏ
Bài 3.63 Cho phương trình ( 4) 2( 2)
x m x
m .
Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 3.64 Cho phương trình ( 5)
m x m
x Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x1 x2 x1,x2 hai nghiệm phương trình
Bài 3.65 Rút gọn phân thức : a) A =
1
3
2
x x
x
x ; B =
21
6
2
2
x x
x x
Bài 3.66 Giả sử x1,x2 hai nghiệm phương trình 3x2 – 11x +10 = Không giải phương trình , tính giá trị biểu thức sau :
a) A = 3 x
x ; b) B = x14 x24
c) C = 4 x
x ; d) D =
12
2 2
1 1 1 x
x x x x x
Bài 3.67 Cho phương trình (ẩn số x) : x2 - (2m – 3)x + m2 – 3m – = 0. a) Chứng minh phương trình có nghiệm với giá trị m b) Chứng minh có hệ thức nghiệm không phụ thuộc m
Bài 3.68 Cho phương trình (ẩn số x) : x2 - (2m + 2)x + 2m + = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Tìm giá trị m để biểu thức A =
2 2
1 x 10x x
x coù giá trị nhỏ
Bài 3.69 Cho phương trình : x2 + px + q = có hai nghiệm dương Chứng minh : r 0 phương trình qy2 +(p – 2rq)y + – pr = có nghiệm dương
Bài 3.70 Tìm tất số thực dương a, b, c, d cho điều kiện sau thoả mãn : a) Phương trình ax2 + bdx + c = có hai nghiệm x1 x2.
b) Phương trình bx2 + cdx + a = có hai nghiệm x2 x3 c) Phương trình cx2 + adx + b = có hai nghiệm x3 x1.
(15)A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Hệ hai phương trình, phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai
Cách giải : Từ phương trình bậc nhất, biểu diễn ẩn qua ẩn lại Đem vào phương trình bậc hai giải phương trình nhận
Ví dụ: Giải hệ phương trình :
3
3
2
2
xy
y
x
y
x
2 Hệ phương trình đối xứng hai ẩn a) Hệ đối xứng loại I : có dạng
0
)
,
(
0
)
,
(
y
x
g
y
x
f
f(x , y) , g(x , y) hàm hai biến x, y mà ta đổi x thành y y thành x chúng khơng thay đổi Tức là:
f(x , y) = f(y, x) vaø g(x , y) = g(y , x)
Cách giải : Đặt ẩn phụ S = x + y , P = x.y Giải hệ phương trình với ẩn phụ, sau tìm nghiệm với ẩn số x, y Hệ cho có nghiệm theo x, y với điều kiện
S2 – 4P 0
Ví dụ: Giải hệ phương trình :
1
2
11
3
2
y
x
xy
y
xy
x
b) Hệ đối xứng loại II : có dạng
)2
(
0
)
,
(
)1(
0
)
,
(
y
x
g
y
x
f
đổi x thành y đổi y thành x phương trình hệ trở thành phương trình hệ ngược lại Tức là:
f(y , x) = g(x, y) vaø g(y , x) = f(x , y)
Cách giải : Trừ vế hai phương trình (1) (2) hệ ta thu phương trình biến đổi dạng : (x - y).h(x, y) = (3)
Phương trình (3)
0
)
,
(
x
y
h
y
x
+ Với x = y thay vào (1) (2) phương trình ẩn x (hoặc y)
+ Với h(x , y) = ta giải tìm x theo y tìm y theo x thay vào (1) (2) thu phương trình ẩn, giải tìm ẩn tính ẩn cịn lại
(16)a)
x
y
y
y
x
x
8
3
8
3
3; b)
2 5
3
3
1
y
x
y
x
y
x
c) Hệ đẳng cấp bậc hai theo hai ẩn Hệ có daïng :
)2
(
)
,
(
)1(
)
,
(
n
y
x
g
m
y
x
f
,trong m, n số biết biểu thức f(x , y) g(x , y) có tất số hạng bậc hai theo hai ẩn x , y Cách giải:
+ kiểm tra x = y = có thoả mãn nghiệm hệ hay không
+Xét trường hợp x
0 (hoặc y
0) Ta đặt y = kx (hoặc x = ty) đưa đến việc xác định k (hoặc t) giải tiếp phương trình theo ẩn x (hoặc ẩn y)Ví dụ : Giải hệ phương trình
17
3
2
11
2
3
2
2
y
xy
x
y
xy
x
B CÁC VÍ DỤ GIẢI TỐN
Bài 3.71 Cho hệ phương trình : (I)
2
2
y
6
m
x
m
y
x
với m tham số a) Giải hệ (I) với m =
b) Với giá trị m hệ có nghiệm
Bài 3.72 Xác định giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm :
1
2
2
y
x
m
xy
y
x
Baøi 3.73 Giải hệ phương trình : a)
x
y
x
y
y
x
y
x
2
2
2
2
2
2
; b)
13
3
3
1
3
2
2
y
xy
x
y
xy
x
(17)Baøi 3.74 Giải hệ phương trình : a)
3
2
2
3
2y
xy
x
y
xy
x
; b)
0
3
6
3
0
2
2
4
2
2y
x
xy
x
y
x
xy
x
Bài 3.76 Giải hệ phương trình : a)
3
13
2xy
y
x
y
xy
x
; b)
2 31
y
x
y
x
y
x
Bài 3.77 Giải hệ phương trình :
a)
30
)
(
11
y
x
xy
y
xy
x
; b)
3
8
9
2
3
1
4
3
2 2y
x
y
x
y
x
y
x
; c)
12
4
2y
xy
x
y
x
Bài 3.78 Giải hệ phương trình :
a)
y
y
x
y
x
x
y
x
16
7
16
7
2 2; b)
6
)
1
).(
1(
3
1
1
2y
x
y
y
x
x
; c)
y
y
x
x
y
x
31
Bài 3.79 Giải hệ phương trình :
a)
6
5
x
y
x
y
x
y
x
; b)
78
1
7
xy
y
xy
x
xy
x
y
y
x
với x,y>0 ; c)
49
1
1
5
1
1
).
(
2 2y
x
y
x
xy
y
x
Bài 3.80 Giải hệ phương trình :
a)
1
1
1
1
4
3y
x
y
x
y
x
; b)
(18)C BAØI TẬP TỰ GIẢI
Bài 3.81 Giải biện luận theo tham số m hệ phương trình :
m
y
x
y
x
23
13
5
3
Bài 3.82 Chứng minh hệ phương trình :
m
m
xy
y
x
m
y
xy
x
21
2
ln ln có nghiệm với giá trị tham số m
Bài 3.83 Giải hệ phương trình : a)
0
8
0
2
6
2y
x
y
x
y
x
; b)
18
)1
)(
1
(
65
2y
x
y
x
; c)
0
1
3
0
3
2
2
2y
y
xy
x
y
xy
x
Bài 3.84 Giải hệ phương trình : a)
2 31
y
x
y
x
y
x
; b)
3
13
2xy
y
x
xy
y
x
; c)
13
3
3
1
3
2 2y
xy
x
y
xy
x
Bài 3.85 Giải hệ phương trình : a)
13
4
1
4
y
x
y
x
; b)
3
2
1
3
2
1
x
y
y
x
; c)
26
2
3y
x
y
x
Bài 3.86 Giải hệ phương trình : a)
2
1
1
18
1
1
2 2y
y
x
y
x
y
x
x
y
y
x
y
x
y
x
x
; b)
28
12
2xy
x
y
xy
(19)a)
2
2
2
3 2y
x
y
y
x
x
; b)
6
9
1
2 3x
y
x
y
y
x
; c)
y
x
x
x
y
y
4
4
Bài 3.88 Giải hệ phương trình :
a)
)
2
(7
2
4
2
19
2
4
2 2y
x
xy
y
x
y
x
xy
y
x
; b)
3 235
1
30
x
y
x
x
xy
y
Bài 3.89 Giải hệ phương trình : a)
13
)1
(
)1
(
24
)2
)(
2
(
2y
x
y
x
xy
; b)
x
y
y
x
2
1
2
1
3; c)
97
5
4y
x
y
x
Baøi 3.90 Giải hệ phương trình :
a)
3
2
5
2
1
4
2
y
x
x
y
x
xy
x
; b)
y
x
y
x
y
x
3
1
2
3
1
2
; c)
4
1
1
4
1
1
2 2y
x
y
x
y
x
y
x
Baøi 3.91 Giải hệ phương trình : a)
6
1
1
1
1
x
y
y
y
x
x
; b)
1
3
3
4 3y
x
y
y
x
x
; c)
2
3 2
y
x
y
x
y
x
y
x
TÀI LIỆU BỔ SUNG
Baøi 1: Giải biện luận phương trình sau theo tham số ( x ẩn số)
1a) 2( 2) (7 ) 3(2 1)
m x x
x
m ; 1b) 2( 1) 2(5 2)
mx x
x m
(20)2a) 2
1
x m mx
; 2b)
1
x m mx
3a) 2
x
x m x
x
; 3b) 13
x x m x x
4a) 2
m x
n x n x
m x
; 4b)
1
x m x m x
x
5a) 1 11( 1)1 1
m x
m x
mx m
; 5b) 2 1 1( 2)21
m x
m mx
m x
6a) m2x 3n m(3x n)
; 6b) m2x mn2(mx n)
Bài 2: Xác định m để phương trình sau vơ nghiệm :
a)
2
1
x x x
m x
; b)
1
1
x m x x
x
Bài 3: Tìm a b để phương trình sau có tập nghiệm R :
a) a(x 2)x3b(2x1) ; b) a(x1)b(2x1)x2
Bài 4: Tìm m số nguyên để phương trình sau có nghiệm :
a) 1
3 ) (
2 )
1 (
x x m x
m x m
; b) 9
2 )
3 (
3 ) (
x m x m x
x m
Bài 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm âm :
a) 2( 1)
x m
x
m ; b) 2( 1)
x m
x m
Bài 1: Giải biện luận bất phương trình :
a) m(2x1)x2 ; b) ( 2)
x m
m
Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với x R
a) ( 2) ( 2)
m x m m
m ; b) ( 6) ( 3)
m x m m
m
Bài 3: Tìm tham số m để hai bất phương trình sau tương đương : a) (m2)x m10 (m1)x m40
b) (m 1)x m30 (m1)x m20
Bài 4: Tìm giá trị tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm : a)
3
)1
(
1
2
x
x
m
m
mx
; b)
0
1
5
0
2
3
m
mx
m
x
(21)Bài 5: Tìm giá trị tham số m để hệ bất phương trình sau vơ nghiệm : a)
0
2
)1
(
0
3
2
x
m
m
x
; b)
2
0
1
m
mx
m
x
Bài 1: Giải biện luận hệ phương trình sau (ẩn số x y) 1a)
1
2
)6
2(
4
4
m
y
x
m
m
my
x
; 1b)
2
1
2
my
x
y
mx
2a)
2
)2
(
3
2
)1
(3
my
x
m
y
m
x
m
; 2b)
1
2
)1
(
my
x
m
y
x
m
3a)
m
y
m
mx
m
n
my
nx
4
2
; 3b)
2
n
y
nx
m
my
x
4a)
m
y
n
m
x
n
m
n
y
n
m
x
n
m
)
(
)
(
)
2(
)
2(
; 4b)
mn
my
nx
n
m
ny
mx
2
2
Bài 2: 1) Cho hệ phương trình :
0
2
)1
(
0
3
6
)2
(
y
m
mx
my
x
m
a) Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m
b) Giả sử (x;y) nghiệm hệ ,tìm hệ thức x y độc lập m
2) Cho hệ phương trình :
2
)1
(
9
)
2(
6
my
x
m
y
m
mx
HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN SỐ (ƠN CHO LỚP 10) Hệ phương trình dạng
'
'
'
x
b
y
c
a
(22)a) Giải biện luận hệ phương trình theo tham soá m
b) Giả sử (x;y) nghiệm hệ ,tìm hệ thức x y độc lập m
Bài 3: Tìm m số nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm (x;y) với x, y số ngun Lúc tìm (x;y) :
1a)
0
4
)2
(
2
0
2
)1
3(
)1
(
y
m
x
m
y
m
x
m
; 1b)
0
1
2
0
3
m
my
x
m
y
mx
2a)
1
2
2
1
2
m
my
x
m
y
mx
; 2b)
1
3
2
m
y
x
m
y
mx
Bài 4: Tìm m n để hai hệ phương trình sau tương đương với :
3
1
2
y
x
n
y
mx
vaø
3
3
2
2
y
x
m
y
x
Bài 5: Tìm m để hệ sau có nghiệm :
0
0
1
0
1
m
y
x
my
x
y
mx
Bài 1)Giải biện luận bất phương trình sau theo tham số m
1) (m+1)x2-(2m+1)x+(m-2)=0 ; 2) mx2+2x+1=0
3) (m2-5m-36)x2-2(m+4)x+1=0 ; 4) 2x2-6x+3m-5=0
Bài 2)Giả sử x1,x2 hai nghiệm phương trình 2x2-11x+13=0 Khơng giải phương trình ,
tính giá trị biểu thức sau :
1) A =
2 x
x ; 2) B = 24
4 x
x
3) C =
2 x
x ; 4) D =
12
1 2 2
1 1 1 x
x x x x
x
Bài 3)Chứng tỏ kb2 = (k+1)2.ac điều kiện cần đủ để phương trình ax2+bx+c=0 (a
0)có hai nghiệm thoả mãn nghiệm k lần nghiệm
(23)Bài 4)Tìm m n để hai số m ,n nghiệm phương trình x2+mx+n=0.
Bài 5)Cho a,b nghiệm phương trình x2+px+1=0 b,c nghiệm phương trình
x2+qx+2=0 Chứng minh : (b-a)(b-c)=pq-6.
Baøi 6)Cho hai phương trình x2+p
1x+q1=0 (1) x2+p2x+q2=0 (2) biết p1p2=2(q1+q2)
Chứng minh có hai phương trình cho có nghiệm
Bài 7)Cho hai số ; nghiệm phương rình x2+px+q=0 Hãy lập phương trình bậc hai
có nghiệm số ( )2&( )2
Bài 8)Cho phương trình x2+4x+m+1=0 (1)
1.Định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn hệ thức
1 2 2
1
x x x x
2.Định m để phương trình (1) có nghiệm âm
3.Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm dương x1 phương trình :
(m+1)x2+4x+1=0 có nghiệm dương
1
1 x
Bài 9)Cho phương trình 2x2+2(m+1)x+m2+4m+3=0.
1.Tìm m để phương trình có nghiệm lớn hay
2.Gọi x1,x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị lớn biểu thức :
A = x1x2 2(x1x2)
Bài10)Cho hai phương trình x2+3x+2a=0 (1) x2+6x+5a=0 (2).Tìm tất giá trị
a để phương trình có hai nghiệm phân biệt hai nghiệm phương trình có nghiệm phương trình
Bài11)Tìm giá trị nguyên a,b để phương trình : x2+ax+b=0 có hai nghiệm x
1và x2 thoả
mãn điều kiện :
2
1
1
2
2
x
x
Bài12)Xác định m để phương trình mx2+(2m+1)x-1=0 có nghiệm dương
Bài13)Giả sử x1,x2 nghiệm phương trình x2+2mx+4=0 Hãy tìm giá trị m để
xảy đẳng thức :
2
1 2
2
1
x x x
x
Bài14)Tìm giá trị a để hiệu hai nghiệm phương trình : 2x2-(a+1)x+a+3=0 1.
(24)nghịch đảo giá trị tuyệt đối
Bài16)Giả sử a,b hai số thoả mãn a>b>0 Khơng giải phương trình abx2-(a+b)x+1=0 Hãy
tính tỉ số tổng hai nghiệm hiệu hai nghiệm phương trình Bài17)Tìm giá trị m để phương trình :
2( 1)
m x m
x có hai nghiệm âm
2.( 2) 2
x mx m
m có hai nghiệm dương
Bài18)Giải biện luận phương trình : ( 1) 2(2 1)
x m x
m
Baøi19)Cho phương trình ( 2) 2( 1)
x m x m
m
1.Xác định m để phương trình có nghiêïm x=-1 tìm nghiệm cịn lại 2.Xác định m để phương trình có nghiệm dương
Bài20)Xác định m để phương trình (x-2)[x2-2(m+1)x+m2+5]=0 có ba nghiệm phân biệt
Bài22)Tìm giá trị m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt :
1.(m+3)x4-3(m-1)x2+4m=0 ; (m-1)x4+(2m-3)x2+m-1=0
Bài23)Cho phương trình : x2-2(m-1)x+m2-3m+4=0.
1.Xác định m để ptrình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 nghiệm gấp đôi nghiệm
2.Xác định m để 20
2
1 x
x .
3.Xác định m để biểu thức
2 x
x đạt giá trị nhỏ
Bài24)Cho phương trình ( 4) 2( 2)
x m x
m Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài25)Cho phương trình ( 5)
m x m
x Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x1 x2
x1,x2 hai nghiệm phương trình
Bài26)Tìm m để phương trình (2 1) ( 1)
x m x m
m có hai nghiệm x1,x2 cho :
x1< < x2
Bài27)Tìm m để phương trình ( 4) ( )
x m m x m
m coù hai nghieäm x1,x2 cho :
x1 1x2
Bài28)Tìm m để phương trình ( 1) (2 1)
x m x m
m có nghiệm thoả điều kiện 2x1<x2
Bài29)Tìm m để phương trình (3 1)
m x m
x có hai nghiệm thuộc khoảng (-1;2)
(25)Có nghiệm thuộc (-1;1), nghiệm nhỏ -1 Có nghiệm lớn
Bài31) Tìm m để phương trình ( 2) 2( 3)
x m x
m có hai nghiệm ,trong có
nghiệm lớn nghiệm nhỏ
Bài32)Tìm giá trị m để số -4 nằm hai nghiệm phương trình :
(m+3)x2-2(m-1)x+4m =0
Bài33)Tìm giá trị m để phương trình (m-5)x2-(m-9)x+m-5=0 có:
Hai nghiệm lớn -3
Hai nghiệm nằm -2
Bài34)Cho phương trình (3m-5)x2-2(3m+2)x+4m-1=0 Xác định m để phương trình có :
Hai nghiệm phân biệt nhỏ -1
Một nghiệm thuộc khoảng (-1;0) nghiệm nằm ngồi đoạn [-1;0] Bài35)Tìm m để bất phương trình sau với x :
1
3 2
2
x x
mx x
;
1
6 2
2
x x
mx x
Giải hệ phương trình sau : 1)
30
)
(
11
y
x
xy
y
xy
x
; 2)
3
8
9
2
3
1
4
3
22
y
x
y
x
y
x
y
x
; 3)
12
4
2 2
y
xy
x
y
x
4)
y
y
x
y
x
x
y
x
16
7
16
7
2
2
; 5)
6
)
1
).(
1(
3
1
1
2
y
x
y
y
x
x
; 6)
y
y
x
x
y
x
3
1
7)
6
5
2
x
y
x
y
x
y
x
; 8)
78
1
7
xy
y
xy
x
xy
x
y
y
x
với x,y>0 ; 9)
49
1
1
5
1
1
).
(
2 2
y
x
y
x
xy
y
x
(26)10)
3
2
5
2
1
4
2
y
x
x
y
x
xy
x
; 11)
y
x
y
x
y
x
3
1
2
3
1
2
; 12)
4
1
1
4
1
1
2 2y
x
y
x
y
x
y
x
13)
13
4
1
4
y
x
y
x
; 14)
3
2
1
3
2
1
x
y
y
x
; 15)
26
2
3y
x
y
x
16)
2
1
1
18
1
1
2 2y
y
x
y
x
y
x
x
y
y
x
y
x
y
x
x
; 17)
28
12
2xy
x
y
xy
18)
2
2
2
3 2y
x
y
y
x
x
; 19)
6
9
1
2 3x
y
x
y
y
x
; 20)
)
2
(7
2
4
2
19
2
4
2 2y
x
xy
y
x
y
x
xy
y
x
21)
3 235
1
30
x
y
x
x
xy
y
; 22)
13
)1
(
)1
(
24
)2
)(
2
(
2y
x
y
x
xy
; 23)
y
x
x
x
y
y
4
4
24)
x
y
y
x
2
1
2
1
3 ; 25)
97
5
4y
x
y
x
26*)
6
1
1
1
1
x
y
y
y
x
x
; 27*)
1
3
3
4 3y
x
y
y
x
x
; 28*)
2
3 2