Biểu diễn các cung sau trên đường tròn lượng giác và tính các giá trị lượng giác tương ứng của nó... Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – LỚP 10 I) CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ sin Giá trị lượng giác các cung (góc) đặc biệt - -1 tang -1/ 2/3 /4 cotang /4 /6 /2 1/ 1/2 /2 - /2 O - /2 -1/2 /3 /2 5 /6 1/ /2 1/2 cosin /2 -1/2 - /6 - /2 - /2 -1/ - /4 -1 - /3 - 1) Các hệ thức lượng giác bản: sin tan , k cos 2 sin cos , R cot , k sin 2) Các công thức quy gọn góc sin( k 2 ) sin tan( k ) tan sin( ) sin cos( ) cos sin( ) sin cos( ) cos sin( ) sin cos( ) cos sin( ) cos cos( ) sin 3) Công thức cộng cung cos(a b) cos a cos b sin a.sin b cos(a b) cos a cos b sin a.sin b tan a tan b tan(a b) tan a.tan b cos , k sin tan cot 1 tan ; k cos cot cos( k 2 ) cos cot( k ) cot tan( ) tan cot( ) cot tan( ) tan cot( ) cot tan( ) tan cot( ) cot tan( ) cot cot( ) tan & & & & & & & & & & sin(a b) sin a cos b cos a.sin b sin(a b) sin a.cos b cos a.sin b tan a tan b tan(a b) tan a.tan b GV: Vũ Sỹ Minh; phone: 0943.828.568 ; Email: vusyminh@gmail.com Lop11.com (2) CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – LỚP 10 4) Sử dụng công thức nhân và công thức hạ bậc 4a) Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc sin 2a 2sin a.cos a cos a sin a sin 2a (sin a cos a ) cos 2a 2cos a 1 sin 2a (sin a cos a) 1 2sin a tan a cos 2a 2cos a tan 2a tan a cos 2a 2sin a cos 2a cos 2a sin a cos a 2 4b) Công thức nhân ba, công thức hạ bậc 3cos a cos 3a cos 3a cos3 a 3cos a cos3 a 3sin a sin 3a sin 3a 4sin a 3sin a sin a a 4c) Công thức tính sina, cosa, tana theo t tan a 1 t2 2t 2t Đặt t tan thì sin a ; cos a & tan a 2 1 t 1 t 1 t2 5)Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng Quy tắc nhớ a b (a – b) (a+b) 1 cos a.cos b cos(a b) cos(a b) cos cos cos cos 2 1 sin a.sin b cos( a b) cos( a b) sin sin cos cos 2 1 sin a.cos b sin( a b) sin( a b) sin cos sin sin 2 6) Công thức biến đổi tích thành tổng Quy tắc nhớ 2 sin sin 2sin cos sin sin sin cos 2 sin sin cos sin sin sin cos sin 2 cos cos cos cos cos cos cos cos 2 cos cos 2 sin sin cos cos 2 sin sin 2 sin( ) sin( ) tan tan tan tan cos cos cos cos Nhận xét: sin a cos a sin a cos a 4 4 sin a cos a sin a cos a 4 4 GV: Vũ Sỹ Minh; phone: 0943.828.568 ; Email: vusyminh@gmail.com Lop11.com (3) CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – LỚP 10 II) MỘT SỐ DẠNG TOÁN BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC DẠNG Tính giá trị biểu thức DẠNG Chứng minh đẳng thức lượng giác DẠNG Chứng minh bất đẳng thức lượng giác DẠNG Rút gọn biểu thức lượng giác DẠNG Chứng minh đẳng thức lượng giác không phụ thuộc vào biến DẠNG Chứng minh các hệ thức lượng tam giác III) MỘT SỐ KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC A) SỬ DỤNG CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Bài A1 Tính giá trị các biểu thức sau: cos 00 3sin 900 A1.1) A Đáp số: A = -1/3 5cot 3sin tan 4 A1.2) B cos sin tan A1.3) C 3sin cot cos 3 A1.4) D 2a 2 a sin 90 b tan 45 sin 30 2ab cos b tan 45 0 0 Bài A2 Biểu diễn các cung sau trên đường tròn lượng giác và tính các giá trị lượng giác tương ứng nó A2.1) x 450 Tính sin 450 cos 450 A2.2) x Tính sin 3 A2.3) x Tính cos 6 A2.4) x 2 k 2 , k Z Tính sin 2 k 2 3 A2.5) x k ; k Z Tính cos k k ; k Z Tính sin k 2 k 2 k 2 A2.7) x ;k Z Tính tan 3 3 k k A2.8) x ;k Z Tính cot 4 Bài A3 Chứng minh các đẳng thức sau: 2 A3.1) sin x cos x sin x cos x 4sin x cos x A2.6) x sin x cos4 x 2sin x cos x sin x cos6 x 3sin x cos x sin x cos8 x 4sin x cos x 2sin x cos x sin x cos5 x sin x cos x sin x cos x sin x A3.6) tan x sin x tan x cot x tan x A3.7) tan x cot x tan x cot x GV: Vũ Sỹ Minh; phone: 0943.828.568 ; Email: vusyminh@gmail.com A3.2) A3.3) A3.4) A3.5) Lop11.com (4) CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – LỚP 10 sin x cos x cos x sin x cos x sin x sin x cos x cos x A3.9) cos x sin x cos x cos x A3.10) tan x sin x cos x cos x cos x cot x A3.11) cos x cos x sin x 2 sin x cos x A3.11) sin x cos x cot x tan x tan x cot x A3.12) tan x cot x 2 sin x sin x cos x cos x tan x sin x A3.13) sin x cos x 1 cos x A3.8) sin x cos x 1 tan x cot x sin x cos x sin x cos x A3.15) cos x sin x sin x tan x cot x A3.16) 1 tan x cot x tan x cot x A3.17) tan x cot x A3.18) 2sin x cos x sin x cos x 1 tan x 1 cot x A3.14) 2 A3.19) sin x cos x sin y cos x cos y sin z cos x cos y cos z Bài A4 Rút gọn các biểu thức sau: A4.1) A cos x cos2 x cot x 1 A4.2) B 1 tan x 1 tan x cos x cos x A4.3) C tan x cot x tan x cot x 2 cos2 x ; sin x cos x cos2 x cos2 x cot x A4.5) E1 ; sin x sin x tan x sin x tan x A4.6) F1 ; cos2 x cot x A4.4) D1 A4.7) G1 2sin x sin x cos x sin x cos x cos4 x E2 cos2 x sin x sin x tan x sin x F2 sin x cot x cos x cos x G2 1 sin x sin x D2 cos x cot x sin x tan x ; cos x sin x sin x sin x A4.8) H1 sin x 1 cot x cos x 1 tan x ; H sin x sin x sin x sin x A4.9)* K1 K sin x cot x cos x ; x ; 2 sin x sin x 2 GV: Vũ Sỹ Minh; phone: 0943.828.568 ; Email: vusyminh@gmail.com Lop11.com (5) CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – LỚP 10 A4.10) P sin x cos x cos x sin x Bài A5 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến A5.1) A cos x sin x cos x sin x A5.2) B cos x sin x 2sin x cos6 x sin x A5.3) C1 cos6 x sin x cos x sin x ; C2 cos x sin x A5.4) D sin x cos6 x 2sin x cos x sin x cot x cos x sin x cos x tan x cos2 x cot x sin x A5.5) E1 E cot x cot x sin x cos x tan x A5.6) F1 sin x cos4 x 1 tan x cot x ; F2 tan x cos6 x cos2 x A5.7) G cos x cot x 5cos x cot x 4sin x A5.8) H 1 cot x sin x 1 tan x cos3 x sin x cos x tan x 2 A5.9) K 1 tan x 1 cot x tan x A5.10)* P sin x cos8 x 6sin x cos4 x 4sin x cos x sin x cos x Bài A6 Tính các giá trị lượng giác cung biết rằng: A6.1) sin và 3 A6.2) cos và A6.3) tan 3 và A6.4) cot 2 và Bài A7 A7.1) Cho biết sin x cos x m Tính các biểu thức sau theo m C sin x cos3 x A sin x cos x B sin x cos x D sin x cos x E sin x cos4 x F sin x cos6 x G sin x cos5 x H sin x cos8 x P sin x cos7 x A7.2) Cho biết sin x cos x n Tính các biểu thức sau theo n C sin x cos x A sin x cos x B sin x cos x D sin x cos3 x E sin x cos4 x F sin x cos6 x G sin x cos5 x H sin x cos8 x P sin x cos7 x A7.3) Cho biết tan x cot x Tính các biểu thức sau A tan x cot x C tan x cot x B tan x cot x D tan x cot x E tan x cot x F tan x cot x A7.4) Cho biết tan x cot x Tính các biểu thức sau A tan x cot x B tan x cot x C tan x cot x D tan x cot x E tan x cot x F tan x cot x G tan x cot x H tan x cot x P tan x cot x A7.5) Cho biết tan x Tính các biểu thức sau 2sin x cos x sin x cos3 x 2sin x 3cos x A B C sin x cos x 3sin x 5cos x sin x cos x GV: Vũ Sỹ Minh; phone: 0943.828.568 ; Email: vusyminh@gmail.com Lop11.com (6) CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – LỚP 10 sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos3 x sin x cos x ; E sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos2 x sin x cos4 x A7.6) Cho biết cot x Tính các biểu thức sau sin x cos3 x sin x cos3 x sin x cos x A B C 3sin x cos x sin x 2cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos3 x sin x cos x D ; E sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos2 x sin x cos4 x B) SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC QUY GỌN CUNG Bài B1 Tính giá trị các biểu thức sau: B1.1) A1 cos 3000 A2 sin1200 A3 tan 7800 D 2sin 25500 cos 1880 sin 2340 cos 2160 B1.2) B1 ; B2 tan 360 0 0 tan 368 cos 638 cos 98 sin144 cos 216 0 cos 44 tan 226 cos 406 cot 720 cot180 B1.3) C cos 3160 B1.4) D cos 200 cos 400 cos1600 cos1800 B1.5) E1 tan10 tan 20 tan 30 tan 880 tan 890 ; E2 tan100 tan 200 tan 300 tan 800 B1.6) F tan 200 tan 400 tan 600 tan1600 tan1800 B1.7) G sin 50 sin100 sin150 sin 3550 sin 3600 B1.8) H cot1950 cot 2100 cot 2250 sin 3300 sin 3450 Bài B2 Rút gọn các biểu thức sau: B2.1) A sin x cos x 2sin x cos x 2 2 3 B2.2) B sin x cos x cot 2 x tan x 2 3 3 B2.3) C cos x sin x x tan x cot 2 B2.4) D cos 2700 x 2sin x 4500 cos 9000 x 2sin 7200 x cos 5400 x Bài B3 Cho A, B, C là ba góc tam giác ABC Chứng minh rằng: B3.1) sin B C sin A cos B C cos A BC A cos 2 B3.3) cos A B C cos 2C BC A sin 2 cos A B 2C cos C B3.2) sin cos A B 3C A B 2C 3C cos C tan cot 2 C) SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC CỘNG CUNG (TRỪ CUNG) Bài C1 Tính giá trị các biểu thức sau: 5 7 C1.1) A1 sin A2 cos A3 tan 12 12 12 B3.4) sin GV: Vũ Sỹ Minh; phone: 0943.828.568 ; Email: vusyminh@gmail.com Lop11.com (7) CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – LỚP 10 cos100 cos 250 sin100 sin 250 sin100 cos 200 sin 200 cos10 ; B2 3 5 3 5 sin 650 cos100 cos 650 sin100 cos cos sin sin 28 28 C1.3) Cho biết a b Tính giá trị các biểu thức: 2 2 C1 cos a cos b sin a sin b và C2 cos a sin b cos b sin a C1.2) B1 C1.4) Cho biết cos a b cos a b m; m 1 Tính giá trị biểu thức: D tan a tan b 1 C1.5) Cho biết cos a ; cos b Tính giá trị bt: E cos a b cos a b C1.6) Cho biết sin a ; tan b và a; b Tính giá trị biểu thức sau: 17 12 F sin a b cos a b tan a b C1.7) Cho biết tan a.tan b 2 và a, b ; a b Tính giá trị biểu thức: G1 tan a và G2 tan b Bài C2 Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: C2.1) cos x sin y z cos y sin z x cos z sin x y C2.2) sin x sin y z sin y sin z x sin z sin x y sin y z cos y cos z sin z x sin x y 0 cos z cos x cos x cos y C2.3) sin x cos x sin x cos x 4 4 C2.4) sin x cos x sin x cos x 4 4 C2.5) Cho biết sin b sin a cos a b CMR: tan a tan a b C2.2) Bài C3 Rút gọn các biểu thức lượng giác sau: sin a b sin a b C3.1) A1 cos a b cos a b sin 45 x cos 45 x C3.2) B1 A2 sin a b sin a b sin a b sin a b sin 450 x cos 450 x B2 sin x.cot x cos x 2 C3.3) C tan x tan x tan x 3 Bài C4 Cho A, B, C là ba góc tam giác ABC Chứng minh rằng: C4.1) sin A sin B.cos C sin C cos B A B C B C C4.2) sin cos cos sin sin 2 2 C4.3) tan A tan B tan C tan A.tan B.tan C , với ABC không vuông A B B C C A C4.4) tan tan tan tan tan tan 2 2 2 C4.5) cot A.cot B cot B.cot C cot C.cot A GV: Vũ Sỹ Minh; phone: 0943.828.568 ; Email: vusyminh@gmail.com Lop11.com (8) CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – LỚP 10 A B C A B C cot cot cot cot cot 2 2 2 D) SỬ DỤNG CÔNG THỨC NHÂN VÀ CÔNG THỨC HẠ BẬC Bài D1 Tính giá trị các biểu thức sau: D1.1) A1 sin150.cos150 A2 sin cos cos 16 16 4 5 D1.2) B1 cos 200.cos 400.cos800 B2 cos cos cos 7 0 0 D1.3)* C1 sin10 sin 50 sin 70 C2 sin sin 42 sin 660.sin 780 C4.6) cot D1.4)* D sin100.sin 300.sin 500.sin 700.sin 900 2 4 8 16 32 D1.5)* E cos cos cos cos cos cos 65 65 65 65 65 65 2 3 2 3 4 D1.6)* F1 cos cos cos ; F2 cos cos cos cos 7 9 9 0 0 D1.7)* G1 sin18 ; G2 cos18 ; G3 sin 36 ; G4 cos 36 Bài D2 Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: D2.1) cot x tan x cot x sin x D2.2) tan x ; cos x cos x sin x cos x sin x D2.3) tan x cos x sin x cos x sin x sin x 2sin x cos x cos x D2.4) cos x tan x 1 cos x cos x cos 3x D2.5) cos x cos x cos x sin x cos x D2.6) 8cos x sin x cos x cos3 x cos x sin x sin 3x D2.7) 3 cos x sin x sin x cos x D2.8) tan x sin x cos x cos x D2.9) cos x 8cos x 8cos2 x cos x D2.10) sin x cos x 3cos 4x D2.11) sin x cos x cos x cos8 x D2.12) sin x cos8 x Bài D3 Rút gọn cá biểu thức sau: x 1 2sin x D3.1) A1 tan 1 A2 cos x cot 450 x cos 450 x D3.2) B1 cos3 x.sin x sin x.cos x B2 cos x.sin x sin x.cos x D3.3) C1 cos x.cos x sin x.sin 3x C2 cos3 x.cos 3x sin x.sin x GV: Vũ Sỹ Minh; phone: 0943.828.568 ; Email: vusyminh@gmail.com Lop11.com (9) CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – LỚP 10 D3.4) D1 cos x.sin x sin x.cos 3x D3.5) E1 sin 2 x 4sin x sin 2 x 4sin x D2 cos x sin x E2 sin x cos x cos x cos x D3.6) F cos x cos x ; x 0; 2 D3.7) G sin x sin x ; x 0; 2 D3.8) H cos x cos x cos x 3 3 2 2 D3.9) P cos x cos x cos x 2 2 D3.10) Q sin x sin x sin x 3 D3.11) M sin x sin x sin x sin x 4 2 n D3.12) N cos x.cos x.cos x cos x với n N * E) SỬ DỤNG CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG Bài E1 Tính giá trị các biểu thức sau: 7 11 5 E1.1) A1 sin sin A2 cos cos A3 4.sin 700 12 12 12 12 sin10 2 4 6 2 4 6 8 E1.2) B1 cos cos cos ; B2 cos cos cos cos 7 9 9 2 4 2 3 6 E1.3) C1 cos cos cos ; C2 cos cos cos cos 7 7 7 2 2 E1.4) D1 sin 10 sin 20 sin 30 sin 170 sin 180 ; D2 cos 100 cos 200 cos 300 cos 1700 cos 1800 Bài E2 Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: E2.1) sin x sin x cos x cos x sin x E2.2) sin x 1 cos x cos x cos x sin x E2.3) sin x.sin10 x sin11x.sin x sin x.sin x E2.4) sin x.sin x sin15 x.sin13 x sin19 x.sin x E2.5) sin x.sin x sin x sin x 3 3 E2.6) cos x.cos x cos x cos x 3 3 E2.7) cos y z sin y z cos z x sin z x cos x y sin x y E2.8) sin y z sin y z sin z x sin z x sin x y sin x y Bài E3 Biến đổi các biểu thức sau tổng: E3.1) A1 sin x 300 cos x 300 E3.2) B1 cos x.sin x.sin 3x A2 sin x 300 sin x 300 cos x B2 8sin x.sin x.sin x 3 E3.3) C cos x cos x cos x cos x 3 4 6 GV: Vũ Sỹ Minh; phone: 0943.828.568 ; Email: vusyminh@gmail.com Lop11.com (10) CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – LỚP 10 2 E3.4) D sin x cos x cos x cos x 3 6 3 E3.5) E sin x cos x sin x cos x 3 3 4 4 F) SƯ DỤNG CÔNG THƯC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH Bài F1 Tính giá trị các biểu thức sau: F1.1) A1 cos140 cos1340 cos1060 ; A2 cos850 cos 350 cos 250 F1.2) B tan 90 tan 270 tan 630 tan 810 F1.3)* C cos 240 cos 480 cos840 cos120 Bài F2 Biến đổi các biểu thức sau tích: F2.1) A1 cos x cos x cos 3x F2.2) B1 sin 3x sin x sin x sin x A2 cos x cos x cos 3x B2 cos x sin x sin x F2.3) C1 cos x cos 2 x cos x C2 sin x sin 2 x sin 3x Bài F3 Rút gọn các biểu thức sau: sin x sin x sin x sin x F3.1) A1 A2 cos x cos x cos x cos x sin x sin x sin x sin 3x sin x F3.2) B1 B2 cos x cos x cos x cos x cos x sin x 3sin x sin x sin x sin 3x sin x sin x F3.3) C1 C2 cos x 3cos3 x cos x cos x cos 3x cos x cos x cos x cos x F3.4) D cos x cos x Bài F4 Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: F4.1) 4cos x cos x 8cos x F4.2) cos x cos x 8sin x Bài F5 Cho A, B, C là ba góc tam giác ABC Chứng minh rằng: A B C F5.1) sin A sin B sin C cos cos cos 2 A B C F5.2) cos A cos B cos C sin sin sin 2 F5.3) sin A sin B sin 2C sin A.sin B.sin C F5.4) cos2 A cos2 B cos2 C 2cos A.cos B.cos C F5.5) sin A sin B sin C cos A.cos B.cos C F5.6) cos A cos B cos 2C 1 cos A.cos B.cos C -The end - GV: Vũ Sỹ Minh; phone: 0943.828.568 ; Email: vusyminh@gmail.com Lop11.com 10 (11)