ơng 1: Hàm số l ợng giác Biến đổi l ợng giác Bài 1 Giá trị các hàm số l ợng giác có mối quan hệ đặc biệt A lý thuyết Cung đối Cung bù Cung hơn kém pi Cung phụ Cung hơn kém pi/2 B.
Trang 1ơng 1: Hàm số l ợng giác Biến đổi l ợng
giác Bài 1 Giá trị các hàm số l ợng giác có mối
quan hệ đặc biệt
A lý thuyết
Cung đối
Cung bù
Cung hơn kém pi
Cung phụ
Cung hơn kém pi/2
B Bài tập
Dạng 1: tính giá trị của các hàm số lợng giác và
rút gọn
Bài 1: tính giá trị
Cos1200 tg1300 sin(-7800)
Bài 2: Tính giá trị
Sin1500 , cotg1350 , tg1500
Sin2100 , cos2250 , tg2400 , cotg2250
Bài 3: Chứng minh rằng
2 0
25 2
cos
=
2)
1
−
HD: Biến đổi về góc nhỏ hơn 90 độ
Bài 4: Rút gọn biểu thức sau
2sin 2550 cos 188 1
A
−
+
0
cot 72 cot 18 cos316
C
Bài 5: Rút gọn biểu thức sau
0
36
cos
=
−
0
72 cot 18 316
cos
+
C cos= +cos +cos + +cos +cos
Bài 6: Rút gọn biểu thức sau
A= x+ +π cosπ − +x g π − +x tg π −x
B co= π − +x x− π − gπ +x cotg π −x
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức
2 sin
cos x cosx x x
x cos x
−
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau
x cosx
x cosx tg x
+
2)
tg x g x tg x g x
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau 1) sin 11 sin 21 sin 9 sin 29 2 2
2) tg1050+tg2850−tg(−4350) (−tg −750) =0
1 sin160 co 340 250s tg
−
=
Bài 3: CMR nếu tam giác ABC thoả mãn hệ thức
cos = cos thì tam giác đó cân HD: Chia cả tử và mẫu cho
cos cos
1
cos A cos B
+
thì tam giác đó cân HD: ( 2 2 )2
Bài 5: Đơn giản biểu thức sau
2
3 sin
Bài 6: Cho 4 4 98
81
x+ cos x=
Tính A=2sin4x+3cos x4
HD: đặt
4 4
sin
y cos x
=
=
Giải hệ phơng trình theo A và
hằng số để tìm A thay x , y vào phơng trình
sin x cos x+ = ⇔1 x+ y =1
Bài 2 Công thức cộng
Dạng 1: tính giá trị của các hàm số lợng giác và rút gọn
Bài 1 Tính giá trị các hàm số lợng giác
Trang 21) α =150 7
12
x= π
2) x=2850 103
12
x= π
Bài 2 Tính giá trị của biểu thức
HD:Sử dụng cung liên kết
Dùg công thức cộng theo chiều xuôi chiều
ngợc
( 0) ( 0) ( 0) ( )0
C
−
=
+
D cos= cos +co cos −cos
A tg x= −π biet x= −
Với 3
2
π
< <
4
tgx tg
A
tgx tg
π π
−
=
+
Bài 4 Tính A cos a b= ( + ).cos(a b− ) Biết cos 1
3
a=
Với 3
2
π
< <
4
tgx tg
A
tgx tg
π π
−
=
+
Bài 5 Cho a,b là các góc nhọn với
a= tgb=
Tính sin(a b− ), cos a b( + ), tg a b( − )
a b π a b π tga tgb
1) Tính tga tgb+
2) Tính tga tgb, từ đó tính a,b
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức và rút gọn đẳng
thức
Bài 1 Chứng minh rằng
tg a tg b
cos a cos b
2) 222 22 3
tg a tg a
tga tg a
tg a tg a
hiện tg a a tg a a(2 − ) ( 2 + )
HD Chia 2 vế cho 2
Chú ý
cos cos cos
a b c tga tgb tgc tga tgb tgc
+ +
−
.sin
cos a b
tg a g b
= −
−
.co
co a b co a b
tg a tg b cos a s b
= −
Bài 2 Rút gọn biểu thức sau
A= x−π cosπ −x+ π −x cos x −π
B= x g x cos x−
2
C tgx tg x= + +π +tg π +x
D co= x−π cosπ +x−co π +x cos x −π
HD: NX
Bài 3 Chứng minh đẳng thức sau không phụ thuộc và x
A cos x co= + x+π +cos π −x
B= x+ x+ π+ π −x
2
C= x co+ x−π cosπ +x
2
2 3
D tgx tg x tg x tg x
tg x tgx
π
Bài 4: Cho tam giác ABC CMR 1) sinA= sin B cosC+ sin C cosB
co cos
3) tgA tgB tgC tgA tgB tgC+ + =
tg tg +tg tg +tg tg =
Bài 5:
1) Cho cos a b( + =) k cos a b ( − ), k#1
CMR 1
1
k tga tgb
k
−
= +
2) Cho cos a( +2b) =k cos a ( ), k# 1−
CMR ( ) 1
1
k
tg a b tgb
k
−
+
Trang 3HD: Sử dụng công thức cộng
cos a b+ = k cos a b− ⇔ a b − =k a b k+
Bài 6: CMR
cot
tg a g a
a− a b+ cos a = +
3) 2cos cos cosa b (a b+ =) cos2a+cos2b−sin2(a b+ )
Bài 3 Công thức nhân
Dạng 1: Thực hiện phép tính bằng công thức nhân
Bài 1 Tính sin2a biết
1) sin 4
a= va π < <a π
co a= va < <a π
15
tga=
Bài 2 Tính giá trị của các hàm số lợng giác của
góc a=112 30'0
HD: 2a=450
Bài 3 Tính giá trị của biểy thức sau
1) A=sin 6 sin 42 sin 66 sin 780 0 0 0
HD : nhân 2 vế với cos60
B co= π co π co π
HD : nhân 2 vế với sin
7
π
3) C=16sin10 sin 30 sin 50 sin 70 sin 900 0 0 0 0
HD : nhân 2 vế với cos100
4)
=
Dạng 2: Thực hiện phép tính qua một số giá trị đã
biết
Bài 1
1) Tính A cos a= 2 Biết sin 1
cos
HD: bình phơng 2 vế
2) Cho 1
2
tga= ; 1
3
tgb=−
với
a b
< <
< <
Tính sin(a−2b) ; cos a b(2 + )
3) Cho sin cos 7 ; 0
a+ a= < <a π Tính
2
a tg
HD: Bình phơng 2 vế suy ra sin2a;tg2a
áp dụng liên tiếp 2
2 2 1
tga
tg a
tg a
=
−
Bài 2 CMR
4
cos x x+ x cos x= x
AD: Tính
tgx tgπ −x tg π +x=tg x
AD: tính 7 13
A tg= π tg π tg π
Dạng 3: Rút gọn biểu thức
x
cos
x cos x x cos x B
x
−
=
sin 4
x
D
−
=
cotg tg E
cotg tg
+
=
−
6)
2 2
cos a H
−
=
sin 60
a F
+
=
Dạng 4: Chớng minh rằng
cos x− cos x− cos x=
4
x cos x x− x cosx=
x cos x+ = cos x+
g x
π
cot
cos x
g x tg x cos x
−
6)
2
cos x y
HD: Sử dụng công thức nhân đôi
7)
cos
tgx
−
+
2
x y
x+ y + n− y = cos + −
Trang 44 3
; #0; #
x cotgx cos x tgx cos x
π
x co x
cos x
x − co x =
Bài tập:
CMR biểu thức sau không phụ thuộc vào x
sin
B
D= x+ x+π + x+π + x+ π
E= x co+ x − x co x+
8
F = x co x+ x co x+ cos x
Bài 4 Công thức biến đổi
Dạng 1: Biến đổi tổng thành tích và ngợc lại
Bài 1 Biến đổi thành tích
1) A cos a cos a= 2 − 23
2) B=sin 3x+sin 2x
3
C tgx= −
4) D= −1 cotgx
5) E cos= (600+ +x) cos(600− +x) cos x3
Bài 2 Biến đổi thành tích
1) A=sin 700−sin 200+sin 500
2) B cos= 460 −cos220−2cos780
3) C= +1 cosx cos x cos x+ 2 + 3
4) D=cosa+cosb+sin(a b+ )
5) 1 sin+ x cos x− 2
6) 1 2cos− x cos x+ 2
7) sin x cos x3 +sin 4 x cos x2
8) cos x cos x cos x2 + 22 + 23 −1
9) sin2 x−sin 22 x+sin 32 x
2
tgx sinx+ + tgx− x < <x π
Bài 3 Biến đổi thành tổng
1) sin(a+30 sin0) (a−300)
3) 2sinx sin x 2 sin 3x
4) 8cos sin 2 sin 3x x x
x π x π cos x
6) 4cos a b cos b c cos c a( − ) ( − ) ( − )
Dạng 2 Tính giá trị và rút gọn biểu thức Bài 1 Biến đổi thành tích
1) A cos a cos a= 2 − 23
2) sin11 5
B= π cos π
3) C=sin 20 sin 40 sin 800 0 0
4) D=sin 20 sin 50 sin 700 0 0
E cos= π +cos π +cos π
F cos= π +cos π +cos π
7) F tg= 90−tg270−tg630+tg810
0
1 4sin 70 sin10
Bài 2 Tính gí trị của bểu thức
A= Biết x=600
cos a cos a B
−
=
− Biết a=200
a cos a C
cos a cos a
=
+ Biết a 7
π
=
4) D tg= 20 40 60 800tg 0tg 0tg 0
Bài 3 Rút gọn biểu thức
=
B= π + − π −
C
=
Dạng 3 Chứng minh hằng đằng thức Bài 1 Chứng minh rằng
1) sin(a b+ ).cosb−sin(a c+ ).cosc=sin(b c− ) (.cos a b c+ + )
tgπ +a−tgπ −a= tg a
4) A cos a x= 2( + +) cos x2 −2cos cos x a cos a x( + ) 5) B= sin 6 sin 4x x− sin15 sin13x x+ sin19 sin 9x x
Bài 2 Chứng minh rằng
2
1 sin 2
x
x
π
HD:
2
2
x VT
x
π π
−
=
+ : Biến đổi thành tích cả tử
và mẫu và thay theo tg và cotg Bài 3 tính giá trị của biểu thức
Trang 5A tg= +tg −tg − g + g + g
HD: nhóm thàn 3 nhóm A=8
2)
B
HD: thay tg800 =cot 10g 0 B=1
Bài 4 CMR
HD: Biến đổi 4 3 1 1
x= − cos x+ cos x
Thay từng hạng tử sau đó rút gọn
HD: cos5x=cos 2( x+3x) Sử dụng công thức nhân
3 và công thức cộng
3) sin( ) sin( ) sin( )
0
4) sin 1 2cos 2x( + x+2 cos 4x+2 cos 6x) =sin 7x
Bài 5
1) Cho a b c+ = CMR
a+ b+ c=
2) Cho a b c d+ + + =π CMR
Bài 6: Cho tam giác ABC CMR
1) sin 2A+ sin 2B+ sin 2C= 4sin sin sinA B C
co A+ B+ C= +
A+ B+ C= cos cos cos
4) cos2 A+cos2B+cos2C= −1 2 s s sco A co B co C
Bài 5 Giải toán biến đổi l ợng giác
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức lợng giác
Bài 1 CMR
2
3 3
1 3
tga tg a
tg a
tg a
−
=
−
2) cotgx tgx− =2cotgx
x cos x+ = cos x+
x cos x+ = cos x+
x cos x+ = cos x+ cos x+
Bài 3 CMR
cosx x
tg x
2) 4sinx.sin 60( 0−x) (.sin 600+ =x) sin 3x
cosx cosπ −x cos π +x= cos x
tgx tgπ −x tg π +x=tg x
5) sin 5x−2sinx(cos 4x cos x+ 2 )=sinx
6)
Bài 3
thì y=sinx HD: nhân chia liên hợp tgx 1 1 y2
y
=
Thay vào biểu thức sin2x 2) CMR
tgna
=
HD: Nhóm các hạng tử lại biến đổi tổng thành tích
( sins sin 2s 2 11 ) (sin 3s3 sin 2s 2( 33) )
3) CMR
( 0 ) ( 0 ) ( ( 0 ) )
0
a
a
HD: chuyển về sin và cos thực hiện phép nhân Bài 4 Cho a k# 2π k thuộc Z CMR
1)
( 1)
sin 2
na
a
+
HD: nhân 2 vế với sin
2
a
2)
( 1)
sin 2
n a na
co cosa co a co a co na
a
+
3)
( )1
s sin
sin 2
n a na
co cosa co a co a co na
a
+
( 1 ) sin sin
sin sin sin 2 sin
sin 2
na x
+
Bài 5 Bài tập 1) cos 4x=8cos x4 −8cos2x+1
2) 3 4cos 2− x+cos 4x=8sin4x
Trang 63) 1 1
2 cos
x
x
4) sin3x(1 cot+ gx)+cos3x(1+tgx) =sinx+cosx
x+ x+π = − x+π
6) sin 3x−2sin 33 x+cos 2 sinx x=cos5 sin 4x x
Bài 6
1) Cho cos2x+cos2 y m= CMR
cos x y+ cos x y− = −m 1
2) Cho tgx, tgy là nghiệm của phơng trình sau
at + + =bt c CMR
a x y+ +b x y+ x y+ +c x y+ =
3) Cho sinx+siny=2sin(x y Voi x y k+ ) + # π
x y
tg tg =
4) Cho x y z t+ + + =2π CMR
cos x+cos y−cos z−cos t= −2sin x y+ sin y z+ cos z x+
Dạng 2: Rút gọn tính giá trị của một biểu thức
Bài 1 Tính
1) sin19
12
2) Tính cos 2a tan 2a biết sin 4
5
a= a là góc nhọn
sin 60 3sin15 cos15
−
B
co
Bài 2 Thực hiện phép tính
1) A=cos 732 0+cos 472 0+cos 73 cos 470 0 ĐS ắ
2) sin6 s6
B= π +co π
4) D=tan 206 0−33tan 204 0+27 tan 202 0−3
Bài 3 Thực hiện phép tính
4
a=
2) tan sin
B
−
=
+ biết
2 tan
2 15
x
=
3) C=sin 270( 0+2a) biết sin(a−1800) =0,3
D
=
1
3 2
x= π < <x π
HD: Sử dụng công thức nhân đôi
Bài 4 Tính sin180 =x
Hd: NX 18 2 36 ; 18 3 54 ; 540 = 0 0 = 0 0+360 =900
Từ sin và cos cộng thức nhân ba suy ra phơng trình bậc 3 ẩn x Chú ý x>0
Bài 5 Rút gọn biểu thức sau 1) A= 2+ 2 2cos+ a 00< <a 2π
2) sin4 cos4 sin4 s4
B= x+ x+ x+π +co x+π
3)
Bài 7 Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x
1) A=cos2x−2cos cos cosa x (x a+ +) cos2(x a+ ) 2) B=cos2x−2sin cos sina x (x a+ +) sin2(x a+ ) 3)
2
Dạng 3: Hệ thức giữa các cung và các giá trị lợng giác thoả mãn điều kiện cho trớc
Bài 1 (ĐHTM 99) CMR nếu sin 2sin( )
# 2
x y π kπ
Thì tan( ) sin
y
x y
y
−
CMR tan tan 1
1
m
m
−
= +