1 Các công thức nguyên hàm cơ bản đầy đủ, chi tiết nhất 1 Lý thuyết a) Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x)[.]
1.Các công thức nguyên hàm đầy đủ, chi tiết Lý thuyết a) Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F’(x) = f(x) với x K Định lí: 1) Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K với số C, hàm số G(x) = F(x) + C nguyên hàm f(x) K 2) Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K nguyên hàm f(x) K có dạng F(x) + C, với C số Do F ( x ) + C,C họ tất nguyên hàm f(x) K Ký hiệu f ( x ) dx = F ( x ) + C b) Tính chất nguyên hàm Tính chất 1: ( f ( x ) dx ) = f ( x ) f '( x ) dx = f ( x ) + C Tính chất 2: kf ( x ) dx = k f ( x ) dx với k số khác Tính chất 3: f ( x ) g ( x ) dx = f ( x ) dx g ( x ) dx c) Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K d Bảng nguyên hàm số hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp f(ax + b) 0dx = C dx = x + C x dx = x +1 + C ( −1) +1 kdx = kx + C với (k số) (ax + b)+1 (ax + b) dx = + C ( −1) a +1 x dx = ln x + C 2 x dx = x + C 1 ax + bdx = a ln | ax + b | +C 1 dx = ax + b + C ax + b a x + e +C x x e dx = e + C x + e dx = ax a dx = ln a + C ( a 0,a 1) a cos xdx = sin x + C cos(ax + b)dx = a sin ( ax + b ) + C sin xdx = − cos x + C s in (ax + b)dx = − cos ( ax + b ) + C a tanx.dx = − ln | cos x | +C tan ( ax + b ) dx = − a ln | cos ( ax + b ) | +C cotx.dx = ln | sin x | +C c ot ax + b dx = ln | sin ( ax + b ) | +C ( ) a cos2 x dx = tan x + C cos (ax + b)dx = a tan(ax + b) + C sin x dx = − cot x + C sin x x + a x + dx = +C ln a 1 1 2 1 dx = − cot(ax + b) + C (ax + b) a Nhận xét Khi thay x (ax + b) lấy nguyên hàm nhân kết thêm Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính nguyên hàm hàm số sau: a) f(x)= x3 + 3x + b) y = x − 3x + 1 + x x2 a c) f(x) = (x + 1)(x + 2) d) f ( x ) = 2 + + − 2x x x Lời giải x 3x a) f ( x ) dx = ( x + 3x + ) dx = + + 2x + C 1 b) f ( x ) dx = x − 3x + + dx x x − = x − 3x + + x dx x x3 = − x + ln x + 3.x + C c) f ( x ) dx = ( x + 1)( x + ) dx x3 = ( x + 3x + ) dx = + x + 2x + C 2 + + dx d) f ( x ) dx = − 2x x x = − ln − 2x + 2ln x − +C x Ví dụ 2: Tính nguyên hàm + x dx a) cos x b) (3cos x − ) dx x −1 1 c) − e x +1 dx x Lời giải x5 4 + x dx = dx + x dx = tan x + + C a) cos x cos x b) ( 3cos x − x −1 3x −1 ) dx = 3cos xdx − dx = 3sin x − ln + C x −1 1 c) − e x +1 dx = dx − e x −1dx = ln x − e x −1 + C x x ... = − cot(ax + b) + C (ax + b) a Nhận xét Khi thay x (ax + b) lấy nguyên hàm nhân kết thêm Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính nguyên hàm hàm số sau: a) f(x)= x3 + 3x + b) y = x − 3x + 1 + x x2 a c)... C 2 + + dx d) f ( x ) dx = − 2x x x = − ln − 2x + 2ln x − +C x Ví dụ 2: Tính nguyên hàm + x dx a) cos x b) (3cos x − ) dx x −1 1 c) − e x +1 dx x Lời